CH1-2线性规划举例
运筹学Ch1线性规划全
x2
2 x4 3x5
x7 2x8 4x9 5x10 1000
x j 0, j 1,2，10
方案 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 需求量
规格
求下料y方1(根案) 时2应注2意，1 余料1 不能1 超0过最0短毛0 坯的0 长0度；10最00 好将毛 坯的长，度最按后y2 降切的割1次最序短0排的列，2 ，不即能1 先遗切漏0 割了长方4 度案3最。长2如的果毛1方坯案0，较再多10切0，0 割用次计长 算机编程y3 排方0案，1去掉0 余料2 较长3 的0方案1，进2 行初4 选5。 1000
运筹学
Operations Research
Chapter 1 线性规划
Linear Programming
1.1 LP的数学模型 1.2 图解法 1.3 标准型 1.4 基本概念 1.5 单纯形法
Mathematical Model of LP
Graphical Method
Standard form of LP
2024年10月18日星期五
解: 设xj（j=1,2，…，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模
型
min Z 340x1 260x2 180x3 230x4 190x5
0.25x1 0.4x2 0.2x4 0.08x5 0.28 0.1x1 0.15x3 0.2x4 0.05x5 0.15
金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务 或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生 产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
2024年10月18日星期五
初中数学知识归纳线性规划的应用
初中数学知识归纳线性规划的应用线性规划（Linear Programming，简称LP）是数学中的重要分支，也是运筹学的一种基础工具。
它可以帮助我们在特定的约束条件下，找到使目标函数达到最优值的最佳决策方案。
在实际生活中，线性规划有着广泛的应用。
本文将对初中数学中线性规划的应用进行归纳总结。
一、最大最小问题最大最小问题是线性规划的基础，也是求解其他问题的前提。
在初中数学中，我们经常遇到寻找最大最小值的问题，线性规划可以帮助我们解决这些问题。
例如，考虑以下问题：某公司生产两种产品A和B，每单位A产品需要5小时的工作时间，每单位B产品需要4小时的工作时间。
公司每天可用的工作时间为40小时，每单位A产品的利润为200元，每单位B产品的利润为150元。
如何安排生产以使得利润最大化？为了解决这个问题，我们可以定义以下变量：设x为生产的A产品数量（单位：个）设y为生产的B产品数量（单位：个）根据题目中的限制条件，我们可以得到以下约束条件：5x + 4y <= 40 （工作时间限制）x >= 0 （生产数量非负）同时，我们要最大化利润，因此目标函数为：200x + 150y （利润最大化）通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优解，即最大化的利润。
二、资源分配问题线性规划还可以处理资源分配问题。
在实际生活中，我们经常需要合理分配有限的资源以达到最佳效益。
例如：某餐厅每天供应A类和B类套餐，每份A类套餐需要2个鸡腿和3个薯条，每份B类套餐需要3个鸡腿和2个薯条。
餐厅每天供应的鸡腿总量为20个，薯条总量为15个。
假设A类套餐的利润为10元，B 类套餐的利润为8元，如何安排供应以使得利润最大化？我们可以定义以下变量：设x为供应的A类套餐数量（单位：份）设y为供应的B类套餐数量（单位：份）根据题目中的限制条件，我们可以得到以下约束条件：2x + 3y <= 20 （鸡腿供应限制）3x + 2y <= 15 （薯条供应限制）x >= 0 （供应数量非负）同时，我们要最大化利润，因此目标函数为：10x + 8y （利润最大化）通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优解，即最大化的利润。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。
工厂有两个生产车间：车间1和车间2。
生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。
每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。
我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。
二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。
假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。
线性规划的理论与实例分析
线性规划的理论与实例分析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种重要的运筹学工具，常常被应用于生产、物流、金融等领域中的优化问题。
本文将从理论和实例两个角度，介绍线性规划的基本概念、模型及求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数、约束条件等。
