第2章函数概念与基本初等函数 (4)

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第二章 函数的概念与基本初等函数

第二章  函数的概念与基本初等函数

第二章 函数的概念与基本初等函数函数的概念及其表示1.下列各题的对应关系是否给出了实数集R 到R 上的一个函数,为什么? (1)f :13+→x x ; (2)g :1||+→x x ; (3)h :xx 1→; (4)r :x x →. 2.函数y =x (x -1)-lg 1x的定义域为A .{x |x >0}B .{x |x ≥1}C .{x |x ≥1或x <0}D .{x |0<x ≤1}3.设函数f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )的解析式是 A .2x +1 B .2x -1 C .2x -3 D .2x +74.下列各组函数表示相同函数的是A .f (x )=x 2,g (x )=(x )2B .f (x )=1,g (x )=0xC .⎩⎨⎧<-≥=00)(x x x x x f ,g(t)=|t| D .1)(+=x x f ,11)(2--=x x x g5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x+1,x <1,x 2+ax ,x ≥1,若f (f (0))=4a ,则实数a 等于A .12B .45C .2D .96.已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0,20,1)(2x x x x x f ,若使5)(=x f ,则=xA .2-B .2或25-C .2或2-D .2或2-或25- 7.下列函数中,值域为()+∞,0 的是 A .x y =B .2100+=x y C .xy 16=D .12++=x x y 8.(1)函数)(x f 的定义域为[]4,1,则)3(x f 的定义域是 ; (2)函数)2(+x f 的定义域为[]3,5-,则)(x f 的定义域是 .9.求函数xx x x f -+=||)1()(0的定义域.1.下列函数中,在区间()0,∞-上单调递增,且在区间()+∞,0上单调递减的函数为 A .21xy =B .x y 1= C .2x y = D .3x y = 2.函数222-+-=x x y 的单调递减区间是A .(]1,∞-B .[)+∞,1C .(]2,∞-D .[)+∞,2 3.已知函数ax y =和xby -=在()+∞,0上都是减函数,则函数a bx x f +=)(在R 上是 A .减函数且0)0(<f B .增函数且0)0(<f C .减函数且0)0(>f D .增函数且0)0(>f 4.函数xx f 1)(=在[)∞+,1上 A .有最大值无最小值 B .有最小值无最大值 C .有最大值也有最小值 D .无最大值也无最小值 5.函数[])3,0(2)(2∈-=x x x x f 的最大值M 与最小值m 的和等于 A .1- B .0 C .1 D .2-6.函数54)(2+-=mx x x f 在区间[)+∞-,2上是增函数,则有A .25)1(≥fB .25)1(=fC .25)1(≤fD .25)1(>f 7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1在R 上为增函数,则a 的取值范围是A .[-3,0)B .[-3,-2]C .(-∞,-2]D .(-∞,0)8.(1)函数)1||2(log )(221++-=x x x f 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .(2)函数1||2)(2++-=x x x f 的单调递增区间是 .9.求函数xx x x f 12)(2++=在x ∈[2,+∞) 上的最小值.10.求12)(2--=ax x x f 在区间[]2,0上的最大值.1.已知有四个命题: ①函数xy 1-=在定义域上单调递增;②偶函数的图象必定关于y 轴对称;③奇函数的图象必定通过原点;④若函数)(x f 既是奇函数,又是偶函数,则0)(=x f .其中真命题的个数是 A .0 B .1 C .2 D .32.若)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数,则cx bx ax x g ++=23)(A .是奇函数B .是偶函数C .既不是奇函数又不是偶函数D .既是奇函数又是偶函数 3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是A .y =1xB .y =e -x C .y =-x 2+1 D .y =lg|x |4.设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1-x ),则f ⎝⎛⎭⎫-52= A .-12 B .-14 C .14 D .125.设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ≥0时,f (x )=2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)=A .-3B .-1C .1D .36.已知)(x f 是R 上的偶函数,当()+∞∈,0x 时,1)(2-+=x x x f ,则当()0,∞-∈x 时,=)(x f .7.若函数||)(2a x x x f +-=为偶函数,则实数=a .8.设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x +1,则f ⎝⎛⎭⎫32=________.9.奇函数f (x )的定义域为[-2,2],若f (x )在[0,2]上单调递减,且f (1+m )+f (m )<0,则实数m 的取值范围是________.10.判断下列各函数的奇偶性: (1)f (x )=(x +1)1-x 1+x ; (2)f (x )=lg (1-x 2)|x -2|-2; (3))1ln()(2++=x x x f11.已知函数y =f (x )是R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f (a )≥f (2),求实数a 的取值范围.1.幂函数y =f (x )的图象过点(4,2),则幂函数y =f (x )的图象是2.幂函数)(322Z m x y m m∈=--的图象如图所示,则m 的值为A .-1<m <3B .0C .1D .23.下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是A .①31x y =,②y =x 2, ③21x y =,④y =x-1B .①y =x 3, ②y =x 2, ③21x y =, ④y =x -1C .①y =x 2, ②y =x 3, ③21x y =, ④y =x-1D .①31x y =,②21x y =,③y =x 2, ④y =x -14.函数y =ax 2+a 与y =ax (a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是5.二次函数y =-x 2+4x +t 图象的顶点在x 轴上,则t 的值是A .-4B .4C .-2D .26.对于任意a ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 的值恒大于零,那么x 的取值范围是A .(1,3)B .(-∞,1)∪(3,+∞)C .(1,2)D .(3,+∞) 7.已知函数f (x )=ax 2+2ax +1在区间[-1,2]上有最大值4,则实数a 的值为________.8.二次函数f (x )的二次项系数为正,且对任意x 恒有f (2+x )=f (2-x ),若f (1-2x 2)<f (1+2x -x 2),则x 的取值范围是________.9.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),x ∈R .若函数f (x )的最小值为f (-1)=0,求f (x )的解析式,并写出单调区间.1.化简65312121132)(abba b a ---⋅)0,0(>>b a 的结果是A .aB .abC .b a 2D.a1 2.函数12-=x y 的定义域是A .()0,∞-B .(]0,∞-C .[)∞+,0D .()∞+,0 3.函数y =a x -a (a >0,且a ≠1)的图象可能是A B C D4.设52)53(=a ,53)52(=b ,52)52(=c ,则a ,b ,c 的大小关系是A .a >c >bB .a >b >cC .c >a >bD .b >c >a 5.设a =40.8,b =80.46,c =⎝⎛⎭⎫12-1.2,则a ,b ,c 的大小关系为A .a >b >cB .b >a >cC .c >a >bD .c >b >a6.设函数f (x )定义在实数集上,它的图象关于直线x =1对称,且当x ≥1时,f (x )=3x -1,则有A .f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B .f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13C .f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D .f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13 7.函数)10()(≠>=a a a x f x 且在区间[]2,1上的最大值与最小值的和为6,则=a . 8.已知0≤x ≤2,则523421+⋅-=-x x y 的最大值为________.9.求值:012132)32()25(10)002.0()827(-+--+----.10.解下列不等式: (1)2)21(2>x; (2).16.022>-x ;1.已知函数x x f 3log )(=,则=)33(f A .31 B .31- C .21 D .21- 2.设3log 21=a ,3.0)31(=b ,312=c ,则c b a ,,的大小关系是A .c b a <<B .a b c <<C .b a c <<D . c a b << 3.若)12(log 1)(21+=x x f ,则f (x )的定义域为A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0B .⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,0C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞ D .(0,+∞)4.函数)4(log 12≥+=x x y 的值域是A .[)∞+,2B .()∞+,3C .[)∞+,3D . ()+∞∞-, 5.已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=9,811log 2)(3x x x f ,则)(x f 的最小值为 A .2- B .3- C .4- D . 0 6.函数)4(log )(221-=x x f 的单调递增区间是A .()∞+,0B .()0,∞-C .()∞+,2D .()2,-∞- 7.函数)3(log )(-=ax x f a 在[]3,1上单调递增,则a 的取值范围是A .()∞+,1B .()1,0C .⎪⎭⎫⎝⎛31,0 D .()∞+,3 8.=⨯4log 27log 32________.9.已知函数⎩⎨⎧>≤=-1,log 1,2)(81x x x x f x ,则满足41)(=x f 的x 的值为 .10.计算下列各式的值:(1)4log 9log 5.12lg 85lg 21lg 38⋅-+-; (2)211log 522(lg5)lg 2lg502.+++11.求函数)2(log log )(22x x x f ⋅=的最小值.函数的图像1.函数|1|)21(+=x y 的大致图象为2.在同一坐标系内,函数)0(≠=a x y a 和aax y 1-=的图象可能是A B C D3.函数)(x f y =的图象如图所示,则函数)(log 21x f y =的图象大致是4.函数x x f ln 2)(=的图象与函数54)(2+-=x x x g 的图象的交点个数为A .3B .2C .1D .05.若02log <a (10≠>a a 且),则函数)1(log )(+=x x f a 的图象大致是6.作出下列函数的图象:(1)||)21(x y =; (2)|)1(log |y 2+=x ; (3)112--=x x y ; (4)1||22--=x x y .函数与方程1.判断下列结论的正误.(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点;(2)函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点(函数图象连续不断),则0)()(<⋅b f a f ; (3)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在042<-ac b 时没有零点; (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值;(5)若函数)(x f y =在区间),(b a 内,有0)()(<⋅b f a f 成立,那么函数)(x f y =在),(b a 内有唯一的零点。

