2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第8章 第1节 直线与方程
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何6
第八章 第6节对应学生用书课时冲关 理(四十五)/第319页文(四十二)/第283页一、选择题1．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3，y ＝x ＋b ⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b . 又M ⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b 在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1， 则|AB |＝ 1＋12·(－1)2－4×(－2)＝3 2.答案：C2．(2015·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：因为斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，所以ba >3，所以e ＝ca＝1＋b 2a2> 1＋(3)2＝2.所以双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)． 答案：B3．(2015·西安模拟)已知任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1上或其内部即可．从而m ≥1，又因为椭圆x 25＋y 2m＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．答案：C4．(2015·衡水模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：设双曲线离心率为e 1，椭圆离心率为e 2， 所以e 1＝ a 2＋b 2a 2，e 2＝ m 2－b 2m 2， 故e 1·e 2＝(a 2＋b 2)(m 2－b 2)a 2m2＝1，⇒(m 2－a 2－b 2)b 2＝0， 即a 2＋b 2－m 2＝0，所以，以a ，b ，m 为边长的三角形为直角三角形． 答案：B5．(2015·嘉定模拟)过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 则x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1， 两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．故选D. 答案：D6．(2015·杭州模拟)F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，第一象限内的点M 在椭圆上，若MF⊥x 轴，直线MN 与圆x 2＋y 2＝1相切于第四象限内的点N ，则|NF |等于( )A.213 B.45 C.214 D.35解析：因为MF ⊥x 轴，F 为椭圆x 25＋y 2＝1的右焦点，所以F (2,0)，M ⎝⎛⎭⎫2，55，设l MN ：y －55＝k (x －2)， N (x ，y )，则O 到l MN 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－2k ＋55k 2＋1＝1，解得k ＝255(负值舍去)．又因为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y －55＝255(x －2)⇒⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－53，即N ⎝⎛⎭⎫23，－53，所以|NF |＝ ⎝⎛⎭⎫2－232＋⎝⎛⎭⎫532＝213. 答案：A 二、填空题7．已知两定点M (－2,0)，N (2,0)，若直线上存在点P ，使得|PM |－|PN |＝2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝3x ＋2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x .其中是“A 型直线”的序号是________．解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x 2－y 23＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.答案：①③8．(2015·无锡模拟)若直线mx ＋ny ＝4与☉O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________．解析：由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案：29．已知双曲线左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为其右支上一点，∠F 1PF 2＝60°，且S△F 1PF 2＝23，若|PF 1|，14|F 1F 2|2，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的离心率为________．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因此有m －n＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △PF 1F 2＝12·m ·n ·32＝23，m ·n ＝8.又m ＋n ＝12×4c 2＝2c 2⇒(m ＋n )2＝4c 4.①由余弦定理cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·|PF 2|＝m 2＋n 2－4c 22mn ＝12⇒m 2＋n 2＝8＋4c 2⇒(m ＋n )2＝4c 2＋24. ②①②两式联立解得c 2＝3⇒c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ＝8，m ＋n ＝6，m >n⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2，⇒2a ＝2，a ＝1，e ＝c a ＝ 3.答案： 3 三、解答题10．(2015·衡水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到点Q (0,3)的距离最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解析：(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则|NQ |＝ (x －0)2＋(y －3)2＝ 4b 2－4y 2＋(y －3)2 ＝ －3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值为4b 2＋12＝4， 解得b 2＝1，所以a 2＝4，椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， AB 方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 由Δ＝(24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，得k 2<15.x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x 0，y 0)， 则x 0＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y 0＝1t (y 1＋y 2) ＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2) ①又由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0， 则8k 2－1>0，k 2>18，所以18<k 2<15②由①，得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2， 联立②，解得3<t 2<4， 所以－2<t <－3或3<t <2.11．(2015·石家庄模拟)椭圆x 2b 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过F 1作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)若△ABF 2为正三角形，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的离心率满足0＜e ＜5－12，O 为坐标原点，求证：|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.(1)解：由椭圆的定义知|AF 1|＋|AF 2|＝ |BF 1|＋|BF 2|，∵|AF 2|＝|BF 2|，∴|AF 1|＝|BF 1|，即F 1F 2 为边AB 上的中线， ∴F 1F 2⊥AB .在Rt △AF 1F 2中，cos 30°＝2c4a 3， 则c a ＝33，∴椭圆的离心率为33. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵0＜e ＜5－12，c ＝1，∴a ＞1＋52. ①当直线AB 与x 轴垂直时，1a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 4a 2， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－b 4a 2＝－a 4＋3a 2－1a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2－322＋54a 2，∵a 2＞3＋52，∴OA →·OB →＜0，∴∠AOB 恒为钝角，∴|OA |2＋|OB |2＜|AB |2.②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为： y ＝k (x ＋1)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2k 2a 2x ＋a 2k 2－a 2b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2a 2k 2b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2k 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝x 1x 2(1＋k 2)＋k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(a 2k 2－a 2b 2)(1＋k 2)－2a 2k 4＋k 2(b 2＋a 2k 2)b 2＋a 2k 2＝k 2(a 2＋b 2－a 2b 2)－a 2b 2b 2＋a 2k 2＝k 2(－a 4＋3a 2－1)－a 2b 2b 2＋a 2k 2令m (a )＝－a 4＋3a 2－1，由①可知m (a )＜0， ∴∠AOB 恒为钝角，∴恒有|OA |2＋|OB |2＜|AB |2. 12．(2015·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分． (1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14⎝⎛⎭⎫m ＝－12舍去. (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)． 设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.[备课札记]。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章 第8节 函数与方程
与x轴的交点 零点个数
(x1,0)，(x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
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第二章
2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识 聚焦·热点题型 提升·学科素养 提能·课时冲关
1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(
则一定有f(a)·f(b)<0； ③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点； ④若函数 f(x) 在 (a ， b) 上单调且 f(a)·f(b)<0 ，则函数 f(x) 在 [a，b]上有且只有一个零点．
其中正确的是(
A．①② C．③④
)
B．②③ D．①④
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第二章
函数零点的
关系
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第二章
2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识 聚焦·热点题型 提升·学科素养 提能·课时冲关
函数零点的 存在定理 函数存在零 点的判断方 法
图象在[a，b]上连续不断，若f(a)f(b)<0，则y ＝f(x)在(a，b)内存在零点． 解方程f(x)＝0 利用零点存在性定理 数形结合
Ⅰ. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联 系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． Ⅱ. 根据具 体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
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第二章
2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识 聚焦·热点题型 提升·学科素养 提能·课时冲关
整合· 主干知识
人教A数学
三位有效数字)为________． 解析： 由题意知，函数零点在区间 (1.5562,1.5625) 内，又 零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. 答案：1.56
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何4
第八章 第4节对应学生用书课时冲关 理(四十三)/第315页 文(四十)/第279页一、选择题1．(2014·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：∵b a＝2,0＝－2c ＋10，∴c ＝5，a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1. 答案：A2．(2015·济南期末)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.32B.62C.233D.33解析：依题意可知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，设双曲线的渐近线方程为y ＝±kx ，则|2k |1＋k 2＝1，解得k 2＝13，即b 2a 2＝13，所以该双曲线的离心率e ＝ 1＋13＝233.故选C. 答案：C3．(2015·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 解析：依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24. 答案：D4．(2015·哈师大附中模拟)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 解析：椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2，故选C. 答案：C5．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率e ＝1＋m ， 又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.答案：C6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为( ) A.233B.33 C ．2 D ．1 解析：因为双曲线的离心率为2，所以c a＝2， 即c ＝2a ，c 2＝4a 2.又因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝4a 2，即b ＝3a ，因此b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥213＝233，当且仅当 a ＝13a 时等号成立．即b 2＋13a 的最小值为233.答案：A7．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|＋|PF 2→|＝( ) A.10 B ．210 C.5 D ．219解析：∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝40，又||PF 1→|－|PF 2→||＝2a ＝2，∴||PF 1→|－|PF 2→||2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→|×|PF 2→|＝4，∴|PF 1→|×|PF 2→|＝18，||PF 1→|＋|PF 2→||2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|×|PF 2→|＝76，∴|PF 1→|＋|PF 2→|＝219.答案：D8．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.3＋12 D.5＋12解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ， ∴b a ·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 答案：D9．