线性规划应用举例
线性规划的实际应用举例
线性规划的实际应用举例即两为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(的实际应用举例加以说明。
个变量的线性规划)1 物资调运中的线性规划问题万个40万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运1 A，B两仓库各有编织袋50例/元万个、180/万个到乙地。
已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元到甲地，20元／万个。
问如何调运，能150/万个、万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元? ?总运费的最小值是多少使总运费最小仓库调Bz元。
那么需从x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为解：设从A仓库调运40-x万个到甲地，调运运万个到乙地。
20-y从而有。
z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+70001)(图，即可行域。
作出以上不等式组所表示的平面区域z'=z-7000=20x+30y. 令：20x+30y=0，作直线l且与原点距离最小，0)，，l的位置时，直线经过可行域上的点M(30l把直线向右上方平移至l y=0时，即x=30，亦取得最小值，取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000z'=20x+30y 元)。
30+30×z=20×0+7000=7600(min万个到乙地，可使总万个到甲地，20B30万个到甲地，从仓库调运10A答：从仓库调运元。
运费最小，且总运费的最小值为76002 产品安排中的线性规划问题吨，麦麸0.4吨需耗玉米某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料2例1O.4吨，其余添加剂0.2．吨甲种1吨，其余添加剂0.2吨。
每吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3元。
可供饲料厂生产的玉米供应500元，每1吨乙种饲料的利润是饲料的利润是400吨。
问甲、乙300吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过量不超过600 ? ?最大利润是多少两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大1。
线性规划应用案例
线性规划应用案例线性规划是一种在约束条件下寻找最优解的数学优化方法。
它在实际应用中广泛使用，涉及许多领域和行业。
本文将介绍两个典型的线性规划应用案例：运输问题和产能规划问题。
一、运输问题运输问题是线性规划最早发展起来的一个领域，它是指如何在各个供应地和需求地之间运输商品，以使得总运输成本最小。
一个典型的运输问题可以描述为：有m个供应地和n个需求地，每个供应地和需求地之间有一个固定的运输成本和一个固定的供应和需求量。
问题是如何确定每对供需地之间的运输量，以使得总运输成本最小。
举例来说，假设有三个供应地A、B、C，三个需求地X、Y、Z。
运输成本如下表所示：\begin{array}{ c c c c c c }&X&Y&Z&供应量\\A&10&12&8&100\\B&6&8&7&200\\C&9&10&11&300\\需求量&150&175&125&\\\end{array}求解此问题的线性规划模型如下：目标函数：minimize \quad Z = 10x_{11} + 12x_{12} + 8x_{13} + 6x_{21} + 8x_{22} + 7x_{23} + 9x_{31} + 10x_{32} + 11x_{33}约束条件：x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 200x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq 300x_{11} + x_{21} + x_{31} \geq 150x_{12} + x_{22} + x_{32} \geq 175x_{13} + x_{23} + x_{33} \geq 125x_{ij} \geq 0, i = 1,2,3 \quad j = 1,2,3其中x_{ij}表示从供应地i到需求地j的运输量。
第二章 线性规划应用举例
2.17 有 A, B 两种产品，都须经过两道化学反应过程。 每一单位产品 A 需要在前一工序中花去 2 小时和在后 道工序中花去 3 小时； 每一单位产品 B 需要在前一工 序中花去 3 小时和在后道工序中花去 4 小时。 可供利 用的前一工序的时间为 200 小时， 后道工序的时间为 240 小时。每生产 1 个单位的产品 B 同时也能得到 2 个单位的副产品 C。出售产品 A 每单位能获利 5 元， 产品 B 每单位能获利 10 元，副产品 C 每单位能获利 3 元。卖不出去的产品 C 必须销毁，单位销毁费用是 1 元。 由市场预测知， 最多出售出 10 个单位的产品 C。 试问如何安排生产计划，可使获得的利润最大。
解：定义决策变量为产品中所含原料数量。令 xij 表示第 j 种产品中 i 种原料的 数量（公斤），i=A, B, C, D；j=1, 2, 3。由于产品 3 不含有 C，故 xC 3 0 。
化简后可得：
目标是使利润最大，这里就是总销售收入与原料的总成本之差为最大。