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.2.函数的最值前提设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;(2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M(3)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ;(4)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?提示对∀x 1,x 2∈D ,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数,减函数类似.2.写出对勾函数y =x +ax (a >0)的增区间.提示(-∞,-a ]和[a ,+∞).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)<f (3),则函数f (x )在R 上为增函数.(×)(2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×)(3)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.(×)(5)所有的单调函数都有最值.(×)题组二教材改编2.函数f (x )=x 2-2x 的单调递增区间是____________.答案[1,+∞)(或(1,+∞))3.函数y =2x -1在[2,3]上的最大值是______.答案24.若函数f (x )=x 2-2mx +1在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是________.答案(-∞,2]解析由题意知,[2,+∞)⊆[m ,+∞),∴m ≤2.题组三易错自纠5.函数y =12log (x 2-4)的单调递减区间为________.答案(2,+∞)6.若函数f (x )=|x -a |+1的增区间是[2,+∞),则a =________.答案2解析∵f (x )=|x -a |+1的单调递增区间是[a ,+∞),∴a =2.7.函数y =f (x )是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a +1)<f (2a ),则实数a 的取值范围是________.答案[-1,1)解析-2≤a+1≤2,-2≤2a≤2,a+1>2a,解得-1≤a<1.8.函数f(x)1x,x≥1,-x2+2,x<1的最大值为________.答案2解析当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案D解析函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是__________________.答案[-1,0],[1,+∞)解析由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次函数的图象如图.由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解函数f (x )=ax 2+1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增.证明:设1≤x 1<x 2≤2,则f (x 2)-f (x 1)=ax 22+1x 2-ax 21-1x 1=(x 2-x 1)a (x 1+x 2)-1x 1x 2,由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4,1<x 1x 2<4,-1<-1x 1x 2<-14.又因为1<a <3,所以2<a (x 1+x 2)<12,得a (x 1+x 2)-1x 1x 2>0,从而f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上单调递增.引申探究如何用导数法求解本例?解f ′(x )=2ax -1x 2=2ax 3-1x 2,因为1≤x ≤2,所以1≤x 3≤8,又1<a <3,所以2ax 3-1>0,所以f ′(x )>0,所以函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数.思维升华确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.跟踪训练1(1)下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是()A .f (x )=2xB .f (x )=|x -1|C .f (x )=1x -xD .f (x )=ln(x +1)答案C解析由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A ,D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x与y =-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.(2)函数f (x )=(a -1)x +2在R 上单调递增,则函数g (x )=a |x -2|的单调递减区间是______________.答案(-∞,2]解析因为f (x )在R 上单调递增,所以a -1>0,即a >1,因此g (x )的单调递减区间就是y =|x -2|的单调递减区间(-∞,2].(3)函数f (x )=|x -2|x 的单调递减区间是________.答案[1,2]解析f (x )2-2x ,x ≥2,x 2+2x ,x <2.画出f (x )图象,由图知f (x )的单调递减区间是[1,2].题型二函数的最值1.函数y =x 2-1x 2+1的值域为____________.答案[-1,1)解析由y =x 2-1x 2+1,可得x 2=1+y 1-y.由x 2≥0,知1+y1-y≥0,解得-1≤y <1,故所求函数的值域为[-1,1).2.函数y =x +1-x 2的最大值为________.答案2解析由1-x 2≥0,可得-1≤x ≤1.可令x =cos θ,θ∈[0,π],则y =cos θ+sin θ=2sin θ∈[0,π],所以-1≤y ≤2,故原函数的最大值为 2.3.函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.答案[3,+∞)解析函数y 2x +1,x ≤-1,,-1<x <2,x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞).4.函数y =3x +1x -2的值域为________________.答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y =3x +1x -2=3(x -2)+7x -2=3+7x -2,因为7x -2≠0,所以3+7x -2≠3,所以函数y =3x +1x -2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}.5.函数f (x )-log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________.答案3解析由于y 在[-1,1]上单调递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.6.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ()A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关答案B 解析方法一设x 1,x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m =x 21+ax 1+b ,M =x 22+ax 2+b .∴M -m =x 22-x 21+a (x 2-x 1),显然此值与a 有关,与b 无关.故选B.方法二由题意可知,函数f (x )的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b 的变动,相当于图象上下移动,若b 增大k 个单位,则最大值与最小值分别变为M +k ,m +k ,而(M +k )-(m +k )=M -m ,故与b 无关.随着a 的变动,相当于图象左右移动,则M -m 的值在变化,故与a 有关,故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)分离常数法:形如求y=cx+dax+b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f -12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f -12f522<52<3,所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是()A.{x|-3<x<0或x>3}B.{x|x<-3或0<x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数,f(-3)=0,∴f(-3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.∵函数f(x)在(0,+∞)内是增函数,∴当0<x<3时,f(x)<0;当x>3时,f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数,∴当-3<x<0时,f(x)>0;当x<-3时,f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <-3}.命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )=cos x -sin x 在[0,a ]上是减函数,则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D .π答案C解析∵f (x )=cos x -sin x =-2sin∴当x -π4∈-π2,π2,即x ∈-π4,3π4时,y =sinf (x )=-2sin ∴-π4,3π4是f (x )在原点附近的单调减区间,结合条件得[0,a ]⊆-π4,3π4,∴a ≤3π4,即a max =3π4.(2)已知函数f (x )2+12a -2,x ≤1,x -a ,x >1,若f (x )在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为________.答案(1,2]解析由题意,得12+12a -2≤0,则a ≤2,又y =a x -a (x >1)是增函数,故a >1,所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )=log 2(x 2-ax +3a )在[2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是______________.答案(-4,4]解析设g (x )=x 2-ax +3a ,根据对数函数及复合函数的单调性知,g (x )在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0,2,a >0,∴-4<a ≤4,∴实数a 的取值范围是(-4,4].思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.跟踪训练2(1)如果函数f (x )2-a )x +1,x <1,x ,x ≥1满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.答案32,解析对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,所以y =f (x )在(-∞,+∞)上是增函数.-a >0,>1,2-a )×1+1≤a ,解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32,(2)已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f x 的取值范围是______________.答案12,解析因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f (2x -1)<所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A .y =ln(x +2)B .y =-x +1C .yD .y =x +1x答案A解析函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.2.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)答案B解析设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).3.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)答案A解析因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).4.已知函数f(x)-2a)x,x≤1,a x+13,x>1,当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则a的取值范围是(),13 B.13,12,12 D.14,13答案A解析当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,∴f(x)是R上的减函数.∵f(x)-2a)x,x≤1,a x+13,x>1,-2a<1,a<1,-2a≥13,∴0<a≤13.5.设f (x )x -a )2,x ≤0,+1x +a ,x >0,若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为()A .[-1,2]B .[-1,0]C .[1,2]D .[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时,f (x )=(x -a )2,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.当x >0时,f (x )=x +1x +a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a -2≤0,解得-1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知函数f (x )2x ,x ≥1,+c ,x <1,则“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增,则需log 21≥c +1,即c ≤-1.由于c =-1,即c ≤-1,但c ≤-1不能得出c =-1,所以“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件.7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a =-b =f (log 24.1),c =f (20.8),则a ,b ,c 的大小关系为________________.答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数,∴a =-log f (log 25).又f (x )在R 上是增函数,且log 25>log 24.1>log 24=2>20.8,∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8),∴a >b >c .8.如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a 的取值范围是______________.答案-14,0解析当a =0时,f (x )=2x -3在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1a ≥4,解得-14≤a <0.综上,实数a 的取值范围是-140.9.记min{a ,b },a ≤b ,,a >b ,若f (x )=min{x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为________.答案6解析由题意知,f (x )+2,0≤x ≤4,-x ,x >4,易知f (x )max =f (4)=6.10.设函数f (x )x 2+4x ,x ≤4,2x ,x >4.若函数y =f (x )在区间(a ,a +1)上单调递增,则实数a的取值范围是__________________.答案(-∞,1]∪[4,+∞)解析作函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a +1)上单调递增,需满足a ≥4或a +1≤2,即a ≤1或a ≥4.11.已知f (x )=x x -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围.(1)证明当a =-2时,f (x )=x x +2.设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增.(2)解设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a=a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).因为a >0,x 2-x 1>0,所以要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1.综上所述,0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),F (x )x ),x >0,f (x ),x <0.(1)若f (-1)=0,且对任意实数x 均有f (x )≥0成立,求F (x )的解析式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围.解(1)∵f (-1)=0,∴b =a +1.由f (x )≥0恒成立,知a >0且方程ax 2+bx +1=0中Δ=b 2-4a =(a +1)2-4a =(a -1)2≤0,∴a =1.从而f (x )=x 2+2x +1.∴F (x )x +1)2,x >0,(x +1)2,x <0.(2)由(1)可知f (x )=x 2+2x +1,∴g (x )=f (x )-kx =x 2+(2-k )x +1,由g (x )在[-2,2]上是单调函数,知-2-k 2≤-2或-2-k 2≥2,得k ≤-2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).13.已知函数f (x )3,x ≤0,(x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是()A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(-1,2)D .(-2,1)答案D 解析∵当x =0时,两个表达式对应的函数值都为0,∴函数的图象是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数,当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数,∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x ,即x 2+x -2<0,解得-2<x <1.14.已知f (x )2-4x +3,x ≤0,x 2-2x +3,x >0,不等式f (x +a )>f (2a -x )在[a ,a +1]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案(-∞,-2)解析二次函数y 1=x 2-4x +3的对称轴是x =2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x 2-4x +3≥3,同样可知函数y 2=-x 2-2x +3在(0,+∞)上单调递减,∴-x 2-2x +3<3,∴f (x )在R 上单调递减,∴由f (x +a )>f (2a -x )得到x +a <2a -x ,即2x <a ,∴2x <a 在[a ,a +1]上恒成立,∴2(a +1)<a ,∴a <-2,∴实数a 的取值范围是(-∞,-2).15.已知函数f (x )=2020x +ln(x 2+1+x )-2020-x +1,则不等式f (2x -1)+f (2x )>2的解集为____________.答案解析由题意知,f (-x )+f (x )=2,∴f (2x -1)+f (2x )>2可化为f (2x -1)>f (-2x ),又由题意知函数f (x )在R 上单调递增,∴2x -1>-2x ,∴x >14,∴16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )是增函数,f (1)=0,f (3)=1.(1)解不等式0<f (x 2-1)<1;(2)若f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)2-1>0,x 2-1<3,得2<x <2或-2<x <- 2.∴原不等式的解集为(-2,-2)∪(2,2).(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数,∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)=1,∴不等式f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立转化为1≤m 2-2am +1对所有a ∈[-1,1]恒成立,即m 2-2am ≥0对所有a ∈[-1,1]恒成立.设g (a )=-2ma +m 2,a ∈[-1,1],∴(-1)≥0,(1)≥0,m +m 2≥0,2m +m 2≥0,解该不等式组,得m ≤-2或m ≥2或m =0,即实数m 的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).。

