考前保温7练习(教师版)

考前保温7练习
一．填空题
1.将函数f (x )的图象向右平移π6
个单位后得到函数(
)
π4sin 23
y x =-的图象，则
()
π4
f 的值为 ． 4 2.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (2，1)．若向量3a +b 与21k -a b 共线，则实数k 的值为 ．7-
3.在△ABC 中，已知5AB =，3BC =，2B A ∠=∠，则边AC 的长为 ．26
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()()2
2
1x a y a -+-=(0)a ≥上存在一点P
到直线l ：26y x =-的距离等于51-，则实数a 的值为 ．1
5.已知正项等比数列{}n a 满足: 6542a a a =+,若存在两项m a ,n a 使得12m n a a a =,则
14m n +的最小值为________. 94
6.．各项均为非负的任意等差数列{}n a 满足221105a a +=，则345678
a a a a a a +++++的取
值范围是 ．35,310⎡⎤⎣⎦
【解析1】由题意得()()3456783811033a a a a a a a a a a +++++=+=+， 令110,x a y a ==，则2
2
5x y +=且0,0x y ≥≥， 从而点(),x y 在如图所示的四分之一个圆上， 故当直线t x y =+过点(
)()
5,0,0,5A
B 时，min 5t =，
当直线t x y =+与四分之一个圆相切于点1010,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
时，max 10t =，
从而()1103335,310a a t ⎡⎤+=∈⎣⎦。

【解析2】令1105cos 025sin a a θπθθ⎧=⎪⎛
⎫≤≤⎨ ⎪⎝
⎭=⎪⎩，则
()()3456783811033310sin 4a a a a a a a a a a πθ⎛
⎫+++++=+=+=+ ⎪⎝
⎭
因为0,
2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以3,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故34567835,310a a a a a a ⎡⎤+++++∈⎣
⎦。

解析3：由于已知条件及所求结论是对称的， 所以根据对称性原理，当11010
2
a a ==
时，()110max 10a a +=， 当11005a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或11050
a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，()110min 5a a +=， 故所求的结果为35,310⎡⎤⎣⎦。

二．简答题
7.设函数()1ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为
(1)2y e x =-+.
（1）求,a b ； （2）证明：()1f x >.
解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，11
2()ln x
x x x a b b f x ae x e e e x x x
--'=+
-+. 由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b ==.
（2）解法1：由(Ⅰ)知，12()ln x x
e f x e x x
-=+，从而()1f x >等价于2ln x
x x xe e ->-
设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<， 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，从而()g x 在
()0,+∞的最小值为11()g e e
=- 设函数2()x
h x xe
e
-=-
，则()()1x
h x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而
()h x ()g x 在
()0,+∞的最小值为1(1)h e
=-.
综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >.
解法2：要证明：()1
2ln 1x x
e f x e x x
-=+>，即证明1ln 2x ex x xe -+>
令()ln 2g x ex x =+，则()()1ln g x e x '=+. 由()10g x x e
'=⇒=，易知()g x 在1
x e =
处取最小值，
即()min 11g x g e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
令()1x h x xe -=，则()()1111x x x h x e x e x e ---'=-=-. 由()01h x x '=⇒=，易知()h x 在
1x =处取得最
大值，即()()max 11h x h ==，因为
1
1e
<，所以()()g x h x >在0x >时恒成立. 即()1
2ln 1x x
e f x e x x
-=+>，得证.
8.在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起. (1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?
(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1
为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n 根，从而由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤+<+-20092
)1(2)1(2009n n n n n 且*
N
n ∈得，当62=n 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；
（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1
为
公
差
的
等
差
数
列
，
从
而
2009)1(2
1
=-+n n nx ，即
4177220092)12(⨯⨯⨯=⨯=-+n x n ，因1-n 与n 的奇偶性不同，所以12-+n x 与n
的奇偶性也不同，且12-+<n x n ，从而由上述等式得：
⎩⎨⎧=-+=574127n x n 或⎩⎨⎧=-+=2871214n x n 或⎩⎨⎧=-+=981241n x n 或⎩⎨
⎧=-+=82
1249
n x n ，所以共有
4种方案可供选择。