目标函数为：
该问题的LP模型可归纳如下：
2.18 某造纸厂生产宽度为 3 米的卷筒 纸，再将这种大卷筒切成宽度分别为 1.6m, 1.lm 和 0.7m 的小卷筒。 市场对这 三种小卷筒的需求分别是 100、200 和 400 个。问应以怎样的方法切割，可使 耗用的大卷筒最少而又能满足市场的 需要。最优切割方案是否唯一？
2.19一家化工厂生产洗衣粉和洗涤剂。 生产原料可以从市场上以 每公斤5元的价格买到。 处理1公斤原料可生产0.55公斤普通洗衣 粉和0.35公斤普通洗涤剂。 普通洗衣粉和普通洗涤剂可分别以每 公斤8元和12元的价格在市场上出售。市场对普通洗衣粉的最低 需求是每天1000公斤。工厂设备每天最多可处理10吨原料，每 加工1公斤原料的成本为 1.5元。为生产浓缩洗衣粉和高级洗涤 剂，工厂还可继续对普通洗衣粉和普通洗涤剂进行精加工。处 理1公斤普通洗衣粉可得0.6公斤浓缩洗衣粉，处理1公斤普通洗 涤剂可得0.3公斤高级洗涤剂。浓缩洗衣粉和高级洗涤剂的市场 价格分别为每公斤24元和55元。每公斤精加工产品的加工成本 为3元。如果原料供应没有限制且各类产品畅销，问该工厂如何 生产能使其利润最大？
第五节 线性规划建模举例
第五节线性规划建模举例线性规划是一种操作研究的数学方法，广泛应用于商业、经济、工程领域中的优化问题。
线性规划建模是将实际问题描述为线性规划模型的过程。
本节将介绍几个线性规划建模的典型例子。
例1：混合饲料配方问题某饲料厂要生产一种混合饲料，需包括以下六种饲料成分：大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉、牛粉，并且要求这种混合饲料包含不少于25%的蛋白质和不多于15%的纤维素。
每吨饲料的生产成本和含量如下：| 饲料成分 | 成本（元/吨） | 蛋白质含量（%） | 纤维素含量（%） || -------- | ------------- | -------------- | -------------- || 大豆粉 | 200 | 45 | 10 || 面粉 | 100 | 10 | 2 || 玉米 | 150 | 8 | 5 || 鱼粉 | 300 | 60 | 0 || 鸡粉 | 280 | 50 | 2 || 牛粉 | 320 | 70 | 5 |问如何使得生产的混合饲料成本最小，同时满足蛋白质含量不少于25%和纤维素含量不超过15%的要求。
自变量：混合饲料中每种成分的含量。
目标函数：最小化混合饲料的成本。
约束条件：1. 蛋白质含量不少于25%：0.45×x1 + 0.1×x2 + 0.08×x3 + 0.6×x4 + 0.5×x5 + 0.7×x6 ≥ 0.25。
2. 纤维素含量不超过15%：0.1×x1 + 0.02×x2 + 0.05×x3 + 0×x4 + 0.02×x5 + 0.05×x6 ≤ 0.15。
3. 非负性：x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0。
其中，x1，x2，x3，x4，x5，x6 分别表示大豆粉、面粉、玉米、鱼粉、鸡粉和牛粉的含量，单位为吨。
线性规划运用举例
线性规划运用举例线性规划是一种经济学和数学领域中的数学优化技术，其主要目的是将某些目标函数在满足一定的约束条件下最大或最小化。
线性规划在现代经济学、决策科学、制造业和生产管理等领域都有广泛的应用。
下面将举例说明线性规划在实际生产和管理中的应用。
1. 生产计划方案优化生产计划方案优化是一个很复杂的问题。
企业的目标是尽可能地减少生产和仓储成本，同时保证所生产的产品能满足市场需求。
线性规划可以帮助企业找到一个最优的计划方案，使得成本最小化，并能够满足市场需求。
例如，生产一种食品有两个不同的发酵温度可以选择。
这个决策需要考虑到提高产量的同时也要保证产品质量。
通过将这个问题转化为线性规划问题，可以确定最佳的温度条件，以最小化生产成本并且保证产品质量。
2. 资源分配问题企业在日常运营中需要管理各种资源，如员工，机器等。
为了确保资源的有效利用，企业需要通过资源分配来确保生产能力最优化。
线性规划可以帮助企业分配资源，使得资源利用更加高效，成本更加低廉和运营更加有效。
例如，在生产线上，可以通过线性规划算法来优化设备的分配和维护计划，使得设备的维护和使用更加平滑，减少因设备故障造成的损失和停机时间。
3. 市场销售策略线性规划也可以帮助企业确定最优的市场营销策略。
在一个竞争激烈的市场中，企业需要考虑产品的定价，销售渠道和营销推广策略等因素。
通过将这些因素转化为线性规划问题，企业可以找到最优的市场营销策略。
例如，在销售一种产品时，企业可以通过确定最优价格来最大化销售收入。
总之，线性规划在生产和管理中的应用非常广泛。
通过线性规划算法可以解决非常复杂的问题，帮助企业做出最优的决策，从而实现成本最小化和收益最大化。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。
假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。
我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。
1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。
公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。
我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。
