高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9_1基本概念
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《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)
例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
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直积 A B (x , y) x A, y B
B ABAc
y
特例: R R 记 R2
为平面上的全体点集
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B AB
OA x
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二、 映射
引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
y 1 x
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(Leabharlann 1 2)21 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
B ABAc
y
特例: R R 记 R2
为平面上的全体点集
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B AB
OA x
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二、 映射
引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
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引例2.
引例3.
(点集) (点集)
向 y 轴投影
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
y 1 x
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(Leabharlann 1 2)21 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高数(同济第六版)第九章总结
4
③当 AC
时，不能判断
2、条件极值，拉格朗日乘数法：
①构造 L(x,y)=f(x,y)+ (x,y)[其中，f 为原函数， 为条件]
② (x0,y0)+
=0
(x0,y0)+
=0
(x0,y0)=0
5
1、方向导：
2、梯度：
=
3、 =(
) 其中 为方向角，
记某点
处的方向导为 记梯度为
则
[其中
]
① =0 时，f 增长最快
② = 时，f 增长最慢
③ = 时，f 不变
第八节 多元函数的极值及其求法
1、极值存在 必要条件： ，
充要条件：有
C
①当 AC
A>0 时，有极小值
A<0 时， 有极大值
②当 AC <0 时，无极值
1、 偏导的符号不可拆
2、 偏导数的几何意义
第三节 全微分
1、 全增量： z=f(x+ x,y+ y)-f(x,y)
可表示为： z=A x+B y+o( )[其中 o( )=
]
2、全微分：
[其中
]
3、全微分存在条件： 4、各个关系
函数连续
互推不出
推不出
推不出
函数可导
推得出
函数可导
推
推
得
不
出
出
推得出
偏导连续
记 Jacobi 式：J=
(在解方程组式的隐函数时，可用可不用 Jacobi 式) 第六节 多元函数微分学几何应用
1、
3
[称其为一元向量值函数] 2、空间曲线的切线与法平面
高等数学(同济大学第六版)第9章多元函数微分法小结
法平面方程为
⎧x = x ⎧ F ( x, y , z ) = 0 ⎪ 情况 2．若空间曲线的方程为： ⎨ ，可化为情况 1 的形式为 ⎨ y = y ( x ) , 可得曲线在 ⎩G (x, y, z ) = 0 ⎪ z = z (x ) ⎩
y 0 = f ( x0 ) ,并有
F' dy = − x' . dx Fy
高等数学 -4-
高等数学阶段小结
第九章多元函数的微分法及其应用
2)一个三元方程确定一个二元隐函数的情形 设 函 数 F ( x, y , z ) 在 点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 的 偏 导 数 , 且
Fy' Fx' ∂z ∂z =− ' , =− ' . ∂x Fz ∂y Fz
3)一个四元方程组确定两个二元隐函数的情形 设 F ( x, y , u , v ) 、 G ( x, y , u , v ) 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v0 ) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 , 又
Gu' Gv'
Gu' Gv'
Fy' Fv'
' Gy Gv' 1 ∂ (F , G ) ∂u =− =− ' ' ∂y J ∂ ( y, v ) Fu Fv
Fu' Fy
,
' Gu' G y ∂v 1 ∂ (F , G ) =− =− ' ' ∂y J ∂ (u, y ) Fu Fv
'
Gu' Gv'
Gu' Gv'
高等数学-第9章 - (多元复合函数的求导法则)PPT课件
v y
f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 分线相加,连线相乘 : •精选PPT课件
•13
例
设 z xsinx , 求 d z .
dx
解 令 z xy , ysinx, 则
x
dz z z dy dx x y dx
且作微分运算的结果对自变量的微分 d,xd,yd,z
来说是线性的，从而为解题带来很多方便，而 且也不易出错。
•精选PPT课件
•25
例 设 zeusinv, uxy, vxy,
应用全微分形式不变性求 z ， z 。 x y
解
dzzduzdv u v
与
dz
z d x z d y 比较, 得 x y
eusivn (ydxxdy)eucov(sdxdy)
e x[y ysix n y ) (co x y s)d (]x
e x[y xsix n y ) (co x y s)d (]y
z exy[ y sin( x y) cos(x y)] x
•精选PPT课件
•26
例
设 zeusinv, uxy, vxy,
•精选PPT课件
•3
• 第九章 多元函数微分学
▫ 9.1 多元函数的基本概念 ▫ 9.2 偏导数 ▫ 9.3 全微分 ▫ 9.4 多元复合函数的求导法则 ▫ 9.5 隐函数的求导公式 ▫ 9.6 多元函数微分学的几何应用 ▫ 9.7 方向导数与梯度 ▫ 9.8 多元函数的极值 ▫ 9.9 综合例题
w , f1 , f2
解: 令u x y z , v xyz , 则
高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9_7方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第九章
三、物理意义
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结束
一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
q e q e E r grad u 2 r 4 π r 4 π r
这说明场强: 垂直于等势面,
且指向电势减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
f f f G , , x y z
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作 grad f (P), 或 f (P), 即
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u ln(x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 其单位向量为
一、方向导数 二、梯度
第九章
三、物理意义
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一、方向导数
定义: 若函数 f ( x, y, z ) 在点 P( x, y, z ) 处
l
沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: f lim
0
P
P( x, y, z )
f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) 记作 f lim l 0
q e q e E r grad u 2 r 4 π r 4 π r
这说明场强: 垂直于等势面,
且指向电势减少的方向.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
当 l 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值： f G max l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
f f f G , , x y z
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作 grad f (P), 或 f (P), 即
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u ln(x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 其单位向量为
同济大学《高等数学》第六版：D9_9二元泰勒公式共18页
Байду номын сангаас
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
同济大学《高等数学》第六版： D9_9二元泰勒公式
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
9-1二重积分的概念与性质
d ab e
.
