812.中位线及其应用-奥数精讲与测试8年级
八年级数学期末复习三角形中位线定理证明线段的相等或倍分关系
八年级数学期末复习三角形中位线定理证明线段的相等或倍分
关系
知识点清单【三角形中位线定理】
【定义】
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
【定理】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【作用】位置关系：可以证明两条直线平行；
数量关系：可以证明线段的相等或倍分关系.
例题
【张老师解析】
首先作出辅助线，连接DB，延长DA到F，使AD=AF，连接FC．根据三角形中位线定理可得AE=½CF，再利用勾股定理求出BD 的长，然后证明可得到△FDC≌△BCD，从而得到FC=DB，进而得到答案．
具体解题过程：
【张老师小结】
三角形中位线定理：在同一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的.
在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况按需选用。
812.中位线及其应用-奥数精讲与测试8年级
例1．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：DM=12AB。
例2．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，MN是梯形中位线，求证：DF=MN。
例3．如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA及EF的延长线交于M，CD及EF的延长线交于N，求证：∠AME=∠DNE。
例4．如图，分别以△ABC的AC、BC边为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为DE中点，求证：AM⊥BM。
例5．在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF。
已知BC=2，求证：EF≥1。
A卷一、填空题01．如果等腰梯形底角是45°，高等于上底的2倍，那么梯形中位线与高之比为_________。
02．已知梯形两对角线中点连线长5cm，梯形下底长20cm，则上底长为_________。
03．如图128，E是AC的中点，D在边BC上，且CD=2BD，AD与BE 相交于F。
已知△BDF的面积是1，那么△ABC的面积是_________。
04．如图129，梯形ABCD的面积是12，则以梯形四边中点为顶点的四边形EFMN的面积是_________。
05．已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC把中位线EF(E在AB上)分成1 : 3两部分，则S ADFE:S BCFE=_________。
06．如图130，在梯形ABCD中，AB∥CD，EF是中位线，EF与AC相交于G，且EF=16cm，EG-GF=4cm，则AB的长是_________cm。
07．如图131，已知△ABC中，AB=AC，延长AB至D，使BD=AB，E 是AB的中点，CD=4，则CE=_________。
08．如图132，在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且BE=CF，M、N分别为BF、CE的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于Q。
三角形中位线讲义2023-2024学年北师大版八年级数学下册
三角形中位线讲义【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.特别说明：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形.性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。
（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。
补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
要点三、中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。
性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
题型一：与三角形中位线有关的线段求解问题【例1】如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点 E ， F ，G ，H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，顺次连接EFGH ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形（2）若ABCD 的周长为2（AB +BC ）=32，则四边形EFGH 的周长为__________【解答】 （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ， ∵点 E 、 F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，∴1111,,,2222OE OA OF OB OG OC OH OD ====， ∴OE =OG ，OF =OH ，1214∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）∵点 E 、 F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点， ∴11,22EF AB FG BC ==， ∴()12EF FG AB BC +=+ ， ∵ABCD 的周长为2（AB +BC ）=32，∴16AB BC += ，∴8EF FG += ，由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形， ∴四边形EFGH 的周长为()22816EF FG +=⨯= ．【变式1-1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若DE ∥AB 交AC 于点E ，证明：△ADE 是等腰三角形；（2）若BC ＝12，DE ＝5，且E 为AC 中点，求AD 的值．【解答】 （1）证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∵AD ⊥BC 于点D ，∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD ，∵DE ∥AB 交AC 于点E ，∴∠BAD=∠ADE ，∴∠CAD=∠ADE ，即：∠ADE=∠EAD ，∴AE=DE ，∴△ADE 是等腰三角形；（2）解：由“三线合一”知：BD=CD ，∵BC=12，∴DC=6，∵E 为AC 中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴AB=2DE ，∴AC=AB=2DE=10，在Rt △ADC 中，22221068AD AC DC =−−=，∴AD=8．