浙江省台州温岭市第三中学九年级数学 实际问题与二次函数应用课件 浙教版
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浙江省台州温岭市第三中学九年级数学 二次函数复习课件 浙教版
(12)已知抛物线 y1 x2 2x c的部分图象如图
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线
的解析式；
（3）若反比例函数
y2
k x
的图象经过（2）中抛
物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，
画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并
利用图象比较y1与y2的大小。
(8) 如 右 图 所 示 ， 函 数 y=kx2+k 与 y=k/2x(k≠0) 在同一坐标系中的图像 可能是下图中的( D )
(9)已知：二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). ①求证：不论m为何值时，函数的图像与x轴总有交 点，并指出m为何值时，只有一个交点； ②当m为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数 图像与x轴的另一个交点； ③若函数图像的顶点在第四象限，求m的取值范围.
(5)无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m的图像 总是过点( C )
A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0) (6)二次函数y=x2-4x+3的图像交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为 ( C )
A.6 B.4 C.3 D.1
(7)二次函数y=x2+bx+c的图像如 图所示，则函数值y＜0时，对应 的x取值范围是 -3＜x＜1 .
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象，求方程ax2+bx+c=0 的 近似根的方法是：画出二次函数的y=ax2+bx+c图象，大致找 出一元二次方程的根，借助计算器进行探求。
（2）实际问题的应用：
要认真审题，建立二次函数的数学模型，进而利用二次函 数的知识加以解决，它涉及到的问题很广泛，有利润问题、 最大值问题等。
二次函数的应用 浙教版(PPT)4-3
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的字变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
复习思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
➢ 首先应当求出函数解析式和自变量的取值范 围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值 或最小值。
➢注意：有此求得的最大值或最小值对应的
。 字变量的值必须在自变量的取值范围内
属于第一类污染物,其最高允许排放浓度为.mg/L。 欧盟将锑列为高危害有毒物质和可致癌物质并予以规管。 美国环境保护署限制排入湖、河、弃置场和农田 的镉量并禁止杀虫剂中含有锑。美国环境保护署允许饮用水含有ppb的锑，并打算把限制减到ppb。美国食品和药物管理局规定食用色素的含锑量为不得多于 ppm。美国职业安全卫生署规；杭州知识产权代理 https:/// 杭州知识产权代理 ；定工作环境空气中镉含量在烟雾为微克/立方米，在镉尘为 微克/ 立方米。美国职业安全卫生署计划将空气中所有镉化合物含量限制在到微克/ 立方米美国国家职业安全和卫生研究所希望让工人尽量少呼吸到锑以防止 膀胱癌。 [4] 管制信息 锑该品根据《危险化学品安全管理条例》受公安部门管制。 安全措施 密封包装，并贮于干燥通风处。远离火种、热源，防止阳光直 射。切忌与氧化剂、食用化学品、酸类等共储混运。 灭火：干粉、砂土。禁止CO和酸碱灭火剂。碲(tellurium)是一种准金属。其名源自tellus，意为“土地”， 7年米勒·冯·赖兴施泰因(F.J.Müller von Reichenstein)发现。碲为斜方晶系银白色结晶。 溶于硫酸、硝酸、王水、氰化钾、氢氧化钾；不溶于冷水和热水、二 硫化碳。高纯碲以碲粉为原料，用多硫化钠抽提精制而得，纯度为 . %。供半导体器件、合金、化工原料及铸铁、橡胶、玻璃等工业作添加剂用。 中文名 碲 英文名 tellurium 分子量 7.