1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。
公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。
二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。
假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。
我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。
2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。
公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。
我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。
2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。
在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。
三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。
我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。
3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。
运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。
[生活]线性规划应用案例
![[生活]线性规划应用案例](https://img.taocdn.com/s3/m/df8946c785254b35eefdc8d376eeaeaad1f316cc.png)
市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。
在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。
对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。
在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。
REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。
湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。
REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。
在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。
BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。
质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。
宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。
表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。
而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。
应当推荐何种广告媒体选择计划呢？案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。
专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。
市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。
第1章 线性规划-应用举例
解：(1)确定变量：设xiA, xiB , xiC , xiD (i 1, 2,3, 4,5)分别表示第i年 年初给项目A, B,C, D的投资额。
项目 年份
1
2
3
4
5
A
x1A
x2A
x3A
x4A
B
x3B
C
x2C
D
x1D
x2D
x3D
x4D
x5D
10
(2)投资额应等于手中拥有的资金额，手中不应当有剩余的呆滞资金。 第一年：该部门年初拥有100000元，所以有
1000x1 2000x2 1500x3 2500x4 300x5 50000
3）电视广告播放次数的限制。
x1 x2 10
6
4）电视广告投入资金的限制。
1500x1 3000x2 18000
5）媒体最高使用次数约束
x1 15 x2 10 x3 25 x4 4 x5 30
（3）确定目标函数
1.15
x1A
1.06x2D
x3 A
x3B
x3D
0
1.15x2A 1.06x3D x4A x4D 0
1.15x3A 1.06x4D x5D 0
x3B 40000
x2C
30000
xiA, xiB , xiC , xiD 0, i 1,L , 5.
12
(5)用单纯形法计算结果得到 第一年：x1A 34783元，x1D 65217元 第二年：x2A 39130元，x2C 65217元,x2D 0元 第三年：x3A 0元, x3B 40000元,x3D 0元 第四年：x4A 45000元, x4D 0元 第五年：x5D 0元 到第五年末该部门拥有资金总额为143750元，即盈利43.75%.
