高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性预习导航新人教B版选修2-2资料
高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教选修22101504114
∴a≥G(x)max，而
7 ∴G(x)max＝－16， 7 ∴a≥－16.
1 2 － 1 G(x)＝ －1， x
解析答案
易错易混
求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误
例4 求函数 y＝x－ln x的单调区间.
防范措施
解析答案
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当堂检测
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1.函数 f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是( A ) A.单调增函数 B.单调减函数
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2
已0；当x＞3或x＜2时，f′(x)＞0；
当x＝3或x＝2时，f′(x)＝0；试画出函数 f(x)图象的大致形状.
解 当2＜x＜3时，f′(x)＜0，可知函数在此区间上单调递减； 当x＞3或x＜2时，f′(x)＞0，可知函数在这两个区间上单调递增；
解 f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2).
由 f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3， ∴函数 f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞). 由 f′(x)＜0得－2＜x＜3， ∴函数 f(x)的递减区间是(－2,3). 由已知得 f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致 图象如图所示(答案不唯一).
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
学习 目标
1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简 单的不等式. 3.会求函数的单调区间 ( 其中多项式函数的最高次数一般不超过 三次).
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高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用 第1课时 函数的单调性教案 新
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1。
3.1 导数在研究函数中的应用 第1课时 函数的单调性一、教学目标：1．会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用;2．会用导数判断或证明函数的单调性；3．通过对可微函数单调性的研究,加深学生对函数导数的理解，提高学生用导数解决实际问题的能力,增强学生数形结合的思维意识． 二、教学重点：正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能灵活应用． 教学难点:灵活应用导数法去解决函数单调性的有关问题的能力，以及解题善于运用数形结合的思想方法．三、教学用具：多媒体四、教学过程1．复习引入问题1 对于函数34)(2+-==x x x f y ，利用函数单调性的定义讨论它在R 上的单调性．（此题是教科书中引例的变式．多媒体展示）教师引导学生独立完成，并请学生上台板演，以帮助学生复习函数单调性的有关知识．点评学生的解答后，展示教师的推演过程与函数图象，理清学生的思路．略解：对任意R 21∈<x x ，有)4)(()()(21212121-+-=-=-x x x x x f x f y y ．当221<<x x 时，有021>-y y ，知)(x f 在其中是减函数；当212x x <<时，有021<-y y ，知)(x f 在其中是增函数．2．新授（多媒体画面中，问题1的解答消失,问题1与图形适当调整位置，并增加展示出图象上点))(,(00x f x 处的切线随0x 变化的动画．给出问题2)问题2 对于函数34)(2+-=x x x f ，它的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？从动画中学生不难看出:在区间),2(+∞内，函数为增函数,切线的斜率为正;在区间)2,(-∞内，函数为减函数，切线的斜率为负；在2=x 时，函数的切线的斜率为0．（画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3）问题 3 对于函数34)(2+-==x x x f y ，它的增减性与函数在相应区间上导数的正负符号有何联系？因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中学生易知：函数在区间),2(+∞内导数为正；在区间)2,(-∞内导数为负；在2=x 时，函数的切线的斜率为0．分段展示结论：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数．特别说明第三点：)(x f 在某区间内为常数,当且仅当0)(=x f 在该区间内“恒有”之时．否则可能只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x 轴平行）．3．例题与练习例1 (展示教科书上的例1)题解可引导学生自己完成,教师加以完善．然后向学生展示教师的书写格式与此函数的图象，使学生能清楚解题时应如何表达书写为好．最后可提示学生,)(,0)1(x f f ='在1=x 处改变了增减性，)(x f 改变了正负符号,为下一节的学习作铺垫．