圆的基本性质-辅助线作法
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
圆的辅助线作法详讲
初中数学“圆中辅助线”添法探究弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的同旁. 过O 作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则AE=12 AB=3.连结OA 、OC. ∵AB ∥CD,∴OE ⊥CD 于F ，则EF 是平行弦AB 、CD 间的距离. 在Rt △OEA 中，由OA=5,AE=3得OE=3522=4.同理可得OF=3.∴EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的两旁. 过O 点作OE ⊥AB 于E ，延长EO 交CD 于F. 连结OA 、OC.∵AB ∥CD ，则EO ⊥CD 于F. ∴EF 是平行弦AB 、CD 间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7. 启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理， 依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC,△ABD 的外接圆交BC 于E.求证:AD=EC.分析:连结DE ，由圆周角∠1=∠2,可得AD=DE. 欲证AD=EC ，只要证DE=EC 即可.证明:连结DE.∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2,∴AD=DE.又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵∠3是圆内接四边形ABED的外角,∴∠3=∠ABC.∴∠3=∠C,∴DE=EC,∴AD=EC.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.证明:连结BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90º，△BDC为Rt△.又∵∠ABC=90º，AB是☉O的直径，∴BC切☉O于点B.又∵DE切☉O于D,∴BE=DE，则∠BDE=∠DBE.∵∠1+∠BDE=90º，∠C+∠DBE=90 º,∴∠1=∠C，∴DE=EC.∴BE=EC.启示:有关圆中直径，常构造直径所对的圆周角是直角添加辅助线. 四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在Rt △ABC 中,∠C=90º,BC 是☉O 的直径，AB 交☉O 于D ，DE 切☉O 于D ，交AC 于E. 求证：OE ∥BA.证明:连结OD.∵DE 切☉O 于D, ∴∠EDO=90 º.又∵∠C=90 º，OC=OD ， OE=OE, ∴Rt △ECO ≌RtEDO. ∴∠1=∠2= 12 ∠COD.又∵∠B= 12 ∠COD,∴∠1=∠B. ∴OE ∥BA.例5 已知:如图点O ′为∠AOB 角平分线上一点,以O ′为圆心作☉O ′与OA 相切于点E. 求证:☉O ′与OB 相切.证明:过点O ′作O ′F ⊥OB 于F ，连结O ′E. ∵OA 切☉O ′于点E,∴O ′E ⊥OA 于点E;O ′E 为☉O ′的半径. 又∵点O ′为∠AOB 角平分线上的点, ∴O ′E=O ′F.∴☉O′与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例 6 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D 四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则∠BPM=∠A，∠CPM=∠D.∵∠APD+∠A+∠D=180º,∴∠APD+∠BPM+∠CPM=180º.∵∠BPM+∠CPM=∠BPC,∴∠APD+∠BPC=180º.例7 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:∠APB=∠CPD.证明:过点P作公切线TP.则∠APT=∠D ,∠BPT=∠BCP.∵∠APB=∠BPT-∠APT,∠CPD=∠BCP-∠D,∴∠APB=∠CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8 已知:☉O1与☉O2相交于A、B两点,E为☉O1上的一点,EF 切☉O1于点E,EA、EB的延长线交☉O2于C、D两点.求证:EF∥CD.证明:连结AB，则∠1=∠2.∵四边形ABDC是☉O2的内接四边形,∴∠2=∠D.∴∠1=∠D.∴EF∥CD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9 已知:如图,在Rt△AOC中，直角边OA在X轴负半轴上，OC 在Y轴正半轴上，点F在AO上,以点F为圆心的圆与Y轴、AC边相切，切点分别为O、D,☉F与X轴的另一个交点为E.若tanA=34,☉F的半径为32. （1）、求过A 、C 两点的一次函数解析式；（2）、求过E 、D 、O 三点的二次函数解析式； （3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上.分析：解本题（1）（2）两问的关键是求A 、C 、E 、D 、O 五个点 的坐标.解：（1）过切点D 作☉F 的半径DF ，则∠ADF=90º. 在Rt △ADF 中，由tanA=34 和半径DF=32 得AD=2.∴AF=AD 2+DF 2= 52，则AO=AF+FO=4.在Rt △AOC 中，由AO=4和tanA=34，得OC=3，AC=5.则A 、C 两点的坐标为:A （-4，0），C （0，3）. 设:所求一次函数解析式为y=kx+b. 由A 、C 两点的坐标求得k=34 ，b=3.∴所求一次函数的解析式为:y=34x+3.(2)过点D 作DG ⊥AO 于G ，则Rt △ADG ∽Rt △ACO. ∴AD AC =DG CO ，即25 =DG 3 得DG=65 .由于点D 在AC 上， 把DG=65 代入y=34 x+3，可求得D 点的横坐标为:- 125.∵OE=2OF=2×32=3,∴E 、D 、O 三点的坐标为:E （-3，0），D （- 125 ，65 ）、0（0，0）.设:过E 、D 、O 三点的二次函数解析式为y=ax 2+bx+c.则: 9a-3b+c=0, a=- 56,14425 a- 125 b+c= , b=- 52 , c=0, c=0 . ∴所求二次函数解析式为:y=- 56 x 2- 52x.（3）由y=- 56 x 2 - 52 x 易得抛物线的顶点坐标为:（- 32 ，158 ）.经检验得,点（- 32 ，158 ）在直线y = 34 x + 3上.∴抛物线y=- 56 x 2 - 52x 的顶点在直线AC 上.启示:本题的辅助线是通过图形特征，挖掘题中的明显和隐含条件，而达到目的.综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.[课后冲浪]一、证明解答题16．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．17．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.18．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.ABCDO E19．如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？20．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.A21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.22．如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．23．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.A...N三、探索题24．已知：图a，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：（1）DC是⊙O的切线，（2）过D点作DE⊥AB，图b所示，交AC于P点，请考察P点在DE的什么位置？并说明理由.B 图aB 图b。
圆中常用辅助线的作法
圆中常用辅助线的作法1．圆中作辅助线的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。
（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。
（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。
（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段。
（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。
（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。
