高等代数
高等代数
高等代数其实是代数学基础，在数学系课程中相对比较简单。
因为其高度形式化和抽象化，初学者往往不适应。
就内容而言，高等代数除了多项式的基础外主要是线性代数，包括行列式、线性方程组、矩阵和线性空间。
作为数学分支的代数具有与初等数学中代数不同的特点。
初等代数主要就是计算，方程的求根或式子的化简。
在本科数学专业教学计划上，从高等代数开始，经过抽象代数，最后到群和环等专业选修课，代数学演变成对带有运算的结构进行刻画、分类等研究的学科。
这种形式化，在一定程度上体现了现代数学高度抽象化的特点。
在学习高等代数书时，要注意下列几点。
第一，适应研究对象的抽象和扩展。
高等代数开篇，就会引入数域的概念，作为数系概念的抽象。
数域概念的特点是突出了数的两种运算的特性。
随着学习的深入，会相继出现过去没有接触过的新研究对象，如映射、高维向量、矩阵、线性空间、变换等。
这些新的研究对象分别由各自的运算规律而界定。
这样将个别的演算抽象出共同的规律，并因此实现理论应用的广泛性。
因此，对新的研究对象要特别注意所定义的相应运算。
第二，深入理解等价和化简的概念。
等价是相同和相等关系的抽象和推广，用自反、对称和传递3个性质刻画。
高等代数中有大量的等价关系，如线性方程组的同解、矩阵的等价、矩阵的合同、矩阵的相似、线性空间的同构等。
每种等价的结构，可用种最简单的形式代表，这样就有了各种标准形。
构造标准形的过程就是在保持等价的前提下化简。
各种等价类的标准形式的数量特征也很重要，如秩、维数、惯性指数等。
第三，注意不同结构的联系。
特别是矩阵是高等代数的核心内容。
矩阵可以表示线性方程组，矩阵可以表示给定基下的线性变换，对称矩阵对应着二次型。
第四，熟悉化繁为简的常用技巧。
在许多证明中，善于把问题转化为实质相同但更简单的形式。
这类过程常用“不失一般性”开头。
可以把向量组或矩阵的行或列重新排列，也可以选择线性空间的特定组基，或者直接写成矩阵的某种标准形式。
在计算行列式等题目中，善于递推、类比等。
理学高等代数
101 又 1 3 1 12 0,
420
1 0 1 0
1
2 4
3 1 2
1 2 0
0 1 0
可逆.
令 (0,0,1,0)
则 1,2 ,4 , 线性无关，从而为P4的一组基.
例2、把复数域看成实数域R上的线性空间， 证明： C R2
证：证维数相等. 首先，x C, x 可表成 x a1 bi, a,b R 其次，若 a1+ bi= 0, 则 a= b 0. 所以，1，i 为C的一组基， dimC 2. 又， dim R2 2
所以， dimC dim R2. 故， V1 V2 .
三．线性变换
▪ 线性变换
➢ 定义 ➢ 线性变换的矩阵
▪ 相似矩阵 ▪ 特征值、特征向量
哈密尔顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理
▪ 可对角化
➢ 定义
定理 设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
则 可对角化 有 n个线性无关的特征向量.
▪ 选择题 ▪ 填空题 ▪ 小计算题 ▪ 大计算题 ▪ 证明题
题型
主要内容
一．二次型 二．线性空间 三．线性变换
四． -矩阵
五．欧几里得空间
一．二次型
▪ 合同变换化标准形
定理：数域P上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵.