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
第一章 线性规划及单纯形法5-线性规划应用举例运筹学
该厂盈利总额为５种产品销售价减去成本和库存费用。 约束条件： 各月的正常和加班允许工时及满足交货要求。
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。
问：第 i 种产品在第 j 月的销售盈利 是多少？
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。
( sij – cij ) xij + (sij – cij – c/ij ) x/ij
i =1 j =1
5
6
问：第 i 种产品在第 j 月的库 存量是多少？
解 设 xij 为第 i 种产品第 j 月份在正常时间内生产的数量，
x/ij 为第 i 种产品第 j 月份在加班时间内生产的数量。 目标函数： 5 6 max z =
第七节 应用例子
一、 混合配料问题 例 某糖果厂用原料 A、B、C 加工三种糖果甲、乙、丙。
已知各种糖果中 A、B、C 的含量，原料成本，各种原料的每 月限制量，三种糖果的单位加工费及售价。问该厂每月生产 这三种糖果各多少 kg，使其获利最大。建立数学模型。
原 料 A B 甲 乙 60% 30% 丙 原料成本(元/kg) 月限制量(kg) 2.00 2000 1.50 2500
目标函数：
max z = (1.25-0.25)(x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 )
+ (2.0-0.35)(x21 + x22) + (2.8-0.5)x3 – 0.05(5x11 +5 x12 + 5x13 + 10x21 ) – 0.03(7x14 +7 x15 + 7x16 + 9x22 + 12x3 ) – 0.06(6x11 +6 x14 + 8x21 + 8x22 ) – 0.11(4x12 +4 x15 + 11x3 ) – 0.05(7x13 + 7x16)
线性规划的应用
线性规划的应用标题：线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
在现代社会中，线性规划被广泛应用于各个领域，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将探讨线性规划在实际应用中的重要性和具体应用案例。
一、生产计划1.1 生产成本最小化：企业在生产过程中需要考虑成本问题，通过线性规划可以优化生产计划，使得成本最小化。
1.2 生产效率最大化：线性规划可以匡助企业合理安排生产资源，提高生产效率，实现生产效益最大化。
1.3 生产排程优化：通过线性规划可以制定合理的生产排程，避免生产过程中的资源浪费，提高生产效率。
二、资源分配2.1 人力资源优化：企业在进行人力资源分配时，可以利用线性规划方法，合理配置人员，提高工作效率。
2.2 资金分配优化：线性规划可以匡助企业合理分配资金，确保各项投资得到最大回报。
2.3 物资调配优化：在物资调配过程中，线性规划可以匡助企业合理安排物资的采购和使用，避免资源浪费。
三、运输问题3.1 最优运输路径：线性规划可以匡助企业确定最优的运输路径，降低运输成本，提高运输效率。
3.2 货物分配优化：在货物分配过程中，线性规划可以匡助企业合理分配货物，避免货物积压或者短缺情况。
3.3 运输成本最小化：通过线性规划可以优化运输计划，使得运输成本最小化，提高企业运输效益。
四、市场营销4.1 产品定价优化：线性规划可以匡助企业确定最优的产品定价策略，提高产品市场竞争力。
4.2 推广策略优化：在市场推广过程中，线性规划可以匡助企业制定合理的推广策略，提高市场覆盖率。
4.3 销售计划优化：通过线性规划可以优化销售计划，提高销售额，实现销售目标。
五、金融投资5.1 投资组合优化：线性规划可以匡助投资者优化投资组合，降低风险，提高回报率。
5.2 资产配置优化：在资产配置过程中，线性规划可以匡助投资者合理配置资产，实现资产增值。
5.3 风险控制优化：通过线性规划可以制定有效的风险控制策略，保护投资者的资产安全。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要1小时的加工时间，产品B每件需要2小时的加工时间。
公司每天的总加工时间不能超过8小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。
公司希望最大化每天的利润。
二、数学建模：设公司每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。
则目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：1. 生产时间约束：x + 2y ≤ 82. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、线性规划模型：Maximize Z = 100x + 200ySubject to:x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0四、求解方法：可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用单纯形法或内点法等。
以下是使用单纯形法求解的步骤：1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 02. 引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束：x + 2y + s1 = 8x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 03. 构建初始单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | 0 | 0-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 84. 进行单纯形法迭代计算：a. 选择进入变量：选择目标函数系数最大的非基变量，即选择y进入基变量。
b. 选择离开变量：计算各个约束条件的最小比值，选择比值最小的非基变量对应的约束条件的基变量离开基变量。
在本例中，计算得到最小比值为4，对应的约束条件为x ≥ 0，所以x对应的基变量离开基变量。
c. 更新单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | -2 | -400-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 8d. 继续迭代计算，直到目标函数系数均为负数或零，达到最优解。
线性规划应用举例
5x23
x11 x12 x13
x21 x22 x23
10x33
20x43 y 0 100 150
x31 x32 x33
80
x41 x42 x43
200
xij
0
i 1,2,3,4 j 1,2,3
y0
例：某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。 农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日，如 劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季收入为2.1元/人日， 秋冬季收入为1.8元/人日。该农场种植三种作物：大豆、玉
x1
x2
x3 1.5x4 400x4 3x5
20
x1
35x2
10x3
100x4
0.6x5
x6
50x1 75x2 40x3 50x4 0.3x5 x7
x4
x5
x
j
0
( j 1,,7)
100 15000 3500 4000 32 3000
运筹学
6（AC+AP+AH）+5（BC+BP+BH）+4（DC+DP+DH） 原料成本为： 65（AC+BC+DC）+25（AP+BP+DP）+35（AH+BH+DH）
利润：
z=60（x1+x2+x3）+45（x4+x5+x6）+40（x7+x8+x9） －6（x1+x2+x3）－5（x4+x5+x6）－4（x7+x8+x9） －65（x1+x4+x7）－25（x2+x5+x8）－35（x3+x6+x9） =－11x1+29x2+19x3－25x4+15x5+5x6－29x7+11x8+x9
线性规划问题应用举例
表5.19
5
6
1根
0根
5根
6根
0.12
0.32
巩固知识 典型例题
设采用第j种截法的钢管数为xj根(j=1,2,…6). 建立线性规划模型： 目标函数
min Z x j ,
利润为11250单位.