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2，＋∞)解析：根据双曲线的对称性，若△ABE 是钝角三角形，则只要0<∠BAE <π4即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |>|EF |就能使∠BAE <π4，故b 2a>a ＋c ，即b 2>a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，得e >2或e <－1，又e >1，故e >2.故选D.答案：D10．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 解析：由a 2＋1＝4，得a ＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设点P (x 0，y 0)，则x 203－y 20＝1，即y 20＝x 203－1. OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1 ＝43⎝⎛⎭⎫x 0＋342－74，∵x 0≥3， 故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B.答案：B11．(2015·临沂联考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，2)C ．(3，2)D ．(2,3)解析：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.答案：A二、填空题12．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意知a 2＝1，b 2＝－1m，则a ＝1，b ＝ －1m .∴ －1m ＝2，解得m ＝－14. 答案：－1413．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，∠B 1F 1B 2＝60°，则c ＝3b ，即c 2＝3b 2，由c 2＝3(c 2－a 2)，得c 2a 2＝32，则e ＝62. 答案：62三、解答题14．(2014·山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，求双曲线的渐近线方程．解析：由题意可知，抛物线的焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.因为|F A |＝c ，所以⎝⎛⎭⎫p 22＋a 2＝c 2，即＝⎝⎛⎭⎫p 22＝b 2.联立⎩⎨⎧ y ＝－p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1，消去y ，得x ＝± a 2＋a 2p 24b 2，即x ＝±2a .又因为双曲线截抛物线的准线所得的线段长为2c ，所以22a ＝2c ，即2a ＝c ，所以b ＝a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x .15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值．解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理， 得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53.[备课札记]。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何2
第八章 第2节对应学生用书课时冲关 理(四十一)/第312页文(三十八)/第275页一、选择题1．“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．答案：A2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C3．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝⎛⎭⎫a ，－32b ， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba >0，直线不经过第四象限．答案：D4．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r 2＝2－a ，则圆心(－1,1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4, 故选B. 答案：B5．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：⊙C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2.⊙C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，半径r 2＝2. ∴|C 1C 2|＝13，∴|r 1－r 2|＝0<|C 1C 2|<r 1＋r 2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线． 答案：B6．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0) (m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.答案：A7．(2015·郑州第一次质检)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5,0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D8．已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1B.45C.25D ．2解析：∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为|3×(－1)－4－3|5＝2，∴d min ＝2－1＝1.答案：A9．(2015·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2D. 2解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.答案：C10．(2015·成都模拟)直线l ：mx ＋(m －1)y －1＝0(m 为常数)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，则下列说法正确的是( )A ．当m 变化时，直线l 恒过定点(－1,1)B ．直线l 与圆C 有可能无公共点C ．对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN 的长的最小值为2 3解析：直线l 可化为m (x ＋y )－(y ＋1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴l 过定点(1，－1)，故A 错；又(1－1)2＋(－1)2＝1＜4，∴点(1，－1)在⊙C 内部，∴l 与⊙C 恒相交，故B 错；当l 过圆心C (1,0)，即m ＝1时，圆心上存在关于直线l 对称的两点，故C 错．故选D.答案：D11．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8D ．8 2解析：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等． 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝ (a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.答案：C12．(2015·吉林模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时||OA →＋OB →＞33||AB→，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.答案：C 二、填空题13．(2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝⎛⎭⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 14．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：圆的方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)15．(2014·重庆高考)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，∴圆心为C (－1,2)，半径为3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 9－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －3|22＝32，即(a －3)2＝9，∴a ＝0或a ＝6. 答案：0或616．(2015·吉林长春一调)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关系直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值为________．