【变式1-2】如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AD ＝5，点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，则EF 长度的可能为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9 【解答】解：连接DN ，∵ED ＝EM ，MF ＝FN ，∴EF =12DN ，∴DN 最大时，EF 最大，DN 最小时，EF 最小，∵N 与B 重合时DN 最大，此时DN ＝DB =√AD 2+BD 2=√52+122=13，∴EF 的最大值为6.5．∵∠A ＝90°，AD ＝5，∴DN ≥5，∴EF ≥2.5，∴EF 长度的可能为5；故选：B ．【变式1-3】如图，在△ABC 中，AB ＝CB ＝6，BD ⊥AC 于点D ，F 在BC 上且BF ＝2，连接AF ，E 为AF 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵CB ＝6，BF ＝2，∴FC ＝6﹣2＝4，∵BA ＝BC ，BD ⊥AC ，∴AD ＝DC ，∵AE ＝EF ，∴DE 是△AFC 的中位线，∴DE =12FC =12×4＝2，故选：B ． 题型二、与三角形中位线有关的面积问题【例2】如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连接CD 和EF ．（1）求证：四边形DCFE 是平行四边形．（2）若四边形DCFE 的面积为4，求ABC 的面积．【解答】()1证明：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴//DE BC ，12DE BC =． ∵12CF BC =，∴DE CF =．∵//DE CF ， ∴四边形DCFE 是平行四边形； ()2解：∵四边形DCFE 是平行四边形，∴DEC 的面积ECF =的面积2=．∵E 是AC 的中点，∴ADE 的面积DEC =的面积2=．∵D 是AB 的中点，∴BDC 的面积ADC =的面积4=，∴ABC 的面积4228=++=．【变式2-1】如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点． （1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）如图2，延长BA 、CD 相交于点P ，连接PG 、PH 、GH ，若1PGH S =△，求四边形ABCD 的面积．【解答】 证明：（1）,E G 分别是,AD BD 的中点，1,//2EG AB EG AB ∴=，同理可得：1,//2FH AB FH AB =， ,//EG FH EG FH ∴=，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）如图，连接,,,PE AG BH DH ，,E G 分别是,AD BD 的中点，//EG AB ∴，AEG PEG S S ∴=（同底等高），同理可得：DEH PEH S S =，1AEG EGH DEH PEG EGH PEH PGH AGHD S S S S S S S S ∴=++=++==四边形，又G 是BD 的中点，BG DG ∴=，,ABG ADG HBG HDG SS S S ∴==（等底同高）， 2()22ABG ADG HBG HDG ADG HDG ABHD AGHD S S S S S S S S ∴=+++=+==四边形四边形，同理可得：2224ABCD ABHD S S ==⨯=四边形四边形，即四边形ABCD 的面积为4．【变式2-2】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上任一点，F,G,E 分别是AD,BF,CF 的中点，连结GE ，若△FGE 的面积为6,则ABC 的面积为( )A.32B.48C.64D.72【变式2-3】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点。
八年级数学经典讲解 第14讲 中位线及其应用
八年级数学经典讲解第十四讲中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．分析由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．解由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以由条件AD+EF=12(厘米)得EF=4(厘米)，从而 AD=8(厘米)，由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以BC=2EG=2×6=12(厘米)，显然，AD是BC上的高，所以例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求证：GH∥BC；(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．分析若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN 的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC 的三边长可求出GH的长度．(1)证分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．从而，G是AM的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．(2)解由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．又BC=18厘米，所以BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．从而MN=18-4-9=5(厘米)，说明 (1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．分析由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．证连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以AB⊥BC，BC∥PQ．从而AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以A′C′=B′D′．①说明在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：分析在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点．证取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以在△EFG中，EF＞EG-FG．③由①，②，③例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．分析本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．证取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以因为AD=AB+CD，所以从而∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．分析显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．证连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF 是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l 于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，所以即 AA1+EE1=FF1+DD1．练习十四1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE 交于O点，OE=2厘米．求BO的长．2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB 的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．7．已知在四边形ABCD中，AD＞BC，E，F分别是AB，CD。
