动态规划例题讲解精品PPT课件
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拓展2：低价购买
“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟
大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买
一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标
是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内
为这些子问题做索引 ，以便它们能够在表中更好的存储
与检索 (i.e., 数组array【】)
以自底向上的方法来填写这表格; 首先填写最小子问题 的解.
这就保证了当我们解决一个特殊的子问题时, 可以利 用比它更小的所有可利用的 子问题的解.
由于历史原因, 我们称这种方法为：
动态规划.
在上世纪40年代末 (计算机普及很少时),
棋盘用坐标表示，A 点（0，0）、B 点（n,m）(n,m 为 不超过 20 的整数，并由键盘输入)，同样马的位置坐标 是需要给出的（约定: C<>A，同时C<>B）。现在要求 你计算出卒从 A 点能够到达 B 点的路径的条数。 [输入]: 键盘输入
B点的坐标（n,m）以及对方马的坐标（X,Y）{不用盘错} [输出]:
案被认为是相同的。
..........
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拓展3：合唱队形 （vijis1098）
N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出 列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依 次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK ， 则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
动态规划讲解+例子[优质ppt]
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对最佳路径（最佳决策过程）所经过的各个阶段，其中每 个阶段始点到全过程终点的路径，必定是该阶段始点到全 过程终点的一切可能路径中的最佳路径（最优决策），这 就是Bellman提出的著名的最优化原理。
简言之， 一个最优策略的子策略必然也是最优的。
7
二. 最短路径问题
例1、从A 地到E 地要铺设一条煤气管道,其中需经过三级
10
14
C1 3
9
D1 5
6
A
5 B2 10
1
4
13
6
C2 5
8
E
2
D2
B3
12 11
C3 10
考虑经过 C 2 的两条路线
f3 (C 2 ) m d d i( (C C n 2 2 ,,D D 1 2 ) ) f f4 4 ( (D D 1 2 ) ) m 5 6 i 5 2 n 7
针对多阶段决策过程的最优化问题，美国数学家Bellman等 人在20世纪50年代初提出了著名的最优化原理，把多阶段 决策问题转化为一系列单阶段最优化问题，从而逐个求解， 创立了解决这类过程优化问题的新方法：动态规划。
Bellman在1957年出版的《Dynamic Programming》是动 态规划领域的第一本著作。
d(B 1,C3)f3(C3) 1 01 2
(最短路线为 B 1 C 1 D 1 E)
13
2
12
B1
10
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C1 3
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D1 5
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A
5 B2 10
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C2 5
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D2
B3
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简言之， 一个最优策略的子策略必然也是最优的。
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二. 最短路径问题
例1、从A 地到E 地要铺设一条煤气管道,其中需经过三级
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C1 3
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D1 5
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A
5 B2 10
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C2 5
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D2
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C3 10
考虑经过 C 2 的两条路线
f3 (C 2 ) m d d i( (C C n 2 2 ,,D D 1 2 ) ) f f4 4 ( (D D 1 2 ) ) m 5 6 i 5 2 n 7
针对多阶段决策过程的最优化问题，美国数学家Bellman等 人在20世纪50年代初提出了著名的最优化原理，把多阶段 决策问题转化为一系列单阶段最优化问题，从而逐个求解， 创立了解决这类过程优化问题的新方法：动态规划。
Bellman在1957年出版的《Dynamic Programming》是动 态规划领域的第一本著作。
d(B 1,C3)f3(C3) 1 01 2
(最短路线为 B 1 C 1 D 1 E)
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5 B2 10
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动态规划(完整)ppt课件
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• Ⅲ --Ⅳ :
B1—C1—T
4
• Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T
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• Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：
•
Q—A2—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B1—C1—T
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•
Q--A3—B2—C2—T
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最短路径
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A1
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C1
3
B2 3
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(4)策略和允许策略集合
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过程 策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指具 有n 个阶段的全部过程，由依次进行的 n 个 阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示
为 p1,n{x1,x2, ,xn}。从 k 阶段到第 n 阶段，
依次进行的阶段决策构成的决策序列称为 k
新分支的创立。
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6
• 动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为 一系列简单的、离散的单阶段决策问题, 采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题 达到求解整个问题目的;
• 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶 段的决策目标, 还要兼顾整个决策过程的 整体目标, 从而实现整体最优决策.