() 熔 点 4℃ 沸 点 ℃ 水溶性 不溶于水 密 度 .×kg/m 外 观 银白色固体 应 用 做半导体材料，催化剂等 安全性描述 有一定毒性 危险性描述 有一定毒性 发现人 米勒·冯·赖兴施泰因 原子序数 所在周期 第五周期 所在族 VIA族（氧族） 类 型 非金属（类金属） 氧化态 -，，+4，+ 元素 符号 方法 应用领域 发现简史编辑 米勒·冯·赖兴施泰因 米勒·冯·赖兴施泰因 由德国矿物 学家米勒·冯·赖兴施泰因（F.J.Müller von Reichenstein）于7年在研究德国金矿石时发现。7年奥地利首都维也纳一家矿场监督牟勒从这种矿石中提取出碲， 最初误认为是锑，后来发现它的性质与锑不同，因而确定是一种新元素。为了获得其他人的证实，牟勒曾将少许样品寄交瑞典化学家柏格曼，请他鉴定。由 于样品数量太少，柏格曼只能证明它不是锑而已。 7年，由Franz Joseph Müller von Reichenstein
二次函数的应用 浙教版(PPT)5-3
反）：他知道吗？——～，他不知道。④〈方〉用在句末表示疑问，跟反复问句的作用相等：他现在身体好～？⑤用在动补结构中间，表示不可能达到某种
结果：拿～动｜做～好｜装～下｜看～出。⑥“不”字的前后叠用相同的词，表示不在乎或不相干（常在前边加“什么”）：什么累～累的，有工作就得
做｜什么钱～钱的，你喜欢就拿去。⑦跟“就”搭用，表示选择：晚上他～是看书，就是写文章。⑧不用；不要（限用于某些客套话）：～谢｜～送｜～客
务｜海南～塞北，一年四季树木葱茏，花果飘香。 【不必】副表示事理上或情理上不需要：～去得太早｜慢慢商议，～着急。 【不变价格】计算或比较各年
工、农业产品总产值时，用某一时期的产品的平均价格作为固定的计算尺度，这种平均价格叫不变价格。也叫比较价格、可比价格或固定价格。 【不便】①
形不方便：行动～｜边远山区，交通～。②动不适宜（做某事）：他不愿意说，我也～再问｜他有些不情愿，又～马上回绝。③形指缺钱用：你如果一时手
头～，我可以先垫上。 【不辨菽麦】分不清豆子和麦子，形容缺乏实际知识。 【不…不…】……①用在意思相同或相近的词或词素的前面，表示否定（稍强
调）：～干～净｜～明～白｜～清～楚｜～偏～倚｜～慌～忙｜～痛～痒｜～知～觉｜～言～语｜～声～响｜～理～睬｜～闻～问｜～依～饶｜～屈～
挠｜～折～扣。②用在同
归纳小结：
①喂养：～婴儿。②比喻培养：祖国和人民～了我们。
【堡】堡子（多用于地名）：吴～（在陕西）｜柴沟～（在河北）。
【堡子】?名①围有土；短信群发 短信群发 ；墙的城镇或乡村。②泛指村庄。 【不】副①用在动词、形容词和其他副词前面表示否定：～
去｜～能｜～多｜～经济｜～一定｜～很好。②加在名词或名词性词素前面，构成形容词：～法｜～规则。③单用，做否定性的回答（答话的意思跟问题相
九年级上浙教版二次函数的应用课件
01
根据运动物体的速度、加速度、位移等因素，建立时
间与相关变量之间的二次函数关系。
最小值求解
02 通过配方或公式法，求出时间函数的最小值及对应的
变量值。
03
案例分析
结合具体案例，如刹车距离最短、小球落地时间最短
等，进行时间最小化问题的建模与求解。
浙 教 及版 技特 巧色 指题 导型 解 析
填空题和选择题答题技巧
经典例题剖析与思路拓展
经典例题
01
选取具有代表性的二次函数应用问题，进行深入剖析，展
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
示解题思路和技巧。
思路拓展
02
通过一题多解、多题一解等方式，拓展解题思路，提高解
题能力。
举一反三
03
引导学生将所学知识应用到类似问题中，培养迁移能力和
创新思维。
生
活
案 例 分 享
中 二 次 函 数
应
用
体育比赛中成绩预测模型建立
股票投资收益预测 通过分析股票历史价格数据，建立二次函数模型，预测未来股票价格走 势及投资收益。
期货交易策略制定 利用二次函数模型分析期货市场价格波动规律，制定相应的交易策略。
风险评估与管理 在金融市场中，利用二次函数模型对投资组合进行风险评估和管理，以降 低潜在损失。
其他领域（如物理、化学等）应用举例
二次函数性质总结
对称性
二次函数的图像关于对称轴对称。
顶点性
二次函数的图像有一个最高点或最低点，即 顶点。
增减性
与坐标轴交点
当抛物线开口向上时，在对称轴左侧函数值 减小，右侧增大；当抛物线开口向下时，在 对称轴左侧函数值增大，右侧减小。
二次函数图像与$x$轴的交点即为方程的根， 与$y$轴的交点为$(0, c)$。
浙教版九年级数学上册《二次函数的应用》课件
y
15
10
5
10 20 30 40 50
x
例5：
利用二次函数的图象求一元二次方程
X²+X－1= 0 的近似解.