▪ 正惯性指数、负惯性指数、符号差 ▪ 实二次型、复二次型的合同的等价条件
实对称矩阵A、B合同 秩( A) 秩(B) 且二次型 X ' AX与X ' BX的正惯性
,
2 0 0
则
C
'
AC
0 0
2 0
0 6
,
作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形
高等代数概述
高等代数概述初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程。
发展到这个阶段，就叫做高等代数。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
高等代数在初等代数的基础上将研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《算书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。
高等代数知识点总结
特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等代数(第1章)
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上 符号x 可以是为未知数， 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
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f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
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§1
数域
要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考 虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围：有理数集 、实数集、复数集 共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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15
例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由 若g(x)0，由于
高等代数复习资料
高等代数复习资料高等代数是大学数学中的一门重要课程，它是线性代数的延伸和拓展，涉及到向量空间、矩阵理论、线性变换等内容。
熟练掌握高等代数的基本概念和方法对于学习数学、物理、经济学等领域都具有重要意义。
本文档将为大家提供高等代数复习资料，帮助你巩固和复习相关知识。
第一部分：向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是一种具有加法和数乘运算的集合。
理解向量空间的基本性质和运算规则是高等代数学习的基础。
在复习向量空间时，可以重点关注以下内容：1. 向量空间的定义和性质：了解向量空间的定义，包括加法和数乘的性质，以及满足的几个条件。
掌握零向量、加法逆元等概念。
2. 子空间：理解子空间的概念，包括子空间的闭性、加法和数乘的封闭性等。
重点掌握如何判断一个集合是否为子空间。
3. 线性相关性和线性无关性：了解线性相关和线性无关的概念，以及线性相关性和线性无关性的判别标准。
学习如何求解线性方程组。
第二部分：矩阵理论矩阵是高等代数中的重要工具，它用于表示线性变换和解决线性方程组。
学习矩阵理论可以帮助我们更好地理解向量空间和线性变换。
在复习矩阵理论时，可以关注以下内容：1. 矩阵的运算：了解矩阵的加法、数乘和乘法等运算规则。
掌握矩阵的转置、逆和行列式等概念。
2. 线性变换和矩阵表示：理解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 线性方程组与矩阵：掌握使用矩阵解决线性方程组的方法，包括高斯消元法和矩阵的逆等。
第三部分：线性变换线性变换是高等代数的核心内容，它描述了向量空间中的数学变换。
理解线性变换的基本概念和性质对于学习高等代数非常重要。
在复习线性变换时，可以关注以下内容：1. 线性变换的定义和性质：了解线性变换的定义，包括保持加法和数乘运算、保持零向量等性质。
2. 线性变换的矩阵表示：了解线性变换与矩阵之间的关系，学习如何通过矩阵表示线性变换。
3. 特征值和特征向量：掌握特征值和特征向量的概念，学习如何求解特征值和特征向量。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。
它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。
以下是高等代数的主要知识点的总结。
1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特定性质的向量的集合。
向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。
2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。
它可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。
线性变换的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。
3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。
矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重要内容。
4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。
