9-6多元函数微分学在几何上的应用
数二考多元函数微分学的几何应用
数二考多元函数微分学的几何应用微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
而多元函数微分学则是微分学的一个延伸，研究的是多个变量的函数的变化规律。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用，尤其在几何学中，可以帮助我们揭示图形的性质和变化规律。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面上的曲线，我们想要研究它的切线方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲线上任意一点的切线方程。
具体的方法是，首先求出曲线的导数，然后将导数代入切线方程的一般式中，即可得到切线方程。
这样，我们就可以通过切线方程来描述曲线的变化情况了。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个三维空间中的曲面，我们想要研究它的切平面方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲面上任意一点的切平面方程。
具体的方法是，首先求出曲面的偏导数，然后将偏导数代入切平面方程的一般式中，即可得到切平面方程。
这样，我们就可以通过切平面方程来描述曲面的变化情况了。
除了切线方程和切平面方程，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲线的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲率可以通过求曲线的二阶导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲线的一阶导数和二阶导数，然后将导数代入曲率公式中，即可得到曲线的曲率。
通过研究曲线的曲率，我们可以揭示曲线的弯曲情况和变化规律。
同样地，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲面的曲率。
曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲面的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲面的曲率可以通过求曲面的二阶偏导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲面的一阶偏导数和二阶偏导数，然后将偏导数代入曲率公式中，即可得到曲面的曲率。
通过研究曲面的曲率，我们可以揭示曲面的弯曲情况和变化规律。
除了切线方程、切平面方程和曲率，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的极值。
极值是描述函数在某个区间内取得最大值或最小值的点，可以帮助我们了解函数的最优解。
8多元函数微分学专题解析
专题七：多元函数微分学【大纲要求】1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．会用隐函数的求导法则.6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.【知识要点】1.多元函数及其极限与连续：1.1 二元函数的定义：设D 为一平面点集，若()D y x ∈∀,，变量z 按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作()y x f z ,=。
1.2 二元函数的极限：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果,0,0>∃>∀δε当()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,，则称函数()y x f z ,=当()y x ,趋于()00,y x 时极限为A ，记作()A y x f y y x x =→→,lim0,。
1.3 二元函数的连续性：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内有定义，且()()00,,,lim0y x f y x f y y x x =→→，则称函数()y x f z ,=在点()00,y x 连续。
2. 多元函数的偏导数与全微分：2.1 偏导数： 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 对x 的偏导数,记为;),(00y x x z ∂∂;),(00y x x f∂∂),(00y x f x 。
第9章多元函数微分法及其应用课本基础知识
本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。
如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。
6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。
可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。
7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。
定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。
无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。
如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。
解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。
趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。
16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
(完整word版)多元函数微分学及其应用归纳总结,推荐文档
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。
✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y →+=+例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数222222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。
例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1． 讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
多元函数微分学的几何应用.ppt
(x1)2(y1)3(z1)0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 即x2y3z6
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
讨论:
1 若曲线的方程为y(x), z(x), 则切向量T?
2 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 提示:
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
例1 求曲线xt, yt2, zt3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面 方程
解 点(1, 1, 1)所对应的参数t1 因为 xt1, yt2t, zt3t2, 所以切向量为T(1, 2, 3) 于是, 切线方程为
2dyddyxdzddxz11 dx dx
(x1)0(y2)(z1)0, 即 xz0
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二、曲面的切平面与法线
设M0(x0, y0, z0)是曲面: F(x, y, z)0上的一点, 是曲面 上过点M0的任意一条曲线, 其参数方程为
x(t), y(t), z(t),
tt0对应于点M0(x0, y0, z0) 因为曲线在曲面上, 所以有
F[(t),(t),(t)]0
等式的两边在tt0点求全导数得
Fx(x0, y0, z0)(t0)Fy(x0, y0, z0)(t0)Fz(x0, y0, z0)(t0)0
多元函数微分学的几何应用
f (x, y) −z = 0
令 F(x, y, z) = f (x, y) − z 则 曲 ∑ 方 为 F(x, y, z) = 0 面 的 程 :
∴n = F (x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), F (x0, y0, z0) ) ( x z
= ( fx (x0, y0) , f y(x0, y0) ,−1 ) 即 n =( fx(x0, y0), f y(x0, y0),−1 )
即
dz dy y dx + z dx = −x dy dz + = −1 dx dx
解得
−x z dy −1 1 = y z dx 1 1
y −x
z −x = y−z
dz 1 −1 = y z dx 1 1
x− x− y = y−z
dz , dx )
∴T =
=
(1 ,
dy dx
|(1 −2,1) ,
切平面及法线方程. 解: 令 (x, y, z) = x2 + y2 + z2 −14 F
F = 2x ， y = 2y ，F = 2z F x z r ∴ n = (Fx, Fy, Fz ) = (2x,2y,2z) r ∴ n (1,2,3) =(2,4,6)
∴在 (1,2,3)处球 的 平 方 为 点 , 面 切 面 程
F (x0, y0, z0) Fy(x0, y0, z0) F (x0, y0, z0) x z
曲 Σ在 M 切 面 法 量 为 面 点 的 平 的 向 称 曲 Σ在 M 法 量 面 点 的 向 .