八年级数学下册 2.4 三角形的中位线 三角形中位线定理的应用素材1 (新版)湘教版
三角形中位线定理的应用三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题.一、借助中位线定理选择结论例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）.（A ）线段EF 的长逐渐增大（B ）线段EF 的长逐渐减小（C ）线段EF 的长不变（D ）线段EF 的长与点P 的位置有关分析：由E ，F 分别为AP ，RP 的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR ，由于已知条件可知EF 为ARP 的中位线，根据中位线定理可知EF=21AR ， 由于点P 从点C 到点D 移动的移动过程中，AR 始终不变，∴EF 的长度也不变. 解：连接AR ，∵E ，F 分别是PA ，PR 的中点，∴EF=21AB ， ∵AR 不变，∴线段EF 的长不变.故选（C ）.点评：本题通过巧妙地连接AR ，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决.二、借助中位线定理求长度例2某花木场有一块如四边形ABCD 的空地（如图2），两对角线相等，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm分析：根据E 、F 分别为BA ，BC 的中点，可知EF 为△ABC 的中位线，根据中位线定理可得EF=21AC ，同理可得HG=21AC ，HE=21BD ，FG=21BD ，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE ，由此可求到EF 的长，也就求到AC 的长.解：∵E ，F 分别是BA ，BC 的中点，∴EF=21AC ，同理可得HG=21AC ， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH=21BD ，同理可得FG=21BD ， ∵AC=BD ，∴EF=FG=GH=HE ，∵EF+FG+GH+HE=40cm ，∴EF=10cm ，∴AC=2EF=20cm.点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF 的长，进而求到AC 的长.三、借助中位线定理说理例3 如图3，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.说明EF∥CB 理由分析：根据E 为AB 的中点，要说明EF//BC ，可说明EF 为△ABC 的中位线，为此，需要证明F 为AD 的中点.解：∵CF 平分∠ACB，∴∠DCF=∠ACF.又∵DC=AC，∴CF是△ACD的中线，∴ 点F是AD的中点.∵ 点E是AB的中点，∴ EF//BD，即EF∥BC.点评：本题根据点E为AB的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.。
八年级数学下册24三角形的中位线三角形中位线的性质及应用素材(新版)湘教版
八年级数学下册24三角形的中位线三角形中位线的性质及应用素材（新版）湘教版三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
这一性质说明了三角形中位线与第三边的位置关系——平行，三角形的中位线与第三边之间的长度关系——等于第三边的一半。
运用这一性质可以解决一些与三角形中位线有关的问题。
一、说明线段相等例1：如图1，在△ABC中，BE是中线，AD⊥BC于D，∠CBE=30°，试说明AD=BE。
解：过E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，因为∠CBE=30°，所以BE=2EF。
又因为BE为中线，所以E为AC的中点。
因为AD⊥BC，EF⊥BC，所以EF∥AD，所以AD=2EF，所以AD=BE。
二、求线段的长度例2、如图2，在△ABC中，M是BC边的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB=12，AC=22，求MD的长。
解：延长BD交AC于E，因为BD⊥AD，图1C所以∠ADB=∠ADE=90°。
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠EAD。
又因为AD=AD，所以△ABD≌△AED所以AE=AB=12，BD=DE。
所以EC=AC-AE=22-12=10。
因为M是BC边的中点，D是BE的中点，所以MD=EC=5。
三、说明线段倍、分关系例3、如图3，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F，AF=AC,说明EF=BF。
解：取CF的中点G，连结DG，所以DG是△CFB的中位线。
因为AF=AC，所以F为AG 的中点，所以EF=DG，DG=BF，所以EF=BF 。
四、说明三角形的形状例4、如图4，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是边DC的中点，N是边AB的中点，△MPN是什么三角形？为什么？解：因为，P是对角线BD的中点，M是边DC的中点，N是边AB的中点，所以MP=BC，PN=AD，因为AD=BC，G图3AB CDFEDABCPMN图4所以MP= PN所以△MPN 是等腰三角形。
数学北师大版八年级下册中位线
三角形中位线定理的运用——
例2：任意作一个四边形，并将其 四边的中点依次连接起来，得到一个 新的四边形，这个新的四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。
三角形中位线定理与等腰三角形的综合——
例3：如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3．
3会运用三角形中位线定理重点运用三角形中位线定理难点三角形中位线定理的证明教学流程教学内容个性化备课预习导学1平行四边形的性质与判定边角对角线
八年级数学备课组导学稿（教师用）
课题
三角形的中位线
主备人
曾盐梅
审核人
学习目标
1、理解三角形中位线的概念；
2、会证明三角形中位线定理；
3、会运用三角形中位线定理
定 义：叫做三角形的中位线。
探索二：
1、你能猜想出三角形的中位线与第三边有怎样 的关系?