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第七章 动态规划
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理 §7.3 动态规划应用举例
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1
例 求解最短路问题
2
Q
4
动态规划专题完整ppt
then begin m:=s[c[k-1,j]]+v[c[k,i],c[k-1,j]]; d:=c[k-1,j]; end;
s[c[k,i]]:=m; { S[c[k,j] ] 记录第K个阶段的第J个结点到 终点的最短距离}
h[c[k,i]]:=d;｛h[j]记录第j阶段最优路径经过的编号｝ end; end; writeln(s[n]);
三、动态规划中的几个概念
1、阶段
把解题的次序称为规划方向，把地位相同的结点称为一个 阶段。
2、状态
每一阶段的一个结点称为这个阶段的一个状态。如例1 中的第3阶段，有3个结点C1、C2、C3，称第3阶段有4种 状态，分别是C1、C2、C3。
3、状态转移方程 除边界外的任一阶段都得由其前面的阶段递推得到，这递
如：输入数据： N=7 4 3 2 1 4 4 t[i] 3 4 2 2 4 r[i] 输出 14 1 2+3 4+5 6+7
分析：
设F[i] 表示第i个人到第N个人买票所要的最小 时间。
F[i]=min{t[i]+f[i+1],r[i]+f[i+2] } (i=1,2,…,n-1)
F[n]=t[n] 目标是求f[1], 即所有歌迷总的买票时间的最小 值。
推的过程就表现出了阶段的动态演变。这种根据已有状态求得
未知状态的过程，我们称之为状态转移，状态转移的规则用数 学语言来描述，就称为状态转移方程。状态转移方程的形式多 样，如例1中的形式为G[i]=min{G[j]+ei,j}，ei,j∈E。
例题2：排队买票问题
一场演唱会即将举行。现有N（0〈N<=200〉个歌迷 排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最 多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1 〈=I〈=n〉，队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个 人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用 排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如 Rj<T(j)+T(j+1)，则这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间， 加快整个售票的进程。现给出N，Tj和Rj，求使每个人都买 到票的最短时间和方法。
s[c[k,i]]:=m; { S[c[k,j] ] 记录第K个阶段的第J个结点到 终点的最短距离}
h[c[k,i]]:=d;｛h[j]记录第j阶段最优路径经过的编号｝ end; end; writeln(s[n]);
三、动态规划中的几个概念
1、阶段
把解题的次序称为规划方向，把地位相同的结点称为一个 阶段。
2、状态
每一阶段的一个结点称为这个阶段的一个状态。如例1 中的第3阶段，有3个结点C1、C2、C3，称第3阶段有4种 状态，分别是C1、C2、C3。
3、状态转移方程 除边界外的任一阶段都得由其前面的阶段递推得到，这递
如：输入数据： N=7 4 3 2 1 4 4 t[i] 3 4 2 2 4 r[i] 输出 14 1 2+3 4+5 6+7
分析：
设F[i] 表示第i个人到第N个人买票所要的最小 时间。
F[i]=min{t[i]+f[i+1],r[i]+f[i+2] } (i=1,2,…,n-1)
F[n]=t[n] 目标是求f[1], 即所有歌迷总的买票时间的最小 值。
推的过程就表现出了阶段的动态演变。这种根据已有状态求得
未知状态的过程，我们称之为状态转移，状态转移的规则用数 学语言来描述，就称为状态转移方程。状态转移方程的形式多 样，如例1中的形式为G[i]=min{G[j]+ei,j}，ei,j∈E。
例题2：排队买票问题
一场演唱会即将举行。现有N（0〈N<=200〉个歌迷 排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最 多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1 〈=I〈=n〉，队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个 人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用 排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如 Rj<T(j)+T(j+1)，则这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间， 加快整个售票的进程。现给出N，Tj和Rj，求使每个人都买 到票的最短时间和方法。
动态规划专题讲义课件
VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。
《动态规划》课件
特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划问题完整ppt
是动态决策问题的一种特殊形式； 其特点在于，它可以把一个n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从而一个一个地去解决。
产品的年产量g和投入生产的机器数量u 的关系为 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。
1 多阶段决策问题
1
g=g(u1)
精品课程《运筹学》
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器 的数量为u，到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
3. 航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一次 决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为多 阶段的决策问题用动态规划方法来解决。
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3
精品课பைடு நூலகம்《运筹学》
4
5
6
谢谢观看
精品课程《运筹学》
动态决策问题的特点： 系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因
素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系
统所处的状态，不断地做出决策； 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最
优策略。
精品课程《运筹学》
多阶段决策问题： 是动态决策问题的一种特殊形式； 在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照 时间进程分为状态相互联系而又相互区别的各 个阶段；
每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的 决策达到最优效果。
产品的年产量g和投入生产的机器数量u 的关系为 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。