解析：将圆化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心坐标为C (－1,2)，代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0，即点(a ，b )在直线l ：－x ＋y ＋3＝0上，过C (－1,2)作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长DE 最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，∴由勾股定理得|DE |＝4. 答案：417．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．解析：如图，取AC 的中点F ，BD 的中点E ， 则OE ⊥BD ，OF ⊥AC .又AC ⊥BD ， ∴四边形OEMF 为矩形，设|OF |＝d 1，|OE |＝d 2，∴d 21＋d 22＝|OM |2＝3. 又|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22＝2(1＋d 22)·(4－d 22)＝2－⎝⎛⎭⎫d 22－322＋254. ∵0≤d 22≤3.∴当d 22＝32时，S 四边形ABCD 有最大值是5. 答案：5[备课札记]。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第7章 第1节 空间几何体三视图直观图
2．(2015·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的
几何体的直观图如右图所示，则该几何体的俯视图为(
)
解析：长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C. 答案：C
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3．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长
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质疑探究：由棱柱的结构特征可知：棱 z 柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，反过 来，成立吗？ 提示：不一定成立，如图所示几何体有两个面互相平行，
其余各面都是平行四边形，但不满足每相邻两个四边形的公共
解析：①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行 可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂 直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不 一定相等，故错误． 答案：①②④
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Ⅰ.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能
运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． Ⅱ.能画出简
单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合 )的 三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法 画出它们的直观图． Ⅲ.会用平行投影方法画出简单空间图形 的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
1．(2014·福建高考)某空间几何体的正视图是三角形，则
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章 第10节 导数的概念与运算
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第二章
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1．函数的平均变化率
fx2－fx1 Δy (1)概念：对于函数y＝f(x)， ＝ ，叫做函数y Δx x2－x1 ＝f(x)从x1到x2的平均变化率． (2)几何意义：函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2， f(x2))连线的斜率． (3)物理意义：函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方 程，就是该质点在[x1，x2]上的平均速度．
f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a f′(x)＝ex
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f(x)＝logax f(x)＝ln x f(x)＝tan x f(x)＝cot x
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第10节 导数的概念与计算
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整合·主干知识 聚焦·热点题型 提升·学科素养线的切线斜率大于 0 且越来越大，当
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第2章 第2节 函数的单调性与最值
质疑探究 1 ： 若函数 f(x) 在区间 C 和区间 D 上都是增 ( 减 ) 函 数，则函数f(x)在区间C∪D上是增(减)函数吗？
1 提示：不一定．如函数 f(x)＝x在区间(－∞，0)及(0，＋∞) 上都是减函数，但在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数， 如取 x1＝－1，x2＝1，x1<x2，但 f(x1)>f(x2)不成立．
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第2节 函数的单调性与最值
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1．给出下列命题：
①函数 f(x) 的图象如图所示，则函数 f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)； ② 若 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) ， 有 f( － 1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数；
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函数y＝f(x)的单调区间． 质疑探究 2 ： 当一个函数的增区间 ( 减区间 ) 有多个时，能 否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？ 提示： 不能直接用 “∪” 将它们连接起来．例如，函数 y
＝x2－3x的单调增区间有两个： (－∞，－1)和(1，＋∞)，不能
写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
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2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)课时冲关第8章解析几何1
第八章 第1节对应学生用书课时冲关 理(四十)/第311页 文(三十七)/第273页一、选择题1．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．60°或120°解析：由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.答案：C2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案：D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1. 答案：D4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，∴直线l 2恒过定点(0,2)．答案：B5．(2015·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变为y ＝－A B x －C B .∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0.又y 轴上的截距b ＝－C B ＞0，∴直线过第一、二、四象限．答案：C6．已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，∴|3m ＋5|＝|m －7|，∴3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m .∴m ＝－6或m ＝12.故应选B.答案：B7．