（一）决策变量决策变量是指影响问题结果的变量，通常用x1、x2、 (x)表示。
例如，生产线上的机器数量、产品的产量等都是决策变量。
（二）目标函数目标函数是指要最大化或最小化的某个指标，通常用z表示。
例如，最小化成本、最大化利润等都是目标函数。
（三）约束条件约束条件是指在问题求解中要满足的条件。
例如，不超过机器限制数量、满足生产需求等都是约束条件。
通常用不等式或等式形式表示。
二、线性规划的模型线性规划的一般形式可表示为：最大化或最小化目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn约束条件：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm或x1, x2, … , xn ≥ 0 （非负性约束条件）其中，c1、c2、…、cn为各决策变量的系数，a11、a12、…、amn为各约束条件中各决策变量的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的值，x1、x2、…、xn为决策变量，非负性约束条件也称为非负约束。
三、线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，这里主要介绍两种：单纯性法和对偶理论。
（一）单纯性法单纯性法是线性规划的一种基本算法，其实质是在各约束条件限制下寻找目标函数最大或最小值。
单纯性法基于以下两个原则：①某个极值点必定满足目标函数的所有约束条件；②各个变量所形成的可行解区域有限，且该区域的可行解点数有限。
单纯性法的具体过程如下：Step 1 建立初始单纯形表将约束条件转化为标准形式，即将约束条件化为”≤“的形式，并加入人工变量，得到初始单纯形表。
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
下面通过一些例题来帮助大家更好地理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件通常是由一组线性等式或不等式组成。
例如：＄2x ＋3y ≤ 12$，＄x y ≥ 1$等。
目标函数一般表示为$Z ＝ ax ＋ by$的形式，其中$a$、＄b$为常数，＄x$、＄y$为决策变量。
可行解是满足所有约束条件的解，可行域是所有可行解构成的集合。
最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
二、线性规划的例题例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需消耗 A原料 3 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克。
A 原料有 12 千克，B 原料有 16 千克。
甲产品每件利润为 5 元，乙产品每件利润为 8 元，问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大？设生产甲产品$x$件，生产乙产品$y$件。
则约束条件为：＄＼begin{cases}3x ＋2y ≤ 12 ＼＼ 2x ＋4y ≤ 16 ＼＼x ≥ 0, y ≥0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 5x ＋ 8y$画出可行域，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，分别代入目标函数计算，可得当$x ＝ 2$，＄y ＝ 3$时，利润最大为$34$元。
例 2：某运输公司有两种货车，每辆大型货车可载货 8 吨，每辆小型货车可载货 5 吨。
现要运输 60 吨货物，且大型货车的使用成本为每次 100 元，小型货车的使用成本为每次 60 元，问如何安排车辆才能使运输成本最低？设使用大型货车$x$辆，小型货车$y$辆。
约束条件为：＄＼begin{cases}8x ＋5y ≥ 60 ＼＼x ≥ 0, y ≥ 0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 100x ＋ 60y$画出可行域，计算顶点坐标代入目标函数，可知当$x ＝ 5$，＄y ＝4$时，成本最低为$740$元。
第四讲线性规划-图解法(liu)
三、二维线性规划的图解法
3、几个概念 （3）可行解
由约束条件和变量取值限制围成的公共 区域中的每一个点都称为线性规划问题的可 行解。
（4）可行域
所有可行解的集合，构成线性规划问题 的可行域。
22
三、二维线性规划的图解法
4、解的状态
（1）唯一解 （2）无穷多个最优解 (目标函数直线与可行域某直线重合)
二、线性规划模型及标准化
1、线性规划模型的一般形式
例二：配料问题 某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为 原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。这四 种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍（Ni） 的含量（%），这四种原料的单价以及新的 不锈钢材料G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含 量（%）如下表所示：