巩固知识 典型例题
案例3 环境保护问题 某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图 5-11 所 示 ， 已 知 流 经 甲 厂 的 河 水 日 流 量 为 500×104m3, 在两厂之间有一条河水日流量为 200×104m3的支流. 甲、乙两厂每天生产工业 污水分别为2×104m3和1.4×104m3 ，甲厂排出 的污水经过主流和支流交叉点 P后已有20%被 自然净化 . 按环保要求，河流中工业污水的含 量不得超过 0.2% ，为此两厂必须自行处理一 部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方米污 水的成本分别为1 000元和800元.问：在满足 环保要求的条件下，各厂每天应处理多少污水， 才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型， 并求解.
满足
利用Excel软件求解： 结果为：xA=0, xB=4, xC=16 总费用最少为44.
巩固知识 典型例题
案例 5 运输问题 设有两座铁矿山 A 、 B ，另有三个炼铁厂甲、 乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对 应的运价（元）如表5.18给出，问怎样调运送矿 石才能使总费用最小？ 表5.18 铁矿山 A B 矿石需求量
0 x5 0 1 0
1 2
1 4 5 4
bi 8000 6000 0 5000 1500 7500 2500 250 11250
线性规划的实际应用举例
线性规划的实际应用举例为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。
1 物资调运中的线性规划问题例1 A，B两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地。
已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元／万个。
问如何调运，能使总运费最小?总运费的最小值是多少?解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。
那么需从B仓库调运40-x万个到甲地，调运20-y万个到乙地。
从而有z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。
作出以上不等式组所表示的平面区域(图1)，即可行域。
令z'=z-7000=20x+30y.作直线l：20x+30y=0，把直线l向右上方平移至l l的位置时，直线经过可行域上的点M(30，0)，且与原点距离最小，即x=30，y=0时，z'=20x+30y取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值，z min=20×30+30×0+7000=7600(元)。
答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元。
2 产品安排中的线性规划问题例2某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸0.2吨，其余添加剂O.4吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。
每1吨甲种饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。
可供饲料厂生产的玉米供应量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。
问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少?分析：将已知数据列成下表1。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为100元，每个单位产品B的利润为150元。
公司有两个车间可用于生产这两种产品，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。
每天车间1的生产能力为400个单位产品A或200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或150个单位产品B。
公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。
二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。
目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。
1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。
线性规划算法的应用案例
线性规划算法的应用案例线性规划是应用最广泛的数学优化方法之一，也是一种非常有效的运筹学技术。
它的基本思想是将问题建模成一组线性方程和线性不等式的组合，通过寻找最优解来实现目标最大化或最小化。
线性规划算法广泛应用于制造业、金融、物流和交通等领域，以下将介绍几个重要的应用案例。
1. 生产计划和调度线性规划算法可以用于制造业的生产计划和调度。
例如，在一家造纸厂中，有若干个可用的生产线、仓库和运输车辆，需要考虑原材料的成本、工人的人工费用、工厂的能耗费用以及运输的成本等因素，制定出最佳的生产计划和调度方案。
对于这类问题，可以将目标函数设置为生产成本最小化或产出效率最大化，约束条件包括原材料的库存量、生产线的容量和物流的时间窗口等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的生产计划和调度方案，使得企业的生产效率和盈利能力得到提升。
