16章作业参考答案

16章作业参考答案16-1．如图所示，金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B 的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。

当圆环以恒定速度v 在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。

解：（1）由法拉第电磁感应定律i d dtεΦ=-，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感应电动势0i ε=；（2）利用()aab bv B dl ε=⨯⋅⎰，有：22ab Bv R Bv R ε=⋅=。

(注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变)16-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=，在与其相距cm 5.0=d 处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ，宽cm 0.2=a 。

不计线圈自感，若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？解法一：利用动生电动势公式。

由0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得：02IB rμπ=，考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势，近端部分：11NB l v ε=，远端部分：22NB lv ε=， 则： 12εεε=-=v l ad d I N )11(20+-πμ＝=+)(20a d d v l Ia N πμ 6.86×10-6V 。

解法二：利用法拉第电磁感应定律。

首先用0lB dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得：02IB rμπ=， 则矩形线圈内的磁通量为：xa x l I ldr r I S d B a x x +=⋅=⋅Φ⎰⎰+ln 2200πμπμ ＝，由i d Nd t εΦ=-，有：dtdx x a x a Il N dt dx x a a x x l I N i ⋅+=-+-)(2)(2020πμπμε＝ ∴当x d =时，有：。

＝V da d lavI N i 601086.6)(2-⨯=+πμε（注意：求Φ时x 是常量，求ε时x 是变量，且v=dx/dt ）16-3．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120， 几何尺寸及位置如图所示。

求当圆弧形导线以速度v 平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB 直导线的电动势相等。

建立坐标系0x (如下图) ，则200()ln 222RAO RIv I vv B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰， 500225()ln 224R OB RIv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰， ∴05ln 22AB AO OB Iv μεεεπ=+=-。

解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为θ，那么，00022(2cos )2(2cos )I I IB x R R R μμμππθπθ===--，再由()v B dl ε=⨯⋅⎰有： sin d B Rd v εθθ=⋅⋅，∴2030sin 2(2cos )IRv d R πμεθθπθ=-⋅-⎰05ln 22Iv μπ=-。

16-4．电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按0sin B B t ω=的规律变化。

已知cm 10=a ，T 10220-⨯=B ，rad/s 50=ω，Ω=10R ，求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

2220(4)3cos i d d Ba a a B t dt dtεπππωωΦ=-=--⋅+=， ∴203cos ia B tI R Rεπωω== A R B a I 32202max1042.910501021.033--⨯=⨯⨯⨯⨯==πωπ。

16-6．如图所示，半径为a 的长直螺线管中，有0d d >tB的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭合回路ABCDA，总电阻为R ，上底为a ，下底为a 2，求：（1）AD 段、BC 段和闭合回路中的感应电动势；（2）B 、C 两点间的电势差C B U U -。

AOBθ解：（1）首先考虑OAD ∆，有效面积为21224OAD S a a a ∆=⋅=，∴2OAD d dB dB S d t d t d tε∆Φ=-=-⋅=⋅感1， 而DA lAOODADDAEd l E d l E d l E d l E d l εε=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰涡涡涡涡涡感1∴234AD d Ba d tε=⋅； 再考虑OBC ∆，有效面积为2123OAD S a π=⋅扇，∴26dB a d t πε=-⋅感2， 同理可得：26BC dBa d tπε=⋅；那么，梯形闭合回路的感应电动势为：2(6BC AD dBa d tπεεε=-=⋅，逆时针方向。

（2）由图可知，AB CD a ==，所以，梯形各边每段a 上有电阻5Rr =，回路中的电流：2(64a d BI R R d tεπ==-⋅，逆时针方向； 由全电路欧姆定律 r I U U B C 2)(⋅+-＝ε （2r 为电源内阻）则有 2225B C BC BC dBU U I r I R a dtεε-=⋅-=⋅-=-⋅。

16-8．一螺绕环，每厘米绕40匝，铁心截面积2cm 0.3，磁导率0200μμ=，绕组中通有电流mA 0.5，环上绕有二匝次级线圈，求：（1）两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组中的电流在s 10.0内由A 0.5降低到0，次级绕组中的互感电动势。