函数概念与基本初等函数

函数概念与基本初等函数

函数概念与基本初等函数函数是一个有序的、完整的、有目的的数学运算,可以有效地用来解决复杂的计算问题。

简而言之,函数就是将一组输入的数字和变量映射到一个特定的输出上。

本文旨在阐述函数的概念,以及介绍初等函数的基本特性。

函数的基本概念函数的本质就是将输入的数据,通过一系列的计算,映射到输出的数据上。

一般来说,函数可以分为两类:一类是初等函数,它只有一个输入变量,以及一个结果变量;另一类是非初等函数,它有多个输入变量,有多个结果变量。

无论是哪种类型的函数,它们的基本特征都是:输入的数据可以在函数的输入变量中指定,随后,函数将会根据所提供的输入,产生计算后的输出。

函数的作用函数一般用来解决复杂的计算问题,它可以将一组数据中的重复性计算抽象出来,从而有效减少重复性计算所需要的时间和空间。

通过使用函数,可以把计算过程抽象成一条函数,随后只需调用该函数,就可以获得需要的结果,从而大大简化了计算过程。

基本初等函数基本初等函数指的是一些最为基本的函数,它们在很多数学类的学科中都有着广泛的应用。

其中最基本的初等函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数和椭圆函数等。

线性函数线性函数是最为常见的一种函数,它表示的是直线的函数。

一般来说,线性函数的形式为:y=ax+b,其中a和b分别表示线性函数的斜率和截距。

二次函数二次函数也是一个很常见的函数,它表示的是抛物线的函数。

一般来说,二次函数的形式为:y=ax2+bx+c,其中a、b和c分别表示二次函数的系数。

指数函数指数函数是一种基于指数定义的函数,它表示的是以充分快速增长的函数。

一般来说,指数函数的形式为:y=a^x,其中a表示指数函数的基数,x表示指数函数的指数。

对数函数对数函数是一种基于对数定义的函数,它表示的是以逐步增长的函数。

一般来说,对数函数的形式为:y=logx,其中x表示对数函数的底数。

三角函数三角函数是一种基于三角形定义的函数,它表示的是以复杂的曲线为特征的函数。

高考数学一轮复习考点与题型总结:第二章 函数的概念与基本初等函数

高考数学一轮复习考点与题型总结:第二章 函数的概念与基本初等函数

精品基础教育教学资料,仅供参考,需要可下载使用!第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发.(2)如果函数y=f(x)是用表格给出,则表格中x的集合即为定义域.(3)如果函数y=f(x)是用图象给出,则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定相同.(4)函数的表示法:表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(3)各段函数的定义域不可以相交.考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y =ln (1-x )x +1+1x 的定义域是( )A .[-1,0)∪(0,1)B .[-1,0)∪(0,1]C .(-1,0)∪(0,1]D .(-1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A .(-1,1) B.⎝⎛⎭⎫-1,-12 C .(-1,0)D.⎝⎛⎭⎫12,1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,x +1>0,x ≠0,解得-1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).(2)令u =2x +1,由f (x )的定义域为(-1,0),可知-1<u <0,即-1<2x +1<0, 得-1<x <-12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1.使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)y =x 0要求x ≠0;(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1; (5)正切函数y =tan x ,x ≠k π+π2(k ∈Z);(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求. 2.抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出;(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]上的值域.[题组训练]1.函数f (x )=1ln (x +1)+4-x 2的定义域为( )A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]解析:选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln (x +1)≠0,4-x 2≥0,得-1<x ≤2,且x ≠0.2.若函数y =f (x )的定义域是[1,2 019],则函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是________________.解析:因为y =f (x )的定义域是[1,2 019],所以若g (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x +1≤2 019,x -1≠0,所以0≤x ≤2 018,且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}. 答案:{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ); (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ). [解] (1)法一:待定系数法因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c .因为f (2x +1)=4x 2-6x +5, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =-6,a +b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-5,c =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法二:换元法令2x +1=t (t ∈R),则x =t -12,所以f (t )=4⎝⎛⎭⎫t -122-6·t -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法三:配凑法因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)解方程组法由f (-x )+2f (x )=2x , ① 得f (x )+2f (-x )=2-x ,② ①×2-②,得3f (x )=2x +1-2-x . 即f (x )=2x +1-2-x3.故f (x )的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数.(2)换元法对于形如y =f (g (x ))的函数解析式,令t =g (x ),从中求出x =φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),再将t 换成x ,得到f (x )的解析式,要注意新元的取值范围.(3)配凑法由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).[提醒] 由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域.[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=________________.解析:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx . 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).答案:12x 2+12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,则f (x )=________________.解析:令2x +1=t ,得x =2t -1,则f (t )=lg 2t -1,又x >0,所以t >1,故f (x )的解析式是f (x )=lg2x -1(x >1). 答案:lg2x -1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,则f (x )=________. 解析:∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,①把①中的x 换成1x ,得2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x,解此方程组可得f (x )=2x -1x(x ≠0).答案:2x -1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0(0<a <1),且f (-2)=5,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3[解析] 由题意得,f (-2)=a -2+b =5,① f (-1)=a -1+b =3,②联立①②,结合0<a <1,得a =12,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,⎝⎛⎭⎫12x +1,x ≤0,则f (-3)=⎝⎛⎭⎫12-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log 39=2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点.考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[解析] 法一:分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x ≤0,即x ≤-1时,f (x +1)<f (2x ),即为2-(x +1)<2-2x,即-(x +1)<-2x ,解得x <1. 因此不等式的解集为(-∞,-1].②当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x >0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x ≤0,即-1<x ≤0时,f (x +1)<f (2x ),即为1<2-2x,解得x <0.因此不等式的解集为(-1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x >0,即x >0时,f (x +1)=1,f (2x )=1,不合题意.综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0). 法二:数形结合法∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,∴函数f (x )的图象如图所示. 结合图象知,要使f (x +1)<f (2x ), 则需⎩⎪⎨⎪⎧x +1<0,2x <0,2x <x +1或⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,2x <0,∴x <0,故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可;(2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解.[题组训练]1.设f (x )=⎩⎨⎧x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则f ⎝⎛⎭⎫1a =( ) A .2 B .4 C .6D .8解析:选C 当0<a <1时,a +1>1,f (a )=a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴a =2a , 解得a =14或a =0(舍去).∴f ⎝⎛⎭⎫1a =f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1≥2,f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴2(a -1)=2a ,无解. 综上,f ⎝⎛⎭⎫1a =6.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤1,f (x -1),x >1,则f (f (3))=________.解析:由题意,得f (3)=f (2)=f (1)=21=2,∴f (f (3))=f (2)=2. 答案:23.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.①当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,故-14<x ≤0.②当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.③当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x -7,x <0,x ,x ≥0,若f (a )<1,则实数a 的取值范围是____________.