2. 市场营销和广告投放线性规划算法可以帮助企业制定最佳的市场营销和广告投放方案。
例如，在一家快递公司中，需要制定如何调整价格策略、开拓市场份额、投放广告等方案，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
对于这类问题，可以将目标函数设置为销售额最大化或成本最小化，约束条件包括市场份额的限制、广告投放预算的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的市场营销和广告投放方案，提高企业的营销效率和市场竞争力。
3. 交通运输和物流配送线性规划算法可以用于交通运输和物流配送领域。
例如，在一个物流中心中，需要规划配送路线和运输车辆的分配，以最小化交通堵塞和物流成本的影响。
对于这类问题，可以将目标函数设置为运输成本最小化或配送效率最大化，约束条件包括车辆数量的限制、货物配送时间的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的路线规划和车辆分配方案，提高企业的配送效率和物流运转效率。
4. 金融投资和风险管理线性规划算法可以用于金融投资和风险管理领域。
例如，在一个投资银行中，需要制定最佳的投资组合和股票交易策略，以最大化收益和降低风险。
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线性规划应用举例- 4 -
（b） min z = ( x11 + x 21 + x31 + x 41 + x51 ) + 3( x12 + x 22 + x32 + x 42 ) + 4 x33 + 5.5 x 24
x11 + x12 ≤ 200 ⎧ ⎪ x21 + x22 + x24 ≤ 1.1x11 ⎪ ⎪ x31 + x32 + x33 ≤ 1.1x21 + 1.25 x12 ⎪ x41 + x42 ≤ 1.1x31 + 1.25 x22 ⎪ ⎪ x51 ≤ 1.1x41 + 1.25 x32 s.t.⎨ x ⎪ xi 2 ≤ 30, i = 1,2,3,4 ⎪ x33 ≤ 80, x24 ≤ 100 ⎪ ⎪ 1.1x + 1.25 x + 1.4 x +1.55 x ≥ 330 51 42 33 24 ⎪ ⎪ x ≥ 0 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , j = 1 , 2 , 3,4 ij ⎩
7、某市有3个造纸厂I,II,III，它们供给3个印刷厂所需的纸张。各造纸厂的产量、各印刷 厂印刷的能力，各印刷厂和各造纸厂之间的单位运价均列于下表中。假定在1，2和3印刷厂 印刷单位纸张的利润分别为12元，16元和11元，如果造纸厂与印刷厂属于同一个主管单位， 试确定使总效益最大的纸张分配计划。 印刷厂 造纸厂 A1 A2 A3 印刷厂需要量 B1 3 4 8 15 B2 10 11 11 25 B3 2 8 4 20 造纸厂产量 20 30 20
2、一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员 充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安 排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？ 时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 所需售货员人数 28 15 24 25 19 31 28
线性规划应用举例 1、某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司乘人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
z = 15 x1 + 10 x2 + 7 x3 + 13 x4 + 9 x5
5 x1 + 10 x2 + 7 x3 ≤ 8000 ⎧ ⎪6 x + 4 x + 8 x + 6 x + 4 x ≤ 12000 ⎪ 1 2 3 4 5 约束条件： s.t.⎨ ⎪3x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3x4 + 2 x5 ≤ 10000 ⎪ x1−5 ≥ 0 ⎩
设 x1 ， x 2 ， x3 ， x 4 ， x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。 目标函数： Min
z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5
⎧ x1 + 2 x2 + x4 ≥ 100 ⎪ 2 x + 2 x + x ≥ 100 ⎪ 3 4 5 约束条件： s.t.⎨ ⎪3x1 + x2 + 2 x3 + 3 x5 ≥ 100 ⎪ x1−5 ≥ 0 ⎩
解：设由造纸厂运到印刷厂的纸张为 xij 单位，上表中的单位运价为 cij ，则： 使总效益最大的目标函数为：
3 3
max z = 12( x11 + x21 + x31 ) + 16( x12 + x22 + x32 ) + 11( x13 + x23 + x33 ) −
因为 x11 所以：
∑∑ cij xij
