线性代数(A)考试试卷答案
线性代数试题A及答案
线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式 （B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零 （C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式 （D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。
设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。
如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。
如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。
设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。
设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。
设A 为正交矩阵,则A = ；6。
设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。
(完整版)线性代数试卷及答案详解
《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：3的一组标准正交基，=___________《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）1、 256；2、 132465798⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭； 3、112211221122000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 4、； 5、 4； 6、 2 。
三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法：231211201012010*******121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪−−→--−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭―――――（6分）所以1278144103X A B -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭.―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111431212011310113100000000000000000000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩12345{,,,,}ααααα＝2（8分）且3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--――――（10分） 五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−→--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪−−→------- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭(分)(1) 当10,(2)(1)0,p p p -≠-+-≠且时即1,2,p p ≠≠-且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） (2) 当1,p =时系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）(3) 当2,p =-时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−→-−−→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎪−−→------ ⎪ ⎪⎝⎭（分）故原方程组与下列方程组同解:132311x x x x -=-⎧⎨-=-⎩ 令30,x =可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0)Tξ=--;它对应的齐次线性方程组13230x x x x -=⎧⎨-=⎩的基础解系含有一个元素,令31,x =可得1(1,1,1)T ξ=为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为001101,,.k k k k ξξ+这里为任意常数――――（12分）六．解：（1）由于A的特征多项式2124||222(3)(6)421I A λλλλλλ----=-+-=+----故A 的特征值为13λ=-（二重特征值），36λ=。
线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料
线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
《线性代数》试卷A及答案
《线性代数》试卷A适用专业： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 总分100分 考试日期： 一.选择题（2分×6=12分）1.排列4 1 3 2 5 的逆序数为（ ） A.4 B.1 C.3 D.22. 设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则13-A 必有特征值（ ）A.021λ B. 023λ C.30λ D. 20λ 3. 设A 为n 阶可逆阵，则下列成立的是( ) A.112)2(--=A A B. 11)2()2(--=T T A AC. [][]1111)()(----=TTA A D.[][]TTT AA 111)()(---=4.如果333231332221131211a a a a a a a a a =d,则行列式131211232221333231222333a a a a a a a a a ---=( )A. –6dB. 6dC. 4dD. –4d5．设A 为3阶方阵，且2=A ，则A 2=（ ） A.4 B.8 C.16 D.216.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a α，且αA 与α线性相关，则=a （ ）。
A.1-B.1C. 2D.3二．填空题（2分×11=22分）1．设A 、B 均为3阶方阵，且|A |=3，|B |=-2，则|AB |=2. 设A 为方程组⎩⎨⎧=+=+02121x x x x λλ有非零解,则λ=3．已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则方阵2A 的特征值是 、 、4.向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,211的正交化向量为5. A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,B=[1,2,3],则BA= 6．设32212221321424),,(x x x x x x x x x f -++-=，则二次型矩阵为7.设y x ,为实数，则当=x ， 且=y 时，010100=---yx y x8.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x A 112与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ31相似，则=x 三. 计算题：（总共66分）1.计算 600300301395200199204100103=D （6分） 2.求13211A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（4分）院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________3．设3351110243152113-----=D ,(1)求行列式D的值 ，(2)求4443424123A A A A +-+ （12分）4.讨论λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有：1）唯一解； 2）无解； 3）无穷多解？此时求出其通解（12分）5．求矩阵E A 2-的逆矩阵，其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300041003 （ 10分）7．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101121002A 。