y=x²+x－1
y
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2x
归纳小结：
二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0
函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
两根为x1=m；x2=n
y
D
B
C
x
EO A
探究活动：
我们把一元二次方程X²+X－1= 0 的解看做是抛物线 y=x²+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的 近似解.如果把方程x²+x-1 = 0变形成 x²= -x+1，那么 方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？ 用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算 机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
则飞行_____s后炮弹高度为1000m；
飞行____s炮弹落在地面.
归纳小结：
二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0
函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
两根为x1=m；x2=n
练习：
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最 大高10m. ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离 是多少m？
g表示重力系数，取g=10m/s²）.问球从弹起至回到地面 需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m？
15
10
5
10 20 30 40 50
x
例5：
利用二次函数的图象求一元二次方程
X²+X－1= 0 的近似解.
y=x²+x－1
y
6
5
4
3
2
1
-2
-1
0
1
2x
归纳小结：
二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0
函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
两根为x1=m；x2=n
y
D
B
C
x
EO A
探究活动：
我们把一元二次方程X²+X－1= 0 的解看做是抛物线 y=x²+x-1与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的 近似解.如果把方程x²+x-1 = 0变形成 x²= -x+1，那么 方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？ 用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算 机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
则飞行_____s后炮弹高度为1000m；
飞行____s炮弹落在地面.
归纳小结：
二次函数y=ax²+bx+c y=0 一元二次方程ax²+bx+c=0
函数与x轴交点坐标为： （m，0）；（n，0）
两根为x1=m；x2=n
练习：
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图， 当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最 大高10m. ⑴ 求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围； ⑵ 求球被抛出多远； ⑶ 当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离 是多少m？
g表示重力系数，取g=10m/s²）.问球从弹起至回到地面 需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m？
浙教版初中数学九年级上册 1.4 二次函数的应用 课件
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
• • 0
(x1,0)
x
(x2,0)
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0 Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
２、图象位置与a、b、c、 的 正负关系
y
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
x
0
c>0
c=0
(3)a、b确定对称轴
c<0
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
３、二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点 ,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有 交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方 程ax2+bx+c=0的根.
九年级数学浙教版二次函数的应用PPT教学课件
解: 设其中一条直角边长为x, 则另一条为(2-x), 设斜边长为y,
由勾股定理得,
yx 2 2 x22 x 2 4 x 4
2－x
2 x 2 2 x 1 1 4 2 x 1 2 2
x 0 2 x 0
0 x 2
x
a 20 ,故 y 有 最 小 值 且 xLeabharlann 1 在 0 x2 的 范 围 内
想一想：如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来, 那么所求问题就转化为什么问题?
１.发现可以设降价为x元,每天盈利为y元,则y关于x
的函数关系式为y=(40-x)(20+2x),化为 y2x260x800
这是一个二次函数.
２.写出自变量x的取值范围,再求出它的最大值.
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：
解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为l米，
根据题意，有：5r+πr+2r+2l=8,
即：l=4－0.5(π+7)r 又因为：l＞0且r ＞0
所以： 4－0.5(π+7)r＞0 则：0＜r＜ 8 π+7
π 故透光面积:S= 2
r2+2rl=
π 2
r2+2r［4－0.5(π+7)r］
π =－( 2
？
又 a 2 b a 8 43 2 0 4 ,在 b 0 8 ,x c 0 3 + 2 2 范 围 内 8－π4+2 x x
答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大。
练一练
( 1)已知直角三角形的两直角边的和为2。求斜 边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最 小值时两条直角边的长分别为多少？
最值问题的一般步骤
浙江省台州温岭市第三中学九年级数学 26.1 二次函数一般式的图像与性质课件 浙教版
26.1 二次函数一般式 的图像与性质
知识回顾:
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k
时，图象将发生怎样的变化？
1、顶点坐标？ （0，0） （- m，0）
（ - m，k ）
2、对称轴？
（ y轴或直线x=0） （直线x= - m ） （直线x= - m ） 3、平移问题？
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
( C)
y
y
y
y
ox -3
A
ox -3
B
ox -3
C
ox -3
D
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C ）
y ox
y ox
y ox
y ox
A
B
C
D
应用
用6 m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
数解析式，
你认为首先要做的工作
是什么?