解析:若a <0,则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a-7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8,解得a >-3,故-3<a <0; 若a ≥0,则f (a )<1⇔a <1,解得a <1,故0≤a <1. 综上可得-3<a <1. 答案:(-3,1)[课时跟踪检测]1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B ①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象;②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.故选B.2.函数f (x )=2x -1+1x -2的定义域为( ) A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥0,且x ≠2.3.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:选A 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.4.(2019·贵阳检测)下列函数中,同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A .y =x -1 B .y =ln x C .y =13x -1D .y =x +1x -1解析:选D 对于A ,定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),不满足题意;对于B ,定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足题意;对于C ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(0,+∞),不满足题意;对于D ,y =x +1x -1=1+2x -1,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),值域也是(-∞,1)∪(1,+∞).5.(2018·福建期末)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x +a ,x >0,4x -2-1,x ≤0.若f (a )=3,则f (a -2)=( )A .-1516B .3C .-6364或3D .-1516或3解析:选A 当a >0时,若f (a )=3,则log 2a +a =3,解得a =2(满足a >0);当a ≤0时,若f (a )=3,则4a -2-1=3,解得a =3,不满足a ≤0,所以舍去.于是,可得a =2.故f (a -2)=f (0)=4-2-1=-1516.6.已知函数y =f (2x -1)的定义域是[0,1],则函数f (2x +1)log 2(x +1)的定义域是( )A .[1,2]B .(-1,1] C.⎣⎡⎦⎤-12,0 D .(-1,0)解析:选D 由f (2x -1)的定义域是[0,1], 得0≤x ≤1,故-1≤2x -1≤1, ∴f (x )的定义域是[-1,1], ∴要使函数f (2x +1)log 2(x +1)有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤2x +1≤1,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x <0.7.下列函数中,不满足f (2 018x )=2 018f (x )的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=x -|x | C .f (x )=x +2D .f (x )=-2x解析:选C 若f (x )=|x |,则f (2 018x )=|2 018x |=2 018|x |=2 018f (x );若f (x )=x -|x |,则f (2 018x )=2 018x -|2 018x |=2 018(x -|x |)=2 018f (x );若f (x )=x +2,则f (2 018x )=2 018x +2,而2 018f (x )=2 018x +2 018×2,故f (x )=x +2不满足f (2 018x )=2 018f (x );若f (x )=-2x ,则f (2 018x )=-2×2 018x =2 018×(-2x )=2 018f (x ).故选C.8.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③ C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.9.(2019·青岛模拟)函数y =ln ⎝⎛⎭⎫1+1x +1-x 2的定义域为________. 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1+1x >0,1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >0,-1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]. 答案:(0,1]10.(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,则f (f (-9))=________.解析:∵函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,∴f (-9)=lg 10=1,∴f (f (-9))=f (1)=-2.答案:-211.(2018·张掖一诊)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于________.解析:∵f (1)=2,且f (1)+f (a )=0,∴f (a )=-2<0,故a ≤0. 依题知a +1=-2,解得a =-3. 答案:-312.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x +1,x ≤0,-(x -1)2,x >0,使f (x )≥-1成立的x 的取值范围是________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,12x +1≥-1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-(x -1)2≥-1, 解得-4≤x ≤0或0<x ≤2, 故所求x 的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2]13.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示.第二节函数的单调性与最值一、基础知识1.增函数、减函数定义:设函数f(x)的定义域为I:(1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.(2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接.3.函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.二、常用结论在公共定义域内:(1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)+g(x)是增函数;(2)函数f (x )单调递减,g (x )单调递减,则f (x )+g (x )是减函数; (3)函数f (x )单调递增,g (x )单调递减,则f (x )-g (x )是增函数; (4)函数f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )-g (x )是减函数;(5)若k >0,则kf (x )与f (x )单调性相同;若k <0,则kf (x )与f (x )单调性相反; (6)函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1f (x )的单调性相反;(7)复合函数y =f [g (x )]的单调性与y =f (u )和u =g (x )的单调性有关.简记:“同增异减”.考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )=-x 2+2|x |+1的单调区间. (2)试讨论函数f (x )=ax x -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.[解] (1)易知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0. 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).(2)法一:定义法 设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎫1+1x -1,则f (x 1)-f (x 2)=a ⎝⎛⎭⎫1+1x 1-1-a ⎝⎛⎭⎫1+1x 2-1=a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1).由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递增. 法二:导数法f ′(x )=(ax )′(x -1)-ax (x -1)′(x -1)2=a (x -1)-ax (x -1)2=-a(x -1)2. 当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增.[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法:一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论.(2)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间.(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定.[题组训练]1.下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( ) A .f (x )=2x B .f (x )=|x -1| C .f (x )=1x-xD .f (x )=ln(x +1)解析:选C 由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A 、D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x 与y=-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.2.函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)解析:选D 令t =x 2-4,则y =log 12t .因为y =log 12t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t =x 2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).3.判断函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,+∞)上的单调性.解:设x 1,x 2是任意两个正数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数.考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.(2)若函数f (x )=-ax+b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域为⎣⎡⎦⎤12,2,则a =________,b =________. (3)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-4x ,x ≤0,sin x ,x >0的最大值为________.[解析] (1)图象法函数y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1,x ≤-1,3,-1<x <2,2x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞). (2)单调性法∵f (x )=-ax +b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f (x )min =f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (x )max =f (2)=2.即⎩⎨⎧-2a +b =12,-a2+b =2,解得a =1,b =52.(3)当x ≤0时,f (x )=-x 2-4x =-(x +2)2+4,而-2∈(-∞,0],此时f (x )在x =-2处取得最大值,且f (-2)=4;当x >0时,f (x )=sin x ,此时f (x )在区间(0,+∞)上的最大值为1.综上所述,函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3,+∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.[题组训练]1.函数f (x )=x 2+4x 的值域为________.解析:当x >0时,f (x )=x +4x ≥4,当且仅当x =2时取等号; 当x <0时,-x +⎝⎛⎭⎫-4x ≥4, 即f (x )=x +4x ≤-4,当且仅当x =-2取等号,所以函数f (x )的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). 