高中数学 第二章 基本初等函数(1) 2.1.1 指数与指数幂的运算 第一课时 根式学案(含解析)

2．1。

1指数与指数幂的运算
第一课时根式
根式
［提出问题]
（1）若x2＝9，则x是9的平方根,且x＝±3；
(2）若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4;
(3）若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3;
(4）若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2。

问题1：观察(1)(3），你认为正数的偶次方根都是两个吗？
提示:是．
问题2:一个数的奇次方根有几个？
提示:1个．
问题3:由于22＝4，小明说,2是4的平方根;小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？
提示：小明．
[导入新知]
根式及相关概念
（1）a的n次方根定义:
如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n〉1，且n∈N＊。

（2)a的n次方根的表示：
n的奇偶性a的n次方根
的表示符号
a的取值范围
n为奇数错误!R
n为偶数±错误![0，＋∞）
（3)根式：
式子错误!叫做根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
［化解疑难]
根式记号的注意点
（1）根式的概念中要求n>1，且n∈N＊。

（2）当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为错误!(a∈R);当n为大于1的偶数时，错误!(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－错误!，从而错误!n＝a.
根式的性质
［提出问题]
问题1：错误!3，错误!3，错误!4分别等于多少？
提示:2，－2，2.
问题2:错误!，错误!，错误!，错误!分别等于多少?
提示：－2,2,2,2.
问题3：等式错误!＝a及（错误!)2＝a恒成立吗？
提示：当a≥0时,两式恒成立；当a〈0时，a2＝－a,（a)2无意义．
［导入新知］
根式的性质
(1）(错误!）n＝a（n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n〉1）．
(2)错误!＝错误!
(3)错误!＝0。

(4）负数没有偶次方根．
[化解疑难]
（错误!)n与错误!的区别
（1)当n为奇数，且a∈R时，有错误!＝(错误!)n＝a;
(2)当n为偶数，且a≥0时，有错误!＝（错误!）n＝a。

根式的概念
[例1] （1n为大于1的奇数时，错误!对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，错误!只有当a≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．
(2）若错误!有意义，则实数a的取值范围是________．
［解析］（1)①16的4次方根应是±2；②错误!＝2，所以正确的应为③④.
(2)要使错误!有意义，则a－3≠0，即a≠3.
∴a的取值范围是｛a｜a≠3｝．
[答案] （1）③④(2）｛a|a≠3}
［类题通法]
判断关于n次方根的结论应关注两点
（1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
[活学活用]
已知m10＝2，则m等于（)
A。

错误!B．－错误!
C。

错误!D．±错误!
解析：选D ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数,
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±错误!。

利用根式的性质化简求值
［例2］化简：
(1)错误!（x<π，n∈N＊);
（2）错误!错误!.
［解] （1)∵x〈π,∴x－π〈0，
当n为偶数时,错误!＝｜x－π｜＝π－x；
当n为奇数时，n，x－πn＝x－π。

综上,错误!＝错误!
（2）∵a≤错误!，∴1－2a≥0.
∴4a2－4a＋1＝2a－12＝|2a－1|＝1－2a.
[类题通法]
根式化简应注意的问题
(1)错误!n已暗含了错误!有意义，据n的奇偶性不同可知a的取值范围．（2）错误!中的a可以是全体实数,错误!的值取决于n的奇偶性．
［活学活用]
求下列各式的值:
（1）错误!；
（2)错误!＋（错误!）3。

解:(1)错误!＝｜x－2｜＝错误!
(2）因为3－2错误!＝12－2错误!＋（错误!）2＝(错误!－1)2,
所以错误!＋（错误!)3＝错误!＋1－错误!
＝2－1＋1－错误!＝0。

条件根式的化简
[例3］(1）若）
A．x>0，y〉0 B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0 D．x〈0，y〈0
(2)设－3<x〈3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．
［解］（1）选B ∵错误!＝2|xy｜＝－2xy，
∴xy≤0。