练习：教科书第134页练习1．学生独立完成并请上台板演．点评时注意学生的思路、符号、术语、书写格式是否合理．然后向学生展示教师的推演过程与函数的图象，以帮助学生理清思路．（解题过程略） 例2 （展示教科书上的例2）师生共同完成，展示教师的解答与此函数的图象，加深学生的理解．说明在1=x 和2=x 处函数改变增减性，导数为0．一是使学生能更清楚在何种情况下)(x f 为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔．（解题过程略）特别说明：利用导数法去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提醒学生在以后解题时可多尝试使用此法．练习2教科书习题补充练习1函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．略解：由0)2(363)(2>-=-='x x x x x f ，得增区间为)0,(-∞与),2(+∞．补充练习2 已知函数31232)(23+-+=x x x x f ，则函数)(x f 在（－2，1）内是（ )A ．单调递减B ．单调递增C ．可能递增也可能递减D ．以上都不成立略解：当)1,2(-∈x 时，有0)1)(2(6)(<-+='x x x f ，递减．故选A ．补充练习3 已知函数x x x f ln )(=，则( ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减 略解：当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，01ln )(<+='x x f ，递减．故选D ． 补充练习4 函数1+-=x e y x 的递减区间是_______________．略解:要使01<-='x e y ，只需0<x ,故递减区间为)0,(-∞．补充练习 5 证明函数22x x y -=在区间（0，1)上单调递减，而在区间（1，2）上单调递增．略证:由)2(1x x x y --=',在(0,1）上0>'y ，增；在（1,2）上0<'y ，减． 补充练习6 讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．略解：因x y cos 21-=',由0>'y ，得353ππ<<x ，增．由0<'y ,得30π<<x ，ππ235<<x ，减．4．归纳小结(1）函数导数与单调性的关系：0)(>'x f 时,增函数；0)(<'x f 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心,灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯．五、布置作业教科书习题3。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修2_2(1)
f (x) 1 1 x 1 . 2 1 x 2(1 x)
由
f x
(x1xf )(1x0)000即x2(x1x21(1xx1)11x0)
,
0பைடு நூலகம்
,
解得x>1.
故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由
f x
(x) 0 1 0
解得-1<x<1,
故f(x)的递减区间是(-1,1).
求函数的单调区间的一般步骤:
在x∈(-∞,0)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 f (x) 0 , 则f (x)为增函数；
如果 f (x) 0 , 则f (x)为减函数。
例1、已知导函数 f (x) 的下列信息：
当 f (x)<0，即x<1时， 函数单调递减；
y
f (x) x2 2x 3
图象见右图。
o1
x
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p) 解： f (x)=cosx-1<0
从而函数f(x)=sinx-x
在x∈(0,p)单调递减， y
见右图。
o
x
f (x) sin x x
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
其图象的大致形状如图。
例2、判断下列函数的单调性，并求出
单调区间：
y
(1) f(x)=x3+3x ;
解： f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性新人教B版选修2_2
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数.
解答
类型三
已知函数的单调性求参数的范围
例4 若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上是单调(减)函数，则区间 (a，b)是相应单调区间的子集. (2) 利用不等式的恒成立处理： f(x) 在 (a ， b) 上是单调增 ( 减 ) 函数，则 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，注意验证等号对有限个x成立.
题型探究
类型一
判断函数的单调性
例1
π sin x 证明：函数 f(x)＝ x 在区间 ，π 上是单调减函数. 2
证明
π xcos x－sin x ， π f′(x)＝ ，又 x ∈ 2 ， 2 x
∴cos x<0，sin x＞0，∴xcos x－sin x<0，
跟踪训练2 函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调减区间为
(－2－ 2，－2＋ 2) ____________________.
解析 由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0， 即x2＋4x＋2<0，
解得－2－ 2<x<－2＋ 2.
所以 f(x)＝(x ＋2x)e 的单调减区间为(－2－ 2，－2＋ 2).