6、某部门现有资金 200 万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项 目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从第 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投资额 不能超过 30 万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%，但规 定最大投资额不能超过 80 万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本 利 155%，但规定最大投资额不能超过 100 万元。据测定每万元每次投资的风险指数如下表 所示：问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为 最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330 万元 的基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 项目 A B C D 风险指数（次/万元） 1 3 4 5.5
i =1 i =1
+ x21 + x31 = 15 ， x12 + x22 + x32 = 25 ， x13 + x23 + x33 = 20 ；
3 3
max z = 12( x11 + x21 + x31 ) + 16( x12 + x22 + x32 ) + 11( x13 + x23 + x33 ) − ∑∑ cij xij
解：设 xij 表示第 i 年初投资于项目 j （A、B、C、D）的金额。 （a） max
z = 1 .1x 51 + 1 .25 x 42 + 1 .4 x 33 + 1 .55 x 24
x11 + x12 = 200 ⎧ ⎪ x 21 + x 22 + x 24 = 1.1x11 ⎪ ⎪ x31 + x32 + x33 = 1.1x 21 + 1.25 x12 ⎪ ⎪ x 41 + x 42 = 1.1x31 + 1.25 x 22 ⎪ x51 = 1.1x 41 + 1.25 x32 s.t.⎨ ⎪ xi 2 ≤ 30, i = 1,2,3,4 ⎪ x33 ≤ 80 ⎪ ⎪ x 24 ≤ 100 ⎪ ⎪ ⎩ xij ≥ 0, i = 1,2,3,4,5, j = 1,2,3,4
线性规划应用举例- 3 -
⎧ x11 + x 21 + x31 ≤ 100 ⎪ x + x + x ≤ 100 22 32 ⎪ 12 ⎪ x13 + x 23 + x33 ≤ 60 ⎪ x11 ⎪ ≥ 0.5 ⎪ x11 + x12 + x13 ⎪ x12 s.t.⎨ ≤ 0.25 ⎪ x11 + x12 + x13 x 21 ⎪ ⎪ x + x + x ≥ 0.25 22 23 ⎪ 21 x 22 ⎪ ≤ 0.5 ⎪ x 21 + x 22 + x 23 ⎪ x ≥ 0, i = 1,2,3; j = 1,2,3 ⎩ ij
5、某工厂要用三种原料 1、2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表 所示。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？ 产品名称 甲 乙 丙 原材料名称 1 2 3 规格要求 原材料 1 不少于 50％，原材料 2 不超过 25％ 原材料 1 不少于 25％，原材料 2 不超过 50％ 不限 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 50 35 25 单价（元/kg） 65 25 35
线性规划应用举例- 1 -
3、某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都 需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行 生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、 乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应 多少件？ 甲 乙 丙 资源限制 5 10 7 8000 铸造工时 (小时/件) 6 4 8 12000 机加工工时 (小时/件) 3 2 2 10000 装配工时 (小时/件) 3 5 4 自产铸件成本 (元/件) 5 6 -外协铸件成本 (元/件) 2 1 3 机加工成本 (元/件) 3 2 2 装配成本 (元/件) 23 18 16 产品售价 (元/件) 解：设
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ s.t.⎨ 约束条件： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪x ⎩ ij
x11 + x12 + x13 ≤ 20 x21 + x22 + x23 ≤ 30 x31 + x32 + x33 ≤ 20 x11 + x21 + x31 = 15 x12 + x22 + x32 = 25 x13 + x23 + x33 = 20 ≥ 0, i = 1,2,3, j = 1,2,3
解：设 xi , (i = 1,L ,7) 表示星期一至日开始休息的人数。 目标函数： min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28, x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 ⎪ x + x + x + x + x ≥ 24, x + x + x + x + x ≥ 25 ⎪ 3 4 5 6 7 4 5 6 7 1 约束条件： s.t.⎨ ⎪ x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19, x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 ⎪ x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28, xi ≥划应用举例- 2 -