如果以水平方向为x轴，
取以下三个不同的点为
y
C
坐标原点：
1.点A 2.点B 3.抛物线的顶点C
4m
A
12m
Bx
所得的函数解析式相同吗？
请试一试。哪一种取法求
得的函数解析式最简单？
请研究二次函数y=x2 -6x+5的 图象和性质，并尽可能多地说 出结论。
我们的结论:
59
4 1
2
2
抛物线的对称轴是直线x=3，2 顶 点坐标是（3，2）。
知识回顾:
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k
时，图象将发生怎样的变化？
1、顶点坐标？ （0，0） （- m，0）
（ - m，k ）
2、对称轴？
（ y轴或直线x=0） （直线x= - m ） （直线x= - m ） 3、平移问题？
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
( C)
y
y
y
y
ox -3
A
ox -3
B
ox -3
C
ox -3
D
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C ）
y ox
y ox
y ox
y ox
A
B
C
D
应用
用6 m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？
数解析式，
你认为首先要做的工作
是什么?
如果以水平方向为x轴，
取以下三个不同的点为
y
C
坐标原点：
1.点A 2.点B 3.抛物线的顶点C
4m
A
12m
Bx
所得的函数解析式相同吗？
请试一试。哪一种取法求
得的函数解析式最简单？
请研究二次函数y=x2 -6x+5的 图象和性质，并尽可能多地说 出结论。
我们的结论:
59
4 1
2
2
抛物线的对称轴是直线x=3，2 顶 点坐标是（3，2）。
中考复习浙教版数学课件：第17讲 二次函数的应用(共65张PPT)
即飞机着陆后滑行 600 米才能停止．
解
答案
6. 2013 年 5 月 26 日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首 个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线 (如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度 y(米)与水平距离 x(米)之 2 2 8 10 间满足关系 y＝－9x ＋9x＋ 9 ，则羽毛球飞出的水平距离为
100 b ∴当 x＝－2a＝－ ＝10(棵)时，橘子总个数最多． 2×－5
∴AD＝2x，AP＝ 5x，
1 1 4 5 ∴S1＋S2＝2· 2x· x＋2(2 5－1－ 5x)· 5
2 5 2 5 2 ＝x －2x＋4－ 5 ＝(x－1) ＋3－ 5 ，
2
∴当 0＜x＜1 时，S1＋S2 的值随 x 的增大而减小； 当 1≤x＜2 时，S1＋S2 的值随 x 的增大而增大．
5 米．
解
2 2 8 10 当 y＝0 时，0＝－9x去)，x2＝5， 故羽毛球飞出的水平距离为 5 米．
解 答案
7. 某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子．根据经验估计， 每多种一颗树， 平均每棵树就会少结 5 个橘子． 设果园增种 x 棵橘子树， 果园橘子总个数为 y 个， 则果园里增种 10 棵橘子树， 橘子总个数最多．
二、填空题(每小题 6 分，满分 18 分) 5. 某飞机着陆滑行的路程 S(米)与时间 t(秒)的关系式为： S＝60t－1.5t2， 那 么飞机着陆后滑行 600 米才能停止．
解
∵－1.5＜0，∴函数有最大值．
2 － 60 60 当 t＝－ ＝20 时，S 最大值＝ ＝600， 2×－1.5 4×－1.5
3. 图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近 1 似看成抛物线 y＝－400(x－80)2＋16，桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在 水面，有 AC⊥x 轴. 若 OA＝10 米，则桥面离水面的高度 AC 为( B )
(浙教版)九年级数学上册《二次函数的应用》PPT课件
1教学目标：1.经历数学建模的基本过程.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值.重难点：●本节教学的重点是二次函数在最优化问题中的应用.●本节例员从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解，是本节教学的难点.1、求下列二次函数的最大值或最小值：⑴y=－x2＋58x－112; ⑵y=－x2＋4x解：⑴配方得：y=－(x－29)2＋729又因为：－1＜0，则：图像开口向下，所以：当x=29时，y 达到最大值为729⑵－1＜0，则：图像开口向下，函数有最大值所以由求最值公式可知，当x=2时，y达到最大值为4.2、图中所示的二次函数图像的解析式为：y=2x 2+8x+13-202462-4xy⑴若－3≤x ≤3，该函数的最大值、最小值分别为（）、（）。