答案:(-∞,-4]∪[4,+∞)2.若x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3,则函数y =4sin 2x -12sin x -1的最大值为________,最小值为________.解析:令t =sin x ,因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3, 所以t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1,y =f (t )=4t 2-12t -1, 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t =32,所以当t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1时,函数f (t )单调递减,所以当t =-12时,y max =6;当t =1时,y min =-9. 答案:6 -93.已知f (x )=x 2+2x +ax ,x ∈[1,+∞),且a ≤1.若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析:对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立等价于x 2+2x +a >0在x ∈[1,+∞)上恒成立,即a >-x 2-2x 在x ∈[1,+∞)上恒成立.又函数y =-x 2-2x 在[1,+∞)上单调递减, ∴(-x 2-2x )max =-3,故a >-3,又∵a ≤1,∴-3<a ≤1. 答案:(-3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是( )A .f (π)>f (-3)>f (-2)B .f (π)>f (-2)>f (-3)C .f (π)<f (-3)<f (-2)D .f (π)<f (-2)<f (-3)[解析] 因为f (x )是偶函数,所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2). 又因为函数f (x )在[0,+∞)上是增函数. 所以f (π)>f (3)>f (2),即f (π)>f (-3)>f (-2). [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x <2,x 2,x ≥2.若f (a +1)≥f (2a -1),则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1]B .(-∞,2]C .[2,6]D .[2,+∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(-∞,+∞)上是增函数,∵f (a +1)≥f (2a -1), ∴a +1≥2a -1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2]. [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式,再根据函数的单调性去掉“f ”,得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x )).考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )=x -a x +a2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.[解析] 设1<x 1<x 2,∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1,+∞)上是增函数, ∴f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1+a2-⎝⎛⎭⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫1+a x 1x 2<0.∵x 1-x 2<0,∴1+ax 1x 2>0,即a >-x 1x 2.∵1<x 1<x 2,x 1x 2>1,∴-x 1x 2<-1,∴a ≥-1. ∴a 的取值范围是[-1,+∞). [答案] [-1,+∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.[题组训练]1.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >bD .b >a >c解析:选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称,故函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,等价于函数f (x )在(1,+∞)上单调递减,所以b >a >c .2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax 2-x -14,x ≤1,log a x -1,x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14,12 B.⎣⎡⎦⎤14,12 C.⎝⎛⎦⎤0,12 D.⎣⎡⎭⎫12,1解析:选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,而二次函数y =ax 2-x -14的图象开口向上,所以函数f (x )在R 上单调递减,故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,12a≥1,a ×12-1-14≥log a1-1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,0<a ≤12,a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14,12.[课时跟踪检测]A 级1.下列四个函数中,在x ∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3-x B .f (x )=x 2-3x C .f (x )=-1x +1D .f (x )=-|x |解析:选C 当x >0时,f (x )=3-x 为减函数;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32时,f (x )=x 2-3x 为减函数,当x ∈⎝⎛⎭⎫32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1x +1为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数.2.若函数f (x )=ax +1在R 上单调递减,则函数g (x )=a (x 2-4x +3)的单调递增区间是( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .(4,+∞)D .(-∞,4)解析:选B 因为f (x )=ax +1在R 上单调递减,所以a <0. 而g (x )=a (x 2-4x +3)=a (x -2)2-a .因为a <0,所以g (x )在(-∞,2)上单调递增.3.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13,23 B.⎣⎡⎭⎫13,23 C.⎝⎛⎭⎫12,23D.⎣⎡⎭⎫12,23解析:选D 因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.4.(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C 由题意知当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,又f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在相应的定义域内都为增函数,且f (1)=-1,f (2)=6,∴f (x )的最大值为6.5.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(全集为R)( )A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,-1)∪[4,+∞)D .(-∞,-1]∪[2,+∞)解析:选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f (x +1)<1即为f (0)<f (x +1)<f (3),所以0<x +1<3,所以-1<x <2,故不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞).6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,0)B .(-∞,-2]C .[-3,-2]D .(-∞,0)解析:选C 若f (x )是R 上的增函数,则应满足⎩⎪⎨⎪⎧-a2≥1,a <0,-12-a ×1-5≤a 1,解得-3≤a ≤-2.7.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为________.解析:设t =x 2-2x -3,由t ≥0,即x 2-2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,所以函数f (x )的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t =x 2-2x -3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f (x )的单调递增区间为[3,+∞).答案:[3,+∞)8.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________.解析:当x ≥1时,函数f (x )=1x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.答案:29.若函数f (x )=1x 在区间[2,a ]上的最大值与最小值的和为34,则a =________.解析:由f (x )=1x 的图象知,f (x )=1x 在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a ]⊆(0,+∞),∴f (x )=1x 在[2,a ]上也是减函数,∴f (x )max =f (2)=12,f (x )min =f (a )=1a ,∴12+1a =34,∴a =4. 答案:410.(2019·甘肃会宁联考)若f (x )=x +a -1x +2在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.解析:f (x )=x +a -1x +2=x +2+a -3x +2=1+a -3x +2,要使函数在区间(-2,+∞)上是增函数,需使a -3<0,解得a <3.答案:(-∞,3)11.已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,求a 的值. 解:(1)证明:任取x 1>x 2>0, 则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2x 1x 2,∵x 1>x 2>0,∴x 1-x 2>0,x 1x 2>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=1a -2=12,f (2)=1a -12=2, 解得a =25.12.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:当a =-2时,f (x )=xx +2.任取x 1,x 2∈(-∞,-2),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). 因为a >0,x 2-x 1>0,又由题意知f (x 1)-f (x 2)>0, 所以(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1. 所以0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1].B 级1.若f (x )=-x 2+4mx 与g (x )=2mx +1在区间[2,4]上都是减函数,则m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(0,1]B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,+∞)D .(0,1]解析:选D 函数f (x )=-x 2+4mx 的图象开口向下,且以直线x =2m 为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m ≤2,解得m ≤1;g (x )=2m x +1的图象由y =2mx 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m >0,解得m >0.综上可得,m 的取值范围是(0,1].2.已知函数f (x )=ln x +x ,若f (a 2-a )>f (a +3),则正数a 的取值范围是________. 解析:因为f (x )=ln x +x 在(0,+∞)上是增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a >a +3,a 2-a >0,a +3>0,解得-3<a <-1或a >3.又a >0,所以a >3. 答案:(3,+∞)3.