第一章 §1.3
导数的应用
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
学习目标
1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
内容索引
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性课堂探究 新人教B版选修22
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性课堂探究 新人教B 版选修2-2探究一 利用导数判断或证明函数的单调性1．利用函数单调性的定义判断或证明函数的单调性时，过程较为烦琐，但借助导数，只需分析函数导数值的正负即可，因此应善于借助导数研究函数的单调性．2．利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性．如果解析式中含有参数，应进行分类讨论．【典型例题1】 (1)函数f (x )＝2x ＋1x在下列哪个区间上是单调递减的( )A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－3,0) (2)证明函数f (x )＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 思路分析：(1)只需分析哪个区间上的导数值恒小于0即可；(2)要证f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，只需证明f ′(x )＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上恒成立即可．(1)解析：因为f ′(x )＝2－1x 2，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，1x2∈(4，＋∞)．f ′(x )＝2－1x 2＜0，这时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，故选C.答案：C(2)证明：因为f (x )＝sin xx，所以f ′(x )＝sin x ′x －sin x ·x′x2＝x cos x －sin xx2. 由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos x ＜0，sin x ＞0，因此x cos x －sin x ＜0，故f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．探究二 利用导数求函数的单调区间 1．利用导数求函数单调区间的步骤如下： (1)求函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间；在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间．2．与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比，利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行，其实质是转化为解不等式问题，但也必须首先考查函数的定义域，在定义域内解不等式．另外，利用导数往往适合求一些高次函数的单调区间，其单调区间有时不止一个，这时在写出它们的单调区间时，不能将各个区间用并集符号连接．3．当函数f (x )的解析式中含有参数时，求单调区间可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间．【典型例题2】 求下列各函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3－3x 2； (2)f (x )＝ln x x；(3)f (x )＝cos x ＋12x ，x ∈(0，π)；(4)f (x )＝e x＋ax .思路分析：可按照求函数单调区间的步骤进行求解，其中(1)要注意单调区间的写法；(2)要注意导数的求法；(3)要注意正弦函数的性质；(4)要注意对参数a 进行讨论．解：(1)函数定义域为R ，且f ′(x )＝6x 2－6x . 令f ′(x )＞0，即6x 2－6x ＞0. 解得x ＞1或x ＜0；令f ′(x )＜0，即6x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜1.所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)；单调递减区间是(0,1)． (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＞0，即1－ln x x 2＞0，得0＜x ＜e ； 令f ′(x )＜0，即1－ln x x2＜0，得x ＞e ， 所以f (x )的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e ，＋∞)． (3)函数f (x )的定义域为(0，π)，且f ′(x )＝12－sin x .令f ′(x )＞0，即12－sin x ＞0，解得0＜x ＜π6或5π6＜x ＜π；令f ′(x )＜0，即12－sin x ＜0，解得π6＜x ＜5π6.故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6.(4)函数定义域为R ，且f ′(x )＝e x＋a .①当a ≥0时，f ′(x )＝e x＋a ＞0恒成立，f (x )在R 上单调递增； ②当a ＜0时，由f ′(x )＝e x＋a ＞0，得e x＞－a ， 所以x ＞ln (－a )，由f ′(x )＝e x＋a ＜0，得e x ＜－a ，所以x ＜ln(－a )．所以f (x )在(ln(－a )，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(－a ))上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间是(ln(－a )，＋∞)，单调递减区间是(－∞，ln(－a ))． 探究三 已知函数的单调性求参数的取值范围1．已知函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型．在某个区间上，f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，f (x )在这个区间上单调递增(递减)；但由f (x )在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)是不够的，即还有可能f ′(x )＝0也能使得f (x )在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．2．已知函数f (x )是增函数(减函数)求函数解析式中参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后再检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于零，若能恒等于零，则应舍去这个参数的值，若f ′(x )不恒等于零，则其符合题意．3．如果在函数解析式中不含参数，而在区间中含有参数，则可首先求出f (x )的单调区间，然后根据这一单调区间与给定区间的包含关系求出参数范围．【典型例题3】 (1)若函数f (x )＝a x＋π在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围． (2)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围； (3)若函数f (x )＝2xx 2＋1在区间(m,4m －1)上单调递增，求实数m 的取值范围． 思路分析：对于(1)(2)，可转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立问题求解，但要注意检验端点值是否符合要求；对于(3)，可先求f (x )的单增区间，再令所给区间是其子集即可．解：(1)由于f ′(x )＝－ax 2，所以－a x2≥0在(0，＋∞)上恒成立． 即a x2≤0恒成立．又因为当x ∈(0，＋∞)时，x 2＞0，所以a ≤0. 但当a ＝0时，f (x )＝π是常数函数，不符合题意． 故a 的取值范围是(－∞，0)．