2. 面 的 程 : z = f (x, y) , M(x0, y0, z0)∈Σ 曲 ∑ 方 为
多元函数微分学的几何应用
特别, 特别 当光滑曲面∑ 的方程为显式
时, 令
F(x, y, z) = f (x, y) − z 则在点 (x, y, z),
故当函数 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
Σ 在点( x0 , y0 , z0 ) 有
法向量
n = ( f x (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 ), −1)
x = x Γ : y = ϕ(x) z =ψ (x)
x − x0
1
y − y0 z − z0 = = ϕ′( x0 ) ψ ′( x0 )
( x − x0 ) + ϕ′ ( x0 )( y − y0 ) +ψ ′ ( x0 )(z − z0 ) = 0
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y x 例：求曲线 = x2 , z = x3上与平面 + 2 y + z = 4平行的 切线方程。 切线方程。 v ′ , z′ ) = (1,2x,3x2 ) T 切线的方向向量 = (1, yx x 解： v 因为切线与平面平行， 因为切线与平面平行， 且平面的法向量 n = (1,2,1) r r 所以， 所以，T ⋅ n = 0 即 ×1 + 2x × 2 + 3x2 ×1 = 0 1 1 2 解得， 解得，x1 = − , x2 = −1 即3x + 4x + 1 = 0 3 1 1 1 1 ( 当x1 = − 时，切点为− , ,− ) 3 3 9 27 3x + 1 9 y − 1 27z + 1 切线方程为 = = 1 3 −2 ( 当x1 = −1时，切点为−1,1,−1) x +1 y −1 z +1 切线方程为 = = 1 3 −2
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
微积分第八章
利用函数全增量的概念，连续定义可用另一种形式表述.
三、 二元函数的连续性
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， 当自变量x,y分别由x0变到x0+Δx，y0变到y0+Δy时， 函数z=f(x,y)有增量
f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0) 称其为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量，记 为Δz，即
P0(x0,y0)处连续.
如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续，则称函数
z=f(x,y)在区域D内连续.
三、 二元函数的连续性
对于闭区域上的连续函数z=f(x,y)，则要求
函数z=f(x,y)在区域D内和边界上都连续.当点
P0(x0,y0)
D
中的P→P0是指P在区域D内所取的路线趋近于点
P0(x0,y0)，极限中满足0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ
图 8-7
一、多元函数的概念
定义域D就是曲面在xOy面上的投影区域. 例如，函数z=a2－x2－y2(a>0)的图形是球心在原点、 半径为a的上半球面(见图8-8).
图 8-8
二、 二元函数的极限
与一元函数情况类似，对于二元函数z=f(x,y)，我们 需要考察当自变量x,y无限趋近于常数x0,y0时，即当点 P(x,y)无限逼近于点P0(x0,y0)时，对应的函数值的变化趋 势，这就是二元函数的极限问题.