定ห้องสมุดไป่ตู้：三角形的中位线于第三边，且等于第三边的。
2、请尝试证明三角形的中位线定理。
3、请利用三角形中位 线定理，证明连结三角形每两边的中点得到的四个三角形全等。
三角形中位线定理的运用，测量两点之间不能到达的距离——
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长
留白
课后作业布置
课后小结
反思
练习3：如图所示 ，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=10 cm，AC=6 cm，则四边形ADEF的周长为_________。
例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分。
三角形的中位线专题复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义原卷版
第7讲三角形的中位线专题探究类型一三角形中位线定理知识点睛：三角形中位线定理的应用（1）证明平行问题;（2）证明一边是另一边的2倍或（3）解决"中点问题".注意∶在处理这些问题时，要求出现三角形及其中位线：①有中点连线而无三角形，要作辅助线产生三角形;②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.类题训练1．（2021春•罗湖区校级期末）如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．6B．7C．8D．92．（2021秋•寿光市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.5第1题第2题第3题第4题3．（2021秋•海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（）A．17B．18C．19D．204．（2018春•江干区期末）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE 于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（）A．4B．5C．6D．7 5．（2021•吴兴区二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（）cm2．A．0.5B．1C．2D．46．（2021秋•广饶县期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A．B．C．1D．7．（2021秋•龙口市期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△A n B n∁n的周长为（）A．a B．aC．a D．a8．（2021秋•东莞市校级期末）如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC 的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4类型二三角形中位线在四边形中的应用知识点睛：四边形中中位线的构造（1）四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;（2）四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于判断线段关系或由线段引发的角度关系。
八年级奥数精讲与测试 中位线及其应用
例1．在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,求证.DM=12 AB。
例2．如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为E,DF⊥BC于F,MN 是梯形中位线,求证.DF=MN。
例3．如图,四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别为BC、AD的中点,BA及EF的延长线交于M,CD及EF的延长线交于N,求证.∠AME=∠DNE。
例4．如图,分别以△ABC的AC、BC边为腰,A、B为直角顶点,作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD,M为DE中点,求证.AM⊥BM。
例5．在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F,使AE=CF。
已知BC=2,求证.EF≥1。
A卷一、填空题01．如果等腰梯形底角是45°,高等于上底的2倍,那么梯形中位线与高之比为_________。
02．已知梯形两对角线中点连线长5cm,梯形下底长20cm,则上底长为_________。
03．如图128,E是AC的中点,D在边BC上,且CD=2BD,AD与BE相交于F。
已知△BDF的面积是1,那么△ABC的面积是_________。
04．如图129,梯形ABCD的面积是12,则以梯形四边中点为顶点的四边形EFMN的面积是_________。
05．已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC把中位线EF(E在AB上)分成1 : 3两部分,则S ADFE:S BCFE=_________。
06．如图130,在梯形ABCD中,AB∥CD,EF是中位线,EF与AC相交于G,且EF=16cm,EG−GF=4cm,则AB的长是_________cm。
07．如图131,已知△ABC中,AB=AC,延长AB至D,使BD=AB,E是AB的中点,CD=4,则CE=_________。
08．如图132,在△ABC中,E、F分别为AB、AC上的点,且BE=CF,M、N分别为BF、CE的中点,过M、N的直线交AB于P,交AC于Q。
最新北师大版八年级数学下册《中位线》名师特训(含答案)