(2)f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，依题意知3ax 2＋6x －1≤0在R 上恒成立．显然当a ＝0时不满足题意．因此⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3.而当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －133＋89，由函数y ＝x 3在R 上的单调性，可知 当a ＝－3时，f (x )(x ∈R )是减函数； 故实数a 的取值范围是(－∞，－3]． (3)函数定义域为R ，且f ′(x )＝21－x 2x 2＋12，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1， 即f (x )的单调递增区间是(－1,1)，因此有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，4m －1≤1，4m －1>m ，解得13＜m ≤12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12.点评 本例(3)中要特别注意不能遗漏条件4m －1＞m . 探究四 函数图象与其导函数图象之间的关系在研究函数图象与其导函数图象之间的关系时，要抓住各自的关键要素，对于原函数，重点分析其在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减，而对于其导函数的图象，则应确定哪个区间上其函数值大于零，哪个区间上函数值小于零，从而得出原函数的单调区间．【典型例题4】 已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图，则对原函数y ＝f (x )，下列说法正确的是( )A ．f (x )在(－∞，1)上单调递减B ．f (x )在(1,3)上单调递增C ．f (x )在(0,2)上单调递减D ．f (x )在(3,4)上单调递减解析：由f ′(x )的图象可知，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,2)上单调递减，其余说法均不正确．答案：C探究五 利用导数证明不等式1．利用导数证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键是构造函数． 2．要证不等式f (x )＞g (x )，可构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证明φ(x )在其定义域上满足φ(x )＞0即可，根据函数的单调性，借助于导数求解．【典型例题5】 已知x ＞1，求证：x ＞ln(1＋x )．分析：构造函数f (x )＝x －ln(1＋x )，只要证明在x ∈(1，＋∞)上，f (x )＞0恒成立即可．证明：设f (x )＝x －ln(1＋x )(x ≥1)． ∵f ′(x )＝1－11＋x ＝xx ＋1(x ≥1)，∴当x ≥1时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数．又f (1)＝1－ln 2＞1－ln e ＝0，即f (1)＞0， ∴当x ＞1时，f (x )＞0， 故当x ＞1时，x ＞ln(1＋x )． 探究六 易错辨析易错点：忽视函数的定义域而出错【典型例题6】 求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12.所以函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 错因分析：错解未注意函数的定义域． 正解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 又f ′(x )＝4x 2－1x ，令4x 2－1x＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12.∵x ＞0，∴f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.。
高中数学第1章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性新人教B2新人教B数学教案
1.3.1 利用导数判断函数的单调性(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( )A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的正负不确定[解析]由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.[答案]B3．已知函数f(x)＝12x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．[解析]∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．[答案](1，＋∞)单调性与导数的关系【例1】(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法：①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的序号是( )A．①②B．①③C．②③ D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )[思路探究]研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[解析](1)由图象可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.[答案](1)A (2)D1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x 轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )A B C D(2)若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )A B C D[解析] (1)A ，B ，C 均有可能；对于D ，若C 1为导函数，则y ＝f (x )应为增函数，不符合；若C 2为导函数，则y ＝f (x )应为减函数，也不符合．(2)因为y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则从左到右函数f (x )图象上的点的切线斜率是递增的．[答案] (1)D (2)A利用导数求函数的单调区间【例2】 求函数f (x )＝x ＋x(a ≠0)的单调区间．[思路探究] 求出导数f ′(x )，分a >0和a <0两种情况．由f ′(x )>0求得单调增区间，由f ′(x )<0求得单调减区间．[解] f (x )＝x ＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a或x<－a；令f′(x)＝1－ax2<0，解得－a<x<0或0<x<a；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)；单调递减区间为(－a，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－e x，x∈R的单调递增区间为( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)[解析] (1)∵f ′(x )＝(e x －e x )′＝e x－e ， 由f ′(x )＝e x－e>0，可得x >1．即函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调增区间为 (1，＋∞)，故选D.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝1x－1，由f ′(x )＝1x－1>0，得0<x <1，所以函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，故选B. [答案] (1)D (2)B已知函数的单调性求参数的取值范围1．已知函数f (x )＝x 3－ax －1为单调递增函数，如何求实数a 的取值范围．