1 多阶段决策问题
1
g=g(u1)
精品课程《运筹学》
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器 的数量为u，到年终完好的机器就为au, 0<a<1。
3. 航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一次 决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为多 阶段的决策问题用动态规划方法来解决。
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
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D2 1 2
3 D3
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E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
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精品课பைடு நூலகம்《运筹学》
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6
谢谢观看
精品课程《运筹学》
动态决策问题的特点： 系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因
素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系
统所处的状态，不断地做出决策； 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最
优策略。
精品课程《运筹学》
多阶段决策问题： 是动态决策问题的一种特殊形式； 在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照 时间进程分为状态相互联系而又相互区别的各 个阶段；
每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的 决策达到最优效果。
动态规划-例题众多-详细讲解61页PPT
动态规划-例题众多-详细讲解
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块顿
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块顿
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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动态规划例题讲解
山东师大附中
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本节课主要通过几道例题，总揽NOIp中较 常见的动态规划模型，不会过多涉及优化 内容。
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最长上升子序列 内存碎片 背包问题 最长公共子序列 石子合并
括号序列 决斗 三取方格数 选课 贪吃的九头龙
最长上升子序列
给出一个数列{a1,a2,...,an}，要求你选出尽量 多的元素，使这些元素按其相对位置单调
完全背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有无限个。现 在我们有一个最大载重量limit的包，问放入 哪些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
完全背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:= w[i] to limit do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
1400
共有3件物品 重量分别为30/80/10 价值分别为300/1200/200 背包最大载重量为100
0/1背包问题
令f[i,j]表示考虑完前i项物品，并且当前背包 承重不大于j的情况下能获得的最大价值
f[i,j]=max( f[i-1,j], //不选第i项物品 f[i-1,j–w[i]]+v[i]) //选择第i项物品
2
插入a6后 -inf
1
插入a7后 -inf
1
插入a8后 -inf
1
插入a9后 -inf
1
inf
inf
inf
8
inf
inf
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inf
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inf
3
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inf
3
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inf
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6
Sample Input 5 8 9 2 3 1 7 4 6
最长上升子序列
f[]是单调递增的，因为如果有i<j且f[i]>=f[j]， 那么f[i]必定可以被f[j]的方案所更新。
内存碎片
f[i,j]=min{ f[k,j-1]+ (c[k+1]+c[k+2]+...+c[i])*L[i],0<=k<i}
预处理sc[i]=c[1]+c[2]+...+c[i] f[i,j]=min{
f[k,j-1]+(sc[i]-sc[k])*L[i],0<=k<i)}
时间复杂度O(N^2*K)
3 100
1700
30 300 2 80 1200 1 10 200 8
方案：
1件物品1 7件物品3
共有3件物品
重量分别为30/80/10
价值分别为300/1200/200
数量分别为2/1/8
背包最大载重量为100
多重背包问题
最小是多少
初始f[0]=-inf,f[i]=inf（inf为无穷大，可取值 为大于任意ai绝对值的一个数字）
最长上升子序列
F[0]
F[1]
nf
inf
inf
inf
插入a1后 -inf
5
插入a2后 -inf
5
插入a3后 -inf
5
插入a4后 -inf
2
插入a5后 -inf
边界条件f[0,i]=0 目标f[n,limit]
0/1背包问题
我们注意到，f[i,j]仅与f[i-1,j]和 f[i-1,j-w[i]]有关，因此没必要保存二维数组
令f[i]表示背包承重不大于i的情况下最大价 值
0/1背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:=limit downto w[i] do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
递增。
Sample Input
9 589231746
Sample Output 4
最长上升子序列
算法：动态规划 令f[i]表示以ai为结尾的最长上升子序列的长
度 转移方程：
f[i]=max(f[j],1<=j<i,a[j]<a[i])+1
时间复杂度：O(N^2)
最长上升子序列
换一种状态表示方法 令f[i]表示长度为i的上升子序列的结尾数字
当程序申请长度为L的内存时，也可以给它 分配一块长度为L’（L’>L）的更大的内存块。
内存长度种类不超过K。 求最少需要的内存。
内存碎片
Sample Input
32 10 1 11 1 20 1
Sample Output 42
3个内存申请 最多2种长度
方案： 两个11，一个20