最新北师大版数学精品教学资料中位线课后练习主讲教师：题一：已知，以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为_______ cm．题二：已知三角形的各边长分别是8cm、10cm和12cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为__________ cm．题三：如图，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2CD，M，N分别为AD，BC的中点，连MN交AC、BD于点E、F，若ME=4，求EF的长．题四：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF分别交BD、AC于点M、N．若AD=4cm，EF=6cm，则EM=______cm，FN=______cm，MN=______cm，BC=______cm．题五：如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，求HE的值．题六：如图，BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，求GH的长．题七：如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关题八：下列4个判断：题九：①当△ABC绕顶点A旋转时，△ABC各内角的大小不变；题十：②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；题十一：③有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；题十二：④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；题十三：其中正确判断的编号是．中位线课后练习参考答案题一：16．详解：由中点和中位线定义可得原三角形的各边长分别为新三角形各边长的2倍，所以原三角形的周长为新三角形的周长的2倍为16，故答案为16．题二：15．详解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，∴△DEF的周长为DE+DF+EF=12(AC+BC+AB)=12×(8+10+12)cm=15cm．题三：4．详解：∵∠CDA=∠BAD=90°，M，N分别为AD，BC的中点，∴四边形ABCD是梯形，MN是梯形的中位线，∴MN=12(AB+CD)，在△ACD中，ME∥CD，且M为AD的中点，∴E为AC中点，即ME是△ADC的中位线，∴CD=2ME=2×4=8，又∵AB=2CD，∴AB=2×8=16，MN=12(AB+CD)=12×(8+16)=12，在△BCD中，NF是中位线，故NF=12CD=12×8= 4，∴EF=MN ME NF=1244= 4．题四：2，2，2，8．详解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，EF=12(AD+BC)，∴点M、N分别是BD、AC的中点，∴EM与FN分别是△ABD与△ACD的中位线，MF是△DBC的中位线，∵AD=4cm，EF=6cm，∴EM=NF=12AD=2cm，AD+BC=2EF=12cm，∴BC=8cm，∴MF=12BC=4cm，∴MN=EF EM FN=2cm．题五：8cm．详解：∵D、F是BC、AB的中点，∴AC=2FD=2×8=16cm，∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，∴EH=12AC=8cm．题六：6．详解：连接DE，∵AE=EB，AD=DC，∴DE∥BC，DE=12BC=12×8=4，又∵EG=GB，DH=HC，∴GH=12(ED+BC)=12(4+8)=6．题七：C．详解：如图，连接AR，因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF∥AR，且EF=12 AR，所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选C．题八：①④．详解：①当△ABC绕顶点A旋转时，根据旋转变换的性质，△ABC各内角的大小不变，故本小题正确；②斜边和周长对应相等的两个直角三角形，直角边不一定对应相等，两三角形不一定全等，故本小题错误；③有两边及第三边上的高对应相等，这两边的夹角有可能一个是锐角一个是钝角，所以这两个三角形不一定全等，故本小题错误；④有两边及第三边上的中线对应相等，可以倍长中线利用三角形全等证明相等两边的夹角相等，所以这两个三角形全等，故本小题正确．综上，正确判断的编号是①④．故答案为：①④．。
八年级数学下册 6.4 三角形的中位线定理 正确认识和运用三角形的中位线素材 (新版)青岛版
正确认识和运用三角形的中位线一、三角形中位线的定义联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线和三角形的中线要区别开：三角形的中位线的两个端点是三角形两条边的中点，三角形的中线的端点一个是顶点，一个是对边的中点；三角形的三条中位线围成了一个三角形，三角形的三条中线相交于三角形内一点．相同点：都有三条，都在三角形的内部，都是线段．如图1所示，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，则线段DE、EF、DF是△ABC的中位线；线段AE、CD、BF是△ABC的中线．二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．这既有位置关系“平行于第三边”，又有数量关系“等于第三边的一半”．三、三角形中位线的应用1．已知三角形中位线求第三边的长，或知第三边求中位线的长．例1 如图2，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12，则DE的长是（）A．4 B．5 C．6 D．7分析：由三角形中位线定理得DE等于BC的一半．故选C．2．利用平行关系求角的度数例2 如图3，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF= ．分析：由三角形中位线定理可知，DE∥BC，所以∠ADE=∠B=50°，由轴对称知识可知∠EDF=∠ADE=50°，所以∠BDF=80°．3．构造平行四边形例3 如图4，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是（）A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm分析：由三角形中位线定义可知EF、FG、GH、HE分别是△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的中位线，根据三角形中位线定理可知EF∥HG∥AC，EF=HG=12AC=10cm，所以四边形EFGH是平行四边形．同理可求出FG=10cm，因此四边形EFGH的周长是2（FG＋GH）=40cm．故选B．。
