知识点058 完全平方公式(解答)
完全平方公式知识点分解
完全平方公式知识点分解1.完全平方公式的定义：(a+b)² = a² + 2ab + b²2.完全平方公式的推导：完全平方公式可以通过将一个二次多项式展开后进行适当的合并得到。
假设有一个二次多项式：(x+a)²，我们可以将其展开为：x² + 2ax + a²。
而这个结果恰好是完全平方公式的一种形式。
根据这种思路，可以得到完全平方公式的一般形式：(a+b)² = a² + 2ab + b²。
3.完全平方公式的应用：-求解二次方程：通过将一个二次方程转化为完全平方公式的形式，可以更容易地解得方程的根。
-分解因式：对于一个多项式，如果它是一个完全平方公式的形式，那么可以通过完全平方公式的逆运算，将其分解为两个一次多项式的乘积。
-求解二次特殊图形问题：例如，求解一个面积已知的正方形边长，可以通过构造一个面积为完全平方公式的方程，然后利用完全平方公式求解。
4.完全平方公式的推广：除了一般形式的完全平方公式，还存在其他推广形式的完全平方公式。
例如，如果一个三次多项式可以表示为两个一次多项式的平方之差，那么可以利用完全平方公式的推广形式进行分解。
常见的推广形式包括：- 差平方公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²-完全平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)- 三次平方差公式：a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)5.完全平方公式的相关例题：下面列举几个常见的完全平方公式的例题，以进一步说明其应用：例题1：求解方程x²+6x+9=0的解。
解：将方程转化为完全平方公式的形式：(x+3)²=0。
由此可得，x+3=0，所以x=-3例题2：将多项式x²+4x+4分解为两个一次多项式的乘积。
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式一鼎数学
完全平方公式是指一个二次三项式可以表示为一个完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c，如果可以写成形式(a ± b)^2，那么它就是一个完全平方。
完全平方公式可以用来因式分解一元二次方程，也可以用来求解一元二次方程的根。
完全平方公式可以表示为，(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
这个公式可以帮助我们将一个二次三项式写成一个完全平方，从而更容易地进行因式分解或求解方程。
从代数的角度来看，完全平方公式是二次多项式的一个重要性质。
它可以帮助我们理解二次多项式的因式分解和根的性质。
当我们遇到一个二次多项式时，可以通过完全平方公式来判断它是否可以因式分解为两个一次多项式的平方。
从几何的角度来看，完全平方公式可以帮助我们理解平方的几何意义。
一个完全平方可以表示为一个正方形的面积，其中边长为(a ± b)。
这有助于我们直观地理解完全平方的概念，以及它在代数中的应用。
从应用的角度来看，完全平方公式在物理、工程等领域也有广
泛的应用。
例如，在物理学中，完全平方公式可以用来分析二次函数的最值和零点，从而帮助我们理解物体的运动规律和力学性质。
总的来说，完全平方公式是代数中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解二次多项式的性质，还可以应用到实际问题中去。
通过多个角度的理解和应用，我们可以更好地掌握完全平方公式的概念和用法。
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程
完全平方公式是什么详解完全平方公式的推导过程数学是一门非常有趣的科目，不过有些朋友对于数学这门课程不太感兴趣，想要学习好数学?其实也是比较简单的，只要记住好一些计算公式口诀就可以了，今天就让来给大家分享一下关于完全平方公式基本知识。
完全平方公式完全平方公式也是一个常用的简便计算公式。
(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b;我们来证明一下完全平方公式，便于理解记忆。
先用代数方法证明，a+2ab+b=axa+axb+axb+bxb=ax(a+b)+bx(a+b)(乘法分配律)=(a+b)x(a+b)=(a+b)。
同理，a-2ab+b=axa-axb-axb+bxb=ax(a-b)-bx(a-b)(乘法分配律)=(a-b)x(a-b)=(a-b)。
完全平方公式的几何证明方法与平方差公式证明十分类似，一起来看看完全平方式的几何证明吧。
两个正方形组合在一起，小正方形边长为a，大正方形边长比小正方形多b，求大正方形面积。
显然，大正方形的面积为(a+b)。
它也等于①②③④四部分的面积和。
分别计算四部分的面积：那么，大正方形的面积=a+ab+ab+b(a+b)=a+2ab+b，同样，我们再来证明(a-b)=a-2ab+b。
大正方形边长为a，两个正方形组合在一起，大正方形边长比小正方形边长多b，求小正方形①面积。
小正方①的面积为(a-b)。
①的面积也可以由大正方形面积减去②③④得到。
一起分别计算下②③④的面积吧。
大正方形的面积为a，小正方形①的面积=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb 即，(a-b)=a-(a-b)xb-b-(a-b)xb展开后，得(a-b)=a-2ab+b完全平方式又常常写成：(a±b)=a±2ab+b。
完全平方公式口诀首平方，尾平方，首尾相乘放中间。
或首平方，尾平方，两数二倍在中央。
也可以是:首平方，尾平方，积的二倍放中央。
完全平方公式是什么?以上就是给大家解答的相关的疑问，大家平时不妨现在熟悉一下这个完全平方公式的口诀，只要记熟了完全平方公式口诀就可以轻松的计算出完全平方算式。
知识点058 完全平方公式(填空)
1、多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=±8．考点：完全平方式。
分析：根据完全平方公式结构特征，这里首尾两数是x和8的平方，所以中间项为加上或减去它们乘积的2倍．解答：解：∵x2+2mx+64是完全平方式，∴2mx=±2•x•8，∴m=±8．点评：本题是完全平方公式的应用，要熟记完全平方公式的结构特征：两数的平方和，再加上或减去它们乘积的2倍，为此应注意积的2倍有符号有正负两种，避免漏解．2、代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=±4．考点：完全平方式。
分析：本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是2x和3的平方，那么中间项为加上或减去2x和3的乘积的2倍．解答：解：∵4x2+3mx+9是完全平方式，∴3mx=±2×3•2x，解得m=±4．点评：本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．3、设4x2+mx+121是一个完全平方式，则m=±44．考点：完全平方式。
分析：这里首末两项是2x和11这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和11积的2倍．解答：解：∵4x2+mx+121是一个完全平方式，∴mx=±2×11•2x，∴m=±44．点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．4、若9x2+mx+25是完全平方式，则m=±30．考点：完全平方式。
专题：计算题。
分析：这里首末两项是3x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和5积的2倍，故m=±30．解答：解：∵（3x±5）2=9x2±30x+25，∴在9x2+mx+25中，m=±30．点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．5、已知x2﹣4x+a是一个完全平方式，则a为4．考点：完全平方式。
学习知识点058完全平方公式定理(解答)
2 o 2 (n+1 ) 2+ (n+1 ) 2+n 2=n2 o 2 o 2 ( n+1 ) 2+n 2+2n+1+ n 2,•••分子分母都是完全平方的形式,n (n+1) +1.n (n+1) +1 n (n+1)难度较大，灵活性较强.考点：完全平方式。
专题： 计算题。
分析： 这里首末两项是 x 和m 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和m 积的2 倍.解答： 解：.x 2+2mx+4 m 2是元全平方式，考点：完全平方式。
专题：计算题。
分析：先通分， 分母从而即可得解.解答：解:1、已知n 是正整数, 1 + 1 曰 、 是 个有理式A 的平方，那么，A= n 2 (n+1 ) 2是完全平方的形式，然后把分子整理成完全平方式的形式, JU' 1 n 2(n+13 ? 1 + n 2 (mi) t (n+1) 2 + n 2 n 2 (n+1)' =n 2 (n+1)2+2n (n+1 ) +1 , =[n (n+1 )+1] 2,分子：n 2•••A= ± 故答案为：土点评：本题考查了完全平方式， 先通分,然后把分子整理成完全平方公式的形式是解题的关键, 2、关于x 的二次三项式：x 2+2mx+4-m 2是一个完全平方式，求 m 的值.•••x 2+2mx+4 - m 2= (x ±m ) 2,•••4 - m 2=m 2,•••m= ±即 m 1=.蔦 m 2=—打：］点评：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的 2倍，就构成了 一个完全平方式•注意积的 2倍的符号，避免漏解.3、x , y 都是自然数，求证：x 2+y+1和y 2+4x+3的值不能同时是完全平方.考点：完全平方式。
专题：证明题。