2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案
3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得 分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、 填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已 知 4 阶 行 列 式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元 的 代 数 余 子 式 记 作 Aij ， 则
2 4 1 3
学院
考 专业 装
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
集 美 大 学 试 卷 纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年 第 一 学期
课程名称
适用 学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷 卷别
考试 方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；
线性代数(A)及答案详细解析
b a b
b b a
当 2 7 时， （-7I-A ）=0，解得
1 / 2 3 1 ， 3 即为对应于 2 7 的线性无关特征向量。 1
= [a (n 1)b] 三. 解：
= [a (n 1)b] (a b) n1
, 则矩阵 A 的秩 rA
x ty z 0 2 x y z 0 ty 3 z 0
其是否可对角化. ( 10' ) 六. 用合同变换化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 4x1 x2 2x2 x3 为标准型,并求变换 矩阵. ( 10' )
1 2 / 3
0 1 0 0
3 1 1 4 0 11 0 0
故向量组α 1 ,α 2 ， α 3 ， α 4 线性相关， 其一个极大无关组为α 1 ，α 2 ，α 4 或α 1 , α
1
2 2 4 = ( 2) 2 ( 7) =0 2
5 2 0 0 2 0 1 0
2 5 4 1 , B 2 1 ,则 A-2B 1 2
1
四. 判断向量组α 1 =(1,-1,2,4), α 2 =(0,3,1,2),α 3 =(3,0,7,14), α 4 =(1,-2,-2,0)的线性相关性,并求出它的一个极大无关组. ( 10' )
2 1 3 3 3 6
第
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南 京 理 工 大 学 课 程 考 试 答 案 （ A）
课程名称：
试卷编号： 组卷日期： 2005 年 学生班级： 线性代数 考试方式： 闭卷 学分 2 教学大纲编号： 考试时间： 120 分钟 满分分值： 100 沐雨芳
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
线性代数A卷试卷+答案
线性代数A卷试卷+答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《线性代数》期末考试题A 题一、 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分） 1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A =（A ）A E ； （B ）A ；（C ）n A A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案
2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、 （8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次 为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
第 3 页
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分） 证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3， 得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示， 设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。
线性代数试卷及答案 卷A
河南工业大学成教学院课程 线性代数 试卷专业班级： 卷A姓 名： 学 号：注：（1）不得在密封线以下书写班级、姓名。
（2）必须在密封线以下答题，不得另外加纸。
………………………………………密 封 线 ………………………………………………………一 .单项选择题（每题3分）1.若 111221226a a a a =，则 121122212020021a a a a -- 的值为（ A ）（A ）12 (B) –12 (C) 18 (D) 02.设A 、B 都是n 阶矩阵，且AB=0,则下列一定成立的是（ C ）（A ）A=0或B=0 (B) A 、B 都不可逆（C ）A 、B 中至少有一个不可逆 （D ）A+B=03. 若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则（ B ）(A) 4k =或1K =- (B) K= 4－或K=1(C) 4K ≠且1K ≠- (D) 4K ≠-且1k ≠4. A 、B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵()*AB =( D )(A) A B ** (B) 11||AB A B -- (C) 11B A -- (D) B A **5.设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（D ）（A ）r n = （B ） r n ≥ （C ） r n > （D ）r n <二 .填空题（每题3分）1．行列式 12342345_______32005000= 1602．若n n ⨯阶矩阵A 的行列式|A|＝3，A *是A 的伴随矩阵，则A *__3^n-1____3. A 为n n ⨯阶矩阵，且2320A A E -+=,则1A -=______4. n1100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦___1__(n 为正整数)5. 设1101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则1(2A)________=－三．计算题（共63分）1. 计算行列式12n12n 12nb a a a a b a a a a b a ＋＋＋(12分)解：r2-r1、r3=r1、...ri-r1、...rn-r1D=|b+a1 a2 a3 ....................... an|-b b 0 0-b 0 b 0.............................-b 0 0 .......................... bc1+c2+c3+...+cj+...+cn=|b+a1+a2+...+an a2 ............... an|0 b ................. 0 ......................................0 0 .................... b=(b+Σai)*[b^(n-1)]=b^n+[b^(n-1)]*(a1+a2+...