第02讲 一元微分学及应用

f −′ (1) = lim−
例2.3. 设 f ( x) 在 N ( x0 ) 有定义，则与 f ′( x0 ) 存在不等价的是 （A） ∃k ≠ 0 , lim
x →0
(B)
f ( x0 + kx) − f ( x0 ) 存在 x
x →0 x →0
（B） ∃α ( x) > 0, lim α ( x) = 0 , lim
Δy = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ′( x 0 )Δx + o(Δx ) ;
特别是，当 f ′( x0 ) ≠ 0 时, Δy ~ f ′( x0 )Δx . (C) 可导与连续的关系：
y = f ( x) 在 x0 点可导 ⇒ y = f ( x) 在 x0 点连续
由可导的充要条件， x = ±1 处均不可导， 由初等函数的性质，在 x ≠ ±1 的任意点都可导。 例2.5.
f ( x) = ( x 2 − x − 2) x 3 − x 有几个不可导的点？( 0,1 )
2 3
2
解： f ( x) = ( x − x − 2) x − x = ( x − 2)( x + 1) x − 1 x
⎧1 − cos x ⎪ 例2.4. (1) 设 f ( x) = ⎨ x ⎪ x 2 g ( x) ⎩
则 f ( x) 在 x = 0 处（ D ） 。 (A) 极限不存在； (C) 连续，但不可导；
x>0 x≤0
，其中 g ( x) 是有界函数，
(B)极限存在，但不连续 (D) 可导
解：首先考查 x = 0 处的左右极限。
x≠0 在 ( −∞, ∞ ) 连续且可导, x=0
⎧2 x sin(1/ x) − cos(1/ x) x ≠ 0 f 2′( x) = ⎨ , 在 x = 0 不连续。 0 x=0 ⎩
例2.2.
⎧ln(a + x 2 ) f ( x) = ⎨ ⎩ x+b
x >1 x ≤1
a = ?, b = ? 在 x = 1 可导。
1
2.1 一元函数导数和微分的概念
(1) 导数 z 导数的定义：设 f ( x) 在 N ( x0 , δ ) 有定义，若极限
Δx → 0
lim
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) 存在，则称 f ( x) 在 x0 点可导, Δx
称该极限值为 f ( x) 在 x0 点的导数值，该值记作:
y′( x0 ) , 或 f ′( x0 ) ,
d y ( x) d f ( x) , d x x=x d x x= x
0
0
导数的其他形式： f ′( x0 ) = lim z 左导数与右导数的定义。
Δx → 0
Δf ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) . = lim x → x Δx x − x0
(B) 可微与连续的关系：
f ( x) 在 x0 点可微 ⇒ f ( x) 在 x0 点连续
(C) 微分与增量的关系：
f ′( x0 ) ≠ 0 ⇒ Δf ( x0 ) ~ d f ( x0 ) ; f ′( x0 ) = 0 ⇔ Δf ( x0 ) = o(Δx) .
(D) 微分的几何意义: 微分三角形 在 x0 点,以 dy ( x0 ) 和 Δx 为直角边, 切线为斜边的直角三角形 MTN ， 称为微分三角形, dy ( x0 ) 是曲线
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解：(1) f ( x) 在 x = 1 点连续
⇔ lim f ( x) = 1 + b = lim f ( x) = ln(1 + a) ⇒ b + 1 = ln(a + 1) .
