高中数学必修二2.3.2-2平面与平面垂直的判定
人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计
2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。
高中数学必修二《2.3.2平面与平面垂直的判定》课件
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角的平面角
在正方寻体找A二B面C角D-的A平’面B角’C’D’中，找出下列二 面角的平面角：
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面．
l
棱为l，两个面分
别为、的二面角记
为-l-．
3．画二面角
⑴平卧式：Zx````xk
A
A
l
l
B
B
A ⑵直立式：
l
B
4．二面角的大小 怎样度量二面角的大小？能否转化为两 相交直线所成的角？ l
4．二面角的大小 怎样度量二面角的大小？能否转化为两
内，从点O分别作垂
直于棱l的射线OA、
A
B1
A1
OB，射线OA、OB组成∠AOB．
4．二面角的大小
∠AOB的大小一定．
一个平面垂直于二
面角-l-的棱l，且与 l
两个半平面的交线分别 O 是射线OA、OB，O为 O1 垂足，则∠AOB叫做
二面角-l-的平面角．
B
A
B1
A1
4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．Zx`````xk ①二面角的两个面重合：0o； ②二面角的两个面合成一个平面：180o；
高中数学人教A版必修二：2.3.2平面与平面垂直的判定课件
C
A
•O
B
练习1：如图：在Rt△ABC中，∠B=900 ， P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面 ABC，问：四面体PABC中有几个直角三角 形？并证明之.
P
答案：四个面
A
都是直角三角
形
C B
练习2.如图，A是BCD所在平面外一点，AB AD， ABC ADC 90，E是BD的中点， 求证：平面AEC 平面ABD
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB α
∪
求证：α⊥β.
α
A
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β，BE β，
A
B
D
E
C
作业
教材P69 练习 P73习题 A组1、2
O
O
B
B
10
二面角的 平面角的定义、范围及作法
1、二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的
平面角。
AOB=?= AOB
O l
A
B
注一同无量等:个，关的（（角角那，，12定））的么只一理二二两这与个：面面边两二二如角角分个面面果的是别角角角一平用平相的的个面它行等张平角角的，。角面的与平并）大角两点面且小多边的角方有大和位来向关，另置度相。就
l
l
5
上述变化过程中图形在变化，形成的 “角度”的大小如何来确定 ？
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2
Q T
a
18
证明：法一：取 CD 的中点 E，连接 NE，ME，MC、PM. PA⊥平面 ABCD⇒PA⊥AD，
∠PDA＝45°⇒PA＝AD＝BC， 又 M 是 AB 的中点，
Rt△PAM≌Rt△NC是BMPC⇒的M中P＝点MC⇒MN⊥PC.
PA⊥CD AD⊥CD ⇒CD⊥平面 PAD⇒ PA∩AD＝A
C
在平面α内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
α
B E
D
∵AB⊥ α ，BE α ，
∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.
a
13
平面与平面垂直的判定
证一证
例2.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平
面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.