八年级数学 几何专项训练《第3讲 巧用中点之“中位线”》浙教版 初二
第3讲 《巧用中点之“中位线”》思路点拨1. 在题目的条件中若出现中点的相关条件，均可考虑中位线的构造，利用中位线的性质进行解题，若出现两个或者更多个中点的条件时，优先考虑中位线.2. 连结三角形两边_________的线段叫做三角形的中位线；一个三角形有______条中位线.（1）三角形的中位线________于第三边，并且等于第三边的_________.（2）三角形的中位线将原三角形分得的较小三角形的面积是原三角形面积的_________.3. 中位线逆定理：如图，在△ABC 中，若D 是AB 中点，且DE ∥BC ；则_____________.经典例题例1. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF AE ⊥于F ，AB =5，AC =3，则DF 的长为___________.例2.（2020年温州实验中学单元卷）如图，在Rt △ABC 中，ACB ∠=90°，点D 是AC 延长线上的一点，AD =24，点E 是BC 上一点，BE =10，连接DE ，M 、N 分别是AB 、DE 的中点，则MN =__________.例3.（2019年棋瓯海区中考模拟卷）如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，C ∠=60°，顶点B ，D 的纵坐标相同. 已知点B 的横坐标为D 的双曲线()0k y x x=>恰好经过AB的中点E，则k=________.例4.（2020年浙江湖州中考卷）如图，在Rt△AOB中，点A在第一象限，点B在x轴上，点C是OA的中点，反比例函数kyx=的图象经过点C且与AB交于点D，若△OCD的面积为3，求k的值.类题精练1.（2020年瑞安联考期中卷）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且AFB∠=90°，若AB=4，BC=7，则EF的长为___________.2．（2020年温州实验中学返校考卷）如图，在□ABCD中，点E、F、G分别是边BC、CD、AD上的中点，连AE、FG、BD，已知AE=BE，△ABE的周长为8，GF=2，则对角线BD的长为_____________.3.（2020年天津中考卷）如图，□ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG. 若AD=5，AB=CF=3，则CG的长为__________.4.（2019江苏扬州中考卷）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN. 若AB=7，BE=5，则MN=__________.5.（2019年河南中考卷）如图，在边长为ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为____________.6.（2020年龙湾区期中卷附加题）如图，在Rt△ABC中，ACB∠=90°，AC=8，BC=4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△'A DE，'A E交边BD 于点F，若△DFE的面积是△ADE面积的一半，则CE=_____________．7.（2020年温州实验中学单元卷）如图，CD是△ABC的中线，AC=AD，AE CD⊥于点E，延长线交CB于F，CD=4，AF=12，则BC的长为_________.8.（2020年温州实验中学单元卷）如图，在四边形ABCD中，ABC∠=90°，AC AD=，E为CD的中点，连结BE. 若BAD∠=60°，AC平分BAD∠，BC=1，则BE的长为________.9. 如图，在△ABC中，C∠=90°，D为AB中点，E在BC上，且DE平分△ABC的周长，则DE 的长为_________.10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，边BC的中点为D. 若kyx=的图象经过点A和点D，且△ABD的面积为3，则k的值为________.11.（2018年永嘉县期末卷）如图，已知点A在y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，0），以AB为边向右作正方形ABCD，过点D的反比例函数的图象交射线BC于点E，取BD的中点M，连结ME，当△BME与△ABD的面积相等时，线段AB与BE的长度之比为_______，OA的长为__________.12.（2021年重庆中考真题B卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数kyx=（0k>，0x>）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF. 若点E为AC的中点，且△AEF的的面积为1，则k的值为__________.。
811.梯形-奥数精讲与测试8年级
例1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两条对角线相交于E，AB⊥A 已且AB=AC，BD=BC，求证：CD=CE。
例2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，求证：四边形EBCD为等腰梯形。
例3．如图103，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=10，CD=4，延长BD至E，使DE=BD，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，求AF的长度。
例4．如图104，梯形ABCD的中位线MN与对角线AC、BD分别交于点P、Q，设梯形ABCD的周长为a，四边形PQCD的周长为b。