分析：先假设x 2+y+1和y 2+4x+3的值能同时是完全平方，那么就可写成完全平方式，从而解答：解：设x 2+y+1和y 2+4x+3的值能同时是完全平方,那么有 x 2+y+ 仁 （x+1 ） 2, y 2+4x+3= （y+ .「；）2,/•y=2x , 4x=2 'y ,即 y=2x , x=——y ,又T X 、y 是自然数，•与已知矛盾, 故x 2+y+1和y 2+4x+3的值不能同时是完全平方.点评：本题考查了完全平方式、无理数、自然数的定义.两数的平方和，再加上或减去它们积 的 2 倍，就构成了一个完全平方式．4、 (2003 ?黄石)若x 2+2xy+y 2 - a (x+y ) +25是完全平方式，求 a 的值.而xy 是自然数，则二.丫必是无理数，那么就与已知相矛盾，故可得证. 可求 y=2x , x=考点：完全平方式。
完全平方公式
完全平方公式在数学的奇妙世界里，有一个非常重要的公式，那就是完全平方公式。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们轻松解决许多数学问题。
完全平方公式包括两个：一个是两数和的完全平方公式，即\（（a＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）；另一个是两数差的完全平方公式，即\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。
咱们先来看看两数和的完全平方公式\（（a ＋ b)＾2 ＝ a^2 ＋ 2ab＋ b^2\）。
为了更好地理解它，我们可以通过一个实际的例子来感受一下。
假设小明有一个边长为\（a\）的正方形花坛，后来他在旁边又扩建了一个宽为\（b\）的长方形花坛。
那么现在整个花坛的面积是多少呢？原来正方形花坛的面积是\（a^2\），扩建的长方形花坛的面积是\（2ab\）（因为长方形的长是\（a\），宽是\（b\），面积就是\（ab\），两边都有所以是\（2ab\）），新扩建的小正方形花坛面积是\（b^2\）。
所以整个花坛的面积就是\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\），而这恰好就是\（（a ＋ b)＾2\）展开后的结果。
再来说说两数差的完全平方公式\（（a b)＾2 ＝ a^2 2ab ＋ b^2\）。
比如小红有一块边长为\（a\）的正方形布料，她从中间裁掉了一个边长为\（b\）的小正方形。
那么剩下布料的面积是多少呢？原来正方形布料的面积是\（a^2\），裁掉的小正方形面积是\（b^2\），由于裁掉的部分在原来正方形的内部，所以重叠了两次，重叠部分的面积是\（2ab\）。
那么剩下布料的面积就是\（a^2 2ab ＋b^2\），这正好就是\（（a b)＾2\）展开后的式子。
掌握完全平方公式对于解决代数问题非常有帮助。
比如在进行因式分解的时候，如果我们遇到了形如\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2\）或者\（a^2 2ab ＋ b^2\）的式子，就可以直接利用完全平方公式将其转化为\（（a ＋ b)＾2\）或者\（（a b)＾2\）。
初中数学完全平方公式知识点归纳
初中数学完全平方公式知识点归纳完全平方公式是指二元二次方程的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解的方法。
下面是初中数学中关于完全平方公式的归纳知识点：1.完全平方公式的形式：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a ≠ 0，那么它的解可以通过将方程化为完全平方形式来求解。
完全平方形式是指将二次项和一次项的系数合并为一个完全平方的形式。
2.完全平方公式的表达式：设一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则它的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3.完全平方公式的推导：在推导完全平方公式时，首先将方程右侧移到左侧，得到一个平方的形式，然后通过配方完成平方形式的提取。
4.完全平方公式的用途：完全平方公式可以用于求解一元二次方程的根，特别对于不能直观看出解的二次方程来说，可以通过完全平方公式直接求解。
5.完全平方公式的例题：例如，对于方程2x^2+5x-3=0，可以应用完全平方公式计算出其解为：x=(-5±√(5^2-4(2)(-3)))/(2(2))6.完全平方公式的注意事项：在应用完全平方公式时，需要注意判别式的值。
判别式为b^2 - 4ac，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
7.完全平方公式与图像的关系：完全平方公式也可以用来解释二次函数的图像特征。
例如，当b=0时，方程的解为x=±√(-c/a)，可以看出二次函数的图像与x轴交于两点；当判别式大于0时，二次函数的图像与x轴有两个不相等的交点；当判别式等于0时，二次函数的图像与x轴有一个重复的交点；当判别式小于0时，二次函数的图像与x轴没有交点。
8.完全平方公式的应用：完全平方公式不仅可以用于求解一元二次方程的根，还可以应用于其他数学问题中。
例如，可以用完全平方公式证明两条直线之间的距离公式、证明两个平面之间的夹角余弦公式等。
《完全平方公式》
《完全平方公式》完全平方公式的定义是：任意一个整数的平方都可以表示为之前的一个连续整数的平方的和减去另一个连续整数的平方的形式。
即对于任意整数a来说，有以下等式成立：a²=(a-1)²+2*(a-1)+1a²=a²可以看出，左边的a²是完全平方，而右边的(a-1)²+2*(a-1)+1也是完全平方。
这个完全平方公式在数学中应用广泛，可以用于求解两个平方数之和或之差的式子。
例如，我们可以利用完全平方公式来推导关于n和n+1的任何两个完全平方数之间的关系。
以n²和(n+1)²为例，我们可以将(n+1)²写成n²+2n+1的形式。
这样，n²和(n+1)²的关系就可以表示为：(n+1)²=n²+2n+1n²和(n+1)²之间的关系是通过完全平方公式来得到的，它可以大大简化数学问题的解答过程。
利用完全平方公式还可以求解两个完全平方数之差的式子。
例如，我们可以计算出(n+2)²和n²的差值。
(n+2)²-n²=(n²+4n+4)-n²=4n+4所以，(n+2)²和n²的差值为4n+4完全平方公式的应用还可以延伸到求解一些实际问题。
例如，我们可以通过完全平方公式来求解对角线长度为整数的平行四边形的边长问题。
设平行四边形的一条边长为a，对角线长度为d。
根据完全平方公式，我们可以得到以下等式：d²=a²+a²即d²=2a²根据完全平方公式的定义，左边的d²是完全平方数，而右边的2a²也是完全平方数。
因此，我们可以通过求解d²=2a²的整数解来得到满足条件的平行四边形的边长。
完全平方公式在数论、代数和几何等数学分支中都有重要应用。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
完全平方公式
完全平方公式完全平方公式是学习数学中的一个重要定理，它能够帮助我们快速求解二次方程的根。
在本文档中，我们将解释完全平方公式的原理，并给出一些例子。
定义在代数学中，完全平方是指一个数可以写成另一个数的平方。
完全平方公式是通过将二次方程转化为一个完全平方的形式，以便更轻松地求解该方程的根。
公式对于二次方程ax2+bx+c=0，其中a,b,c是实数且a eq0，完全平方公式可表示为：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$公式中的$\\pm$ 表示可以取正号或负号，因此，二次方程的解可以有两个根，分别对应取正号和负号。
推导过程为了推导完全平方公式，我们先从一个完全平方的观点入手。
假设有一个完全平方(x+p)2，则展开得到：(x+p)2=x2+2px+p2如果我们将二次方程的通项表示成完全平方的形式，即ax2+bx，那么我们需要寻找一个p，使得2px=bx，然后再等式两边加上常数p2，这样就能得到完全平方公式的形式。
为了寻找p的值，我们可以观察下面的等式：$$ 2px = bx \\Rightarrow 2p = b \\Rightarrow p = \\frac{b}{2} $$将这个解代入(x+p)2，得到：$$ (x + \\frac{b}{2})^2 = x^2 + bx + \\frac{b^2}{4} $$现在我们已经得到了完全平方公式，最后一步是将常数项c纳入考虑。
为此，我们将等式右边的 $\\frac{b^2}{4}$ 替换为c，得到完全平方公式的最终形式：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$示例让我们通过几个例子来演示完全平方公式的应用。
例子1：求解x2+6x+9=0根据完全平方公式，我们可以找到a=1，b=6，c=9。
将这些值代入公式：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 9}}{2 \\cdot 1} $$简化后得到：$$ x = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 36}}{2} = \\frac{-6}{2} = -3 $$因此，该二次方程的解为x=−3，它是一个重根。
完全平方公式-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