⑵又若0≤x ≤3，该函数的最大值、最小值分别为（）、（）。
55 555 13求函数的最值问题，应注意对称轴是否在自变量的取值范围内。
练习总结⑴数据（常量、变量）提取；⑵自变量、应变量识别；⑶构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；⑷利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值。
在日常生活和生产实际中，二次函数的性质有着许多应用.归纳与小结对问题情景中的数量（提取常量、变量）关系进行梳理；建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等），解决问题。
用字母（参数）来表示不同数量（如不同长度的线段）间的大小联系；关于函数建模问题？设其中的一条直角边长为x ，则另一条直角边长为（2-x ），又设斜边长为y ，则2.已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长.21244222222+−=+−=−+=)()(x x x x x y ∴当x =1时，斜边上有最小值.2此时两条直角边的长均为1.2.已知二次函数的图象（）如图.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）（A ）有最大值2，无最小值.（B ）有最大值2，有最小值1.5.（C ）有最大值2，有最小值－2.（D ）有最大值1.5，有最小值－2.C 221x 0+≤≤4.如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16m.求截面积S （m 2）关于底部宽x(m)的函数表达式.当底部宽为多少时，隧道的截面积最大（结果精确到0.01m ）？x x x x x S 882428822++−=+−+=πππ)(,其中2320+<<πx .m 48.4432有最大值）时，（当S x ≈+=∴π5.有一张边长为10cm 的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积为多少？如图，设矩形的一条边长为x （cm ），面积为y （cm ）2则.23255-x 23-x 23-1023x y 2+=⨯=）（）（.cm 2325有最大值y 时，5cm =x ∴当2.cm 2325cm 235，5cm ∴2，最大面积为所得的矩形的面积最大时，另一边长为当矩形的一边为x cm102教学目标：1.继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2.会综合运用二次函数和其他数学识解决如有关距离、利润等的函数最值问题.3.发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.重难点：●本节教学的重点是利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题.●本节例3情境比较复杂，是本节教学的难点.-202462-4xy⑴若－3≤x ≤3，该函数的最大值、最小值分别为（）、（）。
浙教版九年级上1.4二次函数的应用(3)课件(共23张PPT)
1.4二次函数的应用 （第3课时）
创设情景,引入新课
1.利用函数解决实际问题的基本 思想方法?解题步骤?
抽象 实际问题 转化 数学问题 数学知识 运用 问题的解
返回解释
检验
创设情景,引入新课
2."二次函数应用"的思路怎样?
(1)理解问题
(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 (3)用数学的方式表示出它们之间的关系 (4)用数学知识求解 (5)检验结果的合理性,拓展等
合作交流,探究新知
(1) 直线等加速运动 我们知道，在匀速直线运动中，物体运 动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示 为S=vt，而在直线等加速运动（即通常所说的 加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我 们仍用S表示距离（米），用 V 0 表示初始速度 （米／秒），用t表示时间（秒），用a表示每 秒增加的速度（米／秒）. 那么直线等加速运 1 2 动位移的公式是： S = V0t at 2 就是说，当速度和每秒增加的速度一定时，距 离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是 二次函数.
在直角坐标系中画出函数 y = x x 1 的图象，
2
得到与x轴的交点为A、B，则点A、B的横坐标x 、x 就是方 程的解．
1 2
观察图得到点A的横坐标
x1 0.6，
点B的横坐标
x2 1.6 ．
所以方程 x2 x 1 = 0 的近似解为
x1 0.6, x2 1.6
y
2 B 3 2 1 1 0 1 A 1 2
y = x x 1
2
x
2
想一想：将x =0.6和x =1.6代入x² x1， 其值分别是多少？ y
1 2
2 B 3 2 1 1 0 1 1 A 2
创设情景,引入新课
1.利用函数解决实际问题的基本 思想方法?解题步骤?
