2012新课标版高考数学理科

2012新课标理
一、选择题
1 ．已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,)
,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素
的个数为
()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10
2 ．将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,
每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有
()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种
3 ．下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题:其中的真命题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-
()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34
4 ．设12F F 是椭圆2222
:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点,P 为直线32a
x =上一点, ∆21
F PF 是底角为30
的等腰三角形,则E 的离心率为 ()
A 12 ()
B 23 ()
C 34 ()
D 4
5
5 ．已知
{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=
()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7
6 ．如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和
实数12,,...,n a a a ,输出,A B ,则
()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()
B 2
A B
+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数
7 ．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的
是某几何体的三视图,则此几何体的体积为
()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18
8 ．等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y
162
=的准线交于,A B
两点,AB =;则C 的实轴长为
()A ()B ()C 4 ()D 8
9 ．已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+
在(,)2
π
π上单调递减.则ω的取值范围是 ()A 15[,]24 ()B 13[,]24
()C 1
(0,]2 ()D (0,2]
10．已知函数
1
()ln(1)f x x x
=
+-;则()y f x =的图像大致为
11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,
SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 ()
A ()B
()C
()
D 12．设点P 在曲线12
x
y e =
上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为 ()A 1ln 2- ()B
ln 2)- ()C 1ln 2+ ()
D ln 2)+
二、填空题
13．已知向量,a b 夹角为45︒
,
且
1,2=-=a a b ;则_____=b
14．设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
;则2z x y =-的取值范围为_________
15．某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3
正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布2
(1000,50)N ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为_________
16．数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-,则
{}n a 的前60项和为_______
三、解答题
17．已知,,
a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边
,cos sin 0a C C b c -
-=
(1)求A (2)若2a =,ABC ∆的面积为3;求,b c .
18．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,
如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式.
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列, 数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝? 请说明理由. 19．
如图,直三棱柱111ABC A B C -中,11
2
AC BC AA ==
, D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1
(1)证明:BC DC ⊥1
(2)求二面角11C BD A --的大小.
20．设抛物线2
:2(0)C x
py p =>的焦点为F ,准线为l ,A C ∈,已知以F 为圆心,
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点;
(1)若0
90=∠BFD ,ABD ∆的面积为24;求p 的值及圆F 的方程;
(2)若,,A B F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点, 求坐标原点到,m n 距离的比值.
21．已知函数()f x 满足满足1
21()(1)(0)2
x f x f e
f x x -'=-+
; (1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若2
1()2
f x x ax b ≥
++,求(1)a b +的最大值. 22．选修4-1:几何证明选讲
如图,,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点,直线DE 交
ABC ∆的外接圆于,F G 两点,若//CF AB ,证明:
(1)CD BC =;
(2)BCD GBD ∆∆
23．本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系,曲线2C 的坐标系方程是2=ρ,正方形ABCD 的顶点都在2C 上, 且,,,A B C D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,)3
π
(1)求点,,,A B C D 的直角坐标;
(2)设P 为1C 上任意一点,求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围.
24．选修45-:不等式选讲
已知函数()2f x x a x =++-
(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;
(2)若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围.
E
D
G
B
C
F
A
2012新课标理参考答案
一、选择题 1. D
2. A
3. C
4. C
5. D
6. C
7. B
8. C
9. A
10. B 11. A 12. A
函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =
的距离为d =
设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=
-⇒=-⇒=-⇒= 由图象关于y x =对称得：PQ
最小值为min 2ln 2)d -
二、填空题 13.
14. [3,3]-
15.
3
8
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2
(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12
p =
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2
13
1(1)4
P p =--=
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138
p p p =⨯=
16. 1830
可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+
11234151514
1010151618302
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+
⨯=
三、解答题
17. (1)由正弦定理得
:
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒
⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=
(2)1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=
解得:2b c ==(l fx lby)
18. (1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-=
当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-
得:1080(15)
()80
(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨
≥⎩
(2)(i)X 可取60,70,80
(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X
222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=
(ii)购进17枝时,当天的利润为
(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4
y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=
76.476> 得:应购进17枝
19. (1)在Rt DAC ∆中,AD AC =
得:45ADC ︒∠=
同理:1114590A DC CDC ︒︒
∠=⇒∠=
得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ (2)11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H
1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得:点H 与点D 重合
且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =,
则1C O =
111230C D C O C DO ︒
=⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒
20. (1)由对称性知:BFD ∆是等腰直角∆,斜边
2BD p =
点A 到准线l
的距离d FA FB ===
1
22
ABD S BD d p ∆=⇔
⨯⨯=⇔= 圆F 的方程为2
2
(1)8x y +-=
(2)由对称性设2000(,
)(0)2x A x x p
>,则(0,)2p F 点,A B 关于点F 对称得:22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔= 得
:3,
)2p
A ,
直线3:02p p p m y x x -
=+⇔+=
22
22x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点)6p
P
直线:06p n y x x p -
=⇔-=
坐标原点到,m n 3=.(lfx lby)
21. (1)1
2
11()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e
f x x f x f e f x --'''=-+
⇒=-+ 令1x =得:(0)1f =
12
11()(1)(0)(1)1(1)2
x f x f e x x f f e f e --'''=-+
⇒==⇔= 得:2
1()()()12
x
x f x e x x g x f x e x '=-+
⇒==-+
()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增
()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<
得:()f x 的解析式为21()2
x
f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增
x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥
22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>
令2
2
()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>⇔<<⇔>
当x =
,max ()2
e F x =
当1,a b ==,(1)a b +的最大值为
2
e 22. (1)//CF AB ,//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒=
//CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔= (2)//BC GF BG FC BD ⇒==
//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCD GBD ∆∆
23. (1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,
),(2,
),(2,),(2,)3
636
π
πππ 点,,,A B C D
的直角坐标为(11,1)-- (2)设00(,)P x y ;则00
2cos ()3sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨
=⎩为参数
2
2
2
2
224440t PA PB PC PD x y =+++=++
25620sin [56,76]ϕ=+∈(lfxlby)
24. (1)当3a =-时,
()3323f x x x ≥⇔-+-≥
2323x x x ≤⎧⇔⎨
-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩
1x ⇔≤或4x ≥
(2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立
24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立
30a ⇔-≤≤。