x →1−
x →1+
(2) f ( x) 在 x = 1 可导 ⇔
f −′(1) = f +′(1) :
f (1 + Δx) − f (1) =1; Δx → 0 Δx f (1 + Δx) − f (1) 2 f +′ (1) = lim+ . = Δx → 0 Δx 1+ a 2 f ( x) 在 x = 1 点可导 ⇒ 1 = ⇒ a = 1, b = ln 2 − 1 . 1+ a
′ = u′( x)v( x) + u ( x)v′( x) ; d [u ⋅ v ] = vdu + udv . ⎛ u ( x) ⎞′ u′( x)v( x) − u ( x)v′( x) ⎛ u ⎞ vdu − udv ;d ⎜ ⎟ = . ⎜ ⎟ = 2 v2 ⎝v⎠ ( v( x) ) ⎝ v( x) ⎠
(B) 恰有一个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
3n
[C]
= 1，
3
当 x > 1 时， lim n 1 + x
n →∞
3n
= x lim(
n →∞
1 x
3n
1
+ 1) n = x ，因此
3
f ( x) = lim n 1 + x
n →∞
3n
⎧ ⎪1, =⎨ 3 ⎪ ⎩x ,
x ≤1 x >1
x →0
4
其次再考查 x = 0 处的左右导数是否存在。
x →0
lim −
lim+
f ( x) − f (0) = lim xg ( x) = 0 x →0 − x
f ( x ) − f ( 0) x2 1 − cos x = lim+ = lim+ 3 / 2 = 0 ， x →0 x →0 2 x x x⋅ x
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(sin x)′ = cos x , (tan x)′ = sec 2 x , (cot x)′ = − csc 2 x ,
(sec x)′ = sec x tan x , (csc x)′ = − csc x cot x
( xα )′ = α xα −1 ( x > 0, α 为任意实数)； (a x )′ = a x ln a (a > 0) ； (e x )′ = e x (log a x)′ = 1 1 (a > 0) , (ln x )′ = x ln a x
N
y = f ( x) 在 x0 点处切线的纵坐标的增量，而函数在 x0 点处的增量
Δf ( x0 ) 则是曲线纵坐标的增量。
例2.1.
⎧ x sin(1/ x) x ≠ 0 f1 ( x) = ⎨ 0 x=0 ⎩
在 x = 0 连续但不可导；
⎧ x 2 sin(1/ x) f 2 ( x) = ⎨ 0 ⎩
,考虑 x = ±1 处的可导性。
f −′ (−1) = lim−
x→−1
− x3 − 1 1−1 = −3 ， f +′ (−1) = lim+ =0 x → −1 x − 1 x −1
f −′(1) = lim −
x→1
x3 −1 1−1 = 0 ， f +′ (1) = lim = 3， x →1+ x − 1 x −1
x →0
lim f ( x) = lim + +
x →0
1 − cos x x
= lim +
x →0
x2 2 x
=0
x →0
lim f ( x) = lim x 2 g ( x) = 0 (因为 g ( x) 有界) − −
x →0
因此 lim f ( x) = f (0) = 0 ，故 f ( x) 在 x = 0 处连续。
0
右导数
f +′( x0 ) = lim+
Δx → 0
f ( x) − f ( x0 ) ； x − x0 f ( x) − f ( x0 ) . x − x0
左导数
f −′( x0 ) = lim−
Δx → 0
z
导数的性质: 若 y = f ( x) 在 x0 点可导，则
(A) 可导的充要条件：在 x0 点, 左导数与右导数相等 (B) 导数与增量的关系：
d sec x = sec x tan xdx , d csc x = − csc x cot xdx
dxα = α xα −1dx, ( x > 0, α 为任意实数)； da x = a x ln adx, (a > 0) ； de x = e x dx d log a x = dx , (a > 0) , x ln a dx 1 − x2 dx 1 + x2 d ln x = 1 dx x
其中 A 与 Δx 无关, 则称 y = f ( x) 在 x0 点可微，其线性主部 A Δx 称 为 y = f ( x) 在 x0 点的微分,记作： dy ( x0 ) = A Δx 或 df ( x0 ) = A Δx . z 微分的性质
(A) 可微与可导的关系：
f ′( x0 ) 存在 ⇔ f ( x) 在 x0 点可微, 且 dy ( x0 ) = f ′( x0 ) Δx
= ( x − 2)( x + 1) x + 1 ⋅ x − 1 ⋅ x x − 1 ⋅ x 在 x = 1, x = 0 不可导 ⇒ f ( x) 在 x = 1, x = 0 不可导.
2.2 函数的导数与微分公式, 微分法
(1) 初等函数的导数和微分公式
(c)′ = 0(c 为常数)； (cos x)′ = − sin x ,
x →0
f ′(0 + ) 与 f ′(0 − ) 均存在，且相等。答案为(D)
例 2.4 (2)设函数 f ( x) = lim n 1 + x
n →∞ 3n