完全平方公式【知识梳理】一．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b 的长方形的面积和作为相等关系）【考点剖析】一．完全平方公式（共21小题）1．（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）A．（a+b）2＝a2+ab+b2B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2C．（1+a）2＝a2+2a+1D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，注意：平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式是：（a±b）2＝a2±2ab+b2．2．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b+c）2．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣2b）2+c2+2c（a﹣2b）＝a2﹣4ab+4b2+c2+2ac﹣4bc．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b﹣3c）2＝．【分析】原式可化为[（a﹣2b）﹣3c]2，再应用完全平方公式进行计算即可得出答案．【解答】解：（a﹣2b﹣3c）2＝[（a﹣2b）﹣3c]2＝（a﹣2b）2﹣6c（a﹣2b）+9c2＝a2﹣4ab+4b2﹣6ac+12bc+9c2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关键．4．（2022秋•静安区校级期中）已知a+b＝6，a2+b2＝20，则ab的值为．【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝20，即36﹣2ab＝20，解得ab＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．5．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣7．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键．6．（2022秋•静安区校级期中）已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．【分析】根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，由ab＝3，a﹣b＝4，即可算出a2+b2的值，再由2a2+7ab+2b2，可得2（a2+b2）+7ab，代入计算即可得出答案．【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．7．（2022秋•宝山区校级期中）计算：（a+2b）2﹣2b（a﹣b）．【分析】根据完全平方公式及整式加减法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2﹣2ab+2b2＝a2+2ab+6b2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及整式加减法则进行求解是解决本题的关键．8．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+y）2﹣2（x﹣y）（2x+y）．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2（2x2﹣xy﹣y2）＝x2+2xy+y2﹣4x2+2xy+2y2＝﹣3x2+4xy+3y2．【点评】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握其公式结构是解题关键．9．（2022秋•奉贤区期中）计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．【分析】根据完全平方公式、平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2＝﹣2a2+ab﹣3b2．【点评】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．10．（2022秋•黄浦区期中）计算：（a﹣b+2c）2＝．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣b）2+4c（a﹣b）+4c2＝a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．故答案为：a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级期中）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）．【分析】利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6）＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6＝﹣2x2﹣25x+31．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．12．（2022秋•浦东新区期中）今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：①（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误；②（﹣a2）⋅a3＝﹣a5，原计算错误；③（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，原计算错误；④a2+4a2＝5a2，原计算错误．所以小刚做对的题数是0个，故选：A．【点评】此题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，正确掌握积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键．13．（2022秋•浦东新区期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则a2+b2＝．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a﹣b＝4，ab＝1，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了完全平方公式和立方差公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．14．（2022秋•闵行区期中）已知x+y＝6，xy＝7，那么（3x+y）2+（x+3y）2的值为．【分析】先利用完全平方公式展开合并得到原式＝10（x2+y2）+12xy，再进行配方得到原式＝10（x+y）2﹣8xy，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：原式＝9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2＝10x2+12xy+10y2＝10（x2+y2）+12xy＝10（x+y）2﹣8xy，当x+y＝6，xy＝7，原式＝10×62﹣8×7＝304．故答案为：304．【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则和积的乘方的运算法则进行计算即可．【解答】解：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4xy+4x2＝8x2．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．（2022秋•嘉定区期中）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）ab．【分析】（1）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相加即可求得a2+b2的值；（2）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相减即可求得ab的值．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]÷2＝（17+13）÷2＝15；（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴ab＝[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷4＝（17﹣13）÷4＝1．【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够运用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键．17．（2022秋•闵行区期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式计算，再合并同类项即可求解．【解答】解：原式＝6x²+4xy﹣9xy﹣6y²﹣（4x²﹣12xy+9y²）＝6x²﹣5xy﹣6y²﹣4x²+12xy﹣9y²＝2x²+7xy﹣15y²．【点评】本题考查整式的运算，正确使用多项式乘多项式的运算法则和完全平方差公式是求解本题的关键．18．（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则解答即可．【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，﹣13x＝﹣33，∴x＝．【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则．19．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣＝3，求x2+和x4+的值．【分析】把该式子两边平方后可以求得x2+的值，再次平方即可得到x4+的值．【解答】解：∵x﹣＝3，（x﹣）2＝x2+﹣2∴x2+＝（x﹣）2+2＝32+2＝11．x4+＝（x2+）2﹣2＝112﹣2＝119．【点评】本题考查了完全平方公式，利用x和互为倒数乘积是1与完全平方公式来进行解题．20．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣y＝2，xy＝80，求x2+y2的值．【分析】利用完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（2分）∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy（2分），当x﹣y＝2，xy＝80时，x2+y2＝22+2×80＝164．（3分）若有其他方法，可参照答案，给分．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy是解决问题的关键．21．（2022秋•静安区校级期中）阅读并思考：计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：47接近整十数50，50﹣47＝3；第二步：取50的一半25，25﹣3＝22；第三步：32＝9第四步：把第二、三步综合起来，472＝（25﹣3）×100+32＝2209．