若AB=2CD，试求ba的值。
例5．如图，直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E 是CD的中点，若AD=2，BC=8，求△ABE的面积。
A卷一、填空题01．如图106，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC，M为BC 边上的一点，且∠DMC=45°。
若AD=3cm，则AM=_________。
02．如图107，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b (a＞b)，M是DC延长线上的一点，且AM把梯形分成面积相等的两部分，则CM=_________。
03．在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC中点，则S△ADE ：S梯形ABCD=_________。
04．如图108，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，AC平分∠DAB，E、F分别是对角线AC、BD的中点，且EF=a，则S梯形ABCD=_________。
05．梯形ABCD中，AD∥BC。
已知AD+BC=3，AC=S梯形ABCD=_________。
06．已知梯形ABCD中，BC∥AD，对角线AC交中位线EF于G，EG:GF=3:2，EF=15，则AD=_________，BC=_________。
07．等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB=60°。
八年级数学奥术三级第三跳解题方法第五讲中位线及其应用试题
第五讲：中位线及其应用制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【知识梳理】1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它断定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或者梯形，包括作出辅助线。
4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰5、有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的间隔相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
【例题精讲】【例1】△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。
【稳固】在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点. 求证：12DM AB【例2】E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点 那么①四边形EFGH 是__________形②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是__________形 ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是__________形 ④当AC 和BD __________时，四边形EFGH 是正方形。
【稳固】如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点。
〔1〕求证：四边形MENF 是菱形；ABDB〔2〕假设四边形MENF 是正方形，请探究等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论。
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例1．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：
DM=1
2 AB。
例2．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，MN是梯形中位线，求证：DF=MN。
例3．如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA及EF的延长线交于M，CD及EF的延长线交于N，求证：∠AME=∠DNE。
例4．如图，分别以△ABC的AC、BC边为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为DE中点，求证：AM⊥BM。
例5．在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF。
已知BC=2，求证：EF≥1。
A卷
一、填空题
01．如果等腰梯形底角是45°，高等于上底的2倍，那么梯形中位线与高
之比为_________。
02．已知梯形两对角线中点连线长5cm，梯形下底长20cm，则上底长为
_________。
03．如图128，E是AC的中点，D在边BC上，且CD=2BD，AD与BE
相交于F。
已知△BDF的面积是1，那么△ABC的面积是_________。
04．如图129，梯形ABCD的面积是12，则以梯形四边中点为顶点的四边
形EFMN的面积是_________。
05．已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC把中位线EF(E在AB上)
分成1 : 3两部分，则S ADFE:S BCFE=_________。
06．如图130，在梯形ABCD中，AB∥CD，EF是中位线，EF与AC相交
于G，且EF=16cm，EG−GF=4cm，则AB的长是_________cm。
07．如图131，已知△ABC中，AB=AC，延长AB至D，使BD=AB，E
是AB的中点，CD=4，则CE=_________。
08．如图132，在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且BE=CF，
M、N分别为BF、CE的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于Q。