提示：由已知得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ＞0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ＜3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ＜0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.2．若函数f (x )＝x 3－ax －1的单调递减区间为(－1,1)，如何求a 的取值范围．提示：由f ′(x )＝3x 2－a ，①当a ≤0时，f ′(x )≥0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3，当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0.∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3. 【例3】 已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值． [思路探究] (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．[解] y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值．因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a >0，令y ′>0，得x >a3或x <－a3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[解析]∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.[答案]D2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2)[解析]因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.[答案]A3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________． [解析] f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2.[答案] (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．[解析] f ′(x )＝2a －1x ＋22，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.[答案]⎝⎛⎭⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．[解] h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 即a ≥1x 2－2x恒成立， 所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1． 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1， 所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716. 当a ＝－716时， h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝7x －4x －416x . 因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝7x －4x －416x≤0， 即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性3b22b高二22数学
再考察沙袋在区间(t0，b)的运动情况？
（1）负
(2)limhh'(t)0 （3）减函数 t0 t
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思考函数(hánshù)的单调性与导函数(hánshù)正负的关系，并归纳你的结论
y
y=x
y y = x2
O
x
y 1 >0
x
O
y 2x
x 0,, y0 x ,0,y0
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S
O
t
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小结 ： (xiǎojié)
1.函数单调性与导数(dǎo shù)符号的关系是：
在 区 间 (a,b)内 ,
f '(x) 0 f(x )在 (a ,b ) 内 单 调 递 增 f '(x) 0 f(x )在 (a ,b ) 内 单 调 递 减
2.判定(pàndìng)函数单调区间的步骤： ①求出函数的定义域； ②求出函数的导数f (x)； ③在函数的定义域内解f (x)>0和f (x)<0； ④确定函数f(x)的单调区间。
单调增区间为 (0, e) ，单调减区间为 (e,)
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题型二：由y＝f(x)的增减判断函数(hánshù)y＝f′(x)的正负情况 例2 已知函数y＝f(x)的图象(tú xiànɡ)如图所示，则函数y＝f ′(x)的 图象可能是图中的( C)
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跟踪训练(xùnliàn) 已知y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x) 的图象最有可能是如图所示的( C)
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综合提高练：求函数 间
f(x)bx(1x1,的b单0 调)(dāndiào)区 x21
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高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性9b22b高二22数学
0 < a < 1 时 , f x 在 [ 0 , ) 上 , 不 是 单 调 函 数 .
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课堂练习
1、函数(hánshù)的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( 则a的取值范围为( )
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1
3 , 3 )， 33
(D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( )
(A) 单调(dāndiào)递增函数 (B) 单调递减函数 (C) (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
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即 x 1 2 1 - a x 1 =x 2 2 1 - a x 2 x 1 2 x 1 1 x 2 x 2 2 1 = a ,
令 x 1 = 0 , 可 求 得 x 2 = 1 - 2 a a 2 , 所 以 有 f0 = f 1 - 2 a a 2 , 显 然 1 - 2 a a 2 0 ,
∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0 ∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数. ∵f(0)=e0－1－0=0. ∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0. ∴1+2x＜e2x 点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单 调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.