多重背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有c[i]个。现在 我们有一个最大载重量limit的包，问放入哪 些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
多重背包问题
Sample Input
Sample Output
内存碎片
算法：动态规划 先将所有L[i]排序。
112344678 222446688 113366688 233377778
这一行是内存申请的长度 这三行是内存分配的可能长度
内存碎片
一种内存长度覆盖的区间必定是连续的， 并且该内存长度等于覆盖区间最后一个内 存申请操作的长度。
令f[i,j]表示考虑完前i个内存申请操作，并且 已经使用完j种内存长度的最少需要的内存。
0/1背包问题
共有N件物品，每件物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，现在我们有一个最大载 重量limit的包，问放入哪些物品能使得总价 值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
0/1背包问题
SampleInput
SampleOutput
3 100 30 300 80 1200 10 200
每处理到一个ai，我们要找到一个k满足 f[k–1]<ai且f[k]>=ai，并用ai更新f[k]，最终 max(k|f[k]!=inf)就是答案。
可以通过二分查找将时间复杂度降至 O(NlogN)
选人
将所有人按照智商排序，以情商为关键字， 求最长上升子序列的长度即可。
内存碎片
N个内存申请请求，申请长度为L[i]的内存块 c[i]次。
山东师大附中
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本节课主要通过几道例题，总揽NOIp中较 常见的动态规划模型，不会过多涉及优化 内容。
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最长上升子序列 内存碎片 背包问题 最长公共子序列 石子合并
括号序列 决斗 三取方格数 选课 贪吃的九头龙
最长上升子序列
给出一个数列{a1,a2,...,an}，要求你选出尽量 多的元素，使这些元素按其相对位置单调
完全背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有无限个。现 在我们有一个最大载重量limit的包，问放入 哪些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
完全背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:= w[i] to limit do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
1400
共有3件物品 重量分别为30/80/10 价值分别为300/1200/200 背包最大载重量为100
0/1背包问题
令f[i,j]表示考虑完前i项物品，并且当前背包 承重不大于j的情况下能获得的最大价值
f[i,j]=max( f[i-1,j], //不选第i项物品 f[i-1,j–w[i]]+v[i]) //选择第i项物品
2
插入a6后 -inf
1
插入a7后 -inf
1
插入a8后 -inf
1
插入a9后 -inf
1
inf
inf
inf
8
inf
inf
8
9
inf
8
9
inf
3
9
inf
3
9
inf
3
7
inf
3
4
inf
3
4
6
Sample Input 5 8 9 2 3 1 7 4 6
最长上升子序列
f[]是单调递增的，因为如果有i<j且f[i]>=f[j]， 那么f[i]必定可以被f[j]的方案所更新。
内存碎片
f[i,j]=min{ f[k,j-1]+ (c[k+1]+c[k+2]+...+c[i])*L[i],0<=k<i}
预处理sc[i]=c[1]+c[2]+...+c[i] f[i,j]=min{
f[k,j-1]+(sc[i]-sc[k])*L[i],0<=k<i)}
时间复杂度O(N^2*K)
3 100
1700
30 300 2 80 1200 1 10 200 8
方案：
1件物品1 7件物品3
共有3件物品
重量分别为30/80/10
价值分别为300/1200/200
数量分别为2/1/8
背包最大载重量为100
多重背包问题
最小是多少
初始f[0]=-inf,f[i]=inf（inf为无穷大，可取值 为大于任意ai绝对值的一个数字）
最长上升子序列
F[0]
F[1]
nf
inf
inf
inf
插入a1后 -inf
5
插入a2后 -inf
5
插入a3后 -inf
5
插入a4后 -inf
2
插入a5后 -inf
边界条件f[0,i]=0 目标f[n,limit]
0/1背包问题
我们注意到，f[i,j]仅与f[i-1,j]和 f[i-1,j-w[i]]有关，因此没必要保存二维数组
令f[i]表示背包承重不大于i的情况下最大价 值
0/1背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:=limit downto w[i] do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
递增。
Sample Input
9 589231746
Sample Output 4
最长上升子序列
算法：动态规划 令f[i]表示以ai为结尾的最长上升子序列的长
度 转移方程：
f[i]=max(f[j],1<=j<i,a[j]<a[i])+1
时间复杂度：O(N^2)
最长上升子序列
换一种状态表示方法 令f[i]表示长度为i的上升子序列的结尾数字
当程序申请长度为L的内存时，也可以给它 分配一块长度为L’（L’>L）的更大的内存块。
内存长度种类不超过K。 求最少需要的内存。
内存碎片
Sample Input
32 10 1 11 1 20 1
Sample Output 42
3个内存申请 最多2种长度
方案： 两个11，一个20
多重背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有c[i]个。现在 我们有一个最大载重量limit的包，问放入哪 些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
多重背包问题
Sample Input
Sample Output
内存碎片
算法：动态规划 先将所有L[i]排序。
112344678 222446688 113366688 233377778
这一行是内存申请的长度 这三行是内存分配的可能长度
内存碎片
一种内存长度覆盖的区间必定是连续的， 并且该内存长度等于覆盖区间最后一个内 存申请操作的长度。
令f[i,j]表示考虑完前i个内存申请操作，并且 已经使用完j种内存长度的最少需要的内存。
0/1背包问题
共有N件物品，每件物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，现在我们有一个最大载 重量limit的包，问放入哪些物品能使得总价 值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
0/1背包问题
SampleInput
SampleOutput
3 100 30 300 80 1200 10 200
每处理到一个ai，我们要找到一个k满足 f[k–1]<ai且f[k]>=ai，并用ai更新f[k]，最终 max(k|f[k]!=inf)就是答案。
可以通过二分查找将时间复杂度降至 O(NlogN)
选人
将所有人按照智商排序，以情商为关键字， 求最长上升子序列的长度即可。
内存碎片
N个内存申请请求，申请长度为L[i]的内存块 c[i]次。