（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1492＝（﹣）×100+2＝2401．（2）请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．（50﹣n）2＝（﹣）×100+2．（3）利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．（4）写出利用这个公式计算562＝3136的过程．（5）计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×（6+1）＝42；第二步：3×7＝21第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．写出上述过程所依据的计算公式．（6）利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．【分析】（1）根据材料中的方法计算即可；（2）同理可得结论；（3）根据乘法运算分别计算（2）中等式的左边和右边，从而得结论；（4）代入（2）中的公式可得结论；（5）根据材料中的具体步骤可得计算公式即可；（6）根据多项式乘以多项式法则计算即可．【解答】解：（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1；第四步：把第二、三步综合起来，492＝（25﹣1）×100+12＝2401．故答案为：25，1，1；（2）（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2．故答案为：25，n，n；（3）∵左边＝2500﹣100n+n2，右边＝n2﹣100n+2500，∴左边＝右边，∴（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2；（4）562＝（50+6）2＝（25+6．（5）写出上述过程所依据的计算公式：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；故答案为：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；（6）∵左边＝（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝（10a+b）（10a﹣b+10）＝100a2﹣10ab+100a+10ab﹣b2+10b＝100a2+100a+10b﹣b2，右边＝a（a+1）×100+b（10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）＝100a2+100a+10b﹣b2，∴（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）．【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法的简便算法，理解材料中计算的方法和运用是解本题的关键．二．完全平方公式的几何背景（共5小题）22．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（）cm2．A．25B．10a C．25+5a D．25+10a【分析】完全平方公式（a+b）＝a2+2ab+b2的应用．【解答】解：原正方形的面积＝a2（cm2）新正方形的面积＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2所以增加的面积＝（10a+25）cm2．故本题选D．【点评】本题主要是考查了完全平方公式的应用．23．（2022秋•宝山区校级期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一张小正方形纸片再剪成四个面积相等的小正方形纸片，如此剪下去，第n次剪好后，所得到的所有正方形纸片的个数是（）A．4n B．3n C．3n+1D．2n+2【分析】通过观察已知图形可得：每剪一次都比上一次增加3个正方形纸片；所以可得规律为：第n次操作后共得到4+3（n﹣1）．【解答】解：分析可得：每次都比上一次增加3个．∴第n次操作后共得到4+（n﹣1）×3＝（3n+1）个．故选：C．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．24．（2022秋•浦东新区期中）如果一个正方形的周长为（2a+b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为（）A．B．C．4a2+b2D．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求解．【解答】解：（）2＝＝++，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，正方形的面积是解题的关键．25．（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（8a+4b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为．【分析】根据正方形的周长公式求出其边长，再根据面积公式进行计算即可．【解答】解：一个正方形的周长为（8a+4b），所以边长为（2a+b），所以面积为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故答案为：4a2+4ab+b2．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．26．（2022秋•嘉定区校级期中）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于b的等式．【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．【解答】解：空白部分为正方形，边长为：（a﹣b），面积为：（a﹣b）2．空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A ．()()4774x y y x −−− B ．()()4774x y x y −−+ C ．()()4774x y y x −−+ D ．()()4747x y x y −+【答案】C【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】A ：()()4774(47)(47)x y y x x y x y −−−=−−+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； B ：()()()()47744774x y x y x y x y −−+=−++，不能用完全平方公式运算，不符合题意；C ：()()()2477447x y y x x y −−+=−+，能用完全平方公式运算，符合题意；D ：()()4747x y x y −+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校联考期中）已知5x y +=−，3xy =，则22x y +=（ ）【答案】C【分析】根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵5x y +=−，3xy =， ∴()()2222252325619x y x y xy +=+−=−−⨯=−=，故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 3．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）下列计算中错误的有（ ）①()23320x x x −+⋅=；②222()2x y x xy y −−=−+；③248236x x x ⋅=；④22()()x y x y x y −−+=−A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的计算法则计算出结果即可判断．【详解】解：①()2523630x x x x x −++=⋅≠，原计算错误；②22222()22x y x xy y x xy y −−=++≠−+，原计算错误；③24682366x x x x ⋅=≠，原计算错误；④()22222(2)()x y x y y xy x y x x y =−−+=−+−≠−−−，原计算错误．综上，四个计算都是错误的， 故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，掌握运算法则是解题的关键．4．（2022秋·七年级单元测试）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a ，宽为b ，a b ＞）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论中，正确的有（ ）.① ()228a b −=；② 26ab =；③ 2280a b +=；④ 2264a b −= A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】A【分析】根据拼图得出，（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=26，再根据公式变形逐项进行判断即可． 【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b ，中间的小正方形的边长为a-b ，∴（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=132284−=26，故①，②正确，∴a2+2ab+b2=132，∴a2+b2=132-2×26=80，故③正确， 由于（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，而a ＞b ，∴，∴a2-b2=（a+b ）（a-b ）=④不正确， 故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确判断的前提．