25
三、二维线性规划的图解法
线性规划的几何意义
（1）凸集
集合C∈En，从C中任取两点X、Y，当 0<λ<1时，仍有λX+（1-λ）Y∈C，则称C为 凸集。 凸集：
26
三、二维线性规划的图解法
线性规划的几何意义 （1）凸集 不是凸集：
27
ห้องสมุดไป่ตู้
2、线性规划模型的标准化方法： （1）把最小化目标函数转化为求最大化问 题。令 z' z （2）把约束方程中的不等式转化为等式。 具体做法是：对于小于等于情况，引进松弛变 量，对于大于等于情况，引进剩余变量。 x j x 'j x"j （3）变量取值可能无约束。令 x 'j x j （4）变量小于等于零，令 （5）右端项 b j 小于零，等式两端同乘-1
2
一、情况介绍
线性规划研究的问题可以归结为两大类 别： 1、在现有的资源条件下，如何充分利 用资源，使任务或目标完成得最好（求约束 极大化问题）。 2、在给定目标下，如何以最少的资源 消耗，实现这个目标（求约束极小化问题）。
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
ch1线性规划-2-单纯形法130916
取初始可行基 B0 = (P3, P4, P5 )=I 这时问题已是关于基B0的典式，直接作初始单纯形表 序 号 C
CB XB x3 x4 x5 b
10
x1
18
x2
0
x3
0
x4
0
x5
0
170 100 150 0
5 2 1 10
2 3 5* 18
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Ⅰ
0 0 Z
序 号
C
CB XB b
3 x1
2 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0
x3
x4 x5
4
14 3
-1
3 1* 3 0
2
2 -1 2 1
1
0 0 0 1
0
1 0 0 0
0
0 1 0 1
Ⅰ
0 0 Z 0 0 3 Z
0
x3 7
Ⅱ
x4
x1
5
3
0
1 0
5*
-1 5
0
0 0
1
0 0
-3
1 -3
-9
序 号
C
CB XB x3 x2 x1 b 6 1 4 -14 x5 15/4
序 号
C
CB XB b
10
x1
18
x2
0
x3
0
x4
0
x5
Ⅱ
0 0 18
Z 0 10 18 Z
x3
x4 x2 x3
110 10 30 -540
540/7
23/5 7/5* 1/5 32/5
0 1 0 0 0 0
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，有很多问题都可以通过线性规划来解决，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划的数学模型通常可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_i$是约束条件的右端项。
二、线性规划的解题步骤1、建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件。
2、画出可行域：将约束条件在直角坐标系中表示出来，得到可行域。
3、求出最优解：在可行域内，通过寻找目标函数的等值线与可行域边界的交点，求出最优解。
三、例题分析例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 单位甲产品需要消耗 A 资源 2 单位，B 资源 3 单位，可获利 5 万元；生产 1 单位乙产品需要消耗 A 资源 3 单位，B 资源 2 单位，可获利 4 万元。
现有 A 资源12 单位，B 资源 10 单位，问如何安排生产，才能使工厂获得最大利润？解：设生产甲产品$x_1$单位，生产乙产品$x_2$单位。
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
管理运筹学 第2章 线性规划的图解法
生的影响。
3.1 目标函数中的系数 ci 的灵敏度分析 考虑例1的情况，ci 的变化只影响目标函数等值线的斜率，
目标函数 z = 50 x1 + 100 x2 在 z = x2 (x2 = z 斜率为0 ) 到 z = x1 + x2 (x2 = -x1 + z 斜
在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当某一个变量xj没 有非负约束时，可以令 xj = xj’- xj”
其中 xj’≥0，xj”≥0
取决即于用xj’两和个xj”非的负大变小量。之差来表示一个无符号限制的变量，当然xj的符号
管理运筹学
23
§3 图解法的灵敏度分析
灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后，研究线性规
管理运筹学
18
§3 图解法的灵敏度分析
2、约束条件不是等式的问题：
设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左
边之差
s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，s 也具有非负约束，即s≥0，
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划模型：
目标函数：max 约束条件：s.t.