又∵xy≠0,
∴xy<0，故选B。

（2）原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－｜x＋3｜.
∵－3〈x〈3,
∴当－3〈x<1时，
原式＝－(x－1)－(x＋3）＝－2x－2.
当1≤x〈3时，原式＝(x－1)－（x＋3)＝－4。

∴原式＝错误!
［类题通法］
有条件根式的化简
(1）有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
（2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
［活学活用］
（1）若错误!有意义,化简错误!－|3－x|;
(2)已知y＝错误!＋错误!＋错误!，求实数x及y的值．
解：(1）由题意知x≤2，
则错误!－｜3－x｜＝|x－2|－|3－x｜
＝2－x－3＋x＝－1.
(2)要使y有意义,需错误!
∴x＝错误!，从而y＝错误!。

错误!
［典例] 化简错误!＋错误!＝________.
［解析］错误!＋错误!＝（1＋错误!)＋｜1－错误!｜＝1＋错误!＋错误!－1＝2
错误!.
［答案］2错误!
［易错防范]
1．本题易忽视错误!〉0，而误认为错误!＝1－错误!而导致解题错误．
2．对于根式错误!的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为错误!＝a(a∈R）成立的条件是n为正奇数,如果n为正偶数，那么错误!＝|a｜.
［活学活用］
当a，b∈R时，下列各式恒成立的是（)
A．（错误!－错误!）4＝a－b B．(错误!）4＝a＋b
C。

错误!－错误!＝a－b D。

错误!＝a＋b
解析：选B 当且仅当a＝b≥0时，(4
a－错误!）4＝a－b；
当且仅当a≥0，b≥0时，错误!－错误!＝a－b;
当且仅当a＋b≥0时,错误!＝a＋b.
由于a,b符号未知，因此选项A，C，D均不一定恒成立．选项B中，由错误!可知a＋b≥0，
所以(错误!）4＝a＋b。

［随堂即时演练］1．化简错误!错误!的结果是( ）
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．（1－2x）2
解析：选C ∵错误!＝|1－2x|,x>错误!,
∴1－2x<0，
∴错误!＝2x－1.
2．下列式子中成立的是（）
A．a错误!＝错误!B．a错误!＝－错误! C．a－a＝－错误!D．a错误!＝错误!
解析：选C 要使a－a有意义,则a≤0，
故a错误!＝－(－a)错误!＝－错误!＝－错误!。

3．若x>3,则错误!－｜2－x|＝__________.
解析：x2－6x＋9－|2－x｜＝错误!－|2－x｜＝｜x－3|－|2－x|＝x－3－（x－2）＝－1。

答案：－1
4．化简（a－1)2＋1－a2＋错误!＝________。

解析:由根式错误!有意义可得a－1≥0,即a≥1，
∴原式＝（a－1）＋（a－1)＋(1－a）＝a－1.
答案：a－1
5．已知a〈b<0,n>1，n∈N*,化简错误!＋错误!。

解：∵a<b<0，∴a－b〈0，a＋b〈0。

当n是奇数时，原式＝(a－b）＋（a＋b)＝2a;
当n是偶数时,
原式＝｜a－b｜＋|a＋b｜＝（b－a)＋（－a－b）＝－2a。

∴n
a－b n＋错误!＝错误!
［课时达标检测]
一、选择题
1．若错误!＋（a－4）0有意义,则a的取值范围是（）A．（－∞，2)∪（2，＋∞)
B．［2，＋∞）
C．（－∞，4）∪(4，＋∞）
D．[2，4)∪（4，＋∞)
解析：选D 要使原式有意义，只需错误!即a≥2且a≠4。

2.错误!＋错误!＋错误!的值为（）
A．－6 B．2错误!－2
C．2 5 D．6
解析:选A 3
－63＝－6,
错误!＝｜错误!－4｜＝4－错误!，
错误!＝错误!－4，
∴原式＝－6＋4－错误!＋错误!－4＝－6。

