高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.3 直线与平面的夹角-3.2.4 二面角及其度量

射影 最小的角
知识点二
二面角及理解
思考
如何找二面角的平面角？ 答案 定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选
择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识.
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角.
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作
2.线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直
|a· n| 线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝ . |a|· |n|
本课结束
仅做学习交流，谢谢！
语文：初一新生使用的是教育部编写 的教材 ，也称 “部编 ”教材 。“部 编本” 是指由 教育部 直接组 织编写 的教材 。“部 编本” 除了语 文，还 有德育 和历史 。现有 的语文 教材， 小学有 12 种版 本，初 中有 种 版本。 这些版 本现在 也都做 了修订 ，和“ 部编本 ”一同 投入使 用。“ 部编本 ”取 代原来 人教版 ，覆盖 面比较 广，小 学约占 50% ，初 中约占 60% 。 今秋， 小学一 年级新 生使用 的是语 文出版 社的修 订版教 材，还 是先学 拼音， 后学识 字。政 治：小 学一年 级学生 使用的 教材有 两个版 本，小 学一年 级和初 一的政 治教材 不再叫 《思想 品德》 ，改名 为《道 德与法 治》。 历史： 初一新 生使用 华师大 版教材 。历史 教材最 大的变 化是不 再按科 技、思 想、文 化等专 题进行 内容设 置，而 是以时 间为主 线，按 照历史 发展的 时间顺 序进行 设置。 关于部 编版， 你知道 多少？ 为什么 要改版 ？跟小 编一起 来了解 下吧！ 一新教 材的五 个变化 一、入 学以后 先学一 部分常 用字， 再开始 学拼音 。汉字 是生活 中经常 碰到的 ，但拼 音作为 一个符 号，在 孩子们 的生活 中接触 、使用 都很少 ，教学 顺序换 一换， 其实是 更关注 孩子们 的需求 了。先 学一部 分常用 常见字 ，就是 把孩子 的生活 、经历 融入到 学习中 。二、 第一册 识字量 减少， 由 400 字减少 到 300 字 。第一 单元先 学 40 个 常用字 ，比如 “地” 字，对 孩子来 说并不 陌生， 在童话 书、绘 本里可 以看到 ，电视 新闻里 也有。 而在以 前，课 文选用 的一些 结构简 单的独 体字， 比如“ 叉”字 ，结构 比较简 单，但 日常生 活中用 得不算 多。新 教材中 ，增大 了常用 常见字 的比重 ，减少 了一些 和孩子 生活联 系不太 紧密的 汉字。 三、新 增“快 乐阅读 吧”栏 目，引 导学生 开展课 外阅读 。教材 第一单 元的入 学教育 中，有 一幅图 是孩子 们一起 讨论《 西游记 》等故 事，看 得出来 ，语文 学习越 来越重 视孩子 的阅读 表达， 通过读 故事、 演故事 、看故 事等， 提升阅 读能力 。入学 教育中 第一次 提出阅 读教育 ，把阅 读习惯 提升到 和识字 、写字 同等重 要的地 位。四 、新增 “和大 人一起 读”栏 目，激 发学生 的阅读 兴趣， 拓展课 外阅读 。有家 长担心 会不会 增加家 长负担 ，其实 这个“ 大人” 包含很 多意思 ，可以 是老师 、爸妈 、爷爷 、奶奶 、外公 、外婆 等，也 可以是 邻居家 的小姐 姐等。 每个人 讲述一 个故事 ，表达 是不一 样的， 有人比 较精炼 ，有人 比较口 语化， 儿童听 到的故 事不同 ，就会 形成不 同的语 文素养 。五、 语文园 地里， 新增一 个“书 写提示 ”的栏 目。写 字是有 规律的 ，一部 语文：初一新生使用的是教育部编写 的教材 ，也称 “部编 ”教材 。“部 编本” 是指由 教育部 直接组 织编写 的教材 。“部 编本” 除了语 文，还 有德育 和历史 。现有 的语文 教材， 小学有 12 种版 本，初 中有 88 种 版本。 这些版 本现在 也都做 了修订 ，和“ 部编本 ”一同 投入使 用。“ 部编本 ”取 代原来 人教版 ，覆盖 面比较 广，小 学约占 50% ，初 中约占 60% 。 今秋， 小学一 年级新 生使用 的是语 文出版 社的修 订版教 材，还 是先学 拼音， 后学识 字。政 治：小 学一年 级学生 使用的 教材有 两个版 本，小 学一年 级和初 一的政 治教材 不再叫 《思想 品德》 ，改名 为《道 德与法 治》。 历史： 初一新 生使用 华师大 版教材 。历史 教材最 大的变 化是不 再按科 技、思 想、文 化等专 题进行 内容设 置，而 是以时 间为主 线，按 照历史 发展的 时间顺 序进行 设置。 关于部 编版， 你知道 多少？ 为什么 要改版 ？跟小 编一起 来了解 下吧！ 一新教 材的五 个变化 一、入 学以后 先学一 部分常 用字， 再开始 学拼音 。汉字 是生活 中经常 碰到的 ，但拼 音作为 一个符 号，在 孩子们 的生活 中接触 、使用 都很少 ，教学 顺序换 一换， 其实是 更关注 孩子们 的需求 了。先 学一部 分常用 常见字 ，就是 把孩子 的生活 、经历 融入到 学习中 。二、 第一册 识字量 减少， 由 400 字减少 到 300 字 。第一 单元先 学 40 个 常用字 ，比如 “地” 字，对 孩子来 说并不 陌生， 在童话 书、绘 本里可 以看到 ，��
问题导学
知识点一
直线与平面所成的角
思考