z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
管理运筹学
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，明确在什么条件下，要追求什么目标；
线性规划经典例题
线性规划经典例题线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下找到目标函数的最大值或者最小值。
它在各种领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
下面将介绍一个经典的线性规划例题，并详细解释其求解过程。
例题描述：某工厂生产两种产品：产品A和产品B。
每天工厂有8个小时的生产时间，其中产品A的生产时间为4个小时，产品B的生产时间为6个小时。
产品A每件利润为200元，产品B每件利润为300元。
工厂有两个工序，每件产品A需要1个小时的工序1和2个小时的工序2，每件产品B需要2个小时的工序1和1个小时的工序2。
工序1每天最多可用的时间为5个小时，工序2每天最多可用的时间为6个小时。
问工厂每天应该生产多少件产品A和产品B，才干使利润最大化？解答过程：首先，我们需要定义决策变量。
设x为产品A的生产数量，y为产品B的生产数量。
其次，我们需要建立目标函数。
根据题目要求，我们的目标是最大化利润。
利润可以通过产品A和产品B的数量和利润率计算得出。
产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件，因此目标函数可以表示为：目标函数：Z = 200x + 300y然后，我们需要建立约束条件。
根据题目要求，工厂的生产时间和工序时间有限制。
产品A的生产时间为4个小时，产品B的生产时间为6个小时，因此约束条件可以表示为：约束条件1：4x + 6y ≤ 8工序1每天最多可用的时间为5个小时，工序2每天最多可用的时间为6个小时，因此约束条件可以表示为：约束条件2：x + 2y ≤ 5约束条件3：2x + y ≤ 6此外，由于生产数量不能为负数，我们还需要添加非负约束条件：约束条件4：x ≥ 0约束条件5：y ≥ 0综上所述，我们的线性规划模型可以表示为：最大化目标函数：Z = 200x + 300y约束条件：4x + 6y ≤ 8x + 2y ≤ 52x + y ≤ 6x ≥ 0y ≥ 0接下来，我们需要求解这个线性规划问题。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以匡助读者更好地理解和应用线性规划的原理和方法。
一、问题一：生产计划问题1.1 生产目标：某公司希翼最大化其利润。
1.2 生产约束：公司有两种产品A和B，每周生产时间有限，每一个产品的生产时间和利润有限制。
1.3 数学建模：设产品A和B的生产时间分别为x和y，利润分别为p和q，则目标函数为Maximize p*x + q*y，约束条件为x + y ≤ 40，3x + 2y ≤ 120，x ≥ 0，y ≥ 0。
二、问题二：资源分配问题2.1 目标：某公司希翼最大化其销售额。
2.2 约束：公司有三个部门，每一个部门需要的资源不同，且资源有限。
2.3 建模：设三个部门分别为A、B和C，资源分别为x、y和z，销售额为p、q和r，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，2x + y + 3z ≤ 240，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
三、问题三：投资组合问题3.1 目标：某投资者希翼最大化其投资组合的收益。
3.2 约束：投资者有多个可选的投资项目，每一个项目的收益和风险不同，且投资金额有限。
3.3 建模：设投资项目分别为A、B和C，收益分别为p、q和r，风险分别为a、b和c，投资金额为x、y和z，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，a*x + b*y + c*z ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
四、问题四：运输问题4.1 目标：某物流公司希翼最小化运输成本。
4.2 约束：公司有多个供应地和多个销售地，每一个供应地和销售地之间的运输成本和需求量不同，且供应量和销售量有限。
4.3 建模：设供应地和销售地分别为A、B和C，运输成本为p、q和r，需求量为x、y和z，供应量为a、b和c，则目标函数为Minimize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ a + b + c，x ≤ a，y ≤ b，z ≤ c，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
图论及其应用ch1-2详解
几个有趣的图论问题
Kö nigsberg七桥背后的故事
Graph Theory
/图论
Kö nigsberg七桥位于前苏联的加里宁格勒，历史上 曾是德国东普鲁士省的省会，霹雷格尔横 穿城堡，河中有两个小岛B与C，并有七座桥连接岛与 河岸及岛与岛（见图）。是否存在一种走发，从四块 陆地中的任意一块开始，通过每一座桥恰好一次再回 到起点。这就是著名的Kö nigsberg七桥问题，即一笔 画问题；也是图论的起源。
Graph Theory
/图论
在一个图G (V (G ), E (G ), G )中, 如果 G (e ) uv , 则说边e 连接 顶点u, v , 称u, v为e的端点 ，称u和v是 相邻的，而称u(或v )与e 关联。 与同一个顶点关联的若 干条边称为相邻的 。 两个端点重合为一个顶 点的边称为环； 关联于同一对顶点的两 条或以上的边称为 多重边 。
有
实际上,有向图即将无向图中的无序对看成有序对. 其中有向图对应的无向图称为有向图的基础图。 其中V(G)称为顶点集,E(G)称为边集（A(D)又称为 弧集）.令p(G)=|V(G)|,q(G)=|E(G)|, 分别称为图的 阶和边数。举例说明。
11/19/2018 10:03 PM Li-Li Zhang 14