多元函数微分法和应用
第8章多元函数微分及其应用第一卷研究一元函数的微分方法。
利用这些知识，我们可以求出直线上质点运动的速度和加速度，也可以求出曲线切线的斜率。
还不够，因为一元函数只研究由一个因素决定的事物。
一般来说，对自然现象的研究总是离不开时间和空间。
需要三个坐标来确定空间中的点。
因此，一般物理量往往取决于四个变量。
在某些问题中，需要考虑更多的变量。
这样，就有必要研究多元函数的微分。
多元函数微分是一元函数微积分的扩展，所以多元函数微积分与一元函数微积分有很多相似之处，但也有很多不同之处。
学生在学习这部分时要特别注意他们的差异。
地方。
一、教学目标和基本要求(1)了解多元函数的概念。
(2)了解两个变量的函数的极限和连续性的概念，与有界封闭区域上的连续函数的性质有关。
(3)了解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充要条件，并在近似计算中应用全微分。
(4)了解方向导数和梯度的概念，掌握它们的计算方法。
(5)掌握复合函数一阶和二阶偏导数的计算方法。
(6)找到隐函数的偏导数，包括那些由方程组确定的函数。
(7)了解曲线的切面和法线以及曲面的切面和法线，掌握它们的方程。
(8)理解多元函数极值的概念，找出函数的极值。
了解条件极值的概念，利用拉格朗日乘子法求条件极值，解决一些比较简单的最大值和最小值的应用问题。
二、教学内容及课时分配：第 1 节多元函数的基本概念 2 小时第二部分偏导数 1 学分第三个全差1学分第 4 节多元复合函数的导数规则 2 小时练习课2小时第五节隐函数2小时的推导公式第六节多元函数微积分的几何应用2学分第七节方向导数和梯度 2 学分第 8 节多元函数的极值及其方法 2 小时练习课2小时三、教学内容的重点和难点：强调：1．多元函数的极限和连续性；2．偏导数的定义；总微分的定义3．多元复合函数的推导规则；隐函数的推导规则4．方向导数和梯度的定义5．如何找到多元函数的极值和最大值困难：1．多元函数微分的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、连续性的关系偏导数；2．在多元复合函数的求导规则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的推导规则；4．梯度大小和方向的重要性；5．如何找到条件极值四、教学内容的深化与拓宽：1．多元函数微积分几个概念的深厚背景；2．多元复合函数求导法则的应用；3．由方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微积分的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，从而得到梯田的概念6．利用多元函数微积分的知识研究无条件极值和条件极值。
多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
第六章-多元函数微分学基础
z
V
O
y
V
V
V
x
图6-3 八卦限示意图
下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）
设M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)和M
2
(
x2
,
y2
,
z2
)为空间两点,
则点M
1与M
间的
2
距离为
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (6-1)
例1 在x轴上求一点P,使它到点A(3,2, 2)的距离为3.
0和G(x, y, z) 0是两个曲面方程,它们交线上的每一点的坐标
都同时满足上述两个曲面方程;反过来,曲时满足上述两个曲面
方程的点都在这条交线上.因此,联立方程组
z
F(x, y, z) 0
L
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
叫做空间曲线L的一般方程
由两点距离公式知
M1M (x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 M 2M (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2 又因为 M1M M 2M ,故知
(x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2
称上式为平面的一般方程,式中,A, B,C, D分别为变量x, y, z的系数; D为常数 Nhomakorabea.z
p3 c
例2 求过点P1(a, 0, 0), P2 (0,b, 0),
P3 (0, 0, c)的平面方程(其中a,b, c 0)
(见图6 5)
p1 a
《高等数学CII》课程教学大纲
课堂讲授
习题9.3：1、2、3、4、7；
习题9.4：8、11、12（3）（4）；
习题9.5：2、4、6、10（1）（2）
5
§9.6多元函数微分学在几何中的应用；§9.7方向导数与梯度
§9.8多元函数的极值
6
重点：曲线上一点处的切向量；
曲面上一点处切平面的法向
6
重点：常数项级数的性质；正项级数的审敛法。
难点：常数项正项级数的审敛法；绝对收敛与条件收敛。
课堂讲授
习题12.1：2、3；
习题12.2：1、2、4、5
15
§12.3幂级数；§12.4函数展成幂级数
6
重点：幂级数的收敛域与收敛半径；函展成幂级数。
难点：用间接法将函数展开为幂级数；幂级数的和函数的求法；泰勒级数。
4.培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
理论教学进程表
周次
教学主题
教学时长
教学的重点与难点
教学方式
作业安排
1
第8章§8.1向量及其线性运算；§8.2向量的数量积与向量积；
§8.3平面及其方程
6
重点：向量的数量积与向量积；平面的点法式方程。
难点：向量的向量积。
课堂讲授
习题8.1：15、17；习题8.2：1、2、3、9；
17
第12章习题 课；全面总复习
6
课堂讲授；第12章习题讨论课
合计：
102
成绩评定方法及标准
考核内容
评价标准
权重
完成作业
分A 、B、 C三级；缺交一次扣2分，最多扣20分
10%
到堂情况
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
上一页 下一页 返 回
• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页 下一页 返 回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
多元函数微分学的几何应用
t t0
向量值函数极限存在、连续、可导 的充分必要条件
向量值函数f ( t )当t t0时的极限存在的充分必要条件是： 在函数f ( t )当t t0时的极限存在时，其极限 lim f ( t ) lim f 1 ( t )， lim f 2 ( t )， lim f 3 ( t )
t t0 t t0 t t0 t t0
f ( t )的三个分量函数f1 ( t )，f 2 ( t )，f 3 ( t )当t t 0时的极限存在；
（5 ）
向量值函数f ( t )在点t0的某一邻域内有定义，若 lim f ( t ) f ( t0 )
t t0
则称向量值函数f ( t )在点t0 连续.