5．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）一个正方形的边长为cm a ，若它的边长增加5cm ，则新正方形面积增加了（ ）2cm ．A ．25B ．10aC ．255a +D ．2510a +【答案】D【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：22(5)1025a a a +−=+，即新正方形的面积增加了()2510a +2cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2023·上海·七年级假期作业）已知：3a b c ++=，2223a b c ++=，则201120112011a b c ++的值是（ ） A ．0 B ．3C ．20052D ．200532⋅【答案】B【分析】根据已知，得到()()222230a b c a b c ++−+++=，再利用完全平方公式，得出()()()2221110a b c −+−+−=，然后根据平方的非负性，求得1a b c ===，代入计算即可求出201120112011ab c ++的值．【详解】解：3a b c ++=，2223a b c ++=，()()2222332330a b c a b c ∴++−+++=−⨯+=，()()()2222121210a ab bc c ∴−++−++−+，()()()2221110a b c ∴−+−+−=，10a ∴−=，10b −=，10c −=， 1a b c ∴===，0201201120112111201120111111113a b c ∴++=+=++=+，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出()()()2221110a b c −+−+−=是解题关键．二、填空题7．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个答案即可）【答案】6x （答案不唯一）【分析】利用完全平方公式解答即可．【详解】解：()2296131x x x ++=+．故答案为：6x （答案不唯一）【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．8．（2022秋·上海·七年级校联考期末）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为__________． 【答案】6±【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，故6k =±． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，6k ∴=±故答案为：6±．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）已知：二次三项式239x mx −+是一个完全平方式，则 m =__________． 【答案】2±【分析】由于m 的正负未知，根据完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，从而得到2m =±．【详解】解：由完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，36m ∴−=±，解得2m =±，故答案为：2±．【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟记并理解完全平方公式是解决问题的关键．10．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知3a b +=，2ab =，则代数式22a b +的值为_______． 【答案】5【分析】首先将22a b +变形为2()2a b ab +−，然后代入求解即可．【详解】∵3a b +=，2ab =，∴22a b +2()2a b ab =+−2322=−⨯5=．故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将22a b +变形为2()2a b ab +−．11．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）已知6a b +=，2220a b +=，则ab 的值为________． 【答案】8【分析】先把6a b +=两边进行平方，再根据2220a b +=，即可得到ab 的值．【详解】解：∵6a b +=，2220a b +=，∴222()236a b a b ab +=++=，即20236ab +=，∴8ab =， 故答案为：8．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．【答案】2【分析】根据题意可知，12m m +=，将等式左右两边同时平方即可求出221m m +的值． 【详解】∵12m m +=， ∴21()4m m +=， ∴22124m m ++=， ∴2212m m +=【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记完全平方公式的常见变形公式是解此类题的关键． 13．（2023·上海·七年级假期作业）已知3x y −=，2229x y +=，那么xy =________． 【答案】10【分析】根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：∵3x y −=，2229x y +=，∴()()222292920x y x y xy −−+=−=−=−∴10xy =， 故答案为：10．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．【答案】 14 194【分析】根据完全平方公式得出2221112x x x x x x ⎛⎫+=+−⋅⋅⎪⎝⎭，代入求出即可；根据完全平方公式得出2424211x x x x ⎛⎫+=+− ⎪⎝⎭ 2212x x ⋅⋅，代入求出即可．【详解】解： 14x x +=，∴2116x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴221216x x ++=，∴22114x x +=∴2221196x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4412196x x ++=∴441194x x +=．故答案为：14；194．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，能正确运用完全平方公式进行变形是解答此题的关键，注意：完全平方公式为()2222a b a ab b +=++和()2222a b a ab b −=−+．本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累1x x +的变化方式．15．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）若216x ax ++是一个完全平方式，则实数a 的值为___________ 【答案】8±/8−或8/8或8−【分析】根据完全平方式的一般形式222a ab b ±+求解即可．【详解】解：216x ax ++是一个完全平方式，248ax x x ∴=±⋅=±， 8a ∴=±,故答案为：8±．【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的一般形式是解答的关键．【答案】7【分析】将方程两边同时除以字母x ，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解． 【详解】解：将方程2310x x −+=两边同时除以字母x 得：130x x −+=，13x x ∴+=21()9x x ∴+=22129x x ∴++=2217x x ∴+=故答案为：7．【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．17．（2023·上海·七年级假期作业）如果25m m +=，那么代数式的()()222m m m −++值为___________． 【答案】14【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值． 【详解】解：()()222m m m −++22244m m m m =−+++ 2224m m =++∵25m m +=，∴原式()2=24=254=14m m ++⨯+．故答案为：14．【点睛】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++，解决问题：已知x 、y 、z 满足2224y x z ++=，求()()()222x y y z z x −+−+−的最大值是______． 【答案】12【分析】根据已知条件化简()()()222x y y z z x −+−+−，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解．【详解】∵2224y x z ++=， ∴()()()222x y y z z x −+−+−222222222x y y z z x xy yz xz =+++++−−−()2222x y z xy yz xz =++−−−()82xy yz zx =−++；∵()2222222x y z x y z xy xz yz++=+++++，∴()()2222222xy xz yz x y z x y z ++=+++−+∴原式=()22228x y z x y z +++−++()212x y z =−++， ()2x y z ++≥，∴原式12≤．故原式的最大值是12； 故答案为：12．【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．三、解答题【答案】222x y +，42【分析】根据完全平方公式展开，单项式乘以多项式把括号去掉，合并同类项，代入求值即可．