解：已知4040000.01n ==初匝，2N =次，50200810μμπ-==⨯，42310S m -=⨯。

（1）由题意知螺绕环内：B nI μ=，则通过次级线圈的磁链： N BS N n I S ψμ==次次次，∴54428104000310 6.0310M N nS H I ψμπ---===⨯⨯⨯⨯⨯=⨯次初；（2）42506.0310 3.02100.1I M V t ε--∆-==⨯⨯=⨯∆初次。

16-10．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N 匝，求此螺绕环的自感。

解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：012()2N I B R r R rμπ=<<则SB d S Φ=⋅⎰⎰，有：210201ln22R R N I h R N Ih dr r R μμππΦ=⋅⋅=⎰利用自感定义式：L I ψ=，有：L =2021ln2N h R R μπ。

16-12．一圆形线圈A 由50匝细导线绕成，其面积为4cm 2，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm 的圆形线圈B 的中心，两线圈同轴。

设线圈B 中的电流在线圈A 所在处激发的磁场可看作匀强磁场。

求： （1）两线圈的互感；（2）当线圈B 中的电流以50A/s 的变化率减小时，线圈A 中的感生电动势的大小。

解：设B 中通有电流I ，由圆电流在圆心处的磁感应强度公式，则在A 处产生的磁感应强度为：BB R IN B 20μ＝（1）A 中的磁通链为：02A B A A A A BN N IN BS S R μψ==⋅。

则：02A B AABBN N S M I R μψ==，∴7476410501004102010 6.281020.2M H ππ----⨯⋅⋅⋅⨯==⨯=⨯⋅。

（2）∵0646.281050 3.14102A B A A B N N S d d IV d t R dtμψ--=⋅=⨯⋅=⨯,∴43.1410A V ε-=⨯。

16-14．一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为1R 和2R ，导体圆柱的磁导率为1μ，筒与圆柱之间充以磁导率为2μ的磁介质。

电流I 可由中心圆柱流出，由圆筒流回。

求每单位长度电缆的自感系数和单位长度磁能。

解：考虑到212m W LI =和22m B w μ=，可利用磁能的形式求自感。

由安培环路定理，易知磁场分布：112121212()()22B r R B R r R I r R I r μπμπ⎧=<⎪⎪⎨⎪=≤<⎪⎩则：22121222m m B B W w dV dV dV μμ==+⎰⎰⎰∴单位长度的磁能为：12112222011211()2()22222R R m R Ir I W rdr rdr l R r μμππμπμπ=⋅+⋅⎰⎰221221ln164I I R R μμππ=+，（“2πr l ”中的“l ”被消掉了）利用2/2m W LI =，有单位长度自感：1221ln82R L R μμππ=+。

16-16. 在一对巨大的圆形极板（电容121.010C F -=⨯）上，加上频率为50Hz ，峰值为51.7410V ⨯的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。

解：设交变电压为：cos m u U t ω=，利用位移电流表达式：D d q I d t=， 有： sin D m duI C CU t d tωω==-，而2f ωπ=， ∴1255225010 1.7410 5.4610Dm m I f CU A ππ--==⨯⨯⨯⨯=⨯。

思考题16参考答案16-2．如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。

（a ）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路abcd ，以ab ε表示在导体ab 段上产生的感生电动势，I 表示回路中的感应电流，则A ．00==I ab ε；B ．00≠=I ab ε；C ．00=≠I ab ε； D ．00≠≠I ab ε。

（b ）位于圆形区域直径上的导体棒ab 通过导线 与阻值为R 的电阻连接形成回路，以ab ε表示在 导体ab 段上产生的感生电动势，I 表示回路中的 感应电流，则：A ．00==I ab ε；B ．00≠=I ab ε；C ．00=≠I ab ε； D ．00≠≠I ab ε。

答：（a ）选C ；（b ）选B 。

16-4．一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样?答：（1）利用位移电流表达式：D d qI d t=，由于平板电容器充电以后断开的电源，所以q 在电容器两极板拉开过程中不变化，有0D I =； （2）有位移电流，电容器两端维持恒定电压，两极板间距增加时场强变小，q 下降且引起σ下降，使位移电流降低。