x2
x2
令 (x 1)(x 1) ＞0. 解得x＞1或x＜－1. x2
2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性课件7 新人教B版选修2-2
复习引入
问题1．函数单调性的定义是什么？ 一般地，在给定区间上任取两个自变量 x1, x2 当 x1 x2 时
若f x1 f (x2 )，则f (x)在这个区间上单调递增 若f x1 f (x2 )，则f (x)在这个区间上单调递减
问题2：用定义法判断函数单调性的步骤：
（1）在给定区间内任取x1<x2; （2）作差f(x1)-f(x2); （3）变形; （4）判断符号; （5）下结论。
1.3.1利用导数判断函数的单调性
数学是研究现实世界中数 量关系和空间形式的科学。 简单地说，就是研究数和形 的科学。
学习目标
(1)探索函数的单调性与导数的关系
(2)会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
重点、难点
重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调 区间 难点：探究函数的单调性与导数的关系，如何用导数 判断函数的单调性
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
2.求可导函数f(x)单调区间的步骤：
（1）确定函数 y f (x) 的定义域；
（2）求导数 f '( x)；
（3）解不等式 f '(x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间． （4）解不等式 f '(x) 0，解集在定义域内的部x) 2x3 3x2 36x 16 在哪个区间上
单调递增，哪个区间上单调递减？
（1）自主探究，大胆猜想
分析y 下列y函 x数的单调性y与其导y 数x2正负的关y 系y并 1x完成下表：
O
x
1
函数
单调 区间
2 O
x
O
x
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性学业分层测评 新人教B版选修2-
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1.3.1 利用导数判断函数的单调性(建议用时：45分钟)［学业达标]一、选择题1．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是（）A．（－∞，e－2）B．（0，e－2）C．（e－2，＋∞）D．(e2，＋∞)【解析】因为y＝x＋x ln x，所以定义域为（0，＋∞)．令y′＝2＋ln x〈0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是（0，e－2)，故选B。
【答案】B2．如图1。
3.4是函数y＝f（x）的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是（）图1。
34A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数B．在区间（1，3）上f(x）是减函数C．在区间（4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数【解析】由导函数f′（x）的图象知在区间（4,5）上，f′（x)〉0，所以函数f(x）在（4，5)上单调递增．故选C。
【答案】C3．若函数f（x)＝ax3－x在R上是减函数，则（)A．a≤0B．a〈1C．a<2 D．a≤错误!【解析】f′(x）＝3ax2－1.因为函数f（x)在R上是减函数，所以f′（x）＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A。
2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性课件新人教B版选修2_2
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间． (1)y＝x3－9x2＋24x； (2)f(x)＝x2－lnx. [解] (1)y′＝(x3－9x2＋24x)′ ＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)， 令 3(x－2)(x－4)>0，解得 x>4 或 x<2， 所以 y＝x3－9x2＋24x 的递增区间是(4，＋∞)和(－∞，2)． 令 3(x－2)(x－4)<0，解得 2<x<4， 所以 y＝x3－9x2＋24x 的递减区间是(2，4)．
(4)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间 上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件． (5)如果函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)为常函数．如
f(x)＝3，则 f′(x)＝3′＝0. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义 在研究曲线变化规律上的一个应用，它充分体现了数形结合的 思想．
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求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋3； (2)f(x)＝x(ex－1)－12x2. 解：(1)f′(x)＝3x2－3 ＝3(x2－1) ＝3(x＋1)(x－1)． 令 3(x＋1)(x－1)>0， 解得 x>1 或 x<－1. 因此，f(x)的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 令 3(x＋1)(x－1)<0， 解得－1<x<1. 因此，f(x)的减区间为(－1，1)．
下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A．y＝sin x B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 解析：选 B.B 中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0 在 (0，＋∞)上恒成立， 所以 y＝xex 在(0，＋∞)上为增函数． 对于 A、C、D 都存在 x>0，使 y′<0 的情况．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数单调性(1)教案 新人教B版2新人教B版数学教案