+an)2．3411231100250013A⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求1A-（12分）3 41 12 5解：令B= ，C= ，D= ，则原矩阵可以写为分块2 3 -1 1 1 3B C B ^-1 -B ^-1CD^-1 矩阵的形式A= ，它的逆矩阵易得为A^-1=0 D 0 D ^-1而利用伴随矩阵与逆矩阵的关系可以直接得到3 -4 3 -4B^-1=1/ B B *=1×=-2 3 -2 32 -53 -5D^-1=1/ D D *=1×=-1 3 -1 2-15 38计算可得-B^-1CD^-1=11 -283 -4 -22 37-2 3 16 -27所以A^-1= 0 0 3 -50 0 -1 23.求解齐次线性方程组1234123412342202220430x x x xx x x xx x x x+++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩.（15分）解：基础解系为：1 2 2 1 2 2 1 0 -2 -5/32 1 -2 -2 -3 -6 -4 1 2 4/3 1 -1 -4 -3 0 0 0 0 0 0通解为：X12k1+5/3k2 2 5/3X=k1ξ1+ k2ξ2= X2 = -2k1-4/3k2 =k1 -2 +k2 -4/3X3 k1 1 0X4 k2 0 14.设211210111A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,311342B⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦求解矩阵方程XA B=（12分）解:5. 计算矩阵3112322140511135524aA⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩为3，求a (12分)解：r4-r2,r1-r3,r2-2r30 1 1 a-1 -20 2 1 -1 -61 0 1 1 50 1 2 4 0r1-r4,r2-2r40 0 -1 a-5 -20 0 -3 -9 -61 0 1 1 50 1 2 4 0r3*(-1/3), r1+r20 0 0 a-2 00 0 1 3 21 0 1 1 50 1 2 4 0交换行1 0 1 1 50 1 2 4 00 0 1 3 20 0 0 a-2 0因为 r(A)=3, 所以 a = 2.四.证明题（7分）设32=,证明5A E+可逆，并求1A E+（7分）A E-(5)解：（A+5E）【1/127（A^2-5A+25E）】=1/127（A+5E）（A^2-5A+25E）=1/127（A^3+5A^2-5A^2-25A+25A+125E）=1/127（A^3+125E）由于A^3=2E，所以1/127（A^3+125E）=1/127（127E）=E，所以（A+5E）可逆，且（A+5E）^-1=1/127（A^2-5A+25E）。
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的n m A ⨯0=Ax )(A A T(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件；(D) 无关条件。
2．已知为四维列向量组，且行列式 ，32121,,,,αααββ4,,,1321-==βαααA ，则行列式1,,,2321-==βαααB =+B A (A) ；(B) ；(C) ；(D) 。
4016-3-40-3．设向量组线性无关，且可由向量组线s ααα，，， 21)2(≥s s βββ，，， 21性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组线性无关；s βββ，，， 21(B) 对任一个，向量组线性相关；j αs j ββα，，， 2(C) 存在一个，向量组线性无关；j αs j ββα，，， 2(D) 向量组与向量组等价。
s ααα，，， 21s βββ，，， 214．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是n 0=Ax (A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；A 0=Ax (C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；A 0=Ax (D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。
A 0=Ax 5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则A n )2(>n *A A 题 号一二三总 分总分人复分人得 分得分评卷人√√(A) ；(B) ；A A A 11||)(-*-=A A A ||)(1=*-(C) ；(D) 。
111||)(--*-=A A A 11||)(-*-=A A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)线性代数试题套卷及答案
（线性代数） （ A 卷）专业年级： 学号： 姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。
2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。
3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线 性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。
5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6． 列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝ ，a ＝ ，b ＝ 。
线性代数A及答案
2005学年第2学期线性代数期末考试试卷（ A 卷 ）一. 填空题 (本题共有10个小题, 每小题3分)1. 设305021311121A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则矩阵A 的秩()r A =__________. 2. 设A 为3阶方阵，行列式2A =,则3A =________.3. 设矩阵20003101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则x =_________. 4. 设A 是n 阶方阵且240A A E +-=, 则()1A E --=_________.5.()222,,2332f x y z x y z ayz =+++是正定二次型，则a 的取值范围是______.6. 若向量()1,2,0与(),,0x y 线性无关，则x 与y 的关系应为__________.7. 向量[]1,4,0,2T∂=与[]2,2,1,3Tβ=-的距离和内积分别为_________和___________.8. 设10246311A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则a =___________.9. 设0是矩阵10102010A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值，则a =___________. 10. 在MA TLAB 软件中，det(A ) 表示求__________.二. 选择题（本题共有5个小题, 每个小题都给出代号 (A), (B), (C), (D) 的四个结论, 其中只有一个结论是正确的。
每小题3分。
）1. 设A 是n 阶方阵，则下列4个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（ ）(A) 1AA E -=(B) AA E = (C) 1TA A -=(D) 1A =±2. 已知,A B ,C 为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）(A) AB BA = (B) ()()AB C A BC =(C)()A B C AC BC +=+(D) ()C A B CA CB +=+3. 已知方程组Ax b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是（ ）(A) 若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解。