3．当a＞0时, 错误!＝（）
A．x错误!B．x错误! C．－x错误!D．－x错误!解析：选C ∵a＞0,∴x＜0,
错误!＝|x｜错误!＝－x错误!，故选C.
4．化简错误!＋错误!等于( ）
A．－4 B．2错误!
C．－2错误!D．4
解析：选D 错误!＋错误!＝错误!＋错误!
＝（2＋错误!）＋(2－错误!）＝4.
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋0。

1的图象如图所示，则错误!的值为( ）
A．a＋b B．－(a＋b）
C．a－b D．b－a
解析:选D 由图象知a（－1)2＋b×(－1)＋0.1<0，
∴a〈b，∴错误!＝|a－b|＝b－a。

二、填空题
6．设m〈0，则(错误!)2＝________。

解析：∵m〈0，∴－m〉0，∴(错误!）2＝－m.
答案：－m
7．若x2－8x＋16＝x－4,则实数x的取值范围是________．
解析:∵x2－8x＋16＝错误!＝｜x－4|，
又错误!＝x－4，
∴｜x－4|＝x－4，∴x≥4.
答案:{x｜x≥4｝
8．设f（x)＝错误!，若0＜a≤1，则f错误!＝________。

解析：f错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!,
由于0＜a≤1，所以a≤错误!，故f错误!＝错误!－a.
答案：错误!－a
三、解答题
9．计算:错误!＋错误!－错误!.
解：错误!＋错误!－错误!
＝eq \r（（\r(3））2＋2\r(3)·\r（2）＋(\r(2))2＋，错误!－错误!
＝错误!＋错误!－错误!
＝｜3＋2｜＋|2－错误!｜－|2－错误!｜
＝错误!＋错误!＋2－错误!－2＋错误!
＝2 2.
10．写出使下列等式成立的x的取值范围：
(1)错误!＝错误!；
(2)x－5x2－25＝(5－x）错误!。

解：（1)要使错误!＝错误!成立，
只需x－3≠0即可,
即x≠3。

(2)错误!＝错误!。

要使错误!＝(5－x)错误!成立，
只需错误!即－5≤x≤5。

11．化简:(错误!)2＋错误!＋错误!.
解：由题意可知错误!有意义，∴a≥1.
∴原式＝(a－1）＋|1－a|＋（a－1)
＝a－1＋a－1＋a－1＝3a－3。

12．设x＝错误! ,求错误!的值．
解:错误!＝错误!＝错误!＝错误!
＝错误!＋错误!。

∵x＝错误!，∴错误!＝8－4错误!,
∴原式＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!＋2－错误!＝2＋错误!－错误!－错误!.
第二课时指数幂及运算
分数指数幂的意义
［提出问题］
问题1:判断下列运算是否正确．
提示：正确．
问题2：能否把错误!，错误!，错误!写成下列形式:
提示：能．
[导入新知]
分数指数幂的意义（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：
a m
n＝
n
a m(a〉0，m，n∈N＊，且n〉1)．
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
a
m
-
n＝
1
a
m
n
＝错误!(a〉0，m,n∈N*,且n〉1）．
（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．［化解疑难］
对分数指数幂的理解
（1)指数幂a m
n不可以理解为
m
n
个a相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下,根
式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化;
(2）通常规定分数指数幂的底数a〉0，但要注意在像＝错误!中的a，则需要a≤0.
有理数指数幂的运算性质
有理数指数幂的运算性质
(1)a r a s＝a r＋s（a〉0，r，s∈Q)；
（2)（a r）s＝a r_s(a>0，r，s∈Q)；
（3）（ab)r＝a r b r(a>0，b〉0,r∈Q）．
［化解疑难］
有理数指数幂的运算性质的理解与巧记
(1）有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来,可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．
(2）有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加,除相减，幂相乘．
根式与分数指数幂的互化[例1］(1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－错误!＝(－x）1
2（x〉0） B.错误!＝y
1
3(y<0)
C．x
3
-
4＝错误!（x〉0）D．x
1
-
3＝－错误!(x≠0）
（2)用分数指数幂的形式表示下列各式:
①a2·错误!（a〉0)；
②错误!（a〉0）;
④错误!(x〉0，y>0）．
［解] (1）选C －错误!＝－x 1
2(x>0）；
6，y2＝（y2）1
6＝－y
1
3（y<0)；
x
3
-
4＝(x－3)
1
-
4＝错误!(x〉0);
x
1
-
3＝错误!
1
3＝错误!（x≠0)．
(2)①a2·错误!＝a2·a 1
2＝a
1
2+
22＋错误!＝a
5
2。

