7奇偶性与单调性(一)
函数的奇偶性和单调性综合训练
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单调性的判断方法：任取$x_1 < x_2$，比较$f(x_1)$和$f(x_2)$的大小，如果$f(x_1) < f(x_2)$，则函数在区间内单调递增；如果$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在区间内单调递减。
对于复合函数$f(g(x))$，需要先判断$g(x)$的单调性，再根据$f(x)$的性质判断复合函数的单调性。
要点一
要点二
偶函数的图像关于y轴对称
偶函数的图像关于y轴对称，即如果$f(-x) = f(x)$，则函数$f(x)$的图像关于y轴对称。
奇偶性与单调性在解题中的应用
VS
根据奇偶函数的性质，可以通过判断函数的奇偶性来判断其在某一区间的单调性。
利用单调性判断奇偶性
根据函数的单调性，可以判断函数的奇偶性。例如，如果一个函数在区间$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上分别单调递增和递减，且满足$f(-x) = -f(x)$，则该函数为奇函数。
奇函数在原点对称
奇函数的图像关于原点对称，即如果$f(-x) = -f(x)$，则函数$f(x)$的图像关于原点对称。
偶函数和单调性
偶函数在对称区间内单调性相反
如果函数$f(x)$在区间$(-infty, +infty)$上为偶函数，且在区间$(-infty, a)$上单调递增（或递减），则函数$f(x)$在区间$(a, +infty)$上单调递减（或递增）。
利用奇偶性判断单调性
综合训练题
第四章
判断函数的奇偶性
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判断函数$f(x)$是否为奇函数，需要满足条件$f(-x) = -f(x)$；判断是否为偶函数，需要满足条件$f(-x) = f(x)$。
函数的奇偶性、单调性、周期性
一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义
专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有) ()(f x f x --=，那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称．(2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称．(3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称．(4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）．A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y =）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数；2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-.（1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =+；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值．4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ．5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（）A ．24y x x =-B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -=B ．3y x =C ．ln y x=D ．y x=例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a<<D ． a c b<<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln 3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）．A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x=--C ．3y x x=--D ．3=-+y x x例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x=B ．()22g x x x=+C ．()3g x x x=-D ．()()x xg x e e-=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ).（4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a +=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为()A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值；(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =++（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数()()22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln 3e e f f f <<-B ．()()()3e ln 3ef f f -<<C ．()()()3e e ln 3f f f <-<D ．()()()3ln 3e ef f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f =则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x -=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i ii x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf x a +≤恒成立，则1a ≥-）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++ ．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x xf x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（）A ．2x y<B ．2x y>C ．x y>D ．x y<3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于()A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lg f x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,1对称B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________．14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ，③()1212xxf x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥；(3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.。
函数的奇偶性与单调性
函数的奇偶性与单调性一、基本概念(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。
()()()(),x D f x f x f x f x ∈-=-=-任意则为偶函数；若，则为奇函数。