D1 A1
C1 D1 B1 A1
C1 B1
D A
D
C
B
A
a
O
C B
9
平面与平面垂直的判定
找一找
例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，找出下列二面角的平面角：
（1） 二面角 A1-DC-1 B
你能求其余弦值吗？
D1
C1
C1
A1
E B1 A1
D A
CD B
a
B 10
平面与平面垂直的判定
找一找
例1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，找出下列二面角的平面角： （2） 二面角 A1-AB-D 和 D1-BD-C的大小？
D1 A1
C1 D1 B1 A1
o1
C1
B1
D A
C
D
B aA
2高中数学必修2精品教案：2.3 平面与平面垂直的判定 教案2
《2.3.2平面与平面垂直的判定》教学设计教学内容人教版新教材高二数学第二册第二章第三节第2课教材分析直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
学情分析1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。
2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
教学目标1.知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
2.情感态度与价值观（1）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳.（2）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.教学重、难点1.重点：平面与平面垂直的判定。
2.难点：找出二面角的平面角。
教学理念学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.设计思路：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念认识；利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
【高中数学必修二】2.3.2平面与平面垂直的判定
M
A
N
C
线线垂直
O
线面垂直
B
面面垂直 若AM⊥PC，N是PB上一点，
求证：平面PBC⊥平面AMN
课堂小结
1.二面角及其平面角的概念 2.二面角的范围及求二面角的步骤 3.两个平面垂直的定义 4.两个平面垂直的判定定理 5.证明两个平面垂直的方法 （1）定义法（2）判定定理
6.核心思想：
线线垂直 线面垂直 面面垂直
2.3.2 平面与平面垂直的判定
复习回顾
1.在立体几何中,如何度量"异面直线所成的角"？
2.在立体几何中,如何度量"直线和平面所成的角"？
引入课题
既然线线存在角，线面存在角，那么面面是否
也存在角呢？如果面面存在角该如何度量呢？
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做射线。
l
A
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
Q
二面角的表示
B P
二面角 l 二面角 AB 二面角P l Q 二面角P AB Q
10
求二面角的步骤: 1、找(作)出二面角的平面角;
2、证明找到角就是二面角的平面角;
3、求出此平面角的大小。
一“找”二“证”三“求”
关键：确定二面角的平面角.
两个平面垂直的定义:
一般地，两个平面相交，如果它们所成二面角是直 二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作：
l
2.3.2平面与平面垂直的判定(张用)
请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
探究： 如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=900 ,P 为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能 发现哪些平面互相垂直，为什么？
∠D1CD D1 A1 B1 C1
45°
D
C B
A
1、在300二面角的一个面内有一点A，它到另 一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA， 则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。 所以∠AOH就是二面角 α-EF-β 的 一 个 平 面 角 ， ∠AOH=300，OA=20cm.
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A B
C
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B
l
O
A
下列说法中正确的是
(
)
①两个相交平面组成的图形叫做二面角②异面直线a，
b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b形成的角
与这个二面角的平面角相等或互补。③二面角的平 面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所 成角的最小角④二面角的大小与其平面角的顶点在 棱上的位置没有关系。
高中数学同步讲义必修二——第二章 2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．知识点一二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直思考若直线l垂直于平面α，是否经过直线l的任意一个平面都垂直于平面α？答案是．梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β. (2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l ⊥α，l ⊂β⇒α⊥β1．若l ⊥α，则过l 有无数个平面与α垂直．( √ ) 2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.( √ )类型一 证明面面垂直例1 如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由． (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面P AB，CM⊄平面P AB，所以CM∥平面P AB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，P A⊥AB，P A⊥CD.因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以P A⊥平面ABCD.从而P A⊥BD.又BC∥MD，且BC＝MD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面P AB，所以BD⊥平面P AB.又BD⊂平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.引申探究1．若将本例条件改为“P A垂直于矩形ABCD所在的平面”，试证明：平面PCD⊥平面P AD.证明因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又AD∩P A＝A，AD，P A⊂平面P AD，所以CD ⊥平面P AD ，又CD ⊂平面PCD ， 所以平面PCD ⊥平面P AD .2．若将本例条件改为“P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PB ＝BC ，M 是PC 中点”，试证明：平面MBD ⊥平面PCD .证明 连接AC ，则BD ⊥AC .由P A ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥P A ，又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ， 所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC ， 因为PB ＝BC ，M 是PC 中点，所以BM ⊥PC ，又BD ∩BM ＝B ，BM ，BD ⊂平面BMD ， 所以PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， 所以平面MBD ⊥平面PCD .反思与感悟 证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直． (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．跟踪训练1 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.类型二求二面角的大小例2(1)有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案 B解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①错误，易知②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角A－BC－O的大小．解如图，在平面α内，过O 作OD ⊥BC ，垂足为点D ，连接AD ， 设CO ＝a .∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又AO ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ，∴∠ADO 即为二面角A －BC －O 的平面角， 由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，得AO ⊥OB ，AO ⊥OC ， 又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°， ∴AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a ， 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a .在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32，∴∠ADO ＝60°，即二面角A －BC －O 的大小为60°.反思与感悟 (1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法． 跟踪训练2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小．解由已知P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由P A＝AC知△P AC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直答案 C解析由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.2．下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β答案 C解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．3．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC 翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.4．