二、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 假定(t), (t), (t)都在[, ]上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方 程为 x x y y zz
(t0 ) (t0 ) (t0 )
0
0
0
定义2 向量值函数f ( t )在点t 0的某一邻域内有定义，如果 f ( t 0 t ) f ( t 0 ) lim t 0 t 存在,那么就称这个极限向量为向量值函数r f ( t )在t 0处
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最后，我们再讨论由一般式(交面式)方程 所给出的曲线的切线与法平面的求法．
G 设有曲面 1： ( x , y, z ) 0， 2： ( x , y , z ) 0， F
F ( x, y, z ) 0 求其交线 ： 上点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处 G ( x , y , z ) 0
2 x y 4 0， x 1 y 2 z 0 ， 法线方程为 2 1 0 x 2y 3 0 或 ． z0
如果曲面方程的形式为 z f ( x , y )，
则令 F ( x , y , z ) f ( x , y ) z， 故 n f x , f y ,1，
2 2
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) ( z 4) 0，
4 x 2 y z 6 0， 法线方程为 x 2 y 1 z 4 . 4 2 1
例 4 求曲面 x 2 2 y 2 3 z 2 21 平行于平面
x 4 y 6 z 0 的切平面方程. ( 与 03 考题类同) 解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为所求切平面的切点，
那么曲面在点 M 处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z0 ) 0，
曲面在点 M 处的法线方程为 x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
x(0) 1，y(0) 2， z(0) 3， x 0 y 1 z 2 ， 故所求切线方程为 1 2 3 法平面方程为 x 2( y 1) 3( z 2) 0，
即 x 2 y 3z 8 0 .
y y( x ) 特别地，如果空间曲线方程为 ， z z( x ) 则曲线上点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的切线方程为
F ( x, y, z ) 0 曲线 ： 在点 M 处的切线方程为 G ( x , y , z ) 0 F F F ( x ) M ( x x 0 ) ( y ) M ( y y0 ) ( z ) M ( z z 0 ) 0 ( G ) ( x x ) ( G ) ( y y ) ( G ) ( z z ) 0 0 0 0 x M y M z M x x0 y y0 z z0 ， 或 Fz Fx Fy Fz Fx Fy
Fx x(t ) Fy y(t ) Fz z(t ) 0 特别地当 t t0 时，有 F F F y ( t 0 ) x ( t0 ) z ( t0 ) 0 . x M z M y M 又 T { x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )} 是曲线 在点 M 的切向量， 令 n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )， 则 T n， n T 所以曲线 在点 M 的切线 M 落在过点 M 且以 n 为法向量 的平面上，又由曲线 的 该平面即为曲面 任意性知，
在点M 的切平面．
综上所述， 设有曲面 F ( x , y, z ) 0，
点 M ( x0 , y0 , z0 ) 是曲面上一点， 则曲面在点M 的
切平面方程为： Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
其中 n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )
的切线与法平面方程．
因为所求切线既在曲面1 在点 M 的切平面上， 又在曲面 2 在点 M 的切平面上，故所求切线是 曲面在点M 处的切平面的交线．
F ( x, y, z ) 0 从而曲线 ： 上点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处 G ( x , y , z ) 0
x x0 y y0 z z0 ， 1 y ( x 0 ) z ( x 0 )
法平面方程为
( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z( x0 )( z z0 ) 0.