【详解】解：22()[2()]x y x x x y −−−+22222(22)x xy y x x xy =−+−−− 2222222x xy y x x xy =−+−++222x y =+，把12x =，=2y −代入得，原式222211122(2)244242x y ⎛⎫=+=⨯+−=⨯+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20．（2022秋·上海·七年级校考期末）计算：()()()224321x x x +−−−． 【答案】97x −【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【详解】解：()()()224321x x x +−−224386441x x x x x =−+−−+−97x =−．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键． 21．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）利用完全平方公式计算：230.2． 【答案】912.04【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：230.2()2300.2=+22302300.20.2=+⨯⨯+900120.04=++912.04=【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握2222a b a ab b ±=±+（）是解题的关键． 22．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）解方程：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+． 【答案】32x =【分析】利用完全平方公式及平方差公式去括号，再根据解方程的步骤求解即可．【详解】解：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+，2221441233x x x x x +−−−+=−，14123x x −−+=−， 23x −=−，解得：32x =．【点睛】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式、完全平方公式及解一元一次方程的步骤是解题的关键．【答案】正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为268cm ．【分析】先根据题意列出长方形ABCD 关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案．【详解】解：设长方形ABCD 的长为cm a ，则宽为cm b ， ∵长方形ABCD 的周长为20cm ，面积为216cm ， ∴1016a b ab +==，，正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为22a b +，∵()()2222221021668cma b a b ab+=+−=−⨯=．∴正方形ABGH和ADEF的面积之和为268cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键．24．（2023·上海·七年级假期作业）一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了452cm，这时原来边长是多少呢？【答案】6cm；9cm【分析】设原来正方形的边长为x cm，根据：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm，列出方程即可求解；同样的方法即可解答边长减少问题．【详解】设原来正方形的边长为x cm．则()22345x x+=+，解得：6x=．∴正方形原来的边长为6cm．设原来正方形的边长为y cm，则()22345y y−=−，解得：9y=．∴正方形原来的边长为9cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式在实际问题中的运用，正确理解题意、得出方程是解题的关键．【答案】(1)12(2)①6；②17 (3)92【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）注意整体法的运用，将（4-x ）、（5-x ）看成一个整体去求解；（3）表示两个正方形的面积1S 、2S ，得到2218AC BC +=，结合22()6AC BC +=，推出9AC BC =，再去计算阴影部分面积．（1）∵8x y +=，∴22()8x y +=，22264x xy y ++=， 又∵2240x y +=， ∴22264()xy x y =−+＝64－40＝24，∴12xy =；（2）①222(4)(4)2(4)x x x x x x −+=−+−−＝16－10＝6；②222(4)(5)[(4)(5)]2(4)(5)x x x x x x −+−=−−−+−−＝2(1)28−+⨯＝17；（3）∵AB ＝6，∴22()6AC BC +=，∴22236AC AC BC BC ++=，又∵1218S S +=，∴2218AC BC +=，∴9AC BC =，∵BC ＝CF ， ∴1922ACF S AC CF ∆==．【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．26．（2022秋·七年级单元测试）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）·（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．。
完全平方公式(完整知识点)
完全平方公式(完整知识点)完全平方公式完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
必须注意的：①漏下了一次项②混淆公式（与平方差公式）③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
学会用文字概述公式的含义:两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右侧各项全用“+”号毗连；左边两项符号相反时，右侧平方项用“+”号毗连后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.完全平方公式口诀前平方，后平方，二倍乘积在中心。
同号加、异号减，符号添在异号前。
（可以背下来）即(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）公式变形（题）变形的方法（一）、变符号：例1：应用完全平方公式计较：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2阐发：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简朴的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计较。
解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（二）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。
完全平方公式和平方差公式有哪些
完全平方公式和平方差公式有哪些
完全平方公式和平方差公式是数学中一个十分重要的知识点，同时也是考试中一个常见的考点。
下面是由编辑为大家整理的“完全平方公式和平方差公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
1.完全平方公式：
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍即完全平方公式
(a+b)2=a2+b2+2ab 两数和的完全平方公式(完全平方和)
与
(a-b)2=a2+b2-2ab 两数差的完全平方公式(完全平方差)
都叫做完全平方公式。
2.平方差公式：
当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式.这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了.而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即
a2-b2=(a+b) x (a-b)
3.平方和公式：
a²+b²=(a+b)²-2ab
拓展阅读：完全平方公式的推导过程
用代数方法证明，
a²+2ab+b²
=axa+axb+axb+bxb
=ax(a+b)+bx(a+b)(乘法分配律)
=(a+b)x(a+b)=(a+b)²
同理，
a²-2ab+b²
=axa-axb-axb+bxb
=ax(a-b)-bx(a-b)(乘法分配律)
=(a-b)x(a-b) =(a-b)²。
完全平方公式知识点总结
完全平方公式知识点总结一、完全平方公式的定义在代数中，完全平方是指一个数的平方能够整除另一个数。
在一元二次方程中，如果其二次项和一次项可以写成一个完全平方的形式，那么我们就可以利用完全平方公式来求解方程的根。
二、完全平方公式的形式一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，而完全平方公式的一般形式为(a+b)^2 =a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为任意实数。
根据这个形式，我们可以进一步推导出完全平方公式的常用形式，即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
三、完全平方公式的推导要理解完全平方公式的推导过程，我们可以通过简单的代数运算来进行推导。
假设我们有一个二次方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成完全平方的形式，即(x+3)^2 = 0。
通过这个例子，我们可以看到完全平方公式的推导过程，即将一元二次方程的一次项系数分解成两个相同的系数，然后将其写成完全平方的形式。