斜线和平面所成的角具有什么性质？ 答案 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有 直线所成角中最小的角，且cos θ＝cos θ1cos θ2.(如图)
梳理 (1)直线与平面所成的角
90
O
0
O
射影
(2)最小角定理
cos θ＝cos θ1· cos θ2
3 3 设正四面体的棱长为 a，则 OB＝ a，∠ABO 为所求角，cos∠ABO＝ . 3 3
1
2
3
4
4. 已知点 A(1,0,0) ， B(0,2,0) ， C(0,0,3) ，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二 2 答案 解析 面角的余弦值为________. 7
1
2
3
4
规律与方法
1.线面角可以利用定义在直角三角形中解决.
的夹角θ的余弦值. 解答
类型二 求二面角
例2 在 底 面 为 平 行 四 边 形 的 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， AB⊥AC ， PA⊥ 平 面
ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.
解答
反思与感悟
(1) 当空间直角坐标系容易建立 ( 有特殊的位置关系 ) 时，用向量法求解
用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空
间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量
法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.
跟踪训练 1
如图所示，已知直角梯形 ABCD ，其中 AB ＝ BC ＝ 2AD ，
AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD
(2)用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法
①如图，分别在二面角 α—l—β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向
量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角.
②如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与该二面角大小相等或互补.
题型探究
类型一 求直线与平面的夹角
解答
反思与感悟
法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致.
梳理
(1)二面角的概念
①二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分
都叫做半平面.从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二面角.
如图所示，其中，直线l叫做二面角的 棱 ，每个半平面叫做二面角的 面 ，
如图中的α，β.
②二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图， A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l. ③二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分 别作射线 OA⊥l，OB⊥l，则 ∠AOB 叫做二面角 α—l—β的平面角，如图所 示.由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关. ④直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角. ⑤二面角的范围是[0°，180°].
45°或135° 面角为_____________. 设二面角的平面角为θ，
1 2 ∵cos〈m，n〉＝ ＝ ，∴θ＝45° 或 135° . 2 1× 2
答案 解析
1
2
3
4
3 3 3.正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为________.
答案 解析
作AO⊥底面BCD，垂足为O，O为△BCD的中心，
二面角无需作出二面角的平面角 .只需求出平面的法向量，经过简单的
运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大
小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝 二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出， 二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量
学习目标
1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合 理性. 2.会求直线与平面的夹角θ. 3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图
形中的二面角的平面角.
4.掌握求二面角的基本方法、步骤.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
解答
当堂训练
1.在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面
ABC，点D在棱BB1上，且BD＝是
3 A. 2 10 C. 4
答案
解析
2 B. 2
√
6 D. 4
1