F ( x, y, z ) 0 ， 对于曲线的一般式方程 G ( x , y , z ) 0
Gy
Gz M
Gz
Gx M
Gx
Gy M
法平面方程为 Fy Fz Fz ( x x0 ) G y Gz M Gz
Fx ( y y0 ) Gx Gx M Fx
Fy (zz0 ) 0. Gy M
例 5 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ， x y z 0
在点 (1, 2, 1) 处的切线及法平面方程. 解 令 F ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 6，
o
y
例 1 求曲线 : x e u cos udu ， y 2 sin t cos t ,
0
t
z 1 e 3 t 在 t 0 处的切线和法平面方程.
解 当 t 0 时， x 0，y 1， 2， z
e t cos t ， y 2 cos t sin t ，z 3e 3t， 又 x
zபைடு நூலகம்
M
M
割线趋向于点 M 处的切线． x x x0 y y0 z z0 . 故切线方程为 x ( t 0 ) y ( t 0 ) z ( t 0 ) 切线的方向向量 T x( t0 ), y( t0 ), z( t0 ) 称为曲线在 M 处的切向量． 过点M 且与切线垂直的平面 x( t0 )( x x0 ) y( t0 )( y y0 ) z( t0 )( z z0 ) 0 称为曲线在点M 处的法平面．
曲面 z f ( x , y ) 的法向量可取 n f x , f y ,1 ，
其方向角为 , , ，若规定法向量的方向是向上的， 即 n 与 z 轴正向间的夹角 为锐角， 则此时曲面法向量 n 的方向余弦为: fx cos , 2 2 1 fx f y
1 f f 1 cos . 2 2 1 fx f y
2 x 2 y
cos
fy
,
例 3 求旋转抛物面 z x 2 y 2 1 在点( 2,1,4) 处的
Ð ½ æ °¨ß ½ Ì Ç Æ Ã ¼ ·Ï ·³ .
z z 解 z x y 1， 2 x， 2 y， x y n ( 2,1,4 ) {2 x , 2 y , 1} ( 2,1,4 ) {4, 2,1}，
例2
z e z 2 xy 3 在点(1,2,0) 处的切平面 求曲面
及法线方程． (1993) 解 令 F ( x, y, z ) z e z 2 xy 3，
则 Fx 2 y，Fy 2 x， Fz 1 e z， F Fx (1, 2,0 ) 4， Fy (1, 2 , 0 ) 2， z (1, 2,0 ) 0， 故切平面方程为 4( x 1) 2( y 2) 0 ( z 0) 0，
G( x, y, z ) x y z， 则 Fx 2 x，Fy 2 y，Fz 2 z， Gx G y Gz 1， 2( x 1) 4( y 2) 2( z 1) 0 故所求切线方程为： ( x 1) ( y 2) ( z 1) 0 x 1 z x 1 y y 22 z 1 1 ， x 2y z 5 0 ， 即 或 2 1 1 1 1 2 3 0 3 x y z 0
切平面方程为 2 x0 ( x x0 ) 4 y0 ( y y0 ) 6 z0 ( z z0 ) 0. 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 2 x0 4 y0 6 z0 ， 2 x0 y0 z0 . 1 4 6 ( x0 , y0 , z0 ) 在曲面上， x0 1， 所求切点为 (1,2,2)，或 ( 1,2,2)， 故所求切平面方程为 ：x 4 y 6 z 21 0，
是曲面在点M 的法向量． 曲面在点M 的法线方程为： x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0 .
第六节
多元函数微分学在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线 的参数方程为 x x(t ) 其中的 x(t), y(t), z(t) 均可导， y y( t ) 且其导数不同时为零． z z(t ) 点 M ( x0 , y0 , z0 ) 是曲线上对应于参数t t0 的点， 点 M ( x0 x, y0 y, z0 z ) 是
如何求切线及法平面方程我们在后面介绍．
二、曲面的切平面与法线
1. 曲面的切平面与法线的概念
若曲面 上过点 M，且在点 M 有切线的任一 曲线的切线均落在同一平面上， 则称此平面为曲面 在点M 的切平面． n 过点M 且垂直于切平面的 T M 直线称为曲面在点M 的法线． 法线的方向向量 (即切平面的法向量)称为 曲面在点M 的法向量， 记作 n.
曲线上对应于参数t t0 t 的点， 则割线 MM 的方程为 x x0 y y0 z z0 x y z x t t t