抽象 实际问题 转化 数学问题 数学知识 运用 问题的解
返回解释
检验
创设情景,引入新课
2."二次函数应用"的思路怎样?
(1)理解问题
(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 (3)用数学的方式表示出它们之间的关系 (4)用数学知识求解 (5)检验结果的合理性,拓展等
合作交流,探究新知
(1) 直线等加速运动 我们知道，在匀速直线运动中，物体运 动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示 为S=vt，而在直线等加速运动（即通常所说的 加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我 们仍用S表示距离（米），用 V 0 表示初始速度 （米／秒），用t表示时间（秒），用a表示每 秒增加的速度（米／秒）. 那么直线等加速运 1 2 动位移的公式是： S = V0t at 2 就是说，当速度和每秒增加的速度一定时，距 离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是 二次函数.
在直角坐标系中画出函数 y = x x 1 的图象，
2
得到与x轴的交点为A、B，则点A、B的横坐标x 、x 就是方 程的解．
1 2
观察图得到点A的横坐标
x1 0.6，
点B的横坐标
x2 1.6 ．
所以方程 x2 x 1 = 0 的近似解为
x1 0.6, x2 1.6
y
2 B 3 2 1 1 0 1 A 1 2
y = x x 1
2
x
2
想一想：将x =0.6和x =1.6代入x² x1， 其值分别是多少？ y
1 2
2 B 3 2 1 1 0 1 1 A 2
浙江省台州温岭市第三中学九年级数学 26.3.4实际问题与二次函数课件 浙教版
之间的函数关系式. ⑶求2007年该市在主城区改造中财政划拨的资金的范围.
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x
当P在线段AB上时
S△PCQ＝
1 CQ•PB= 1 AP•PB =
2
2
1 x(2 x) 2
即S＝ 1 x2 x 2
(0<x<2）
当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ＝
1 2
CQ • PB
1 x(x 2) 2
即S＝ 1 x2 x 2
5=
1（13-t ) • 3（13-t)
2
4
C
= 3 (13t)2
8
9≤CQ ≤13
练习：1.在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b, （a>b > 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四 点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设
计，可使花园面积最大？
D
GC
H
AE
a
F
b
S=ab- x
A
D
P
B
C（Q）
R
（3） A P
sD
3=12-
12(t-5)×43
(t-5
)-
1 2
(8-t)
×
3 4
(8-t)
QB
CR
5≤CQ ≤8
=12— 3 (t 5)2 — 3 (8t)2
（4） A
D
8
8
P Q B RC
s4
=12—
1（t-5） • 2
3 （t-5） 4
8≤CQ ≤9
（5） A P
Q
B
R
sD
= ab-
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x
当P在线段AB上时
S△PCQ＝
1 CQ•PB= 1 AP•PB =
2
2
1 x(2 x) 2
即S＝ 1 x2 x 2
(0<x<2）
当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ＝
1 2
CQ • PB
1 x(x 2) 2
即S＝ 1 x2 x 2
5=
1（13-t ) • 3（13-t)
2
4
C
= 3 (13t)2
8
9≤CQ ≤13
练习：1.在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b, （a>b > 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四 点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设
计，可使花园面积最大？
D
GC
H
AE
a
F
b
S=ab- x
A
D
P
B
C（Q）
R
（3） A P
sD
3=12-
12(t-5)×43
(t-5
)-
1 2
(8-t)
×
3 4
(8-t)
QB
CR
5≤CQ ≤8
=12— 3 (t 5)2 — 3 (8t)2
（4） A
D
8
8
P Q B RC
s4
=12—
1（t-5） • 2
3 （t-5） 4
8≤CQ ≤9
（5） A P
Q
B
R
sD
= ab-
2022年浙教初中数学九上《二次函数的应用》PPT课件 (2)
(1)“化” ：化成顶点式 ； (2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线.
方法归纳
求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
yax2bxc
配方: a axx22b aabxx2baac22ba2a c提取配项二方系次数:加项绝上系对再数值减一去半一的次
ax b 2 2a
点为(h,k), 二次函数 y1x2 6x21也能化成这样的形式吗？
2
1
怎样把函数y= 2
x²-6x+21 转化成y=a(x-h）2+k的形式?