线性代数A卷 本科(48学时)答案 (1)
a3
1 证明：由 A A 4 E O 可得 A( A E ) 4 E ,且 A [ ( A E )] E ,…………3 分 4
2
an
an
则
1 A ( A E ) 1 0 ,所以 A 0 ,则 A 为可逆矩阵 4
(a1
1 )a2 a3 .....an ..........2分 a k 2 k
根据实际情况可得 0
1 k 3 1 （ k 3 0 ）……………………….…….2 分 0
x1 600 x5 , x 2 200 x5 , x3 400, x 4 500 x5
x5 500 …4
则
A E
1 ( A 2 E ) 1 0 ,所以 A E 0 故 A E 可逆………1 分 2 1 1 E )[ ( A 2 E )] E ,故 ( A E ) 1 ( A 2 E ) ……….1 分 2 2
又因为 ( A
1 0 1 ，求 X . 2、设 A 1 2 0 ，且 AX E A 2 X （期中 E 为 3 阶单位矩阵） 1 0 1
0 1 k1 1 k 2 0 （ k1 , k 2 不同时为零）………………3 分 1 0
② 解 ( A E ) x 0 ,得属于 3 1 的特征向量为：
1 0 0 1 0
得 分
1 1 0 0 0
0 0 800 1 0 1 1 0 300 r 0 0 1 1 500 0 0 1 600 0 1 0 0 400 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
线性代数A答案
一、 单项选择题（每小题4分，共20分）1. A,B,C,I 为同阶矩阵，I 为单位矩阵，若ABC=I ，则下列各式总是成立的是（A ） (A) BCA=I (B) ACB=I (C) BAC=I (D) CBA=I2. 已知方阵A 满足234A A E O ++=, 则矩阵()12A E -+=（ C ）（A ）A E + （B ）1()2A E + （C ）1()2A E -+ （D ）2A E +3. 设3阶矩阵A 有特征值1,2,3，其对应的特征向量分别为123,,ξξξ，令[]321d i a g Λ=，则使得1P AP -=Λ的可逆矩阵P 可以是下面四个选项中的 （ B ） （A ）[]123ξξξ （B ）[]32123ξξξ（C ）[]12332ξξξ （D ）[]231ξξξ4.设向量12(3,1,0),(2,0,4),(1,2,)k ααβ==-=，则k=( D )时，β才能由α1，α2线性表示。
(A) 2 (B) 4 (C) 7 (D) 105．如果（ D ），则矩阵A 与矩阵B 相似 (A)B A = (B)r(A)=r(B) (C)A 与B 有相同的特征多项式(D)n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同二、 填空题（每题4分，共20分）1．行列式624210312--中的元素a 23的代数余子式23A 的值为 8 .2．设A=310120⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A T A=13332⎛⎫ ⎪⎝⎭.3．设3阶方阵1020002a A b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与对角矩阵100020003B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，则1,2==b a4．已知方程组12310101202110x k x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有非零解，则k= -1 . 5．设3阶方阵A 的特征值为1,1,3,-A *是A 的伴随矩阵, 则18/3A A *-+=.二．计算题（50分）1.计算行列式x aa a x aa ax解：x a a a x a a ax(1)1(1)1((1))(1)1x n a a a a a x n a x a x a x n a x n a axax+-+-==+-+-110010((1))((1))()1n x a x n a x n a x a x a--=+-=+---………8分2．已知两个三阶方阵,A B 满足2AB E A B +=+，其中101020,101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求矩阵B .（10分）解：由2AB E A B +=+()()()A E B A E A E ⇒-=-+………………4分因为0A E -≠，………………6分所以B A E =+=201030102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦………………10分3.求向量组1(1,1,3,1),T α=2(1,1,1,3),T α=--3(5,2,8,9),T α=--4(1,3,1,7),Tα=-的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。
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北 方 交 通 大 学2002-2003学年第二学期线性代数（A ）重修课考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中1．4阶行列式=111110110110111__________________．应填：3-． 2．已知向量组()43211，，，=α，()54322，，，=α，()65433，，，=α，()76544，，，=α， 则该向量组的秩是_________________． 应填：2． 3．已知线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+03121232121321x x x aa无解，则=a __________________． 应填：1-=a4．设A 是n 阶矩阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，E 是n 阶单位矩阵．若A 有特征值λ，则()E A +2*必有特征值是_________________．应填：12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA ． 5．已知三维线性空间的一组基底为()0111，，=α，()1012，，=α，()1103，，=α则向量()002，，=u 在上述基底下的坐标是_______________． 应填：()111-，，．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设A 是一n ()3≥n 阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，又k 是常数，且0≠k ，1±，则必有()=*A k 【 】．()A . *A k ； ()B . *1A -n k ； ()C . *A n k ； ()D . *1A -k ． 应选：()B ．2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中【 】． ()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； ()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合． 应选：()C ． 3．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=96342321t Q ， P 为3阶非零矩阵，且满足O PQ =，则【 】． ()A . 6=t 时，P 的秩必为1； ()B . 6=t 时，P 的秩必为2； ()C . 6≠t 时，P 的秩必为2； ()D . 6≠t 时，P 的秩必为1． 应选：()D ．4．n 阶矩阵A 具有n 个不同特征值是A 与对角阵相似的【 】． ()A . 