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为() A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：由题意设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：D8．(2015·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3， 即x ＋2y －3＝0.答案：D9．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π2，3π4，故选C.答案：C10．(2015·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析：|AB |＝ (cos α＋1)2＋sin 2 α ＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32， 所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33，选B. 答案：B11．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y －2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0.又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0,3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D.答案：D12．如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．2 5解析：由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝2.答案：A二、填空题13．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 设l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 14．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1. ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1. ②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解． 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝015．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据均值不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：1616．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________．解析：取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎨⎧ a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5， ∴B (3,5)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4， ∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x－2y＋7＝0. 答案：x－2y＋7＝0 [备课札记]。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第1章 第3节 命题量词逻辑联结词
解析：因为命题p和命题q都是真命题，所以命题“p∧q” 是真命题，命题 “ p∧¬q” 是假命题，命题 “ ¬p∨q” 是真命
题，命题“¬p∨¬q”是假命题．
答案：①②③④
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聚集· 热点题型
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3．已知命题p∧q为假命题，下列结论正确的是(
)
A．p∨q为真命题
B．(¬p)∧q为真命题 C．p，q有且只有一个假命题 D．¬p，¬q至少有一个真命题 解析： p∧q 为假命题时， p ， q 可能一个真命题一个假命
题，也可能两个都是假命题．故选项A，B，C中的结论都不正
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Ⅰ.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 解全称量词与存在量词的意义． 词的命题进行否定．
Ⅱ. 理
Ⅲ. 能正确地对含有一个量
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1．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否
定是( ) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
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)
A．∀n∈R，n2≥n
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第1章 第1节 集合
自然 数集 N
正整 数集 N＋或N*
整数 集 Z
有理 数集 Q
实数 集 R
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2. 集合间的关系 表示 关系 文字语言 符号语言 A⊆B， _____ B⊆A ⇔A＝B
相等 集合A与集合B中的所有元素_______ 都相同
子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 _____ A⊆B 或_____ B⊇A 集合A中任意一元素均为集合B的元素， 真子 且集合B中_______________ 不是集合A _____ _____ A AB 或B 至少有一个元素 集 中的元素
空集是任意一个集合的子集，是任何 空集 _________ 非空集合 的真子集 _____ ，∅ ∅⊆A B(B≠∅)
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3. 集合的运算 集合的并集 图 形 集合的交集 集合的补集
A∩B＝ ∁UA＝ 符 A∪B＝ {x|x∈A且x∈B} {______________ {x|x∈A或x∈B} ______________ x|x∈U，且x∉A} 号 ______________
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4．集合的运算性质 (1)并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔_____ B⊆A .
(2)交集的性质： A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔_____ .B A⊆ (3)补集的性质： A∪(∁UA)＝__ U ；A∩(∁UA)＝__ A. ∅ ；∁U(∁UA)＝__
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第八章
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2．点A(x0，y0)与☉C的位置关系 (1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2； (2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
人教A数学 第十八页，编辑于星期五：二十三点 二十五分。
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④如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交； ⑤过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点 为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝ r2. 其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)
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法二 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心
为－D2 ，－E2.
52＋22＋5D＋2E＋F＝0， 则由已知可得32＋－22＋3D＋－2E＋F＝0，
2×－D2 －－E2－3＝0，
人教A数学 第二十七页，编辑于星期五：二十三点 二十五
设所求圆的圆心坐标为 C(a，b)，
2a－b－3＝0， 则有b＝－12a－4.
解得ab＝ ＝21， .