变式：()()()()()()0;10f x f x f x f x f x --±==±=的情况单独验证(整体性质)(2)函数的单调性：(局部性质)()()()()()12121212,,,x x D x x f x fx f x D f x fx D ∈<<>任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。
()()()()1212121200f x f x fx f x D D x x x x --><--变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。
y f x ±±⨯⨯⨯±=注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()113.复合函数奇偶性与单调性的结论：()()()()()()(),,y fx y g x y g x y f x yf g x y fx y g x =====⎡⎤⎣⎦==的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。
内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。
内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。
(3)函数的凹凸性(局部性质)：()[]()()()[]()[]()121212,,,,,,22,f x f x x x y f x x a b x x f y f x a b a b ++⎛⎫=∈≠<= ⎪⎝⎭若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。
函数单调性和奇偶性专题
函数单调性和奇偶性专题一．知识点精讲：一、单调性1.函数的单调性定义： 一、函数单调性的定义及性质 （1）定义对于给定区间I 上的函数()y f x =，如果对任意12,x x I ∈，当12x x <，都有()()12f x f x <，那么就称()y f x =在区间I 上是增函数；当12x x <，都有()()12f x f x >，那么就称()y f x =在区间I 上是减函数．与之相等价的定义：⑴()()12120f x f x x x ->-，〔或都有()()12120f x f x x x -<-〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()1122,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。
（2）函数的单调区间如果函数()y f x =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做该函数的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
单调性反映函数的局部性质。
一个函数()f x 在区间11,I I 上都是增函数，但它在区间22I I 上不一定是增函数。
（3）判断单调函数的方法：①定义法，其步骤为：①在该区间上任取12x x <，②作差()()12f x f x -、化积、定号； ②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；④复合函数单调性的根据：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈都是单调函数，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在[],a b 上也是单调函数，其单调性是f 与g 单调性相同则()y f g x =⎡⎤⎣⎦是增函数，单调性相反则()y f g x =⎡⎤⎣⎦是减函数。
函数的奇偶性和单调性综合训练
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则 称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数， 有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则 称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训 练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正 负来判断。如果导数大于0，则为 增函数；如果导数小于0，则为减 函数。
7.函数的单调性、奇偶性、函数的图象
例、求下列函数的单调区间，并确定每一单调 区间上的单调性。
1− x (1) y = 1+ x
1 (2) y = 3
x2 − x
1 3 (3)y = x + x 2 − 3x + 6 3
练习(变式一)求下列函数的单调区间:
(1) y =
x2 + 2x − 3
(2) y = log 1
2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手 （2）从导数入手 （3）从图象入手 （4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手
注：先求函数的定义域
题在 上是增函数 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数 证明函数 例
证明： 证明：
设 x1 ， x2 是 R 上 任 意两 个实 数，且 x1 < x2 则 f ( x1 ) - f ( x2 ) =(3 x1 +2)-(3 x2 +2) =3 x1 +2-3 x2 -2 =3( x1 - x2 ) ∵ x1 < x2 ∴ x1 - x2 <0 ∴ f ( x1 ) - f ( x2 ) =3( x1 - x2 )<0 ∴函数 f(x)=3x+2 在 R 上 是增 函数 函
y +1 2．已知实数x，y满足 y = 3 − x ，则 的最值 x+3
2
三.【课堂小结】 【课堂小结】 1、作函数图象的基本方法有两种： 、作函数图象的基本方法有两种： (1)描点法 描点法 (2) 图象变换法：利用基本初等函数变换作图 图象变换法： 其中掌握好(1)平移变换：(2) 对称变换： (3) 伸缩变换 平移变换： 对称变换： 平移变换 2、图象对称性的证明： 、图象对称性的证明： 有关结论： 3、有关结论： 利用数形结合，求参数问题， 4、利用数形结合，求参数问题，交点个数问题等
函数的单调性和奇偶性(一、二)
f x max f 3 f 1 f 1 f 1 6, f xmin f 3 6
设函数 f (x) 在 (,0) (0,) 上是奇函数，又 f (x) 在（０，＋∞）上是减函数，并且 f (x) 0 ，指出 F (x) 1 在（－∞，０）上的增减性?并证明.
f (x)
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C．f(－x1)－f(－x2)>0
D．f(x1)－f(x2)<0
பைடு நூலகம்
[答案] D
[解析] ∵x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1<x2 又 f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)<f(x2)
又 f(x)为定义在 R 上的偶函数，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x1)－f(x2)<0.选 D.
A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】 B
6.函数
F ( x)
(1
2) 2x 1
f
( x)( x
0) 是偶函数，且
f
(x)
不恒等于零，则
f
(x)
（
）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数
答案：A
7. 已 知 函 数 y f (x) 为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 f (x) x2 2x 3 ， 则 当 x 0 时 ， f (x) 的 解 析 式 为
2.判断方法： （1）定义法 （2）图象法
，则这个函数就是奇函数 ，则这个函数就是偶函数
【经典例题】
例 1：已知函数 f (x) = x x2 2 （ x R ），证明函数 y = f (x) 在 R 上是单调递增函数.