四、完全平方公式的应用技巧在使用完全平方公式求解一元二次方程时，我们需要注意以下几点应用技巧：1.将一元二次方程转化为完全平方的形式2.确定完全平方公式的形式，即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^23.利用完全平方公式求解方程的根4.注意判断方程的解的情况，即判断判别式的正负性五、完全平方公式的拓展应用除了求解二次方程外，完全平方公式还可以在数学和科学领域的其他问题中进行拓展应用。
比如在几何学中，我们可以利用完全平方公式来求解圆的面积和周长；在物理学中，我们可以利用完全平方公式来分析物体的运动规律等。
总之，完全平方公式是求解一元二次方程的重要方法之一，它有着广泛的应用领域，对于学生来说掌握完全平方公式是十分重要的。
通过以上的知识点总结，相信大家对完全平方公式有了更深入的理解和掌握，希望能够帮助大家更好地学习和应用完全平方公式。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是高中数学中最重要的公式之一，它能够帮助学生解决复杂的问题，因而被广泛使用。
完全平方公式的基本内容是一个多项式，它的一般形式如下：ax2 + bx + c = 0。
完全平方公式的原理很简单，它是分解多项式的系统方法，即先将多项式分解为完全平方公式的形式，然后从中求出解。
完全平方公式的分解如下：a(x + b/2a)2 = ax2 + bx + c，其中a为多项式中的系数，b为多项式中的系数，c为多项式中的常数。
现在我们来看看如何使用完全平方公式来求解多项式。
假设有一个如下形式的多项式：x2 + 6x + 9 = 0，即ax2 + bx + c = 0，其中a=1，b=6，c=9。
首先，将多项式分解为完全平方公式：(x + 3)2 = x2 + 6x + 9，即a(x + b/2a)2 = ax2 + bx + c，其中a=1，b=6，c=9。
继而，从多项式一般形式中求出解：x = -3，即x + 3 = 0，所以x = -3。
完全平方公式的应用广泛，它可以用于求解一元二次方程、求取多次方程的解等。
然而，使用完全平方公式需要注意一些重要问题，例如是否能够简化为完全平方公式形式，这得根据实际情况而定。
此外，完全平方公式也可以用于计算各种数学结果，例如计算角的正弦值、余弦值、正切值等。
一般而言，利用完全平方公式就可以快速求出解，从而节省计算时间。
最后，当我们碰到一些复杂的数学问题时，完全平方公式可以提供非常有用的帮助。
它可以帮助我们提高解决数学问题的速度，同时避免出现错误，从而减少计算错误的机会。
综上所述，完全平方公式是高中数学中最重要的公式之一，它能够帮助我们快速准确地解决复杂的数学问题，节省计算时间，减少出错的机会。
完全平方公式及答案精编版
完全平方公式及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-完全平方公式（一）知识点：1.完全平方公式：=+2)(b a ；=-2)(b a 2.特点：左边：右边：例1：（1）2)2(y x - （2）2)32(b a - （3）2)21(b a +- （4）)32)(23(x y y x -- 变式：1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)(a+b)2=a 2+b 2；（ ） (2)(a-b)2=a 2-b 2；（ ）(3)(a+b)2=(-a-b)2；（ ） (4)(a-b)2=(b-a)2.（ ）2、下列等式能成立的是( ).A.(a-b)2＝a 2-ab+b 2B.(a+3b)2＝a 2+9b 2C.(a+b)2＝a 2+2ab+b 2D.(x+9)(x-9)＝x 2-93、下列计算正确的是（ ）A 、9124)32(22--=-x x x B 、424)22(222y xy x y x ++=+ C 、22))((b a b a b a -=--- C 、22244)2(y xy x y x +-=--4、(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( ). A.8(a-b)2 B.8(a+b)2 C.8b 2-8a 2 D.8a 2-8b 25、（1）2)21(y x - （2）2)3(b a --（3）2)212(+-a （4）2)(z y x +- 例2：(1)(3a+2b)2-(3a-2b)2 (2)(x 2+x+6)(x 2-x+6) (3)(a+b+c+d)2 变式 ：（1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+ （2）22)321()321(b a b a +- （3）22)2()2)(2()1(++-+-+x x x x 其中x=-2（4）化简求值：22)2()2()2)(12(+---+-x x x x ，其中23-=x 例2;(1)如果x 2+kx+81是一个完全平方式，那么k 的值是( ).A.9B.-9C.9或-9D.18或-18(2)2216y mxy x ++是完全平方式。
完全平方公式的知识点及题目
完全平方公式的知识点及题目奋战百日，让七彩的梦在六月放飞。
让我们拼搏，用行动实现青春的诺言;让我们努力，用汗水浇灌理想的花蕾。
下面是作者给大家带来的完全平方公式的知识点及题目，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!完全平方公式的公式特点(一)学会推导公式：(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随便“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义:两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍。
叫做完全平方公式.为了区分，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
(三)这两个公式的结构特点：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内).3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也能够表示单项式或多项式等数学式.完全平方公式运用公式常规四变运用公式常规四变一、变符号：例1：运用完全平方公式运算：(1)(2y+3x)^2 (2)3(3x+4y)^2分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法一：把两式分别变形为再用公式运算(反思得：)方法二：把两式分别变形为：后直接用公式运算方法三：把两式分别变形为：后直接用公式运算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于知道不会混淆)。
二、变项数：例2：运算：分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中显现了三项，故应推敲将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行运算。
三、变结构例3：运用公式运算：(1)(x+y)(2x+2y)(2)(a+b)(-a-b)(3)(a-b)(b-a)分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特点，但仔细视察易发觉，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)^2(2)(a+b)(-a-b)=-(a+b)^2(3)(a-b)(b-a)=-(a-b)^2四、简便运算例4：运算：(1)999^2(2)100.1^2分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式运算。
完全平方公式新定义解答压轴题
完全平方公式新定义解答压轴题完全平方公式是指一个二次三项式能够被因式分解为两个一次二项式的乘积。
具体来说，对于二次三项式ax^2 + bx + c，如果存在实数m和n使得ax^2 + bx + c = (x + m)(x + n)，那么这个二次三项式就是一个完全平方。
而完全平方公式则是用来求解这个因式分解中的m和n的公式。
完全平方公式的新定义可以从几个方面来解释和解答。
首先，我们可以从代数的角度来看。
对于一般的二次三项式ax^2 + bx + c，我们可以利用完全平方公式来求得m和n的值。
完全平方公式可以表示为，x^2 + 2mx + m^2 = (x + m)^2。
通过比较系数，我们可以得到m和n的值，进而得到因式分解的结果。
这个公式在代数中有着重要的应用，可以帮助我们简化计算和解决方程。
其次，我们可以从几何的角度来理解完全平方公式。
完全平方公式实际上就是平方公式的一种特殊情况。
如果我们将二次三项式对应的函数图像绘制在坐标系中，那么完全平方公式就表示了一个完全平方的二次函数图像。
这个公式可以帮助我们直观地理解二次函数的性质，比如顶点坐标、开口方向等。
最后，我们还可以从实际问题的角度来解释完全平方公式的新定义。
在物理、工程等领域中，很多问题可以建模为二次函数的形式，而完全平方公式可以帮助我们分析和求解这些实际问题。
比如在抛物线运动中，我们可以利用完全平方公式来求解运动轨迹、最大高度、最远距离等问题。
总的来说，完全平方公式是一个在代数、几何和实际问题中都有重要应用的公式。
它的新定义可以从多个角度进行解释和理解，包括代数运算、几何图像和实际问题建模等方面。
希望这个回答能够帮助你全面理解完全平方公式的新定义。
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1、已知n是正整数，1++是一个有理式A的平方，那么，A= ±．考点：完全平方式。
专题：计算题。
分析：先通分，分母n2（n+1）2是完全平方的形式，然后把分子整理成完全平方式的形式，从而即可得解．解答：解：1++=，分子：n2（n+1）2+（n+1）2+n2=n2（n+1）2+n2+2n+1+n2，=n2（n+1）2+2n（n+1）+1，=[n（n+1）+1]2，∴分子分母都是完全平方的形式，∴A=±．故答案为：±．点评：本题考查了完全平方式，先通分，然后把分子整理成完全平方公式的形式是解题的关键，难度较大，灵活性较强．2、关于x的二次三项式：x2+2mx+4﹣m2是一个完全平方式，求m的值．考点：完全平方式。
专题：计算题。