∴C(2,1)，r＝|CA|＝ 5－22＋2－12＝ 10. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第八章 平面解析几何 第一节
课时作业一、选择题1．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点() A．(1，－2)B．(1，2)C．(－1，2) D．(－1，－2)A[因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．]2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线方程是() A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0B[因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C|22＋112，解得C＝16(舍去)或C＝－38.]3．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为() A．(3，0) B．(－3，0)C．(0，－3) D．(0，3)D[∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1，1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0，3)．]4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足() A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0A[由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －cb ， 易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.]5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1A [将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.]6．已知点A (1，－2)，B (m ，2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1C [线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.]二、填空题7．(2014·贵阳模拟)直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．解析 设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)， 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．(2014·常州模拟)过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．解析 直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(－2，3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1. 综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09．不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 解析 把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 整理得(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0， 则⎩⎨⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3. 答案 (－2，3) 三、解答题10．(2012·莆田月考)已知两点A (－1，2)，B (m ，3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解析 (1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0， 3 ]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.11．(2014·河北沧州一模)如图，函数f (x )＝x ＋2x 的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值． 解析 (1)证明：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0＞0)，则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1.即|PM |·|PN |为定值． (2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，解得x ＝y ＝x 0＋12x 0.连接OP ， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0＋12·1x 0·2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 的最小值为1＋ 2. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 解析 (1)证明：解法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2，1)．解法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立， ∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2，1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )． 又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2kk (1＋2k ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第1章 第2节 四种命题充要条件
答案：充分不必要
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第一章
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5．下列命题： ①若ac2>bc2，则a>b； ②若sin α＝sin β，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线l1：x－2ay＝1和直线l2：2x－2ay
＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．
3 ．给出命题：“若实数 x ， y 满足 x2 ＋ y2 ＝ 0 ，则 x ＝ y ＝
0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是
( ) A．0个 C．2个 B．1个 D．3个
解析： 原命题显然正确，其逆命题为：若 x ＝ y ＝ 0 ，则 x2
＋ y2 ＝ 0 ，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否
D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题 “若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”． 答案：C
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2． (2014·北京高考)设 a， b是实数，则“a＞ b”是“ a2＞
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Hale Waihona Puke 解析：对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b 正确；对于②， sin 30° ＝sin 150° /⇒30° ＝150° ， 1 所以②错误；对于③，当 a＝0 时，l1：x＝1，l2：x＝ ， 2 1 1 1 1 ∴l1∥l2，当 a≠0 时，l2：y＝ x－ ，∵a≠ ，∴l1 与 l2 不 2a 2a 2a 平行． 所以③正确；④显然正确．
2016年《创新教程》高考数学(理科)大一轮(人教A新课标)精讲课件：第10章 第1节 分类分步计数原理
3．2 014×2 013×2 012×2 011×2 010 等于( A．A4 2 014 C．C4 2 014 B．A5 2 014 D．C5 2 014
)
解析：由排列数公式知上式为 A5 2 014，故选 B.
答案：B
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第十章
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理
原理 异同点
分类加法计数原理 完成一件事有 两类不同方案 ____________，在第1类方 案中有m种不同的方法，在 第2类方案中有n种不同的方 法．那么完成这件事共有N ＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事 需要两个步骤 ，做第1步 _____________ 有m种不同的方法，做第2 步有n种不同的方法，那 么完成这件事共有N＝ m×n种不同的方法
分类加法计数原理
x2 y 2 [ 典例赏析 1] 椭圆m＋ n ＝1(m>0，n>0)的焦点在 y 轴上，且 m∈{1,2,3,4,5}， n∈{1,2,3,4,5,6,7}， 则这样的椭圆的个数为_____．
[ 解析 ]
以 m的值为标准分类，分为五类．第一类： m ＝ 1
时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有5种 选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四类：m＝4
4．甲、乙两人从4 门课程中各选修 2门，则甲、乙所选的
课程中恰有1门相同的选法有(
A．6种 B．12种