函数的单调性与奇偶性
函数的单调性与奇偶性一、函数的单调性初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。
那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢?1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是单调增函数；在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是单调减函数；若函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。
理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。
分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。
今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。
注：(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。
(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。
比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数。
我们把(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。
若表示为(-∞,0)∪(0,+∞)是不对的。
如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。
若去掉点(0，1)，则单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。
例1．证明函数在[0，+∞）上是增函数。
分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。
证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，则，∵0≤x1<x2, ∴x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)由定义知，在[0，+∞)上是增函数。
高中数学复习专题讲座(第7讲)奇偶性与单调性(1)
题目高中数学复习专题讲座处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（2） 高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识 重难点归纳(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数(2)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决基本应用题目(3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目 此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力(4)应用问题 在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决 特别是 往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题 典型题例示范讲解例1已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyyx ++1), 令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x xx --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1) 求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间 命题意图 本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法知识依托 逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题错解分析 逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱 技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法解 设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1), ∴f (x 2)<f (x 1) ∴f (x )在(0，+∞)内单调递减.032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得 2a 2+a +1>3a 2－2a +1 解之，得0<a <3又a 2－3a +1=(a －23)245 ∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］ 结合0<a <3,得函数y =(12)132+-a a 的单调递减区间为［23，3)例3设a >0,f (x )=xx e a a e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明 f (x )在(0，+∞)上是增函数(1)解 依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x ae e a a e 1=++ae x 整理，得(a －a1)(e x －x e 1)=0 因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一（定义法） 设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x xx x x x x e e e e e e e21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二（导数法） 由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1) 当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数 学生巩固练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD f (x )=xx xx sin cos 1cos sin 1++-+2 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 3 函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 4 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________5 已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1) (1)证明 函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数 (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根6 求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数7 设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a8 已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0 (1)求证 f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证 参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0)(0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )， 故f (x )为奇函数 答案 C2 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称 答案 C3 解析 令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1]4 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0）5 证明 (1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0,∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数(2）证法一 设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1, 即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根 证法二 设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾， 若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0， ∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根6 证明 ∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2), 故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数(本题也可用求导方法解决） 7 证明 (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a )∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数8 (1）证明 设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0,∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0,∴f (x )是单调递增函数(2)解 f (x )=2x +1 验证过程略 课前后备注。
函数单调性和奇偶性数学教案
函数单调性和奇偶性数学教案教学建议一、知识结构（1）函数单调性的概念。
包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.（2）函数奇偶性的概念。
包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明.(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议（1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.（2）函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律.函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值开始,逐渐让在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.函数的奇偶性教学设计方案教学目标1.使学生了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.教学重点,难点重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断难点是对概念的认识教学用具投影仪,计算机教学方法引导发现法教学过程一.引入新课前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.二.讲解新课2.函数的奇偶性(板书)教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书) (给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识) 提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书) (由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识) 例1.判断下列函数的奇偶性(板书)(1);(2);(3);;(5);(6).(要求学生口答,选出1-2个题说过程)解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.(3),是偶函数.前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)证明:既是奇函数也是偶函数,=,且,=.,即.证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类 (4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)例3.判断下列函数的奇偶性(板书)(1);(2);(3).由学生回答,不完整之处教师补充.解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.(3)当时,于是,当时,,于是=,综上是奇函数.教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.三.小结1.奇偶性的概念2.判断中注意的问题四.作业略五.板书设计2.函数的奇偶性例1.例3.(1)偶函数定义(2)奇函数定义(3)定义域关于原点对称是函数例2.小结具备奇偶性的必要条件(4)函数按奇偶性分类分四类探究活动(1)定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗?(2)判断函数在上的单调性,并加以证明.在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题:设为三角形的三条边,求证:.。
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
函数的奇偶性与单调性
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
对于复合函数f[g(x)]：“同号得增，异号得减”
三、函数的奇偶性
1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)， 那么f(x)叫做奇函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，
那么f(x)叫做偶函数.