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1. (1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 解:(1)令x =y =0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1. 又f (x 1)=f [(x 1-x 2)+x 2]=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以函数f (x )在R 上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1,故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1.函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下:(1)f (-x )=f (x )⇔f (-x )-f (x )=0⇔f (-x )f (x )=1⇔f (x )为偶函数;(2)f (-x )=-f (x )⇔f (-x )+f (x )=0⇔f (-x )f (x )=-1⇔f (x )为奇函数.2.函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.周期函数定义的实质存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次.(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.二、常用结论1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )=1f (x ),则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1f (x ),则T =2a (a >0).3.函数图象的对称性(1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2|x +3|-3;(2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2;(4)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0.[解] (1)由f (x )=36-x 2|x +3|-3,可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧-6≤x ≤6,x ≠0且x ≠-6,故函数f (x )的定义域为(-6,0)∪(0,6],定义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,x 2-1≥0⇒x 2=1⇒x =±1,故函数f (x )的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f (x )=0,所以f (-x )=f (x )=-f (x ),所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x -2|-2≠0⇒-1<x <0或0<x <1,定义域关于原点对称.此时f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2=log 2(1-x 2)2-x -2=-log 2(1-x 2)x ,故有f (-x )=-log 2[1-(-x )2]-x =log 2(1-x 2)x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数. (4)法一:图象法画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0的图象如图所示,图象关于y 轴对称,故f (x )为偶函数.法二:定义法易知函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,-x >0,故f (-x )=x 2+x =f (x );当x <0时,f (x )=x 2+x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2-x =f (x ),故原函数是偶函数.法三:f (x )还可以写成f (x )=x 2-|x |(x ≠0),故f (x )为偶函数.[题组训练]1.(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A .y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4 B .y =x 2+e |x | C .y =x cos xD .y =ln|x |-sin x解析:选B 对于选项A ,易知y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4为非奇非偶函数;对于选项B ,设f (x )=x 2+e |x |,则f (-x )=(-x )2+e |-x |=x 2+e |x |=f (x ),所以y =x 2+e |x |为偶函数;对于选项C ,设f (x )=x cos x ,则f (-x )=-x cos(-x )=-x cos x =-f (x ),所以y =x cos x 为奇函数;对于选项D ,设f (x )=ln|x |-sin x ,则f (2)=ln 2-sin 2,f (-2)=ln 2-sin(-2)=ln 2+sin 2≠f (2),所以y =ln|x |-sin x 为非奇非偶函数,故选B.2.设函数f (x )=e x -e -x2,则下列结论错误的是( )A .|f (x )|是偶函数B .-f (x )是奇函数C .f (x )|f (x )|是奇函数D .f (|x |)f (x )是偶函数解析:选D ∵f (x )=e x -e -x2,则f (-x )=e -x -e x2=-f (x ).∴f (x )是奇函数. ∵f (|-x |)=f (|x |),∴f (|x |)是偶函数,∴f (|x |)f (x )是奇函数.考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y =f (x )是R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=2x ,则当x >0时,f (x )=( )A .-2xB .2-x C .-2-xD .2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )=a -2e x +1(a ∈R)是奇函数,则函数f (x )的值域为( )A .(-1,1)B .(-2,2)C .(-3,3)D .(-4,4)[解析] (1)当x >0时,-x <0,∵x <0时,f (x )=2x ,∴当x >0时,f (-x )=2-x .∵f (x )是R 上的奇函数,∴当x >0时,f (x )=-f (-x )=-2-x .(2)法一:由f (x )是奇函数知f (-x )=-f (x ),所以a -2e -x+1=-a +2e x +1,得2a =2e x+1+2e -x +1,所以a =1e x +1+e x e x +1=1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).法二:函数f (x )的定义域为R ,且函数f (x )是奇函数,所以f (0)=a -1=0,即a =1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f (x )±f (-x )=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.[题组训练]1.(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=log 2(x +2)-1,则f (-6)=( )A .2B .4C .-2D .-4解析:选C 根据题意得f (-6)=-f (6)=1-log 2(6+2)=1-3=-2.2.已知函数f (x )为奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,函数f (x )的最大值为________.解析:法一:当x <0时,-x >0,所以f (-x )=x 2+x .又因为函数f (x )为奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-x 2-x =-⎝⎛⎭⎫x +122+14,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14. 法二:当x >0时,f (x )=x 2-x =⎝⎛⎭⎫x -122-14,最小值为-14,因为函数f (x )为奇函数,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14.答案:143.(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =________. 解析:∵f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,∴f (-x )=f (x ),即-x ln(a +x 2-x )=x ln(x +a +x 2),从而ln[(a +x 2)2-x 2]=0,即ln a =0,故a =1.答案:1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=-f (x +2),当x ∈(0,2]时,f (x )=2x +log 2x ,则f (2 019)=( )A .5 B.12C .2D .-2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f (x )=⎩⎨⎧cos πx2,0<x ≤2,⎪⎪⎪⎪x +12,-2<x ≤0,则f (f (15))的值为________.[解析] (1)由f (x )=-f (x +2),得f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )是周期为4的周期函数,所以f (2 019)=f (504×4+3)=f (3)=f (1+2)=-f (1)=-(2+0)=-2.(2)由函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R), 可知函数f (x )的周期是4, 所以f (15)=f (-1)=⎪⎪⎪⎪-1+12=12, 所以f (f (15))=f ⎝⎛⎭⎫12=cos π4=22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1.(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数,且满足f (x +2)=-1f (x ),当2≤x ≤3时,f (x )=x ,则f ⎝⎛⎭⎫-112=________. 解析:∵f (x +2)=-1f (x ),∴f (x +4)=f (x ), ∴f ⎝⎛⎭⎫-112=f ⎝⎛⎭⎫52,又2≤x ≤3时,f (x )=x , ∴f ⎝⎛⎭⎫52=52,∴f ⎝⎛⎭⎫-112=52. 答案:522.(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-2,-2≤x ≤0,x ,0<x <1,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214=________. 解析:由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214=f ⎝⎛⎭⎫6-34=f ⎝⎛⎭⎫-34=4×⎝⎛⎭⎫-342-2=14,f ⎝⎛⎭⎫14=14.答案:14[课时跟踪检测]A 级1.下列函数为奇函数的是( ) A .f (x )=x 3+1 B .f (x )=ln 1-x1+xC .f (x )=e xD .f (x )=x sin x解析:选B 对于A ,f (-x )=-x 3+1≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于B ,f (-x )=ln 1+x 1-x=-ln1-x 1+x=-f (x ),所以其是奇函数;对于C ,f (-x )=e -x ≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于D ,f (-x )=-x sin(-x )=x sin x =f (x ),所以其不是奇函数.故选B.2.(2019·南昌联考)函数f (x )=9x +13x 的图象( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于坐标原点对称D .关于直线y =x 对称解析:选B 因为f (x )=9x +13x =3x +3-x ,易知f (x )为偶函数,所以函数f (x )的图象关于y轴对称.3.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,则f (-7)=( )A .3B .-3C .2D .-2解析:选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,所以f (-7)=-f (7)=-log 2(7+1)=-3.4.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x ,则g (x )=( ) A .e x -e -x B.12(e x +e -x )C.12(e -x -e x ) D.12(e x -e -x )解析:选D 因为f (x )+g (x )=e x ,所以f (-x )+g (-x )=f (x )-g (x )=e -x , 所以g (x )=12(e x -e -x ).。