用配方法
解：
6x21 2
提取二次项系数 1 x212x42 2
配方 1x21x 23 63 642 2
整理 1x626 2
化简:去掉中括号 1x62 3.
课堂小结
1.一般地，我们可以用配方法将 yax2bxc配方成 yaxb24acb2. 2a 4a
(1)二次函数 yax2bxc ( a≠0)的图像是一条 __抛__物__线___；
(2)直线 x b 2a
是二次函数
yax2bxc的对称轴；顶点坐
标是(
b
4acb2 ,
).
2a 4a
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
y2x123
-15 -5 1 3 1 -5 -15
描点、连线，画出函数 y＝－2(x+1)2+3 图像.
y
8
y＝－2(x+1)2+3 4●（-1,3）
●●
-8 -4 O 4
8 12
(3)“画”：列表、描点、连线.
方法归纳
求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
yax2bxc
配方: a axx22b aabxx2baac22ba2a c提取配项二方系次数:加项绝上系对再数值减一去半一的次
ax b 2 2a
点为(h,k), 二次函数 y1x2 6x21也能化成这样的形式吗？
2
1
怎样把函数y= 2
x²-6x+21 转化成y=a(x-h）2+k的形式?
用配方法
解：
6x21 2
提取二次项系数 1 x212x42 2
配方 1x21x 23 63 642 2
整理 1x626 2
化简:去掉中括号 1x62 3.
课堂小结
1.一般地，我们可以用配方法将 yax2bxc配方成 yaxb24acb2. 2a 4a
(1)二次函数 yax2bxc ( a≠0)的图像是一条 __抛__物__线___；
(2)直线 x b 2a
是二次函数
yax2bxc的对称轴；顶点坐
标是(
b
4acb2 ,
).
2a 4a
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质
列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.
y2x123
-15 -5 1 3 1 -5 -15
描点、连线，画出函数 y＝－2(x+1)2+3 图像.
y
8
y＝－2(x+1)2+3 4●（-1,3）
●●
-8 -4 O 4
8 12
浙江省台州温岭市第三中学九年级数学 26.1 二次函数(2) 课件 浙教版
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
10
⑤ y=4x2.⑥ y=-x2;
(1)其中开口向上的有_①__②__⑤__(填题号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是___④_____(填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，
然后渐变小的有________(填题号).
②④⑥
2．函数y=x2的顶点坐标为 (0,0) ．若点（a，4）
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
抛物线
y=x2
y= -x2
顶点坐标 对称轴
（0，0） y轴
（0，0） y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
10
⑤ y=4x2.⑥ y=-x2;
(1)其中开口向上的有_①__②__⑤__(填题号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是___④_____(填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，
然后渐变小的有________(填题号).
②④⑥
2．函数y=x2的顶点坐标为 (0,0) ．若点（a，4）
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
抛物线
y=x2
y= -x2
顶点坐标 对称轴
（0，0） y轴
（0，0） y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
二次函数的应用课件浙教版数学九年级上册(1)
由题意，得
间接设元法
y=(12+x-9)(400 - 40 x÷0.5)= - 80x2+160x+1200
∴y= - 80(x-1)2+1280
∵10≤12+x≤14，∴-2≤x≤2 ∵ a= - 80<0， ∴当x=1时(x=1在-2≤x≤2)，y最大值=1280．
此时12+x=13.
答：销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大， 最大日均毛利润为1280元．
例2 如图,Ｂ船位于Ａ船正东26km处.现在Ａ,Ｂ两船同
时出发,A船以12km/h的速度朝正北方向行驶,B船以5km/
h的速度朝正西方向行驶.何时两船相距最近? 最近距离两 船分别到达A′、B′(如 图)，两船的距离为线段 A′B′的长。
A
B′ B
拓展提高
1.已知x=2t−5，y=10−t，S=xy.求S的最大值或最小值， 以及相应t的值.
解：设每箱应降价x元，得： (100+2x)(120-x)=14000, 即 x2-70x+1000=0, ∴ x1=20,x2=50. 答：每箱应降价20元或50元,都能获利14000元.