利用导数判断函数单调性课题利用导数判断函数单调性一课时第一课时课型新授教学重点学生会利用导数研究函数的单调性。
会求不超过三次的多项函数的单调区间依据：2017年高考大纲分析：理解导数。
教学难点会求不超过三次的多项式的函数单调区间。
依据：学生刚接触到变化的概念与图像的关系自主学习目标1.学生能认识到可导函数的单调性与导数的关系；2．学生能利用导数研究函数单调性。
；3．学生会求函数的单调区间。
4、学生通过求导，计算函数单调区间。
5、学生能进一步发展数学运算能力理由：能研究函数单调区间，会求单调区间，教具多媒体课件、教材，教辅教学环节教学内容教师行为学生行为设计意图时间1.课前3分钟1、教辅第88页《预习自测》1-52、目标解读检查，评价总结小考结果。
1.小考：《预习测评》1-52.提出自主学习困惑.明确本节课学习目标，准备学习。
3分钟2.承接结果一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非1．问题：图1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数2() 4.9 6.510h t t t=-++的图像，图3.3-1注：在本环节中不急于向学生交待导数的定义。
而是先设13分钟常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t==-+的图像．计一个实例，一来是为了给学生一个创造观察的机会，让学生体会导数的物理引入；变化以及变化率的公式的计算和表达3. 做、议讲、评运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即()h t是增函2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．学生在笔记本上计算学生在黑板上计算通过具体实例做题，加深对变化率公式的记忆和计算。
预习导航 1.3.1利用导数判断函数的单调性
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1．如果在(a ，b )内，f ′(x )＞0，则f (x )在此区间是增函数，(a ，b )为f (x )的单调增区间；
2．如果在(a ，b )内，f ′(x )＜0，则f (x )在此区间是减函数，(a ，b )为f (x )的单调减区间． 思考 在区间(a ，b )内，f ′(x )＞0是f (x )在(a ，b )上为单调增函数的什么条件？
提示：在区间(a ，b )内f ′(x )＞0是函数f (x )在(a ，b )上为增函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f ′(x )＝0，不会影响函数f (x )在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f (x )＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f ′(x )＝3x 2知，f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x )＞0.点拨 当f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)时，f (x )的单调性：
在区间(a ，b )上，当f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)时，f (x )可能是增函数(减函数)，其前提是在区间(a ，b )上，只有个别离散的点使f ′(x )＝0成立，其他的点均满足f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)．当不满足这个前提时，f (x )在(a ，b )上就不是增函数(减函数)，例如函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x ≤1，
1，x >1在区间(0,2)上．。
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1 高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性
预习导航 新人教B 版选修2-2
用函数的导数判定函数单调性的法则
1．如果在(a ，b )内，f ′(x )＞0，则f (x )在此区间是增函数，(a ，b )为f (x )的单调增区间；
2．如果在(a ，b )内，f ′(x )＜0，则f (x )在此区间是减函数，(a ，b )为f (x )的单调减区间．
思考 在区间(a ，b )内，f ′(x )＞0是f (x )在(a ，b )上为单调增函数的什么条件？ 提示：在区间(a ，b )内f ′(x )＞0是函数f (x )在(a ，b )上为增函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f ′(x )＝0，不会影响函数f (x )在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f (x )＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f ′(x )＝3x 2知，f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x )＞0.
点拨 当f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)时，f (x )的单调性：
在区间(a ，b )上，当f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)时，f (x )可能是增函数(减函数)，其前提是在区间(a ，b )上，只有个别离散的点使f ′(x )＝0成立，其他的点均满足f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)．当不满足这个前提时，f (x )在(a ，b )上就不是增函数(减函数)，例如函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≤1，1，x >1在区间(0,2)上．。