法二：从里向外化为分数指数幂．
［类题通法］
根式与分数指数幂的互化技巧
(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：
a m
n＝错误!和a
m
-
n＝错误!＝错误!，其中字母a要使式子有意义．
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数
幂；二是由外向里化为分数指数幂．
［活学活用]
用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a＞0)：
(1)a3·错误!;
(2) 错误!；
解：(1）a3·3，a2＝a3·a 2
3＝a3
2
3＝a
11
3.
指数幂的运算
[例2］计算下列各式：
[解］(1)原式＝1＋错误!×错误!1
2－错误!
1
2＝1＋错误!－错误!＝错误!.
(2)原式＝0。

4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝错误!－1＋错误!＋错误!＝错误!.
＝错误!a0b0＝错误!.
[类题通法］
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数,同时兼顾运算的顺序．
（2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
（3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
［活学活用]
计算下列各式(式中字母都是正数）:
错误!
[典例］(12分）已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求：(1）x 1
2＋y
1
2;(2)x
1
2－y
1
2；（3）
x－y.
［解题流程］
［活学活用］
已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；（2）a 1
2－a-
1
2。

解:（1）法一:由a＋a－1＝5两边平方得: a2＋2a·a－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23. 法二：a2＋a－2＝a2＋2a·a－1＋a－2－2a·a－1＝(a＋a－1）2－2＝25－2＝23。

(2)∵(a 1
2－a-
1
2）2＝a＋a－1－2＝5－2＝3,
∴｜a 1
2－a-
1
2｜＝错误!.
∴a 1
2－a-
1
2＝±错误!.
［随堂即时演练]
1．化简错误!3
4的结果为( )
A．5 B.错误! C．－错误!D．－5
解析：选B 错误!34
＝错误!34
＝（523
）34
＝512
＝错误!.
解析：选A 原式＝(－2)×（－1）6
÷(－3）·（a 1
3
b 3-
4
）·（a 3·b －2
）÷（a 23
b
1-
4
）
＝错误!a
12+3-33
·b
31--2-(-)44
＝错误!a 8
3
b
2-
5
，注意符号不能弄错．
3．若10x
＝3,10y
＝4，则102x －y
＝________。

解析：∵10x
＝3， ∴102x
＝9， ∴10
2x －y ＝10
2x
10
y ＝错误!. 答案：94
4．化简错误!的结果是________．
解析： 错误!＝错误!13＝(a ·a 12)13＝（a 32)13＝a 12。

答案：a 12
5．计算（或化简）下列各式： （1）4
2＋1
·2
3－2
错误!
·64-
2
3;
解：(1）原式＝（22
)错误!＋1·23－2错误!·（26
)-
2
3 ＝22错误!＋2·23－2错误!·2－
4 ＝22错误!＋2＋3－2错误!－4
＝21
＝2。

[课时达标检测］
一、选择题
1.错误!（a〉0)的值是( )
A．1 B．a
C．a 1
5D．a
17
10
解析：选D 原式＝a3·a -
1
2·a-
4
5＝a
14
3--
25＝a
17
10。