2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称.
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函 数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减 函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
单调性性质规律: 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定 义容易证得，在这个区间上：
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
1 ]，单增区间是[2，+∞） 2
单减区间是（-∞，-
例5： 求函数y=f(x)在R上是减函数， 求y=f（|1 - x|）的单调递增区间。
单调递增区间是（ -∞，1] 例6： 求函数y=18+2(2-x2)-(2-x2)2的单调区间 单增区间是（-∞，- 1]，[ 0，1） 单减区间是（-1，0）， [ 1，+∞）
(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
3、奇函数
4、奇函数
5、定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(x)不等于0 求证：f(0)=1；f(x)为偶函数
函数的单调性与奇偶性讲义
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）函数的单调性与奇偶性讲义【一】基础知识1．函数的单调性（1） 定义：（2）判定方法（i ）定义法 （ii ）图象法 （iii ）根据已知函数的单调性 （iv ）导数法（3）复合函数的单调性2. 函数的奇偶性（1） 定义（2）性质：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
（2） 判断方法：（i ）定义法 （ii ）图象法(iii)若两个函数的定义域相同，则a. 两个偶函数的和为偶函数；b. 两个奇函数的和为奇函数；c. 两个奇函数的积为偶函数；d. 两个偶函数的积为偶函数；e. 一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数。
（3） 定义域关于原点对称是一个函数为偶函数或奇函数的必要条件。
【二】例题讲析例1．判断下列函数的奇偶性（1）11log )(2+-=x x x f （2）11)(-+-=x x x f （3）11)(22-+-=x x x f （4）)21121()(+-=x x x f例2．已知函数是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程的所有实根之和是 （ ）(A) 4 (B) 2 (C) 6 (D)0例3．（1）设f(x)是偶函数，且在[)+∞,0上为增函数，则其在(]0,∞-上单调性如地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）何？奇函数呢？（2）设)(x f 为偶函数，且在[)+∞,0上存在最大值，则在(]0,∞-上有最大值吗？奇函数呢？例4．设f(x)在R 上是偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且)12(2++a a f ),123(2+-<a a f 求a 的取值范围。
例5．已知)(x f 是奇函数，且0>x 当时，),2()(-=x x x f 求0<x 时，)(x f 的表达式。
例6．求函数)34(log 221+-=x x y 的单调递增区间。
例7．求函数5223++-=x x x y 的单调区间。
单调性与奇偶性综合应用一
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单调性与奇偶性在数列中的应用
在研究数列的单调 性时，可以利用偶 数列的性质来判断 数列的单调性。例 如，如果一个数列 是偶数列，那么它 的单调性可以通过 观察数列中相邻项 的商值来判断。
在研究数列的单调性时，可以利用奇数列的性质 来判断数列的单调性。例如，如果一个数列是奇 数列，那么它的单调性可以通过观察数列中相邻 项的差值来判断。
单调性与奇偶性的联系
在一些数学问题中，单调性和奇偶 性的综合应用可以帮助我们更好地 理解和解决这些问题。例如，在求 解函数的极值问题时，可以利用单 调性来确定函数的增减性，再结合 奇偶性来判断函数的极值点位置。
单调性描述的是函数值随自变量变 化的趋势，而奇偶性描述的是函数 值关于原点对称的性质。两者之间 存在一定的联系，例如，单调递增 的奇函数在区间内与单调递减的偶 函数在区间内具有相同的图像。
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奇偶性概念
奇偶性的定义
对于函数$f(x)$， 如果对于定义域内 的任意$x$，都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$， 都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数
偶函数
奇偶性的分类
奇函数
单调性与奇偶性的综合应用
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单调性与奇偶性在函数中的应用
奇函数与单调性
奇函数在对称轴两侧的函数值具有对称性，这使得奇函数在单调递增或递减时具有 特定的性质。例如，奇函数在单调递增时，其图像在对称轴两侧均匀上升。
偶函数与单调性
偶函数在对称轴两侧的函数值具有对称性，这使得偶函数在单调递增或递减时具有 特定的性质。例如，偶函数在单调递增时，其图像在对称轴两侧均匀下降。
专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。
2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
[多选]例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。
A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【答案】BC【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。
(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。
函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。
但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。
难点07 奇偶性与单调性(一)
难点7 奇偶性与单调性(一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.●难点磁场(★★★★)设a >0,f (x )=xx e a a e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，+∞)上是增函数.●案例探究［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0即f (x2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增， ∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1), ∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得：2a 2+a +1>3a 2－2a +1.解之，得0<a <3. 又a 2－3a +1=(a －23)2－45. ∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］ 结合0<a <3,得函数y =(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数. (2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f (x )=(x －1)xx -+11B.f (x )=2|2|)1lg(22---x xC.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD.f (x )=xx xx sin cos 1cos sin 1++-+2.(★★★★★)函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =1对称 二、填空题3.(★★★★)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2),x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证：(1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .8.(★★★★★)已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x ae e a a e 1=++ae x .