（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。
（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
说明，由直径及等腰三角形想到作直径上的圆周角。
3. 当圆中有切线常连结过切点的半径或过切点的弦说明，由过切点的半径垂直于切线想到连结半径说明，由有切线且在同圆中等弧所对的圆周角相等想到连结弦。
4.当两圆相切，可作公切线或连心线说明，由需证弦平行且弦切角等于其所夹弧对的圆周角想到作公切线和作弦。
说明，由连心线必过切点可构造三角形证全等想到作连心线。
5．当两圆相交，可作公共弦或连心线。
说明，由两圆相交及用到弦切角和圆内接四边形想到作公共弦。
说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
6．有半圆，可作整圆说明，由平分弦的直径必平分弦所对的弧想到补全圆。
圆形辅助线的做法
圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
圆部分规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD证明:过O作OE⊥AB于E∵O为圆心，OE⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O 的半径.规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：证明：（一）连结OC、OD∵M、N分别是AO、BO的中点∴OM = 12AO、ON =12BO∵OA = OBOE DC BAPOB A∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴规律90.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM ∵∠AMN = 90o －∠OMN∠CNM = 90o－∠ONM∴∠AMN =∠CNM规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B.求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P=∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N∴AC = BD规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例：如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴ AB BC= ONM DC BAON MD C B APO 2O 1NMDCB AOE DC BA∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE规律93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 规律94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O 于D ，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12AP 练习：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA = 90o ,以BC 为直径的⊙O 交AB于E ，D 为AC 中点，连结BD 交⊙O 于F.求证：BC CFBE EF规律96.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角. 规律97.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，交点为E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 、E 在BC 边上，且BD = CE ，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图）规律98.有弦中点时，常构造三角形中位线.例：已知，如图，在⊙O 中，AB ⊥CD ，OE ⊥BC 于E ，求证：OE =12AD证明：作直径CF ，连结DF 、BF∵CF 为⊙O 的直径 ∴CD ⊥FD 又∵CD ⊥ABPO DC B A2题图G OFED C B A211题图F MO E DCB A∴AB ∥DF∴ AD BF= ∴AD = BF ∵OE ⊥BC O 为圆心 CO = FO ∴CE = BE∴OE =12BF∴OE =12AD规律99.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠FAC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB·AC = AD·AE 证明：连结BE∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1∴∠3 =∠2 ∵四边形ACBE 为圆内接四边形∴∠ACD =∠E ∴△ABE ∽△ADC ∴AE ABAC AD = ∴AB·AC = AD·AE规律100.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F.求证：CE ∥DF 证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C 同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o∴∠C ＋∠D = 180o∴CE ∥DF规律101.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例1：如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结PA 、PB.求证：PA 、PB 为⊙O 的切线证明：连结OA∵PO 为直径∴∠PAO = 90o∴OA ⊥PAO FE DC B A321O FED CB A O 2O1F E DCBAP OB A∵OA 为⊙O 的半径 ∴PA 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例2：如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于 F∵OE 为半径，AB 为小圆的切线 ∴OE ⊥AB ∵OF ⊥CD, AB = CD ∴OF = OE∴CD 为小圆的切线练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E, 求证：PE 是⊙O 的切线规律102.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例：如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o ，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长. 解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC ∴OE AOBC AB= 在Rt △ABC 中，AB = 222212915AC BC +=+=∴15915OE AB OB OEAB --== ∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454 ∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CD1．圆中作辅助线的常用方法：OFED C B A P OE C B AOE D C B APOE D C B A（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。
(完整版)圆中常见辅助线作法分类大全
1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或许连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用： 1 、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙ O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 订交于点 M ，求证：PM ?PN=2PO 2.剖析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC =PO 2，过 O 点作 OC⊥PN 于 C，依据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2只需证明 Rt△ POC∽Rt △ PMO.1证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=PN2∵PO⊥ AB, OC ⊥PN ，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° .又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.∴ PO PC即∴ PO2 = PM?PC.∴ PO2= PM ?1PN，∴ PM ?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如图，已知△ ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。