创新教程2016年高考数学大一轮复习第八章第7节曲线与方程课时冲关理新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 第八章 第7节 曲线与方程课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书 课时冲关理四十六第321页一、选择题1．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析：由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．答案：C2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为x 29－y 216＝1 (x >3)．答案：C3．(2015·余姚模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线解析：由已知得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D.答案：D4．(2015·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析： ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.答案：D5．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 (x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：设另两个切点为E 、F ，如图所示，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x >1)．答案：A6．点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N . ∵|PF 2|＝|PN |， ∴|F 1N |＝2a .连接OM ，则在△NF 1F 2中，OM 为中位线， 则|OM |＝12|F 1N |＝a .∴M 的轨迹是圆．答案：A 二、填空题7．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b2＝18．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为________．解析：如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是|AM |＝|PM |，又由于10＝|OP |＝|OM |＋|MP |＝|OM |＋|MA |，即|OM |＋|MA |＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0 )的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．答案：椭圆9．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是 x 2＋y 2－8x ＋10＝0，若由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，由圆O ′的方程为(x －4)2＋y 2＝6及已知|AP |＝|BP |，故|OP |2－|AO |2＝|O ′P |2－|O ′B |2，则|OP |2－2＝|O ′P |2－6， ∴x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6. ∴x ＝32，故动点P 的轨迹方程是x ＝32.答案：x ＝32三、解答题10．(2015·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x ＞0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．11．设A ，B 分别是直线y ＝22x 和y ＝－22x 上的动点，且|AB |＝2，设O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)过点(3，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1，l 2与点P 的轨迹的相交弦分别为CD ，EF ，设CD ，EF 的弦中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过一个定点．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， ∵OP →＝OA →＋OB →，∴x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2， ∵y 1＝22x 1，y 2＝－22x 2， ∴x ＝x 1＋x 2＝2(y 1－y 2)，y ＝y 1＋y 2＝22(x 1－x 2)． ∵|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2，∴12x 2＋2y 2＝2， ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 1的方程为x －3＝ky .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝ky ，x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2＋23ky －1＝0，∴y 1＋y 2＝－23k k 2＋4，x 1＋x 2＝83k 2＋4.∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43k 2＋4，－3k k 2＋4，同理可得N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43k 24k 2＋1，3k 4k 2＋1.∴直线MN 的斜率k MN ＝3k 4k 2＋1＋3kk 2＋443k 24k 2＋1－43k 2＋4＝5k4k 2－1.∴直线MN 的方程为y ＋3k k 2＋4＝5k 4k 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43k 2＋4. 整理化简得4k 4y ＋(43－5x )k 3＋12k 2y －16y ＋ (－20x ＋163)k ＝0， ∴x ＝435，y ＝0，∴直线MN 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫435，0. 12．(2015·蚌埠模拟)已知点C (1,0)，点A ，B 是☉O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程．(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．解析：(1)连接CP ，OP ，OA ， 由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ， 所以|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |.由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2， 即|OP |2＋|CP |2＝9.设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9， 化简，得到x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p2＝1，所以p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4，得x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x＝1，此时y＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．[备课札记]。
创新教程高考数学大一轮复习 第八章 第5节 抛物线课时冲关 理 新人教A版
【创新教程】2016年高考数学大一轮复习 第八章 第5节 抛物线课时冲关 理 新人教A 版对应学生用书课时冲关 理四十三/第317页文四十/第381页一、选择题1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是( )A ．x 2＝4y B ．x 2＝－4y C ．y 2＝－12xD ．x 2＝－12y解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .答案：D2．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 28，y ，则A (－2，y )， 由k AF ＝－3，即y －0－2－2＝－3，得y ＝43，|PF |＝|PA |＝y 28＋2＝8.答案：B3．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －1消去y 得x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C.答案：C4．(2015·北京东城区期末)已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.答案：D5．(2015·株洲模拟)已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 依次交于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |等于( )A ．10B ．12C ．14D ．16 解析：由题可知直线y ＝x －2过圆心(2,0)，抛物线的焦点为(2,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4， 所以|AD |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2x 1＋x 22－8x 1x 2＝2×122－8×4＝16，故|AB |＋|CD |＝|AD |－2＝14. 故选C. 答案：C6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)解析：如图所示，由题意，可得 |OF |＝1，由抛物线的定义， 得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin π－∠MAF ＝3， ∴|AM |＝3|OF |＝3，∴|AM |＝|AF |＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，∴y 204＋1＝3，解得y 0＝±2 2.∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 答案：D 二、填空题7．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．解析：∵抛物线的顶点为O (0,0)，p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于|PB |＋|PF |.如图，|PB |＋|PF |≥|BF |，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值，此时|BF |＝ －1－12＋1－02＝ 5.答案： 58．(2015·武汉调研)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y 2＝4x .显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，其中k ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－2k ，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋[4k (1－k )－4]x ＋4(1－k )2＝0，显然4k 2－4k ＋42k 2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x .答案：y ＝x9．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________.解析：过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令|FD |＝m ， 则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p . ∴|OA →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＋3p2＝212p . 答案：212p 三、解答题10．(2015·厦门模拟)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上， 得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． 11．(2015·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．12．(2015·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x ＞0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．[备课札记]。
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2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识 聚焦·热点题型 提升·学科素养 提能·课时冲关
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α 的 ______ 正切值叫做这条直线的斜 率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ ______ tanα ，倾斜角是90°的 直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式
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第1节 直线与方程
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越大，斜率就越大； 越大，斜率也越大．
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2．直线方程的五种形式 名称 点斜式 已知条件 方程 适用范围
斜率k与点 (x0，y0)
y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝ _____________ x0 y＝kx＋b ___________ 不含垂直于x 轴的直线
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式 y2－y1 为 k＝ . x2－x1
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质疑探究1：任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？ 提示：每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直 线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．
重合
k1＝k2 且 b1＝b2
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5.几种距离 (1)两点距离 两 点 P1(x1 ， y1) 、 P2(x2 ， y2) 之 间 的 距 离 |P1P2| ＝
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 _____________________ .
不含直线 x＝x1(x1＝x2)和直线 y ＝y1(y1＝y2)
截距式
截距 a 与 b
x y ＋ ＝1 a b __________
不含垂直于坐标轴和过原点的 直线
__________ 一般式
Ax＋By＋C＝0
平面直角坐标系内的直线都适 (A、B 不同时 为 0) 用
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①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴
_____ 正向 与直线 l _________ 向上 方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜 角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为____. 0° ②倾斜角的范围为____________ [0°，180°) ．
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斜截式 斜率k与截距b
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第八章
2016年新课标高考· 大一轮复习讲义
整合·主干知识 聚焦·热点题型 提升·学科素养 提能·课时冲关
两点式
y－y1 两点(x1， y1)、 (x2， y2－y1 _______ x－x1 y2)(其中 x1≠x2、 x2－x1 ＝_________ y1≠y2)
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整合·主干知识 聚焦·热点题型 提升·学科素养 提能·课时冲关平行ຫໍສະໝຸດ k1＝k2 且 b1≠b2
A1B2－A2B1＝0 B2C1－B1C2≠0 A1B2－A2B1＝0 或 A1C2－A2C1≠0 A1B2－A2B1＝0 B2C1－B1C2＝0 A1B2－A2B1＝0 或 A1C2－A2C1＝0
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4．两条直线位置关系的判定
直线 斜截式 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 一般式 A1x＋B1y＋C1＝0； A2x＋B2y＋C2＝0
方程 相交 垂直
k1≠k2 k1k2＝－1
A1B2－A2B1≠0 A1A2＋B1B2＝0
人教A数学
第八章
Ⅰ.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜 率的计算公式． 行或垂直． Ⅱ.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平 Ⅳ. 掌握直 Ⅲ. 掌握确定直线位置的几何要素．
线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等 )，了解斜截式
与一次函数的关系.
的交点坐标．
Ⅴ.能用解方程组的方法求两条相交直线
Ⅵ.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公
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质疑探究 2： 直线的倾斜角 θ 越大，斜率k 就越大，这种说
法正确吗？
提示：这种说法不正确．由 k＝tan (1)当 (2)当
π θ∈0，2时，k>0，θ π θ∈2，π时，k<0，θ π θθ≠2知
3．线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2 x＝x1＋x2 2 的中点 M 的坐标为(x， y)， 则 y1＋y2 y＝ 2 的中点坐标公式．
， 此公式为线段 P1P2
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式，会求两平行直线间的距离．
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整合· 主干知识
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1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
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质疑探究3：截距是距离吗？ 提示：直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)
坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是
距离．
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