力偶系、平面任意力系

m = mo (FA )
二、简化
力系 F1、F2、 … 、Fi、 … 、Fn 简化中心O 任选 汇交力系
F1、F2、 … 、Fi、 … 、Fn
FR = ∑ Fi′ =∑ Fi
i =1 i =1
合力 n
FR
n
F1′ FR m1 mi ⌒ M ·O Fi′ ′ F n m F2′ m n 2 力偶系 F1 (m1、m2、……、mn) F2 Fn 合力偶M Fi
m 3 ∴ FB = + 2 FL = 2.5kN 2L 4
2 ∴ FAy F－FB －1.08kN 2
例13. 已知：相同圆柱O1、O2，P= 100 kN，α=30°
求：A、B、C处的约束力。
O1 C O2
解：
y
O1 O2
P
A
FC C
x
P
B
P
FB
AF A
P
αB
∑Fx = 0 :
FC cosα－2 Psinα = 0
B P2
′ F2
A P1
F2
B P2
F4
F1
A P1
B P2
F4
F3
F3
(d) A (e) C
q
D
FDy
B
D
q
B
A
q
C
FCy
FCy
D
q
Cx
FDx
FB
FBy
B
FA
′F ′ A FCx FDx Dy
FA
CF
D
B
FB
q
B
A
C
FAy q
FCy
C
′ FBx
P
B
FAx
FAy
A
CF
q
B
P
FAx A
FBx
′ FBy
六、力偶的等效定理
（不能与力平衡）
1.矩m不变，力偶可平移、滑移、转动。 2.当力偶矩相等时，两力偶等效。 七、力偶系的合成 合成后仍为一力偶
m
M =∑ mi
i =1
n
八、平面力偶系的平衡 1.合成
n
M =∑ mi
i =1
2.平衡
M =∑ mi = 0
i =1
n
∴平衡方程
∑M=0
可解一个未知数
例9.
∑ Fx = 0
方程
∑Fy = 0 ∑ mo (F ) = 0
可解三个未知数
例11. 已知：F、α、L
求：A端约束力。 解： 解法Ⅰ mA FAy
A
F
A L α B
FAx
F
α
B
∑M A = 0 :
∑Fx = 0 :
mA － F sinα L = 0
FAx－F cosα = 0
FAy－F sinα = 0
关于分布载荷的问题
y
q(x)
A B
L a
集度：q(x)
x
B
向上：+
单位：kN/m
1.求合力：
O
dFQ = q(x) • dx
y A O L
x 2.求力矩：
dx
FQ = ∫ dFQ
A
q(x)
B x
dm = q(x) • dx • x = q(x) xdx
B L+a a
mO = ∫dm = ∫xq(x) dx
i =1
FRy = ∑Fiy
i =1
FR = FR2 x + FR2 y
FRx cosα = FR
n i =1
cosβ =
n
FRy FR
M = ∑mi = ∑mo (Fi )
i =1
⑷ 结果讨论
① FR≠0, M=0 ② FR≠0, M≠0
FR ——合力
M´= FRd = M
FR
M
′ FR
d
M´
′ 合力 FR 作用于O´点
FCx
FCy
P
Cx
FCy
(f)
C A
F2
B
C
FCx
′C FCx
′ FCy
B
FAx
F1
A
F1
C
F2
FBy
B
F2
FBy
FAy
FAx A FBx
FAy
F1
FBx
(h) C A
F2
B
D
F1 FB
FAy
A
B D
FCy
C
F2
B
FCx
′ FB
FCy FAy
CF
A
F1
F2
Cx
D
B
F1
FAx
FAx
(j) A
D
C
E H
∴ mA = F sinα L
∴ FAx = F cosα
∴ FAy = F sin α
FA = F
∑Fy = 0 :
解法Ⅱ
A
F
α B
FA
mA
∑M = 0 : mA－F sinα L = 0
∴ mA = F sinα L
例12. 已知：F = 2 kN，m = 1.5 kN· m，L = 2 m 求：A、B处的约束力
FDy
FDx
B
FT 1
D
FT 2
FEy1
E
′ FT 1
FBx FEx1 FT 3
A B
C
FCx
FCy
P
FAx A
FAy
D C H E
′ FT 2
FBy ′ FCy ′ FDx FEx D ′ ′ FDy FCx
C
E
FAx
FBx
B
FAy
FEy
FBy
P
′ FT 4 FT 3
H
′ FEy ′ F ′ E FEx
解：
∑ M = 0: ∴
m1－ m3 + m2 = 0 m3 = m2 + m1 = 2 m
§2-3 平面力系的简化
一、力线平移定理 作用于刚体上的已知力可以向该刚体上任意一点平行移动， 平移时将产生一附加力偶，其矩等于原力对平移点的矩。 证明
FO
FA
FA
·A
m
O·
·A
′ FO
′ FO =－FO = FA
·O ·O´
③ FR = 0, M≠0
力系简化为合力偶
与O无关
④ FR= 0, 平衡
M=0 方程
FRx = ∑ Fx = 0
FRy = ∑ Fy = 0
M =∑ mo (F ) = 0
3.平面任意力系合力矩定理
mo (FR ) = ∑ mo (Fi )
i =1
n
4.固定端
A
Fy A
A Fx
mA
§2-4 平面一般力系的平衡方程及其应用
(i) C D
B
F
D
C A
FC
FC
C
B
F
′ FC
C
B
F
●
FD
(j) q
FAx
B
D C
A
FAy
A
FA
FAx A
FAy FC
C q B
A D
C
′ FC
习题1-2
(a) B
FD
B
P2 C
P1
A
P2 C
F1′
F3
B
F2
P1
F1 FAy FAx A
F2
P2 C P1
F3
FAy FAx A
(b)
A P1
F1
Ex1
P
′ FEy ′ 1 FT 4
四、力偶的概念 定义: 作用面: 力偶臂： d 效果 ： 矢量 转动 力偶矩矢 标量 等值、反向、不共线的两个平行力的组合 两力所确定的平面
F
m
F′
d
平面力偶 大小 方向
m=Fd
+
m
－
m
五、力偶的性质 1.力偶对任何点的矩都等于其力偶矩。
2.不平衡、且无合力。
m A = ∫xq(x ) dx
0 L
x
A
a
dx
A
mB =－∫xq(x) dx
0
L
q
O B
3. q(x) = q = c.
FQ = qL
L qL 2
L mO =－qL(a + ) 2
例14. 已知：F = 5 kN，q = 4 kN/m，a = 4 m，b = 3 m。 求：A处约束力。 q
已知：m，不计自重。
a B a
求：A、C 处约束力。
B
解：
C
FB
′ FB
B
3a
a
m
A
m
FA
A
C
FC
FA = FB = FC
M0 ∑
2 2 m－ FA a－ FA 3 a = 0 2 2
2 m FA = m = 0.3536 4a a
例10. 圆棒上作用有力偶m1、m2、m3而处于平衡，其中m1=m2=m, 求：m3=？ m3 m1 m2
Σ MO = 0 :
设：OC=a
A
r
FA
l Gasinα + aPsinα－ Pcosα = 0 4
l 2 1 2 a= r － ( ) = 4 r 2－l 2 2 2
l 2
r
o
C
α G
D
P
l 4
B
FB
P l ∴tanα = P + G 2 4 r 2－l 2