AOB C【例 2】如图，⊙ O的直径为10，弦 AB＝8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________ ．【例 3】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C 在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.2． 碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。
例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1） 求证： BA · BM=BC · BN ；（ 2） 假如 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．剖析：要证 BA · BM=BC · BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，因此需要△ NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，因此连结 MN 可得∠ BMN=90 °。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
圆中常用辅助线
详细描述
切线长定理指出，从圆外一点引出的两条切线，它们的切线长相等。为了证明这个定理，我们可以作 过圆心和圆外一点的连线，这条连线将平分两条切线的切点。因此，在解题时，如果需要证明切线长 相等或证明某条线段被平分，可以考虑通过作辅助线来应用切线长定理。
离等于半径得$frac{| kr|}{sqrt{k^{2} + 1}} = r$，解得 $k = - frac{1}{2}$，切线方程为
$2x + y - r = 0$。
练习题三
题目：过圆外一点作圆的两 条切线，求两切点的连线所 在直线的方程。
答案与解析
当两切点的连线所在的直线 斜率不存在时，即直线垂直 于x轴，方程为$x = a$。
03 圆中常用的辅助线作法
作半径，连接半径
总结词
通过作半径，我们可以连接圆中的任意两个点，从而利用圆的性质来解决问题。
详细描述
在圆中，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。通过作半径，我们可以将圆中 的两个点连接起来，从而利用圆的性质，如半径相等、圆心角等于圆周角等来解 决问题。
作直径所对的圆周角，构造直角三角形
总结词
通过作直径所对的圆周角，我们可以构造直角三角形，从而 利用勾股定理等来解决与圆相关的问题。
详细描述
在圆中，直径所对的圆周角是直角。通过作直径所对的圆周 角，我们可以构造一个直角三角形，从而利用勾股定理、三 角函数等数学知识来解决问题。
作切线，构造全等三角形
总结词
通过作切线，我们可以构造全等三角 形，从而利用三角形的性质来解决与 圆相关的问题。
详细描述
在圆中，切线与半径垂直。通过作切 线，我们可以构造一个与圆相切的全 等三角形，从而利用三角形的性质， 如SAS全等定理、中位线定理等来解 决问题。
圆中常见的辅助线
圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
例：如图,在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。
求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD练习：如图,AB 为⊙O 的弦,P 是AB 上的一点，AB = 10cm,PA = 4cm 。
求⊙O 的半径。
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证: AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB ∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD =(二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD =3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点，AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明:连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o－∠OMN ∠CNM = 90o －∠ONM∴∠AMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。
圆中常见的辅助线的作法分类大全
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM •PN=2PO 2.分析：要证明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC =PO 2，过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM •PC=PO 2，要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC=21PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那么OP 的长的取值范围是_________．【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是________.CBBA2． 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
例 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90（1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB ∴BN AB BMBC∴AB ·BM=BC ·BN（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90° ∵N 为OC 中点∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60° ∵OM=OB ，∴∠B=21∠MON=30° ∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3． 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线的常见添法圆的辅助线是在解决圆相关问题时常用的一种方法，通过引入辅助线，可以使问题更加清晰明了，便于解题。
本文将介绍几种常见的圆的辅助线添法。
一、直径直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段。
在解决问题时，可以通过引入直径来辅助解题。
例如，可以通过引入直径将圆分成两个半圆，使得问题的解法更加简单。
二、半径半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
在解决问题时，可以通过引入半径来辅助解题。
例如，可以通过引入半径将圆分成多个扇形，从而得到问题的解答。
三、切线切线是与圆有且仅有一个交点的直线。
在解决问题时，可以通过引入切线来辅助解题。
例如，可以通过引入切线将圆分割成两个部分，从而得到问题的解答。
四、割线割线是与圆有两个交点的直线。
在解决问题时，可以通过引入割线来辅助解题。
例如，可以通过引入割线将圆分成多个部分，从而得到问题的解答。
五、弦弦是圆上任意两点之间的线段。
在解决问题时，可以通过引入弦来辅助解题。
例如，可以通过引入弦将圆分成多个扇形或三角形，从而得到问题的解答。
六、垂直线垂直线是与圆的切线垂直的直线。
在解决问题时，可以通过引入垂直线来辅助解题。
例如，可以通过引入垂直线将圆分割成更简单的形状，从而得到问题的解答。
七、弧弧是圆上两点之间的一段曲线。
在解决问题时，可以通过引入弧来辅助解题。
例如，可以通过引入弧将圆分成多个扇形，从而得到问题的解答。
八、切割切割是将圆分割成多个部分。
在解决问题时，可以通过引入切割来辅助解题。
例如，可以通过引入切割将圆分成若干个小部分，从而得到问题的解答。
九、平行线平行线是与圆的切线平行的直线。
在解决问题时，可以通过引入平行线来辅助解题。
例如，可以通过引入平行线将圆切割成更简单的形状，从而得到问题的解答。
总结：圆的辅助线是解决圆相关问题时常用的方法之一。
通过引入直径、半径、切线、割线、弦、垂直线、弧、切割和平行线等辅助线，可以使问题更加清晰明了，便于解题。
在解题过程中，可以根据具体情况选择合适的辅助线，并运用几何性质和数学方法解决问题。