如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD，又CD⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，BC⊥平面P AB，∴平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面P AB，∴共有5对互相垂直的平面．5．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明连接AC与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．一、选择题1．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.3.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.4．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在答案 C解析若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．5．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A．90°B．45°C．60°D．30°答案 A解析如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°，故选A.6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.32 B.22C. 2D. 3答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝22.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是()A．①③B．②③C．②④D．③④答案 B解析对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP ⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立，故选B.8．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC答案 C解析如图所示，∵BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面P AE，∴DF⊥平面P AE，∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)，∴D正确．二、填空题9．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______．答案①③④⇒②解析m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.10．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．答案平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由题意得BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.13．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面P AC.证明(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．又F是PB的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵P A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC.四、探究与拓展14．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝12AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.又因为EF⊂平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)求AE为何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？(1)证明连接D1A，D1B.∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E⊂平面ABD1，∴A1D⊥D1E.(2)解过D作DF⊥EC于点F，连接D1F. ∵D1D⊥平面DB，EC⊂平面DB，∴D1D⊥EC.又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.∵D1F⊂平面D1DF，∴EC⊥D1F，∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝1.在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，∴∠ECB＝60°.在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝3，AE＝2－ 3.。
高一数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定导学案(解析版)
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ （3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？ 三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２ 如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 。
高一数学必修二 2.3.2 平面与平面垂直的判定
二图 面示 角
的 平
ห้องสมุดไป่ตู้
符 号
OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB 是二面角 的平面角
面 角
范 围
0°≤∠AOB≤180°
规 定
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角 是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面 角叫做直二面角
知识梳理
12
名师点拨 1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯 一确定的,与选择棱上的点的位置无关.
重难点突破
12
2.处理翻折问题的关键 剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立 体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生 变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆 不清. 例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B, 所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1, 所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
重难点突破
12
1.理解二面角及其平面角 剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形, 二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平 面图形转化的思想. (2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹 角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. (3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角 相等,相邻的两个二面角互补.
高一数学必修二教学课件
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
1.了解二面角及其平面角的概念. 2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法. 3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直 的问题.
高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定课件
11/4/2024
三、新知建构，交流展示
β
a
A
b
α
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)你能举出日常生活中平面与平面垂直的例子?
11/4/2024
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
β
a
符号:
A α
a a 面
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
11/4/2024
线面垂直
面面垂直
1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
11/4/2024
思考:在二面角α-l-β的棱上取一点 O，过点O分别在二面角的两个面内 任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB 来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
11/4/2024
思考:在上图中如何调整OA、OB的位 置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确 定？这个角的大小是否与顶点O在棱 上的位置有关？
11/4/2024
三、新知建构，交流展示
正解:∵PA⊥平面 ABCD,CD⊂ 平面 ABCD, ∴CD⊥PA,又 CD⊥AD,且 PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD.又 PD⊂ 平面 PAD, ∴CD⊥PD, ∴∠PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角. 在 Rt△PAD 中,PA⊥AD,PA=2AD,
β
人教版数学必修22.3.2平面与平面垂直的判定
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
问题重现
1、直线与平面垂直的定义及判定定理。 2、空间中两平面的位置关系有几种？
思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分叫什 么？ 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分 叫什么名称？
射线 射线
半平面 半平面
β
B
O
lA
α
β
B′ B
o′
α
lO
A′
A
Hale Waihona Puke 思考4:在上图中如何调整OA、OB的位 置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确 定？这个角的大小是否与顶点O在棱 上的位置有关？
β
B
l O
A
α
定义
以二面角的棱上任意一点为端点，以该点为垂 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
A O⊥ l ，B O⊥ l
二面角的平面角的三个特征:
A
l O
B
1.点在棱上 2.边在面内 3.边棱垂直
二面角的大小可以用它的平面角来 度量，二面角的平面角是多少度， 就说二面角是多少度.