分析：这里首末两项是x和m这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和m积的2倍．解答：解：∵x2+2mx+4﹣m2是完全平方式，∴x2+2mx+4﹣m2=（x±m）2，∴4﹣m2=m2，∴m=±，即m1=，m2=﹣．点评：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．3、x，y都是自然数，求证：x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方．考点：完全平方式。
专题：证明题。
分析：先假设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平方，那么就可写成完全平方式，从而可求y=2x，x=y，而xy是自然数，则必是无理数，那么就与已知相矛盾，故可得证．解答：解：设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平方，那么有x2+y+1=（x+1）2，y2+4x+3=（y+）2，∴y=2x，4x=2y，即y=2x，x=y，又∵x、y是自然数，∴y必是无理数，∴与已知矛盾，故x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方．点评：本题考查了完全平方式、无理数、自然数的定义．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．4、（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．考点：完全平方式。
分析：先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．解答：解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±10．点评：本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．5、将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程．考点：完全平方式。
专题：开放型。
分析：因为整式包括单项式和多项式两种情况，所以根据4x2是平方项，是乘积二倍项的情况利用完全平方公式添加，以及完全平方式是单项式的平方的情况添加一个单项式消去其中的一项即可．解答：解：添加的方法有5种，其演示的过程分别是（1分）添加4x，得4x2+1+4x=（2x+1）2；（2分）添加﹣4x，得4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2；（3分）添加4x4，得4x2+1+4x4=（2x2+1）2；（4分）添加﹣4x2，得4x2+1﹣4x2=12；（5分）添加﹣1，得4x2+1﹣1=（2x）2．（6分）点评：本题主要考查完全平方公式，应充分理解整式的完全平方既可以是一个单项式的平方，也可以是一个多项式的平方，针对上述两种情况来进行考虑，可防止漏解．6、多项式x2+1加上一个整式后是含x的二项式的完全平方式．例题：x2+1+ 2x =（x+1）2．（1）按上例再写出两个加上一个单项式后是含x的二项式的完全平方式的式子（不能用已知的例题）：①x2+1+ ﹣2x =（x﹣1）2；②x2+1+ x4=（x2+1）2．（2）按上例写出一个加上一个多项式后是一个含x的二项式的完全平方式x2+1+ x4+x2=（x2+1）2．考点：完全平方式。
专题：阅读型。
分析：把等式右边根据完全平方公式展开即可求解．完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2．解答：解：例题∵（x+1）2=x2+2x+1，∴应填入2x；（1）①∵（x﹣1）2=x2﹣2x+1，∴应填入﹣2x；②∵（x2+1）2=x4+x2+1，∴应填入x4；（2）∵（x2+1）2=x4+2x2+1=x4+x2+x2+1，∴应填入的多项式是x4+x2．故应填：2x；﹣2x；x4；x4+x2．点评：本题考查了完全平方式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式并会逆用是求解的关键．7、有一个多项式，它的中间项是8ab，前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（要求写出两种不同方法）．多项式：（）+8ab+（）考点：完全平方式。
专题：开放型。
分析：根据完全平方公式，乘积二倍项为8ab，所以两个数的积是4ab，可以分解出因式2a、2b，2、2ab，a、4b，4a、b，ab、4，4ab、1，选择两种情况填入平方项即可．解答：解：由于（4ab+1）2=16a2b2+8ab+1；（2ab+2）2=4a2b2+8ab+4．故本题答案为：16a2b2，1；4a2b2，4．点评：本题考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征来进行分析，对乘积二倍项8ab 的不同分解是求解的关键．8、一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932．求证：a是一个完全平方数．考点：完全平方式。
专题：证明题。
分析：本题考查是的完全平方公式的应用，考虑29922、29932都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用换元法，设x=2992，则2993=2992+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式．解答：证明：令2992=m，则2293=m+1，于是a=m2+m2•（m+1）2+（m+1）2，=m4+2m3+3m2+2m+1，=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，=（m2）2+2•m2•（m+1）+（m+1）2，=（m2+m+1）2，所以是a一个完全平方数．点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用．9、小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习《整式的运算》这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）=8a3+b3，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”…亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算（﹣x﹣2y）（x2﹣2xy+4y2）吗？考点：完全平方式。
专题：阅读型。
分析：左边为一个二项式与一个三项式相乘，左边二项式中间加减号与三项式前两项加减号正好相反，二项式两项为三项式第一第三项的一次项．解答：解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；（2）（﹣x﹣2y）（x2﹣2xy+4y2）=（﹣x）3+（﹣2y）3=﹣x3﹣8y3．点评：本题考查了完全平方式，是信息题，两数的和乘以这两个数的平方和减去它们的差，等于这两个数的立方和（或两数的差乘以这两个数的平方和加上它们的和，等于这两个数的立方差），读懂题目信息是求解的关键．10、阅读下列材料：一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．已知a=20042+20042×20052+20052，试说明a是一个完全平方数．考点：完全平方式。
专题：阅读型。
分析：本题考查是的完全平方公式的应用，考虑20042、20052都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用换元法，设x=2004，则2005=2004+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式．解答：解：设x=2004，则2005=2004+1=x+1，故有：a=x2+x2（x+1）2+（x+1）2，=x2﹣2x（x+1）+（x+1）2+2x（x+1）+x2（x+1）2，=[x﹣（x+1）]2+2x（x+1）+x2（x+1）2，=1+2x（x+1）+x2（x+1）2，=[1+x（x+1）]2，=[1+x+x2]2，=（1+2004+20042）2，=40180212．∴a是一个完全平方数．点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用．11、已知a2﹣4a+4+9b2+6b+1=0，求a、b的值．考点：完全平方式；非负数的性质：偶次方。
分析：本题考查完全平方公式的应用，可逆向应用完全平方公式和平方数非负数的性质．解答：解：∵a2﹣4a+4+9b2+6b+1=（a﹣2）2+（3b+1）2=0，而（a﹣2）2≥0，（3b+1）2≥0，∴a﹣2=0，3b+1=0，解得a=2，b=﹣．点评：本题考查了两个知识点：完全平方公式的逆用；平方数非负数的性质．12、试求出所有整数n，使得代数式2n2+n﹣29的值是某两个连续自然数的平方和．考点：完全平方式。
专题：计算题；配方法。
分析：先设两个连续自然数是x、x+1，然后根据题意列出方程，然后解以x为未知数的一元二次方程，然后利用多次方程有整数根的条件来解．解答：解：设两个连续自然数是x、x+1，则根据题意知2n2+n﹣29=x2+（x+1）2，化简为2x2+2x+30﹣2n2﹣n=0 ①∴x==②因为x是自然数，所以4n2+2n﹣59必为某个整数的平方（完全平方数），因此设4n2+2n﹣59=k2③∴n==④因为n是整数，所以4k2+237必为某个整数的平方（完全平方数），设4k2+237=a2⑤则有a2﹣4k2=237，即（a+2k）（a﹣2k）=237，所以有或，解之得或由⑤式得4k2+237=1192或412，代入④式得n1=10，n2=﹣30，∴符合条件的整数n是10或﹣30．点评：本题主要考查了利用完全平方式的应用．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．13、试说明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式．考点：完全平方式。