整理，得(a －a1) (e x －x e 1)=0.因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x x x x x xx e e e e e e e 21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二：由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0. 此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练一、1.解析：f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+--<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-->-)0()()0()()0( )0( 2222x x x x x x x x x x x x =－f (x )，故f (x )为奇函数.答案：C2.解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C二、3.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根.6.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2),f (x )在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+ =－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ).∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数. (2)解：f (x )=2x +1.验证过程略.。
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3、函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数， 既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不 是奇函数也不是偶函数
例7、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ (x 1)2 (x 1)2
单调性性质规律: 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定 义容易证得，在这个区间上： (1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数
f(x)与C·f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)≠0，则函数f(x)与- f(x) 具有相反的单调性. (4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数. (5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·解：f(x)＝x2+2(a-1)x+2＝［x+(a-1)］２-(a-1)2+2，此二次函 数的对称轴是x＝1-a.因为在区间(-∞，1-a］上f(x)是单调递 减的，若使f(x)在(-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须 在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.
2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称.
例1 、试讨论y = x- 1 在区间(0,+∞)上的单调性,并证明
x
评析： 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有 增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.
拓展：已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减 函数，求实数a的取值范围.
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难点7 奇偶性与单调性(一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.●难点磁场(★★★★)设a >0,f (x )=xx e a a e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，+∞)上是增函数.●案例探究［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y =(21)132+-a a 的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x 1<x 2,则－x 2<－x 1<0，∵f (x )在区间(－∞,0)内单调递增，∴f (－x 2)<f (－x 1),∵f (x )为偶函数，∴f (－x 2)=f (x 2),f (－x 1)=f (x 1),∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,08741(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1)<f (3a 2－2a +1)得：2a 2+a +1>3a 2－2a +1.解之，得0<a <3.又a 2－3a +1=(a －23)2－45.∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［23，+∞］结合0<a <3,得函数y =(23)132+-a a 的单调递减区间为［23，3).●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f (x )=(x －1)xx -+11B.f (x )=2|2|)1lg(22---x x C.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x xD.f (x )=xx x x sin cos 1cos sin 1++-+2.(★★★★★)函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x =1对称二、填空题3.(★★★★)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证：(1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .8.(★★★★★)已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即x x x ae e a a e 1=++ae x .整理，得(a －a1) (e x －x e 1)=0.因此，有a －a1=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((1121122121--=-+-+x x x x x x x x e e e e e e e 21211211)1(x x x x x x x e e ee ++---=由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0, ∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数证法二：由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0.此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练一、1.解析：f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+--<+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-->-)0()()0()()0( )0( 2222x x x x x x x x x x x x =－f (x )，故f (x )为奇函数.答案：C2.解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C二、3.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.答案：(－∞,－1]4.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根.6.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2), 故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决） 7.证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ). ∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数. (2)解：f (x )=2x +1.验证过程略.。