0 180
练习：三棱锥A-BCD,AB垂直于底面ＢＣＤ,底面ＢＣＤ
为等边三角形,求二面角D-AB-C的大小.
例3：AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，
C是圆周上不同于A, B的任意一点， 求证：平面PCA 平面PBC。
p
C
A
O
B
证明: 设已知⊙O所在平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA BC PPAAA面CACPABCCA AC 面PAC
2.3.2平面与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们 所成的二面角及其度数.
1. 平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
画法：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。
（面面垂直的定义是判定面面垂直的一种方法）
平面与平面垂直的判定
复习回顾
1.线面垂直定义： l l垂直于平面内的所有直线. 2.线面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
n m n p l lm ln
判定定理
m
l
m
P
n
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直? (2)如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
如果铅锤线和墙面紧贴，那么墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
2. 平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
α
m m
β
m
简记：线面垂直面面垂直 关键:在其中一个面内找出另一个平面的垂线.
√)
∪
3. 平面与平面垂直的判定定理的应用 P69例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所 在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
线线垂直 线面垂直 面面垂直
证明:
设已知⊙O所在平面为
PA , BC
PA BC
又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC BC 面PAபைடு நூலகம் PA AC A PA 面PAC BC 面PBC AC 面PAC
平面与平面垂直的判定
课堂讲义
解 取 A1C1 的中点 O， 连接 B1O， BO.由题意知 B1O⊥A1C1， 又 BA1＝BC1，O 为 A1C1 的中点， 所以 BO⊥A1C1， 所以∠BOB1 即是二面角 B－A1C1－B1 的平面角． 因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1，OB1⊂平面 A1B1C1D1，所以 BB1 ⊥OB1.
预习导学
[预习导引] 1．二面角 两个半平面 (1)二面角：从一条直线出发的 _______________所组 这条直线 成的图形叫做二面角． ___________________叫做二 面角的棱．这 __________________叫做二面角的 两个半平面 面． 二面角α－l－β P－AB－Q P－l－Q 如图(1)可记作：_______________或__________或 _______.
预习导学
(2)画法：
α⊥β 记作：_______ .
(3)面面垂直的判定定理
垂线 文字语言：一个平面过另一个平面的_______ ，则这两个平
面垂直．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
预习导学
图形语言：如图所示
a⊥β ⇒α⊥β. 符号语言： a⊂α _________
课堂讲义
要点一
二面角及其平面角的概念
例1 下列命题中：
高中数学·必修2 人教A版
2.3.2 平面与平面垂直的判定
预习导学
[学习目标] 1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大 小． 2．理解两平面垂直的定义． 3．掌握两平面垂直的判定定理．
预习导学
[知识链接]
任意 ______一 1．直线与平面垂直：如果直线l与平面α内的 条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一 个平面内的 _______________直线都垂直，则该直线 两条相交 与此平面垂直． 3．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平 射影 ________所成的 锐角 面上的 _______．
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(2)射影面积法——已知平面α内一个多边形 的面积为S，它在平面β内的射影图形的面积 为S'，平面α和平面β所成的二面角的大小为 θ，则二面角的大小为COS ＝ S’÷ S
A
B
E
O
D
C
(3)向量法——若两个半平面的法向量分别 为 n1 ， n2 ，设二面角的平面角为 ，则 Cos = Cos< n1 , n2>
=g
g
两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。
a
n1
l
n2
b
3
例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中， 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小. A
N
B
M
D
C
解：作BM AC于M，作MN AC交AD于N， 则BMN就是二面角B AC D的平面角 由AB = AC = BC = 2, M是AC的中点，且MN//CD 6 1 1 1 3 得BM = , MN = CD = , BN = AD = . 2 2 2 2 2 由余弦定理得 BM MN BN 6 cos BMN = = , 2 BM MN 3
