高等代数最重要的基本概念汇总

第一章 基本概念

1.5 数环和数域

定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab

都在S 内，那么称S 是一个数环。

定义2 设F 是一个数环。如果

（i ）F 是一个不等于零的数； （ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，

a

F b

∈，那么就称F 是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。

第二章 多项式

2.1 一元多项式的定义和运算

定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式

()1 2012n

n a a x a x a x ++++L ，

是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。

项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i

i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。

定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数

为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等

()()f x g x =

定义3 n

n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作

多项式2012n

n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的次数。

定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0

max ,;f x g x f x g x ∂

+≤∂∂

()ii ()()()()()()()0

f x

g x f x g x ∂

=∂+∂。

多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：

()()()()f x g x g x f x +=+；

2） 加法结合律：

()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++；

3）乘法交换律：

()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：

()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =；

5） 乘法对加法的分配律：

()()()(

)

()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。

推论2.1.1 ()()0f x g x = 当且仅当()f x 和()g x 中至少有一个是零多项式 推论2.1.2 若()()()()f x g x f x h x =，且()0f x ≠，那么()()g x h x =

2.2 多项式的整除性

设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环

定义 令()f x 和()g x 是数域F 上多项式环[]f x 的两个多项式。如果存在[]f x 的多项式

()h x ，使()()()g x f x h x =，我们说，()f x 整除（能除尽）()g x 。

多项式整除的一些基本性质：

1） 如果()()f x g x |，()()g x h x |，那么()()f x h x |

2） 如果()()h x f x |，()()h x g x |，那么()()()()

h x f x g x |±

3） 如果()()h x f x |，那么对于[]f x 中的任意多项式()g x 来说，()()()h x f x g x | 4） 果()(),1,2,3,,,i h x f x i t |=L 那么对于[]f x 中任意()1,2,3,,,i g x i t ,=L ()()()()()()()()

1212i i h x f x g x f x g x f x g x |±±±L 5） 次多项式，也就是F 中不等于零的数，整除任意多项式。

6） 每一个多项式()f x 都能被()cf x 整除，这里c 是F 中任意一个不等于零的数。 7） 如果()()f x g x |，()()g x f x |，那么()()f x cg x =，这里c 是F 中的一个不等于

零的数

设()f x ，()g x 是两个任意的多项式，并且()0g x ≠。那么()f x 可以写成以下形式

()()()()f x g x q x r x =+，这里()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数。

定理2.2.1 设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，并且()0g x ≠。那么在[]f x 中

可以找到多项式()q x 和()r x ，使

（3）

()()()()

f x

g x q x r x =+

这里或者()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数，满足以上条件的多项式

()()q x r x 和只有一对。

设数域F 含有数域F 而()f x 和()g x 是[]f x 的两个多项式，如果在[]f x 里()g x 不能整除()f x ，那么在[]F x 里()g x 也不能整除()f x 。

1） 定义1 假定()h x 是()f x 和()g x 的任一公因式，那么由

()()()()()()()()()()()

32112111,

,

k k k k k k k k k k r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x -------+=+=+=

中的第一个等式，()h x 也一定能整除()1r x 。同理，由第二个等式，()h x 也一定能整除()2r x 。如此逐步推下去，最后得出()h x 能整除()k r x ，这样，()k r x 的确是()f x 和()g x 的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。 定义 2 设以()g x x a =-除()1

110n

n n n f x a x a x

a x a --=++++L 时，所得的商

()121210

n n n n q x b x b x b x b ----=++++L 及余式

()0

r x c =，

比

较

()()()()

f x

g x q x r x =+两端同次幂的系数得1n n b a -=，211n n n b a ab ---=+，…

011b a ab =+，000c a ab =+，这种计算可以排成以下格式

()

1

2011

2

1

12

3

00

))))n n n

n n n n n n a a a a a a

ab ab ab ab b a b b b c -------++++=∣

L L L

用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。

2.3 多项式的最大公因式

设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环