线性方程组的求解可以通过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。
特征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的非零向量。
特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。
6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。
行列式的值代表矩阵所对应的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。
行列式具有反对称性、线性性、乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。
7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。
向量空间中的两个向量称为正交，如果它们的内积为零。
正交性和正交变换在几何、物理、信号处理等领域有广泛应用。
8.对称性与对称变换：对称性是高等代数中的一个重要概念。
对称性指的是其中一变换下，物体经过变换后保持不变。
对称性与对称变换在几何、物理、化学等领域有广泛应用。
总结起来，高等代数是一门研究抽象代数结构的学科，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式、正交性与正交变换、对称性与对称变换等知识点。
高等代数知识点
高等代数知识点高等代数是大学数学专业的一门核心课程，主要研究线性代数的更深层次的内容和推广。
它是数学中的一门基础学科，对于很多数学分支都有着重要的应用。
下面是高等代数的主要知识点：1.向量空间理论：向量空间是高等代数的核心概念之一、它研究向量的基本性质和运算规律，包括向量的加法、数乘、内积、外积等。
2.线性变换和矩阵理论：线性变换是向量空间中的一个重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的函数。
矩阵是线性变换在两个有限维向量空间基下的坐标矩阵表示。
3.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换中重要的概念，它们描述了一个线性变换在一些向量上的作用。
特征值是一个标量，特征向量是满足特定条件的非零向量。
4.行列式和特征多项式：行列式是一个方阵所确定的一个标量值，它描述了一个矩阵的一些特征。
特征多项式则是通过行列式来描述一个线性变换的特征。
5.正交性和正交矩阵：正交性是线性代数中重要的概念，它描述了向量空间中向量的垂直性质。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量两两正交并且长度为16.线性方程组：线性方程组是高等代数中一个基本的研究对象。
通过矩阵的运算和消元法可以求解线性方程组的解。
7.广义逆矩阵和正规方阵：广义逆矩阵是矩阵理论的重要扩展，它在未必是方阵的情况下，求解矩阵方程和线性方程组具有重要应用。
正规方阵则是满足一定条件的方阵。
8.特殊矩阵：特殊矩阵是高等代数中特别重要的一类矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。
9.特征值分解和奇异值分解：特征值分解是一种将线性变换表示成特征向量和对应特征值的形式的方法，奇异值分解则是一种将矩阵表示成特征值和特征向量的形式的方法。
10. Jordan标准形和Schur分解：Jordan标准形是复矩阵的一种标准形式，它可以将复矩阵进行相似变换后表示成一个特殊的形式。
Schur分解是一种将矩阵表示成三角形的形式的方法。
这些是高等代数的主要知识点，掌握了这些知识点，就能够理解和应用高等代数的基本原理和方法，为后续更深入的数学学习打下坚实的基础。
高等代数
多项式第一节 数域定义1 设Ｐ是由一些复数组成的集合，其中包括０与１.如果Ｐ中任意两个数（这两个数也可以相同）的和·差·积·伤（除数不为零）仍然是P 中的数，那么Ｐ就称为一个数域。
第二节 一元多项式 定义２ 设ｎ是一非负整数。
形式表达式110...nn n n a x a xa --+++（１），其中01,,...,na a a 全属于数域Ｐ，称为系数在数域Ｐ中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式。
定义3 如果在多项式f （x ）与g （x ）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f （x ）与g （x ）就称为相等，记为f （x ）=g （x ）系数全为零的多项式称为零多项式，记为0定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域Ｐ上的一元多项式环，记为［Ｐ］，Ｐ称为［Ｐ］的系数域第三节 整除的概念带余除法 对于Ｐ［ｘ］中任意两个多项式ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ），其中()0g x ≠，一定有Ｐ［ｘ］中的多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）存在，使()()()()fx q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）是唯一决定的。
定义５ 数域Ｐ上的多项式ｇ（ｘ）称为整除ｆ（ｘ），如果有数域Ｐ上的多项式ｈ（ｘ）使等式()()()fx g x h x =成立。
我们用“()()|g x f x ”表示ｇ（ｘ）整除ｆ（ｘ），用“()|()g x f x ”表示ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）定理１ 对于数域Ｐ上的任意两个多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），其中()()()0,|g x g x fx ≠的充分必要条件是ｇ（ｘ）除ｆ（ｘ）的余式为零。