第2讲 函数概念与基本初等函数

第2讲   函数概念与基本初等函数

第2讲函数概念与基本初等函数一.【考纲导读】(一)函数1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数.3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题.4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义,会判断简单的函数奇偶性.5.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值6.会运用函数图像理解和研究函数的性质.(二)指数函数1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.(三)对数函数1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念;会求与对数函数性质有关的问题.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数与对数函数互为反函数.(四)幂函数1.了解幂函数的概念.2.结合函数的图像,了解它们的变化情况.(五)函数与方程1.了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.(六)函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.二.【命题走向】分析近几年的高考试题,可以发现函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.2015年高考热点主要有:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.三.【要点精讲】 1、知识网络定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质1.2.1 对函数的进一步认识一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的 元素,在集合B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 .2.象与原象:如果f :A →B 是一个A 到B 的映射,那么和A 中的元素a 对应的 叫做象, 叫做原象。

2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第4节:幂函数与二次函数(教师版)

2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第4节:幂函数与二次函数(教师版)

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第4节二次函数性质的再研究与幂函数考试要求 1.了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=1x的图像,了解它们的变化情况;2.理解二次函数的图像和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数(1)幂函数的定义如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样的函数称为幂函数.(2)常见的五种幂函数的图像(3)幂函数的性质①幂函数在(0,+∞)上都有定义;②当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;③当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图像和性质1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),>0,<0时,恒有f (x )>0;<0,<0时,恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限;(2)幂函数的图像过定点(1,1),如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y =2x 13是幂函数.()(2)当α>0时,幂函数y =x α在(0,+∞)上是增函数.()(3)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.()(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是4ac-b24a.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=2x 13不是幂函数,(1)错误.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x=-b2a,当-b2a不在给定定义域内时,最值不是4ac-b24a,故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-xB.f(x)C.f(x)=x2D.f(x)=3x答案D解析取x1=-1,x2=0,对于A项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以A项不符合题意;对于B项有f(x1)=32,f(x2)=1,所以B项不符合题意;对于C项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以C项不符合题意.故选D.3.(易错题)若函数y=mx2+x+2在[3,+∞)上是减函数,则m的取值范围是________.答案-∞,-16解析当m=0时,函数在给定区间上是增函数;当m≠0时,二次函数的对称轴为直线x=-12m,<0,-12m≤3,∴m≤-16.4.(易错题)已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是________.答案(3,5)解析∵幂函数f(x)=x-12在定义域(0,+∞)上单调递减,∴由f(a+1)<f(10-2a),a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a ,∴3<a <5.5.(2018·上海卷)已知α-2,-1,-12,12,1,2,3若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=______.答案-1解析由y =x α为奇函数,知α取-1,1,3.又y =x α在(0,+∞)上递减,∴α<0,取α=-1.6.已知函数f (x )=-2x 2+mx +3(0≤m ≤4,0≤x ≤1)的最大值为4,则m 的值为________.答案22解析f (x )=-2x 2+mx +3=-x m 4+m 28+3,∵0≤m ≤4,∴0≤m4≤1,∴当x =m4时,f (x )取得最大值,∴m 28+3=4,解得m =2 2.考点一幂函数的图像和性质1.若幂函数y =f (x )的图像过点(4,2),则幂函数y =f (x )的大致图像是()答案C解析设幂函数的解析式为y =x α,因为幂函数y =f (x )的图像过点(4,2),所以2=4α,解得α=12.所以y=x,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0<x<1时,其图像在直线y =x的上方,对照选项,C正确.2.若幂函数f(x)=(2b-1)x a2-10a+23(a,b∈Z)为偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是减函数,则a,b的值分别为()A.2,1B.4,1C.5,1D.6,1答案C解析由幂函数的定义得2b-1=1,∴b=1.又∵a2-10a+23=(a-5)2-2,函数f(x)为偶函数且在(0,+∞)上为减函数,∴(a-5)2-2<0,故a=4,5,6.又(a-5)2-2为偶数,∴a=5.3.如图是①y=x a;②y=x b;③y=x c在第一象限的图像,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b答案D解析由幂函数的图像和单调性可知a<0,b>1,0<c<1,∴a<c<b.4.(2021·郑州质检)幂函数f(x)=(m2-3m+3)x m的图像关于y轴对称,则实数m=________.答案2解析由幂函数定义,知m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x的图像不关于y轴对称,舍去,当m=2时,f(x)=x2的图像关于y轴对称,因此m =2.5.若(a +1)-13<(3-2a )-13,则实数a 的取值范围是________.答案(-∞,-1)23,32解析不等式(a +1)-13<(3-2a )-13等价于a +1>3-2a >0或3-2a <a +1<0或a +1<0<3-2a ,解得a <-1或23<a <32.感悟提升1.对于幂函数图像的掌握,需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x =1,y =1,y =x 所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.3.在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图像越远离x 轴.考点二二次函数的解析式例1已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.解法一(利用“一般式”)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).4a +2b +c =-1,a -b +c 1,4ac -b24a=8,a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x +7.法二(利用“顶点式”)设f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0).因为f (2)=f (-1),所以抛物线的对称轴为x =2+(-1)2=12,所以m =12.又根据题意,函数有最大值8,所以n =8,所以y=f(x)=+8.因为f(2)=-1,所以+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-+8=-4x2+4x+7.法三(利用“零点式”)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8,即4a(-2a-1)-(-a)24a=8.解得a=-4或a=0(舍).故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.感悟提升求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:训练1(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=________.答案(1)x2+2x+1(2)x2-4x+3解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,由已知f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,b=2a=2,故f(x)=x2+2x+1.(2)因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以y=f(x)的图像关于x=2对称.又y=f(x)的图像在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为2-22=1或2+22=3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0).因此设f(x)=a(x-1)(x-3).又点(4,3)在y=f(x)的图像上,所以3a=3,则a=1.故f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.考点三二次函数的图像和性质角度1二次函数的图像例2(1)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示.则下列结论正确的是______(填序号).①b2>4ac;②c>0;③ac>0;④b<0;⑤a-b+c<0.(2)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则()A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<0答案(1)①②⑤(2)C解析(1)由题图知,a<0,-b2a>0,c>0,∴b>0,ac<0,故②正确,③④错误.又函数图像与x轴有两交点,∴Δ=b2-4ac>0,故①正确;又由题图知f(-1)<0,即a-b+c<0,故⑤正确.