高等数学（下）
例 2
估计 I
D
d x y 2 xy 16
2 2
的值，
其 中 D ： 0 x 1,
0 y 2.
解 f ( x, y)
1 ( x y ) 16
2
, 区 域 面 积 2,
1 4 ( x y 0)
D
f ( x , y ) d .
高等数学（下）
性质 5 设 M
m
、m 分 别 是 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D
上 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 为 D 的 面 积 ， 则
D
f ( x , y ) d M （二重积分估值定理）
性质 6 设 函 数 f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 连 续 ，
2
1
D
o
1
2
x
因此
ln(
D
x y ) d [ln( x y )] d .
2 D
高等数学（下）
例5 设D是第二象限中的有界闭区域，且 0＜y＜1
记 I 1
D
yx dxdy , I 2
3 1
D
y x dxdy ,
2
3
I3
D
y x dxdy
2
3
则I1，I2，I3 的大小顺序是
i1
高等数学（下）
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时 ， 和式的极限存在 ， 称此极限为 函数 f ( x, y) 这 则 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 即
高数第9章微分方程讲义
������2 ������ ������������2
= −0.4, ������(0) = 0, ������′ (0) = 20.
于是������ = ������′ (������) = −0.4������ + ������1 , ������ = ������(������) = −0.2������2 + ������1 ������ + ������2 ,代入初始条件得������2 = 0, ������1 = 20,于是列车 的运动方程为������ = −0.2������2 + 20������,列车停住意味着速度������′ (������) = −0.4������ + 20 = 0,那么������ = 50(������) 将刹车所用的时 间50������ 代入运动方程， 则走过的路程为������(50) = −0.2 × (50)2 + 20 × 50 = 500(������). 从以上两个例子可以看到方程中含有未知函数的导数， 于是我们称含有未知函数的导数或微分的方 程叫微分方程， 习惯上记作
������ 3 1−2������������ 2 ;
������������ (2)������2 + ������������ 2 = 0, 2������ + ������ 2 + 2������������ ������������ = 0.
4.证明： 若曲线上任意点的切线的斜率与该点的横坐标成比例， 则曲线一定是抛物线������ = ������������2 + ������ .
������������ 解: ������������ ������������ = −������������, ������ (0) = ������0 ,其中������ > 0,显然这是因为 ������������ < 0. ������������ ������
= −0.4, ������(0) = 0, ������′ (0) = 20.
于是������ = ������′ (������) = −0.4������ + ������1 , ������ = ������(������) = −0.2������2 + ������1 ������ + ������2 ,代入初始条件得������2 = 0, ������1 = 20,于是列车 的运动方程为������ = −0.2������2 + 20������,列车停住意味着速度������′ (������) = −0.4������ + 20 = 0,那么������ = 50(������) 将刹车所用的时 间50������ 代入运动方程， 则走过的路程为������(50) = −0.2 × (50)2 + 20 × 50 = 500(������). 从以上两个例子可以看到方程中含有未知函数的导数， 于是我们称含有未知函数的导数或微分的方 程叫微分方程， 习惯上记作
������ 3 1−2������������ 2 ;
������������ (2)������2 + ������������ 2 = 0, 2������ + ������ 2 + 2������������ ������������ = 0.
4.证明： 若曲线上任意点的切线的斜率与该点的横坐标成比例， 则曲线一定是抛物线������ = ������������2 + ������ .
