高考数学讲义：不等关系与不等式(原卷版)

第12讲：不等关系与不等式【学习目标】

1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.

2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．

【基础知识】

基本事实

两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.

依据

a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0

结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小

【考点剖析】

考点一：不等式组表示不等关系

例1．为了全面贯彻党的教育方针，落实“立德树人”的根本任务，切实改变边远地区孩子上学难的问题，某市政府准备投资1800万元兴办一所中学.经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是___________.

变式训练1：《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________.

变式训练2：A杯中有浓度为%

a的盐水x克，B杯中有浓度为%b的盐水y克，其中A杯中的盐水更咸一些．若将A、B两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为___________．

变式训练3：已知b 克盐水中含有 0a b a 克盐，若给盐水加热，蒸发了 0m m b a 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：______.

考点二：作差法比较大小（一）

例2．比较231x x 与221x x 两个代数式的大小：；

变式训练1：已知2253M x x ，242N x x ，则M ________N （用>，<，=填）

变式训练2：试比较 15x x 与 2

3x 的大小.变式训练3：比较3x 与21x x 的大小；

考点三：作差法比较大小（二）

例3．证明不等式：

（1）设0,0a b ，求证：3322a b ab a b ；

（2）设,x y R ，求证：2252(2)x y x y .

变式训练1：若221a x ，22b x x ，3c x ，比较a ，b ，c 的大小.

变式训练2：已知a，b R ，比较22a b 与245a b 的大小．

变式训练3：已知0a b ，比较22a b b a 与11a b

的大小.考点四：作商法比较大小

例4．设 121

p a a ，21q a a ，则（）A．p q B．p q C．p q

D．p q 变式训练1：2211,,()1

P a a Q a R a a ，则,P Q 的大小关系为_______．

变式训练2：已知0a ，0b ，试比较

变式训练3：设0a b ，比较22

22a b a b

与a b a b 的大小【过关检测】

1、已知,a b R ，则2252a b _______42ab a ．（用“>”或“<”填空）

2、已知0x ，则 2

21x 与421x x 的大小关系为_______.

3、设222m a a ， 2

1n a ，则m ，n 的大小关系是______.4、已知241M a a ，122

N a ，则M ________N .（填“>”或“<”）5、已知231M a a ，122N a

，则M________N．（填“>”或“<”）6、设x R ，231M x x ，21N x x ，则M 与N 的大小关系为________.

7、已知a ，b 为实数，则2

21214a b ______2ab a ．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）8、设2,1M x N x ，则M 与N 的大小关系是________.

9、若 23x a a ， 34y a a ，则x 与y 的大小关系是__________.

10、已知1x ，比较36x x 与26x 的大小.

11、若0x ，试比较251x 和2331x x 的大小；

12、设a 、b 为实数，比较22a b 与448a b 的值的大小.

13、比较221x y 与 21x y 的大小；

14、x R ，比较2(1)(1)2x x x 与 2(112

x x x 的大小．15、设a ，b 为实数，比较22a b 与1ab a b 的大小．

16、已知0a ，0b ，试比较11a b M a b 与11b a N a b

的大小．

17、已知,R a b

的大小．

18、若0a b ，0c d ，0e ，试比较 2e a c 与 2e b d 的大小.

19、先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .

（1）求1Q ，2Q 的表达式（用1

2p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算.

20、甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.

（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；

（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b ，问甲、乙谁的购物比较经济合算.