人教版数学高二A版选修4-1目标导引第三讲三平面与圆锥面的截线

高中数学-打印版
三平面与圆锥面的截线
一览众山小
学习目标
1.了解不平行于底面的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线.
2.通过电脑演示，感受平面截圆锥的形状，并从理论上证明.
3.通过Dandelin双球探求双曲线的性质，理解这种证明问题的方法.
学法指导
学习本节内容之前，可先复习立体几何中平面截圆锥的截面形状，复习选修1-1的圆锥曲线的知识.
对于平面截圆锥面的形状，可以借助于电脑，增强形象性的理解，对于圆锥形物体的斜截口是椭圆、双曲线、抛物线的证明，可先理解平面上的情况，再推广到空间，这样在学习中能够降低难度.
诱学指导
材料：我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上.如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行.人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理.相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了.因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式.
问题：将双曲线、抛物线分别绕其虚轴旋转，得到什么形状的图形，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到什么图形？
导入：由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面.它也有一条轴，即抛物线的轴.在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线.这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理.
图3-3-1
由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交.
人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固.
用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图3-3-1所示.
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