第四节 最大公因式定义６ 设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是Ｐ［ｘ］中两个多项式。
Ｐ［ｘ］中多项式ｄ（ｘ）称为ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：（１）ｄ（ｘ）是ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式；（２）ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的公因式全是ｄ（ｘ）的因式。
张禾瑞高等代数
张禾瑞高等代数高等代数是数学中一门非常重要的学科，它是线性代数的延伸与推广，涉及到更加复杂的运算和概念。
在本文档中，我们将介绍有关高等代数的基本知识和概念，并深入探讨其应用。
1. 线性方程组和矩阵运算线性方程组是高等代数中最基本的问题之一。
我们将从线性方程组的解法开始讨论，包括高斯消元法和矩阵求逆等方法。
同时，我们还将介绍矩阵的基本运算规则和性质，如加法、乘法、转置等，以及行列式和特征值等概念。
2. 向量空间和线性变换在高等代数中，向量空间是一个非常重要的概念。
我们将介绍向量空间的定义和性质，以及子空间、基和维数等相关概念。
此外，我们还会讨论线性变换的定义和性质，研究线性变换对向量空间的影响。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是高等代数中的核心概念。
我们将介绍它们的定义和性质，并探讨它们在线性代数和微分方程中的应用。
特别是，我们将讨论对称矩阵和正交矩阵的特征值和特征向量的特殊性质。
4. 矩阵的对角化与相似矩阵对角化是高等代数中重要的内容之一。
我们将研究矩阵是否可对角化的条件和方法，并进一步研究相似矩阵和相似变换的性质。
同时，我们还会介绍对称矩阵和正交矩阵的对角化特性。
5. 内积空间和正交性在高等代数中，内积空间和正交性是重要的概念。
我们将介绍内积的定义和性质，研究内积空间和正交投影等相关内容。
此外，我们还将探讨正交矩阵和正交变换的性质和应用。
通过本文档的学习，读者将对高等代数有一个全面、系统的了解。
本文档力求以清晰、简洁的语言对高等代数的基本知识进行讲解，并通过举例和引用应用领域中的实际问题，帮助读者更好地理解和应用高等代数的概念和方法。
希望本文档能成为读者学习和应用高等代数的有力工具。
高等代数知识点总结课件
行列式的展开定理
• 总结词：行列式的展开定理是行列式计算的核心，它提供了计算行列式 值的有效方法。
• 详细描述：行列式的展开定理指出，一个$n$阶行列式等于它的主对角线上的元素的乘积与其它元素乘积的代数和的相 反数。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|\begin{matrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{n1} & a{n2} & \cdots & a{nn} \end{matrix}|$，其值等于 $a{11}A{11} + a{21}A{21} + \cdots + a{n1}A{n1}$，其中$A{ii}$表示去掉第$i$行和第$i$列后得到的$(n-1)$阶行列 式的值。
04
线性函数与双线性函数
线性函数的定义与性质
线性函数的定义
线性函数是数学中的一种函数，其图 像为一条直线。在高等代数中，线性 函数是指满足 f(ax+by)=af(x)+bf(y) 的函数。
线性函数的性质
线性函数具有一些重要的性质，如加 法性质、数乘性质、零元素性质和负 元素性质等。这些性质在解决实际问 题中具有广泛的应用。
欧几里得空间与酉空间
欧几里得空间
欧几里得空间是一个几何空间，它满足 欧几里得几何的公理。在欧几里得空间 中，向量的长度和角度都可以用实数表 示。
VS
酉空间
酉空间是一种特殊的线性空间，它满足酉 几何的公理。在酉空间中，向量的长度和 角度都可以用复数表示。酉空间在量子力 学、信号处理等领域有广泛应用。
高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
高等代数§1
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
（不然，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
二、数域旳性质
定理: 任意数域P都涉及有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一种数域．由定义可知，
于是有 0 P， 1 P. m Z , m 1 1 1 P
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一种有理数可表成两个整数旳商，
Q P.
Remar 数k环: 设P为非空数集，若
a,b P, a b P, a b P
则称P为一种数环．
例如，整数集Z 就作成一种数环．
三、数学归纳法
第一数学归纳法 设S是一种与自然数有关旳命题，且满足． 1）当 n 时n0 ，S成立 2）假设当n k (k N时,k ， nS0)成立，则
意两个数旳差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一
一种数域．
证：由题设任取 a,b P, 有
0 a a P, 1 b P (b 0), a b P,
a P (b 0), b
b a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
1
1
P
,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一种数域．
高等代数课件
第一章 多项式
§1.1 数域
代数与几何教研室
高等代数
例6： Q, R, C 对通常加法和乘法均是 域。 有理数域 Q, 实数域 R, 复数域 C.