2．设a 1
2－a-
1
2＝m，则错误!＝( )
A．m2－2 B．2－m2 C．m2＋2 D．m2
解析：选C 将a 1
2－a-
1
2＝m两边平方得
(a 1
2－a-
1
2）2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，
所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋错误!＝m2＋2⇒错误!＝m2＋2.
3。

错误!0－（1－0.5－2）÷错误!2
3的值为（）
A．－错误! B.错误!
C.错误!D。

错误!
解析:选D 原式＝1－(1－22)÷错误!2＝1－（－3）×错误!＝错误!. 4．若a>1,b>0,a b＋a－b＝2错误!，则a b－a－b等于( ）
A。

错误!B．2或－2
C．－2 D．2
解析：选D ∵a〉1，b>0，
∴a b>a－b，（a b－a－b)2＝(a b＋a－b)2－4＝（2错误!)2－4＝4，
∴a b－a－b＝2.
5．设x,y是正数,且x y＝y x，y＝9x，则x的值为（）
A。

错误!B。

错误!
C．1 D。

错误!
解析:选B x9x＝（9x）x，(x9）x＝（9x）x，
∴x9＝9x。

∴x8＝9.
∴x＝错误!＝错误!.
二、填空题
6．化简 (a>0，b>0）的结果是________．
解析：原式＝
答案:错误!
7．化简7错误!－3错误!－6错误!＋错误!的结果是________．
解析：7错误!－3错误!－6错误!＋错误!＝7×31
3－3×3
1
3×2－6×3
-
2
3＋(3×3
1
3)
1
4＝
31
3－6×3
-
2
3＋3
1
3＝2×3
1
3－2×3×3
-
2
3＝2×3
1
3－2×3
1
3＝0。

答案：0
8．设a2＝b4＝m(a〉0，b〉0）,且a＋b＝6，则m等于________．解析：∵a2＝b4＝m（a〉0，b〉0），
∴a＝m
1
2,b＝m
1
4，a＝b2。

由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，解得b＝2或b＝－3（舍去）．
∴m
1
4＝2,m＝24＝16。

答案：16
三、解答题
9．化简求值:
(1）错误!0。

5＋0.1－2＋错误!
-
2
3－3π0＋错误!;
(2)错误!
-
2
3＋（0.002）-
1
2－10（错误!－2）－1＋(错误!－错误!)0；
(3）（a－2b－3）·（－4a－1b）÷(12a－4b－2c)；
(4）2错误!÷4错误!×3错误!.
解：(1）原式＝错误!
1
2＋错误!＋错误!
-
2
3－3＋错误!
＝错误!＋100＋错误!－3＋错误!＝100。

(2)原式＝（－1)
-
2
3×错误!
-
2
3＋错误!-
1
2－错误!＋1 ＝错误!
-
2
3＋（500）
1
2－10(错误!＋2）＋1
＝错误!＋10错误!－10错误!－20＋1＝－错误!.
（3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c）
＝－错误!a－3－（－4)b－2－(－2)c－1＝－错误!ac－1＝－错误!.
10．若b ＝9a 〉0,求的值．
解:
＝错误!＝错误!
＝错误!＝－错误!＝－3。

11．已知a ＝－错误!，b ＝错误!,求÷的值．
＝错误!－2
＝错误!2＝错误!。

12．已知:ax
2 015
＝by
2 015
＝cz
2 015
，且1
x
＋错误!＋错误!＝1。

求证：(ax
2 014
＋by
2 014
＋cz
2 014
)
12 015
＝a
12 015
＋b
12 015
＋c
12 015。

证明：设ax
2 015
＝by
2 015
＝cz
2 015
＝k ,则
ax 2 014＝k
x
，by 2 014＝错误!,cz 2 014＝错误!.
于是原式的左边＝错误!12 015
＝
错误!
12 015
＝k
12 015。

原式的右边＝错误!12 015
＋错误!
12 015
＋错误!
12 015
＝k
12 015
错误!＝k
12 015
.
∴左边＝右边,
∴原命题成立．
攀上山峰，见识险峰，你的人生中,也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄,也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。