������������ 解: ������������ ������������ = −������������, ������ (0) = ������0 ,其中������ > 0,显然这是因为 ������������ < 0. ������������ ������
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y ex ex
y ch x
O
x
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又如, y f (x) ex ex
y 奇函数 ex ex
2
y sh x
记
sh x 双曲正弦
Ox
再如,
y
sh x ch x
e e
x x
e e
x x
奇函数
y
记
th x 双曲正切
说明: 给定 f (x), x (l, l)
1 y th x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
高等数学第六版上下册同济大学出 版社
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k π (k 0, 1, 2,) v x , x (, )
2
可定义复合函数:
k Z
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
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1 y
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin( x 2 y 2 z 2 ) 定义域为 单位闭球
O
O
x
y
图形为
空间中的超曲面.
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则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心 邻域
P D Rn
常用
二元函数 (图形一般为空间曲面)
三元函数
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3. 多元函数的极限
P P0
lim f ( P) A
ε 0 , δ 0 , 当0 PP0 δ 时， 有 f ( P) A ε
4. 多元函数的连续性 1) 函数 f ( P) 在 P0 连续 有界定理 ; 最值定理 ;
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
y kx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .
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例4. 求
此函数定义域 不包括 x , y 轴
解: 因 x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 ) 2 , 令 r 2 x 2 y 2 , 则 4
4 (1 cos r ) r6
第九章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
第九章
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
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一、 区域
1. 邻域 点集
PP0 δ 称为点 P0 的 邻域.
例如,在平面上,
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) , P D 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
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例如, 二元函数 z
1 x y
2
2
z
O x
z
定义域为 圆域 ( x, y ) x 2 y 2 1 图形为中心在原点的上半球面.
定义: x y ( x1 y1 , x2 y2 ,, xn yn ) 线性运算 x ( x1 , x2 , , xn ) 定义了线性运算的 R n 称为 n 维空间, 其元素称为点或 n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.
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U ( P0 , δ ) ( x, y )
在空间中, U ( P0 , ) ( x, y, z )
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ) . 点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
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在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆
不同.
如果它们都存在, 则三者相等.
仅知其中一个存在, 推不出其他二者存在.
例如,
x 0 y 0
显然
lim lim f ( x, y ) 0 ,
例3
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
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四、 多元函数的连续性
定义3 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚点 P0 D ,
P129 题 *4. 令 y= k x ， 2 xy kx lim 2 lim 4 4 2 0 x 0 x y x 0 1 k x
y 0
D 1 x
可见极限
xy x2 1 若令 y x , 则 lim 2 4 lim 2 x 0 x y x0 2 x 2
y 0
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P ), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U ( P0 , δ ) , 都有
记作
P P0
则称 A 为函数
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
又如, 函数
例如, 函数
在圆周 x 2 y 2 1 上间断.
结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.
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闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则
(有界性定理)
(2) f ( P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
如果存在
P P0
lim f ( P) f ( P0 )
则称 n 元函数 f ( P) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
连续.
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xy , x2 y2 0 2 f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
R 中两点 x ( x1,, xn ), y ( y1 ,, yn x1, x2 ,, xn ) 与零元 0 的距离为
2 2 x x12 x2 xn
当 n 1, 2, 3 时, x 通常记作 x .
R n中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0, 则称 x 趋于a , 记作 x a. 设 a (a1 , a2 , , an )
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2
不存在
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作 业
P61 5 (2), (4), (6)
P P0
lim f ( P) f ( P0 )
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
介值定理
3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
思考与练习 P61 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P129 题 3; *4
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解答提示:
P61 题 2. 称为二次齐次函数 .
2 2
( x y 0)
2 2
x 0 y 0
要证
证:
ε
ε 0 , δ
ε , 当 0 x 2 y 2 δ 时, 总有
x2 y2
故
x 0 y 0
lim f ( x, y ) 0
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x sin 1 y sin 1 , x y 0 y x 例2. 设 f ( x, y ) 0 , xy 0 lim 求证： f ( x, y ) 0 .
2 2
arcsin(3 x 2 y 2 ) x y
2
的连续域.
解:
3 x y 1
x y2 0 2 2 2 x y 4 2 x y
y O
2
2
x
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内容小结
1. 区域 • 邻域 : U ( P0 , δ ) , U ( P0 , δ ) • 区域 连通的开集 • R n空间 2. 多元函数概念 n 元函数 u f (P) f ( x1 , x2 ,, xn )
2
4(1 cos r 2 ) 2 r4 而 lim lim 6 r 0 r 0 r r6
故
r4 1 cos r 2 ~ 2
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注. 二重极限 lim f ( x, y ) 与累次极限 lim lim f ( x, y )
x x0 y y0
x x0 y y 0
x 0 y 0
证： f ( x, y ) 0 x y
要证
ε
ε 0, δ ε 2 , 当 0 ρ x 2 y 2 δ 时， 总有
lim f ( x, y ) 0
故
x 0 y 0
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若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .
邻域可以互相包含.
。
P0
平面上的方邻域为
U ( P0 , δ ) ( x, y )
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2. 区域 (1) 内点、外点、边界点
设有点集 E 及一点 P :
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,