11/19/2018 10:03 PM Li-Li Zhang 12
1.2 图的定义
Graph Theory
/图论
生活中，人们常常需要考虑一些对象之间的某种特定 的关系 . 如某区域内，两城市之间有无交通线；一群 人中，两个人之间相识或不相识等等 . 这种关系是对 称的，即如果甲对于乙有某种关系，则乙对于甲也有 这种关系 . 可以用一个图形来描述给定对象之间的某 个关系：我们用平面上的点分别表示这些对象，若 对象甲和乙有关系，就用一条线连接表示甲和乙的 两个点 . 这种由一些点与连接其中某些点对的线所构 成的图形就是图论中所研究的图. 图/Graph：可直观地表示离散对象之间的相互关系， 研究它们的共性和特性，以便解决具体问题。
运筹学线性规划案例
运筹学线性规划案例线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何利用数学模型来解决最优化问题。
在实际应用中，线性规划可以帮助企业做出最佳的决策，使资源得到最大化利用。
本文将通过一个实际案例来介绍线性规划的应用，以便读者更好地理解和掌握这一方法。
假设某公司生产两种产品A和B，它们分别需要机器加工和人工装配。
公司拥有的机器和人工资源分别为每周80小时和60人天。
产品A每单位需要机器加工2小时，人工装配3人天；产品B每单位需要机器加工3小时，人工装配2人天。
每单位产品A的利润为2000元，产品B的利润为3000元。
现在的问题是，如何安排生产计划，才能使得利润最大化呢？首先，我们可以将该问题建立成数学模型。
假设x1和x2分别表示生产产品A 和B的单位数，则该问题可以表示为：Max Z=2000x1+3000x2。
约束条件为：2x1+3x2≤80。
3x1+2x2≤60。
x1≥0，x2≥0。
接下来，我们可以通过线性规划的方法来求解最优解。
在这里，我们不妨使用单纯形法来进行求解。
首先，我们将约束条件转化成标准形式，得到：2x1+3x2+s1=80。
3x1+2x2+s2=60。
x1≥0，x2≥0。
然后，我们构造初始单纯形表，并进行单纯形法的迭代计算。
最终得到最优解为x1=20，x2=10，此时利润最大为80000元。
通过这个简单的案例，我们可以看到线性规划在实际中的应用。
通过建立数学模型和运用线性规划方法，我们可以很好地解决类似的最优化问题，使得资源得到最大化利用，从而帮助企业做出更加科学合理的决策。
总之，线性规划作为运筹学中的重要方法，具有广泛的应用前景。
通过不断地学习和实践，我们可以更好地掌握线性规划的原理和方法，为实际问题的解决提供更加科学的支持。
希望本文的案例能够帮助读者更好地理解线性规划的应用，从而在实际工作中能够更好地运用这一方法，取得更好的效果。
1-2线性规划图解法-讲
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
6—
4x1 16
5—
4 —B
C
3—
4 x2 12
2—
D
x1 + 2x2 8
1 — 可行域
0
A
| | | | E| | | | |
12 3 4 5 6 7 8 9
x1
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❖图解法
x2
9— 8— 7—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
6—
4x1 16
5—
4 —B
C
4 x2 12
3— 2—
D
2x1 + 3x2 = 6
x1 + 2x2 8
1—
0
A
| | | | E| | | | |
12 3 4 5 6 7 8 9
x1
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❖图解法
x2
9—
8—
可行域的顶点得到。 若两个顶点同时得到最优解，则其连线上的
所有点都是最优解。 解题思路：找出凸集的顶点，计算其目标函
数值，比较即得。
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练习：
用图解法求解LP问题
Max Z = 34 x1 + 40 x2
4 x1 + 6 x2 48 2 x1 + 2 x2 18 2 x1 + x2 16 x1、 x2 0
10 — B
8—
(0,6.8)
C
6—
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表1－3 金属 矿石
A% 25 40 20 0 20 8
B% 10 0 10 15 20 5
C% D% 10 0 0 5 0 15 25 30 30 20 40 17
杂质 ％ 30 30 40 60 20 55
主页Βιβλιοθήκη 1 2 3 4 5 6费用 （元/t ） 23 20 18 10 27 12
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线性规划（ 线性规划（Linear Programming缩写为LP）是运筹 Programming缩写为LP） 学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛， 学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其 方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常解决下列两类问题 当任务或目标确定后，如何统筹兼顾， （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理 安排， 如资金、设备、 安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料 人工、时间等）去完成确定的任务或目标； 、人工、时间等）去完成确定的任务或目标； （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生 在一定的资源条件限制下， 产获得最好的经济效益（ 产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最 大.
