中考相似三角形压轴题+答案

相似1-10
一．解答题（共10小题）
1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．
第1页（共20页）
3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
第2页（共20页）
4．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
第3页（共20页）
6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．7．如图，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
第4页（共20页）
8．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．
（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；
（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．9．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n 的代数式表示）
第5页（共20页）
分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF
成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF
于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
第6页（共20页）
六六六六六六-相似1-10
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，由S=S
梯形GCBE
﹣S
△EBF
﹣S
△FCG
，
=×﹣
=×（10+2）×8﹣×10×4﹣
=24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，
S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG
=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t，
FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，
S=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．
即S=﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，
①若=，即=，
解得t=．
第7页（共20页）
所以当t=时，△EBF∽△FCG，
②若=即=，解得t=．
所以当t=时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴，
∵BP=a，CQ=a，BE=CE，
∴，
∴BE=CE=a，
∴BC=3a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，
第8页（共20页）
在Rt△APQ中，PQ==a．
3．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB
向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF 同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；
（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当D在AC上时
，
第9页（共20页）
∵DE=DF，
∴EC=CF=EF=5，
∴t=5．
（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8﹣t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8﹣t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，AH=HQ=AQ=4﹣t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴t=；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=AP=t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴t=，
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，同理可求出，
FC=QC=10﹣t，BP=10﹣t，
PH=（10﹣t）=8﹣t，
第10页（共20页）
BH=（10﹣t）=6﹣t，
QG=QC﹣GC=QC﹣PH=10﹣t﹣（8﹣t）=2﹣，PG=HC=6﹣（6﹣t）=t，
PQ=AQ=8﹣（10﹣t）=t﹣2，
∴PQ 2=PG 2+QG 2，
（t﹣2）2=（t）2+（2﹣）2，
解得：t=秒，
其它情况不符合要求，
综合上述：当t等于4秒、秒、秒、秒时△APQ是等腰三角形．
（3）由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA===，cosA===，
∴PW=t，AW=t，
∴QW=8﹣t﹣t=8﹣t，
∴PQ2=PM2+QW2=（t）2+（8﹣t）2=t2﹣t+64，
PE2=PH2+EH2=（t+8﹣t）2+（t﹣t）2=t2﹣t+64，①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ2+QE2=PE2，
∴t1=0（舍去）t2=；
②∠PEQ=90°，
PE2+EQ2=PQ2
t1=0（舍去）t2=20（舍去）
∴此时不存在；
③当∠EPQ=90°时
PQ2+PE2=EQ2，
t1=（舍去）t2=4，
综合上述：当t=或t=4时，△PQE是直角三角形．
第11页（共20页）
4．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°，
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，
∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，
∴∠ABA1=∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴，
∵S
△ABA1
=4，
∴S
△CBC1
=；
（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
第12页（共20页）
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=
﹣2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．
5．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2t．
则==，
又∵AO=10，AB=20，
∴==．
∴=．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
第13页（共20页）
（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM=．
在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP•cos30°=2t，
∴QM=AC﹣2AQ=20﹣4t．
由AQ+QM=AM得：2t+20﹣4t=，
解得t=．
∴当t=时，点P、M、N在一直线上．
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．
∴MH=2NH．得20﹣4t﹣=2×，解得t=2．如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．
∴MH=2PH，同理可得t=．
故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB 向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：
QB=8﹣2t
，PD=t．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；
若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形
PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．
【解答】解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，
第14页（共20页）
∴QB=8﹣2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，
∴tanA==，
∴PD=t．
故答案为：（1）8﹣2t，t．
（2）不存在
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴，即，
∴AD=t，
∴BD=AB﹣AD=10﹣t，
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8﹣2t=，解得：t=．
当t=时，PD==，BD=10﹣×=6，
∴DP≠BD，
∴▱PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=
当PD=BQ，t=时，即=8﹣，解得：v=
当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱
形．
（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐
标系．
依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点
M2的坐标为（1，4）．
设直线M1M2的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6．
∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）
∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．
把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，
∴点M3在直线M1M2上．
过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．
∴M1M2=2
∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．
第15页（共20页）
7．如图，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
【解答】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′=x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+x+x=3+，
∴x=，即x=3﹣3，（x≈2.20也正确）
（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），
它们的面积和为S，则NE=，PE=n．
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．
∴S=m2+n2=PN2，
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2．
∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．∴S=[32+（m﹣n）2]=+（m﹣n）2
①当（m﹣n）2=0时，即m=n时，S最小．
∴S
最小
=；
②当（m﹣n）2最大时，S最大．
即当m最大且n最小时，S最大．
∵m+n=3，
由（2）知，m
最大
=3﹣3．
第16页（共20页）
∴S
最大=[9+（m
最大
﹣n
最小
）2]
=[9+（3﹣3﹣6+3）2] =99﹣54…．
（S
最大
≈5.47也正确）
综上所述，S
最大=99﹣54，S
最小
=．
8．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合．（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；
（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长．
【解答】解：（1）PC与PD的数量关系是相等．
证明：过点P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点H、N．
∵∠AOB=90°，易得∠HPN=90度．
∴∠1+∠CPN=90°，
而∠2+∠CPN=90°，
∴∠1=∠2．
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PH=PN，
又∵∠PHC=∠PND=90°，
∴△PCH≌△PDN；
∴PC=PD．
第17页（共20页）
（2）∵PC=PD，∠CPD=90°，
∴∠3=45°，
∵∠POD=45°，
∴∠3=∠POD．
又∵∠GPD=∠DPO，∴△POD∽△PDG．∴．
∵，
∴．
（3）如图1所示，若PR与射线OA相交，则OP=1；
如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，则OP=﹣1．9．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为180cm．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，
n
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的代数式表示）
【解答】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴=，
解得x=180．（4分）
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴=，
解得y=12cm；（3分）
（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（1分）
（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣
=1﹣
x=（1分）．10．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F 分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF 于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．
【解答】解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，
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∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴AE==2，
∴AN=FN=AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．
∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM===．∵△BMA∽△CMG，
∴．
∴．
∴CG=．
∴在Rt△BGC中，BG==．
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