思考：这种解法同解法一有什么异同？
C
1 B1
C B
解法三：
如图：由题意可知，这是一个直 四棱柱 ，△ BFD1在底面上的射 影三角形就是△ABD, 故由射影面积关系可得COSθ= ＳABD／ＳBＦＤ1 （θ是所求二面角的平面角） 以下求面积略。
D1
C
1
A
1
B1
D
A B
C
点评：这种解法叫做“射影面积法”
A S E
D
B
C
由AB BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求二面角D1—AC—D的大小？
D1 C1
答案：arctan 2
A1
B1
D
O
C B
A
二面角的几种主要常用的求法：
1、直接法 （1）定义法。见例一 （2）垂面法。例二的解法一； （3）三垂线法。见例二的解法二； 2、射影面积法。见例二的解法三； 3、法向量夹角法。见例二的解法四。
2 2 2
6 则BMN = arccos . 3
例2：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面
ABCD是菱形，AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1 的中点。 求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面 A 1 角的大小。
D1
C1
B1 D
B C
F A
解法一：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线 PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。
在选择和填空题中有时候用起来会很 好
解法四：
法向量法：建系如图：
设这个四棱柱各棱长均为2. 则D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1，
3
z D1 A1 F A y D B1 C x C1
，0） F（-1， 3 ，1）
∴ BF =（-2，0 ，1）
DB
1
=（1， ，-2）
B
显然， 就是平面ABCD的法向量，再设平面 BDD1的一个法向量为向量 u=(x0,y0,z0)。则 u⊥ FB 且u⊥ ∴2x0+ 0y0-z0=0且x0+ 3 y0-2z0=0 令x0=1可得z0= 2 , y0= 3 , 即
D1 ∵ F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点， A1 ∴AP=AB, 又∵∠ DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三 F 角形ABD, 故 D ∠DBA=600, ∵∠P=∠ABP=300, ∴∠DBP=900,即 A PB⊥DB； P 又因为是直棱柱，∴DD1 ⊥ PB, ∴PB⊥面DD1B, 故 ∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。 显然BD=AD=DD1, ∴∠DBD1=450。即为所求.
解毕。
C B1
1
C
B
解法二：
如图：延长D1F交DA的延长线于点P， 连接PB，则直线PB就是平面BFD1与 D1 平面ABCD的交线； A1 因为是直棱柱，所以AA1 ⊥ 底面 ABCD,过A做AE⊥PB,垂足为E,连接 F EF, D 由三垂线定理可知，EF⊥PB, A ∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面 E 角； P 同解法一可知，等腰△APB, ∠P=300， Rt△APB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱的棱长为2）又AF= 1, ∴∠AEF=450，即为所求。
解：（ 1）因为SB＝BC，E为SC的中点， 所以BE SC，又DE SC 因此SC 平面BDE （2）由SC 平面BDE，得BD SC 又由SA 平面ABC，得BD SA 则BD 平面SAC 因此CDE为二面角E－BD－C的平面角 SA a 3 在RtSAC中，tanSCA= = = AC 3a 3 则SCA=300，则CDE=900－SCA＝600
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
n n1 1
a
l
g n 2
b
g
设 n1 , n2 = g 设a —l —b的平面 角为
n n 11
a
l
g n 2
b
两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。
n n 11
g
a
l
n2
b
设 n1 , n2 = g 设a —l —b的平面 角为
α
β
αβ γ α A C Bβ
（3）、三垂线法：过一个半平面内一点 （记为A）做另一个半平面的一条垂线，过 这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足 为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平 面角。
二面角的求法 二面角的求法
(1)直接法——直接在二面角中用所学 的方法（三种）做出平面角，再用所学 的几何知识求出平面角的大小.
求二面角的平面角
复习：
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
O
平面角的做法：
答： （1）、定义法：在棱上取一点，在
两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2 射线所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面， 这个平面与2个半平面分别有一条交线，这 2条交线所成的角；
u
=（ 1， 3 ，2）
设所求二面角的平面角为θ，则COSθ = = 解毕 ,所以所求二面角大小为450
例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
S E A D C B