已知∠A=70°，那么∠APQ的度数是_________。
09．如图133，过△ABC的顶点A作直线l，过B，C引l的垂线，垂足分
别为E、F、P为BC的中点。
已知△PEF的面积是2，那么四边形BCFE
的面积是_________。
10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AC平分∠DAB，E、
F分别是对角线AC、BD的中点，且EF=a，则梯形的面积是_________。
二、解答题
11．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M
作AD的垂线，交AD的延长线于F，交AB的延长线于E。
求证：BE=
1
2
BD。
12．如图，已知M、N分别是等腰梯形ABCD的两底AD、BC的中点，E、
F分别是BM、CM的中点。
已知AD=4cm，BC=10cm，AB=5cm，求四边
形MENF的面积。
一、填空题
01．如图136，△ABC中，AD⊥BD于D，E、F、G分
别是AB、BD、AC的中点。
若EG=3
2
EF，AD+EF=12cm，
则S△ABC=_________。
02．已知△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD、BE 交于O点，OE=2cm，则BO=_________。
03．△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H。
若AB=9cm，AC=14cm，BC=18cm，则GH=_________。
04．△ABC中，BE⊥AC于E，AD是BC边上的中线。
若AD=BE，则∠DAC=_________。
05．梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，AB=4，DC=10，连结DB并延长到E，使BE=BD，则CE=_________。
06．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，BE是AC边上的中线。
若AD=18，BE=15，则BC=_________。
07．如图137，∠ABC的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等。
已知BE=AD=4，则AB=_________。
08．如图138，在凸四边形ABCD中，AD=3，AB+CD=23，∠BAD= 60°，∠ADC=120°，M是BC的中点，则DM=_________。
09．如图139，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是对角线AC、BD的中点。
设梯形ABCD的周长为l1，四边形CDMN的周长为l2，且l1= n l2，则n=_________。
10．在正方形ABCD中，E是CD中点，F是AD中点，连结BE、CF，相交于P。
已知∠CBP=27°，那么∠BAP=_________。
二、解答题
11．在四边形ABCD中M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC 的延长线交于P，求证：S△PMN=
1
4
S四边形ABCD 。
12．在四边形ABCD中，CD＞AB，且CD与AB不平行，E、F分别是AC、BD的中点，求证：EF＞
1
2
(CD−AB)。
一、填空题
01．如图140，△ABC中，∠1=∠2，BE⊥AD于E。
若AB=3AC，AD=2cm，则DE=_________。
02．已知△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E是BC的中点，则DE ：AB=_________。
03．如图141，△ABC中，D是AC上一点，DC=AB，E、F分别是AD、BC的中点，FE交BA延长线于M。
若AM=10cm，则AE=_________。
04．如图142，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D、E分别是AB、BC 上的点，DM⊥AE交AC于M，BN⊥AE交AC于N，BD=BE。
若MN=3cm，则NC=_________。
05．在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点。
若∠DEF=25°，则∠HFE =_________。
06．四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，E、F分别是AB、DC的中点，连EF交BD、AC于M，N。
若AC=BD，OM=k，则ON=_________。
07．四边形ABCD中，E、F、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点，M、N分别是PB、QC的中点。
若∠MEF=37°，则∠FEN=_________。
08．如图143,给定凸四边形ABCD与形内一点O,且∠AOB=∠COD=120°，AO=OB，CO=OD。
设K、L、M为线段AB、BC、CD的中点，则∠KLM= _________。
09．M、P分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP 与CM相交于N。
已知PN=1，则BP=_________。
10．如图144，AD是三角形ABC的角平分线，过B、C分别作AD的平行线，分别交CA、BA的延长线于E、F。
已知△ABC的面积是3，则△DEF 的面积是_________。
二、解答题
11．如图，P是矩形ABC内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A'、B'、C'、D'分别是AP、PB、BQ、AQ的中点，求证A'C'=B'D'。
12．如图，△ABC外一直线l，D、E、F分别是各边中点，AA1、FF1、DD1、EE1，都垂直l于A1、F1、D1、E1，求证：AA1+EE1=FF1+DD1。
13．如图，已知AB∥DC，∠D+∠C=90°，E、F分别是AB、DC边中点，求证：EF=
1
2
(DC−AB)。
14．如图，已知P是△ABC内一点，PE⊥AB，PF⊥AC，D是BC中点，∠PBE=∠PCF，求证：DE=DF。