根数分别为y 根数分别为y1,y2,y3,则切割方式可用不等式 2.9y +2.1y +1.5y ≤7.4表示，求这个不等式关于y 2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3 的非负整数解。例如y =2,y =0则 只能为1，余料为0.1。 的非负整数解。例如y1=2,y2=0则y3只能为1，余料为0.1。 象这样的非负整数解共有8组，也就是有8 象这样的非负整数解共有8组，也就是有8种下料方式， 如表1 如表1-2所示。 第二步：建立线性规划数学模型。设x 第二步：建立线性规划数学模型。设xj(j=1,2…,8) 为第j 为第j种下料方案所用圆钢的根数。则数学模型为
min z =x1+x2+x3 +x4+x5 +x6+x7 +x8 2x1+x2+x3 +x4 ≥ 100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 ≥ 100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 ≥ 100 xj ≥ 0, j =1, 2, … , 8
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用§1.5的单纯形法求得最优解为x1=10,x2=50,x4=30，其余 x为零，即第一种方案用料10根，第二种方案用50根，第 四种方案用30根，共计用料90根。
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2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4
方案
表1－2
1 2 0 1 0.1
2 1 2 0 0.3
3 1 1 1 0.9
4 1 0 3 0
5
6
7
8
需求量 100 100 100
规格
y1(2.9m) y2(2.1m) y3(1.5m)
0 0 0 0 3 2 1 0 0 2 3 4 1.1 0.2 0.8 1.4
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【解】设xj（j=1,2…，6）是第j 种矿石数量，目标函数是 解 总成本最少，得到下列线性规划模型
minZ=23x +20x +18x +10x +27x +12x minZ=23x1+20x2+18x3+10x4+27x5+12x6
0.25x1 + 0.4x2 + 0.2x3 + 0.2x5 + 0.08x6 ≥ 0.23 0.1x + 0.1x + 0.15x + 0.2x + 0.05x ≤ 0.15 3 4 5 6 1 0.1x1 + 0.05x4 + 0.15x6 ≤ 0.04 0.25x1 + 0.3x2 + 0.3x3 + 0.2x4 + 0.4x5 + 0.17x6 ≤ 0.65 0.25x + 0.3x +0.3x + 0.2x + 0.4x + 0.17x ≥ 0.35 1 2 3 4 5 6 0.7x1 + 0.7x2 + 0.6x3 + 0.4x4 + 0.8x5 + 0.45x6 = 1 x ≥ 0, j = 1,2,L,6 j
道工序工时为24小时 道工序工时为24小时。 小时。 生产产品B 的同时产出副产品C 生产产品 B 的同时产出副产品 C ， 每生产一吨 产品B 可同时得到2吨产品C而无需外加任何费用。 产品B，可同时得到2吨产品C而无需外加任何费用。 这副产品C一部分可以盈利，剩下的只能报废。 这副产品C一部分可以盈利，剩下的只能报废。 出售产品A每吨可盈利400元 产品B 出售产品A每吨可盈利400元，产品B每吨可盈 1000元 每销售一吨副产品C可盈利300元 利1000元，每销售一吨副产品C可盈利300元，而剩 余要报废的则每吨损失为200 元 经市场预测， 余要报废的则每吨损失为 200元 。 经市场预测 ， 在 计划期内产品C 最大销量为5 计划期内产品 C 最大销量为 5 吨 。 试列出本问题的 线性规划模型， 决定A 两种产品的产量， 线性规划模型 ， 决定 A 、 B 两种产品的产量 ， 使工 厂总的盈利为最大。 厂总的盈利为最大。
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【例1.2】某工厂生产A、B两种产品，均须经过两道程序，每 某工厂生产A 两种产品，均须经过两道程序， 生产一吨产品A需要经过第一道工序2小时，第二道工序3 生产一吨产品A需要经过第一道工序2小时，第二道工序3小 每生产一吨产品B需要经过第一道工序3 小时， 时 ， 每生产一吨产品 B需要经过第一道工序 3 小时， 第二道 工序4 小时， 可供利用的第一道工序工时为12 小时 工序 4 小时 ， 可供利用的第一道工序工时为 12小时 ， 第二 小时，