充分必要条件； ()B . 充分而非必要条件； ()C . 必要而非充分条件； ()D . 既非充分也非必要条件． 应选：()B ． 5．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111111111111A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=004B ， 则A 与B 【 】．()A . 合同且相似； ()B . 合同但不相似； ()C . 不合同但相似； ()D . 不合同且不相似． 应选：()A ． 三．（本题满分10分） 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A ， 且I AB A =-2，其中I 是3阶单位矩阵，求矩阵B ． 解：由I AB A =-2，得()I B A A =-，而且011110111≠-=--=A因此矩阵A 可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-1001102111A， 所以，由()I B A A =-，得1-=-A B A ，因此，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-00000120101102111001101111AA B ． 四．（本题满分10分） 问λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解，并求出解的一般形式． 解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+--→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=3421023210101324162214101λλλλλλA （第1行乘以4-、6-后分别加到第2、3行） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--→100023210101λλλ（第2行乘以1-后加到第3行） 所以，原线性方程组的系数矩阵A 的秩为()2=A r ．当1≠λ时，其增广矩阵A 的秩为()3=A r ，因此此时原线性方程组无解．当1=λ时，()()2==A A r r ，故线性方程组有解．此时，上面的阶梯矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00012101101因此，原线性方程组的通解为⎩⎨⎧-=+-=1213231x x x x 其中3x 是任意实数． 写成基础解系的形式，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011121321k x x x ， 其中k 是任意实数． 五．（本题满分10分） 设4阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110210000120025A ， 求A 的逆矩阵1-A ． 解：记矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122511A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112122A ， 则矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211A OO A A 这是一个分块对角矩阵，因此，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1221111A O O A A而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-52215221111111A A ， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-313132311211122122A A ， 所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-313100323100005200211A ． 六．（本题满分15分） 已知PB AP =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000001B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112012001P 求A 及5A ．解： 先求出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1140120011P． 因为PB AP =，两端右乘1-P ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-116002001114012001100000011120120011P B PA 同样，A A A A A A =5()()()()()11111-----=PB P P B P P B P P B P P B P15-=P PB 1-=P B P A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=116002001． 七．（本题满分15分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是321，，；矩阵A 的属于特征值21，的特征向量分别是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111α ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1212α⑴. 求矩阵A 的属于特征值3的特征向量； ⑵. 求矩阵A ． 解：⑴. 设矩阵A 属于特征值33=λ的特征向量为()Tx x x 3213，，=α．由于实对称矩阵A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，因而有031=ααT， 032=ααT由此得齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=+--020321321x x x x x x ， 解此线性方程组，得基础解系()T101，，=ξ．因此矩阵A 属于特征值33=λ的特征向量为()Tk 1013，，=α其中k 为非零常数． ⑵. 令矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==111021111321αααP ，， 则有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3211AP P ，或者 1321-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P P A 由于 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-210216131613131311P 所以， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-132521025213613211P P A ． 八．（本题满分10分） 问λ取何值时，二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ为正定二次型？ 解： f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4212411λλA ． 因此，二次型f 为正定二次型．⇔矩阵A 为正定矩阵． ⇔矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零． 而矩阵A 的各阶顺序主子式分别为 011>=D ，22441λλλ-==D ，()()21442124113+--=--==λλλλA D ．所以，二次型f 为正定二次型．⇔0422>-=λD ，且()()02143>+--=λλD 由 0422>-=λD ，得 22<<-λ ．由 ()()02143>+--=λλD ，得 12<<-λ ． 因此，得 12<<-λ ．即，二次型f 为正定二次型．⇔ 12<<-λ ．。