某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱，每 箱利润120元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适 当降价.据测算，若每箱每降价1元，每天可多售出2箱. (2)当每箱饮料降价多少元时,超市平均每天获利最多？ 请你设计销售方案．
拓展提高
1.已知x=2t−5，y=10−t，S=xy.求S的最大值或最小值， 以及相应t的值.
拓展提高
2.一次足球训练中，一球员从球门正前方10m处将球射向球门.当 球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已 知球门高度为2.44m，问球能否射入球门?
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水姿势，否则就会出 现失误。
(2,-20)
分析:求出抛物线的解析式后， 要判断此次跳水会不会失误， 就是要看当该运动员在距池边 水平距离为18/5 米,x=18/52= 8/5 时,该运动员是不是距水 面高度大于或等于5米.
(?,2/3) (2)当运动员在空中距池
(0,0)
边的水平距离为18 /5 米,
Y
CK
BO
40m
16m X
M
2、 你知道吗，平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处 的形状可以看为抛物线。如图所示，正在甩绳的甲乙两 名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙丁 分别站在距甲拿绳的手水平距离1米2.5米处，绳子到最 高处时刚好通过他们的头顶。已知学生丙的身高是1.5 米，求学生丁的身高？
(?,2/3)
入水处距池边的距离为4米，同 时，运动员在距水面高度为5米 以前，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出 现失误。（1）求这条抛物线的解析式；
(0,0)
分析:（1）在给出的直角坐标 系中，要确定抛物线的解析式， 就要确定抛物线上三个点的坐 标.
起跳点O（0,0），入水点（2,－10）， 最高点的纵点标为 2/3 .
26.3 实际问题与二次 函数的应用（三）
如图，是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2 米，水面宽4米，水面下降1米，水面宽度增加多少？
跳水运动员进行10米跳台跳水 训练时，身体看成一点）在空中 的运动路线是一条抛物线。
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动
员在空中的最高处距水面32/3米，
解函数应用题的步骤:
设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式等; 求自变量取值范围； 利用函数知识，求解； 写出结论。
1、有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度 为16m,跨度为40m.现将它的图形放在坐标系里(如图所 示),若在离跨度中心M点5m处各垂直竖立一铁柱支撑拱 顶,这铁柱应取多长?
水流不致落到池外？(2)若水流喷出
的抛物线形状与（1）相同，水池
的半径为3.5米，要使水流不落到池
外，此时水流的最大高度应达到多
O
少米？（精确到0.1米）
课堂总结
1、全面分析题目，建立好平面直角 坐标系。
2、把现实中的数转化为坐标。 3、 注重逆向思维，提高能力。
(2,-10)
(?,2/3)
解:设y=ax 2+bx+c 又过O(0,0),B(2,-20)顶 点的纵坐标为2/3,得:
(0,0)
4a+2b+c= -10
c=0
4ac - b2 = 2
4a
3
(2,-20)
或
a
=
-
25 6
b
=
10 3
或
a
=
-
3 2
b = -2
c =0
c=0
又∵抛物线对称轴在y轴右侧
丙
丁
甲
乙
3．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10m 处将球踢向球门，•当球飞行的水平距离是6否射中球门？
4．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距水面4m．（1）在如右图所示的直角坐标系 中，求出该抛物线的函数解析式； （2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥 下水面的宽度为d（m），求出将d表示h的函数解析式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只 顺利航行，•桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多 少米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？
即 x= 18/5 - 2=8/5时，
∴此时运动员距水面的高 为
(2,-20)
因此，此次跳水会失误.
如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状， MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要 在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在 边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩 形铁皮的周长能否等于8dm？
所以a,b异号
故:
y = - 25 x2 + 10 x 63
(0,0)
(?,2/3)（员2在）空在中某的次运试动跳路中线，是测（得1）运中动 的抛物线，且运动员在空中调整 好入水姿势时，距池边的水平距 离为18/5米，问此次跳水会不会 失误？并通过计算说明理由。
运动员在距水面高度为5米 以前，必
须完成规定的翻腾动作，并调整好入
5、如图，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂
直于水面处安装一柱子OA，O恰在水面中心，
A=1.25m。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在
各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较
为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距
水面最大高度2.25米。
(1)如果不计其他因素，那么水池的
A
半径至少要多少米，才能使喷出的