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【例1.4】下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规 例 格的轴各一根，这些轴的规格分别是2.9，2.1,1.5（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。现在 要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
【解】第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的
工厂1：
2－x1 2 ≤ ⇒ x1 ≥ 1 500 1000
2万m3 500万 500万m3
1.4万 1.4万m3
工厂2：
0.8 2－x1） (1.4 − x2 ) 2 （ + ≤ ⇒ 0.8x1 + x2 ≥ 1.6 500+ 200 1000
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数学模型为：
m Z = 1000x1 + 800x2 in x1 ≥ 1 0.8x + x ≥ 1.6 1 2 x1 ≤ 2 x ≤ 1.4 2 x1 , x2 ≥ 0
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注意： 注意 1 .余料不能超过最短毛坯的长度； 2.最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切 割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最 短的；不能遗漏了方案。 3.在实际中，如果毛坯规格较多，毛坯的长 度又很短的方案可能很多，甚至有几千个方案， 这时用人工计算几乎是不可能的，即使计算机也 有可能溢出。当碰到这种情况时，可以给余料确 定一个临界值μ，当某方案的余料大于μ时马上 舍去这种方案，从而减少占用计算机内存，也简 化了后面的数学模型。
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【例1.5】配料问题。某一合金公司同一科研单位签订 例 一项包含有四种金属的合金订购单，要求的成分规格 是：金属A不少于23%，金属B不多于15%，金属C不 多于4%，金属D要界于35%~65%之间，不允许有其他 成分。合金公司拟从六种不同级别的矿石中进行冶炼， 每种矿物的成分含量和价格如表1-3所示。矿石杂质在 1-3 治炼过程中废弃，现要求也每吨合金成本最低的矿物 数量。假设矿石在冶炼过程中，金属含量没有发生变 化。
如果要求余料最少，则目标函数及约束条件为： min z =0.1x1+0.3x2+0.9x3 +1.1x5 +0.2x6+0.8x7 +1.4x8 2x1+x2+x3 +x4=100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 =100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 =100 xj ≥ 0, j =1, 2, … , 8 最优下料方案为：第一种方案用料10根，第二种方案50根， 第四种方案30根，总余料为 16m。
线性规划应用举例
建立线性规划模型，一般要经过以 下三个步骤： 1、设变量 2、列条件 3、定目标 下面通过几个实例来说明建立线性 规划模型的步骤和技巧
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【 例 1.1】 某企业计划生产甲 、 乙 、 丙三种产品 。 这些产品分 某企业计划生产甲、 丙三种产品。 别要在A 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料 四种不同的设备上加工。 规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表1 规定 ， 单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表1-1所 已知各设备在计划期内的能力分别为20、15、16、 示 ，已知各设备在计划期内的能力分别为20、15、16、12 小时； 每生产一件甲、 丙三种产品， 小时 ； 每生产一件甲 、 乙 、 丙三种产品 ， 企业可获得利润 分别为4 企业决策者应如何安排生产计划， 分别为4、3、5元。企业决策者应如何安排生产计划，使企 业在计划期内总的利润收入最大？ 业在计划期内总的利润收入最大？