文件中国矿业大学周圣武概率论与数理统计5第五章 大数定律与中心极限定理.ppt

弱些，它具有某种不确定性.
优选
6
命题 （切比雪夫Chebyshev不等式）
设随机变量X 的数学期望 E(X ) 和方差D（X） 2
存在，则对任意 0 , 不等式
P{|
X
E(X
) |
}
D(X )
2
或
P{| X
E(X
)
|
}
1
D( X
2
)
成立，
则称此式为切比雪夫不等式。
证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为 f (x)
由切比雪夫不等式
P{ X EX
2100}
1
D( X ) (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。
优选
11
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 废品率
字母使用频率
大量的随机现象中平均结果的稳定性
设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， P是事件A发生的概率，则对任给的ε> 0，有
lim P{| nA p | } 1 或
n
n
即 nA P p . n
lim P{| nA p | } 0
n
n
证明 引入随机变量
Xi
1, 0，
第i次试验中A发生，
第i次试验中A不发生，i
1，2，
优选
16
显然 nA X1 X 2 X n 且 E（X）i p ， D（Xk） p（1 p），k 1,2, n
中心极限定理：对于随机变量序列 X1, X 2, , X n
n
其部分和 X i 在什么条件下以正态分布为极限 i1
分布。
优选
3
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
优选
4
定义1 设随机变量序列 X1, X 2, , X n ，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
n
E(Xi)
i 1 优选
1 n
n i1
13
D(1 n
n i1
Xi)
1 n2
n
D(Xi )
i1
1 n2
n
2
i1
2
n
由切比雪夫不等式得：
1
P{|
1 n
n k 1
Xk
|
} 1
2 n 2
所以
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
|
} 1
注：当n充分大时，
1 n
n i 1
Xi
差不多不再是随机的了，
9
若
优选
9
例1 一电网有1万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为0.7.
求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?
解 设X 为同时开的灯数。X ~ b(104,0.7)
由二项分布 E(X ) np 7000 D(X ) npq 2100
7200
P{6800 X 7200}
C
k 104
其取值接近于其数学期望的概率接近于1.
优选
14
定理2（辛钦定律）
设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布，
且具有相同的数学期望 E(Xi ) ,i 1,2,
则
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
|
} 1
辛钦
辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要 独立同分布就可以了。
优选
15
定理3（伯努利大数定律）
0.7
k
0.310k
k 6800
用切比雪夫不等式
P{6800 X 7200}
P{6800 7000 X 7000 7200 7000}
P{
X
7000
200}
1
优选
2100 2002
0.95
200
10
例2 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式
lim
n
P{|
X
n
a
|
}
1
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 X n Pa .
优选
5
请注意 :
X n依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件 X n a 的概率很大，接近于1； 并不排除事件 X n a 的发生，而只是说他发生的
可能性很小. 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛
D(
X
2
)
.
优选
8
P{|
X
E(X
)
|
} 1
D( X
2
)
可见D(X) 越小，事件 {| X | }的概率越接近1。
X 的值密集在其数学期望附近的概率越大。
例如：对未知分布X，取 3 , 2 ,
P{|
X
|
2} 1 2
/2 2
3 4
0.75
P{| X | 3} 1 2 / 3 2 8 0.89
可知，当 n 时，有
1
n
n i1
Xi
P E( X1)
a
因此我们可取 n 次测量值 x1, x2, , xn 的算术平均值
作为a
得近似值，即
a
1n n优i选1
xi ,当n充分大时误差很小。
优选
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几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1 , X2 , … 是一列相互独立的随机变量序列，
它们都有相同的数学期望 E(Xi ) 和方差D（X）i 2
则
1
n
n i1
Xi
P
.
即对任意的ε> 0，
lim
n
P{|
1 n
n i1
Xi
|
}
1
证明
E(1 n
n i1
Xi)
1 n
第五章 大数定律与中心极限定理
一、大数定律 二、中心极限定理
优选
1
本章是关于随机变量序列的极限理论。
目的是从理论上对第一章中提出的“频率的 稳定性”给出严格的数学证明。
大数定律：对于随机变量序列 X1, X 2, , X n
描述其平均值
1 n
n i1
Xi
在什么条件下以什么形
式呈现出稳定性。
优选
2
估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 .
解 设每毫升白细胞数为X
依题意，EX =7300,DX =7002 所求为
P{5200 X 9400}
P{5200 7300 X 7300 9400 7300}
P{2100 X EX 2100} P{ X EX 2100}
又由于各次试验相互独立，所以
X1, X2,
, X n 独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lim P{| nA p | } 1
n
n
优选
17
例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？
解 在相同的条件下测量n 次，其结果为
X1, X 2, , X n，它们可看成是相互独立、相同分布的
随机变量，并且有数学期望为a . 于是由辛钦大数定律
优选
7
则 P{| X E(X ) | } f (x)dx |xE( X )|
|xE
(
X
)|[Biblioteka xE(2
X
)]2
f (x)dx
[x
E( X )]2
2
1
1
2
[x
E(
X
)]2
f
(x)dx
D(X )
2
注：Chebyshev不等式对随机变量在以 E(X )为中心
的一个ε邻域外取值的概率给出了一个上界