若 F的子集合 K 对 F中的原运算仍是一个域 ， 称 K为 F的子域，而 F称为 K的扩域。
C的子域被称作数域， 有理数域 Q是最小的数域 - -是任意数域的子域。 7
II
Polynomial form
an q1 = X bm
nm
,
则 g q1 与 f 的首项相同。
令 f s = r ， q1 + q 2 + + q s = q ， 即可。
唯一性，设 f = q g + r = gq0 + r0，
= 于是 g（q q0） r0 r 若两边均非零，则由 deg g（q q0）） deg g > deg r0 r） （ ≥ （ 矛盾， 故q = q0， r = r0 。
群 : 设 G 是非空集合 , 在 G 中定义了一个二元 运算 (即对 G 中任意 a , b 有 G 中唯一元素 (记为 a b )与之对应 , 且满足如下规律 : (1)封闭性 . 对任意 a , b ∈ G , 总有 a b ∈ G . ( 2 )结合律 .a ( b c ) = ( a b ) c ( 对任 a , b, c ∈ G ). ( 3)( 恒元 )存在 e ∈ G , 使 e a = a 对任 a ∈ G . ( 4 )( 逆元 )对任 a ∈ G , 总存在 b ∈ G , b a = e.
例3： n阶可逆方阵的全体（按 通常矩阵的 乘法）是乘法群。称为 一般线性群 .－－ general linear group 简记为 GL n (F). 而 SL n (F)＝｛ A ∈ M n (F) detA ＝1 ｝ 称为特殊线性群－－ Special Linear group
对高等代数的理解和认识
对高等代数的理解和认识高等代数是数学中的一门重要学科，它研究的是代数结构和其上的运算法则。
通过高等代数的学习，我们可以更深入地理解和认识数学的抽象思维和逻辑推理能力。
高等代数不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
高等代数的核心概念是代数结构。
代数结构是指在一个非空集合上定义了一些运算法则的数学结构。
常见的代数结构包括群、环、域等。
这些代数结构的研究不仅可以帮助我们理解数学中的各种数系统，还可以应用于其他学科，如物理学、经济学等。
通过研究代数结构，我们可以发现它们之间的内在联系和相互作用，从而深入理解数学的基本原理和推理方法。
高等代数的学习对于培养抽象思维和逻辑推理能力非常重要。
在高等代数中，我们需要将具体的问题抽象化，将问题中的各个要素用符号表示，并通过符号之间的关系来解决问题。
这种抽象思维和逻辑推理能力对于解决实际问题和思考抽象概念非常有帮助。
通过高等代数的学习，我们可以培养和提高自己的抽象思维和逻辑推理能力，从而在其他学科和实际生活中更好地应用数学的方法和思维方式。
高等代数的学习还可以帮助我们理解和解决实际问题。
在实际生活中，我们经常会遇到各种复杂的问题，而高等代数提供了一种解决这些问题的有效方法。
通过代数的符号和运算法则，我们可以将实际问题转化为代数方程或不等式，然后通过代数运算来解决这些方程或不等式，最终得到问题的解答。
高等代数的学习可以帮助我们掌握这种问题解决方法，提高我们解决实际问题的能力。
高等代数还与其他学科有着密切的联系。
在物理学中，很多物理规律和现象可以通过高等代数的方法进行描述和解释。
在经济学中，高等代数的工具可以用来分析市场供需关系、经济增长模型等经济现象。
在计算机科学中，高等代数的概念和方法可以应用于编程和算法设计。
通过将高等代数与其他学科相结合，我们可以更好地理解和应用高等代数的知识。
高等代数是一门重要的数学学科，它不仅仅是一种学科知识，更是一种思维方式和解决问题的工具。
高等代数(绪论)讲解课件
目录
• 高等代数的定义与重要性 • 高等代数的历史与发展 • 高等代数的应用领域
• 高等代数的基本定理与性质 • 高等代数的解题方法与技巧
高等代数的定义与重要性
高等代数的定 义
• 高等代数的定义：高等代数是数 学的一个重要分支，主要研究向 量空间、线性变换、线性方程组、 矩阵理论等抽象代数结构。它建 立在中学代数的初等代数基础之 上，引入了更为抽象的概念和性 质。
机械工程是设计和制造各种机械系统 的科学。高等代数中的许多概念和工 具，如向量空间和线性映射等，在机 械工程中有着广泛的应用。例如，在 机构学中，我们使用向量和矩阵来表 示和分析机械系统的运动。
计算机科学是研究计算机的一门科学。 高等代数中的许多概念和工具，如模、 张量和外代数等，在计算机科学中有 着广泛的应用。例如，在密码学中， 我们使用模和同余来加密和解密信息。
物理领域的应用
量子力学
量子力学是描述微观粒子行为的一门科 学。高等代数中的许多概念和工具，如 张量和外代数等，在量子力学中有着广 泛的应用。例如，在量子力学中，我们 使用张量来表示和操作量子态。
VS
理论物理
理论物理是研究物理现象的一门科学。高 等代数中的许多概念和工具，如群论和环 论等，在理论物理中有着广泛的应用。例 如，在粒子物理学中，我们使用群论来表 示和分析粒子的对称性。
高等代数的基本概念
向量与向量空 间
向量与向量的模
向量是具有大小和方向的几何实体。 向量的模是衡量其大小的一个度量。
向量空间
线性组合与线性无关
线性组合是向量空间中向量的一种运 算，线性无关则描述了向量集合的一 种性质。
向量空间是一个由向量构成的集合， 满足一定的封闭性和结合性。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，它主要研究了代数结构及其相关性质。
下面是关于高等代数的一些常见知识点的总结。
1.环论：环是一种代数结构，它包含了一个集合以及对于这个集合中的元素定义的加法和乘法运算。
环的一些基本概念包括单位元、零元、可逆元、交换性、零因子、整环等。
环论研究了环的性质、子环、理想、同态等内容。
2.域论：域是一个包含了加法和乘法运算的交换环，且除了零元以外的所有元素都有乘法逆元。
域的一些基本概念包括素域、代数闭域、有限域等。
域论研究了域的性质、子域、扩域、代数元、素元、不可约多项式等内容。
3.矩阵论：矩阵是一个有限个数按一定顺序排列的数构成的数组，在高等代数中起到了很重要的作用。
矩阵的一些基本运算包括矩阵的加法、乘法、转置、逆等。
矩阵论研究了矩阵的行列式、特征值、特征向量、秩、相似矩阵等内容。
4.向量空间：向量空间是一个满足一定性质的集合，其中的元素称为向量。
向量空间的一些基本概念包括线性组合、线性相关性、线性独立性、子空间、基、维数等。
向量空间论研究了向量空间的性质、线性变换、内积空间、正交性、最小二乘法等内容。
5.线性代数：线性代数是研究向量、矩阵和线性方程组等问题的一门学科，它是高等代数的一个重要分支。
线性代数的一些基本概念包括线性变换、行列式、特征值、特征向量等。
线性代数研究了线性方程组的解的存在唯一性、线性变换的特征值分解、矩阵的相似对角化等内容。
6.线性空间：线性空间是一个满足一定性质的集合，其中的元素称为向量。
线性空间的一些基本概念包括线性组合、线性相关性、线性独立性、子空间、基、维数等。
线性空间论研究了线性空间的性质、线性变换、内积空间、正交性、最小二乘法等内容。
7.线性映射：线性映射是一个保持线性结构的映射，也就是满足线性变换的条件。
线性映射的一些基本概念包括核、像、像空间、零空间等。
线性映射论研究了线性映射的性质、线性变换的特征值分解、线性方程组的解的唯一性等内容。
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初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。
发展到这个阶段，就叫做。
是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。
现在大学里开设的，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。
在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。
向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。
发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。
人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。
三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。
到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。
既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。
阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。
后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。
伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。
伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。
他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。
有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。
公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。
我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。
”伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。
他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。
随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。
伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。
从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。
在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。
的基本内容代数学从总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。
代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。
虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括
为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。
比如群、环、域等。
多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。
多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。
研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。
多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。
这些大体上和中学代数里的内容相同。
多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。
解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。
我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。
德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。
行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。
行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。
因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。
矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。
矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。
代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。
比较重要的代数系统有群论、环论、域论。
群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。
现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。
与其他学科的关系代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。
那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。
尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。
这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。
代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。
其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。
代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。