(2)因为f(x)的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图像如图所示.由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0>-1 2,所以f(m+1)>f(0)>0.角度2二次函数的单调性与最值例3(1)函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是()A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]答案D解析当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.当a≠0时,f(x)的对称轴为直线x=3-a 2a,由f(x)在[-1,+∞)a<0,3-a2a≤-1,解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].(2)(2021·西安模拟)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.解①当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上递减,∴f(x)min=f(1)=-2.②当a>0时,f(x)=ax2-2x图像开口方向向上,且对称轴为x=1 a .(ⅰ)当1a≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x图像的对称轴在[0,1]内,∴f(x)在0,1a上递减,在1a,1上递增.∴f(x)min=1a=1a-2a=-1a.(ⅱ)当1a>1,即0<a<1时,f(x)=ax2-2x图像的对称轴在[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上递减.∴f(x)min=f(1)=a-2.③当a<0时,f(x)=ax2-2x的图像的开口方向向下,且对称轴x=1a<0,在y轴的左侧,∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上递减.∴f(x)min=f(1)=a-2.综上所述,f(x)min-2,a<1,-1a,a≥1.感悟提升 1.闭区间上二次函数最值问题的解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合图像,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型,解题的关键都是图像的对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3二次函数中的恒成立问题例4(1)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围是________.(2)函数f(x)=a2x+3a x-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则实数a的最大值为________.答案(2)2解析(1)由题意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立,当x=0时,-3<0,符合题意,a∈R;当x≠0时,a-1 6,因为1x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以当x=1时,不等号右边式子取最小值1 2,所以a<1 2 .综上,实数a∞(2)令a x=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以1a≤t≤a,原函数化为g(t)=t2+3t-2,t∈1a,a,显然g(t)在1a,a上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以1<a≤2,所以a的最大值为2.感悟提升由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min.训练2(1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x),若f(x)在区间[3,+∞)上单调递减,且f(m)≥f(0)恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,0]B.[0,6]C.[6,+∞)D.(-∞,0]∪[6,+∞)(2)(2022·泰安调研)当x∈(0,+∞)时,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.答案(1)B(2)32,+∞解析(1)设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,且a≠0),∵f(3+x)=f(3-x),∴a(3+x)2+b(3+x)+c=a(3-x)2+b(3-x)+c,∴x(6a+b)=0,∴6a+b=0,∴f(x)=ax2-6ax+c=a(x-3)2-9a+c.又∵f(x)在区间[3,+∞)上单调递减,∴a<0,∴f(x)的图像是以直线x=3为对称轴,开口向下的抛物线,∴由f(m)≥f(0)恒成立,得0≤m≤6,∴实数m的取值范围是[0,6].(2)由ax2-3x+a≥0,得a≥3xx2+1=3x+1x,x∈(0,+∞),故x+1x≥2,当x=1时等号成立,∴y=3x+1x≤32,故a≥32.(3)设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.解f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图像的对称轴为x=1.当t+1≤1,即t≤0时,函数图像如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;当t<1<t+1,即0<t<1时,函数图像如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f(1)=1;当t≥1时,函数图像如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.综上可知,当t≤0时,f(x)min=t2+1,当0<t<1时,f(x)min=1,当t≥1时,f(x)min=t2-2t+2.1.若f (x )是幂函数,且满足f (4)f (2)=3,则()A.3B.-3C.13D.-13答案C解析设f (x )=x α,则4α2α=2α=3,∴=13.2.若函数f (x )=(m 2-m -1)x m 是幂函数,且其图像与坐标轴无交点,则f (x )()A.是偶函数B.是定义域内的减函数C.是定义域内的增函数D.在定义域内没有最小值答案D解析幂函数f (x )=(m 2-m -1)x m 的图像与坐标轴无交点,可得m 2-m -1=1,且m ≤0,解得m =-1,则函数f (x )=x -1是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值.3.(2021·河南名校联考)函数y =1-|x -x 2|的图像大致是()答案C解析∵当0≤x ≤1时,y =x 2-x +1+34,又当x >1或x <0时,y =-x 2+x +1+54,因此,结合图像,选项C 正确.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )=x -3,若a =f (0.60.6),b =f (0.60.4),c =f (0.40.6),则a ,b ,c 的大小关系是()A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b答案B解析∵0.40.6<0.60.6<0.60.4,又y =f (x )=x -3在(0,+∞)上是减函数,∴b <a <c .5.若二次函数y =kx 2-4x +2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k 的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,2)答案A解析二次函数y =kx 2-4x +2图像的对称轴为直线x =2k,当k >0时,要使函数y =kx 2-4x +2在区间[1,2]上是增函数,只需2k ≤1,解得k ≥2;当k <0时,2k <0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,则函数y =kx 2-4x +2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实数k 的取值范围是[2,+∞).6.幂函数y =x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一组美丽的曲线(如图),设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y =x a ,y =x b 的图像三等分,即有BM =MN =NA ,那么a -1b=()A.0B.1C.12D.2答案A解析BM =MN =NA ,点A (1,0),B (0,1),所以将两点坐标分别代入y =x a ,y =x b ,得a =log 1323,b =log 2313,∴a -1b =log 1323-1log 2313=0.7.已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是________.答案-22,解析因为函数图像开口向上,(m )=m 2+m 2-1<0,(m +1)=(m +1)2+m (m +1)-1<0,解得-22<m <0.8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )=x 2-2ax +b (a >1)的定义域和值域都为[1,a ],则b =________.答案5解析f (x )=x 2-2ax +b 的图像关于x =a 对称,所以f (x )在[1,a ]上为减函数,又f (x )的值域为[1,a ],(1)=1-2a +b =a ,(a )=a 2-2a 2+b =1.消去b ,得a 2-3a +2=0,解得a =2(a >1),从而得b =3a -1=5.9.设函数f (x )=ax 2-2x +2,对于满足1<x <4的一切x 的值都有f (x )>0,则实数a的取值范围为________.答案解析由题意得a >2x -2x2对1<x <4恒成立,又2x -2x2=-+12,14<1x<1,max=12,∴a >12.10.已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b 为实数,a ≠0,x ∈R ).(1)若函数f (x )的图像过点(-2,1),且方程f (x )=0有且只有一个根,求f (x )的表达式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[3,5]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围.解(1)因为f (-2)=1,即4a -2b +1=1,所以b =2a .因为方程f (x )=0有且只有一个根,所以Δ=b 2-4a =0.所以4a 2-4a =0,所以a =1,b =2.所以f (x )=x 2+2x +1.(2)g (x )=f (x )-kx =x 2+2x +1-kx =x 2-(k -2)x +1+1.由g (x )的图像知,要满足题意,则k -22≥5或k -22≤3,即k ≥12或k ≤8,所以所求实数k 的取值范围为(-∞,8]∪[12,+∞).11.已知二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1.(1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈[-1,1]时,函数y =f (x )的图像恒在函数y =2x +m 的图像的上方,求实数m 的取值范围.解(1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由f (x +1)-f (x )=2x ,得2ax +a +b =2x .所以,2a =2且a +b =0,解得a =1,b =-1,又f (0)=1,所以c =1.因此f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.(2)因为当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图像恒在y=2x+m的图像上方,所以在[-1,1]上,x2-x+1>2x+m恒成立;即x2-3x+1>m在区间[-1,1]上恒成立.所以令g(x)=x2-3x+1-5 4,因为g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,所以m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1).12.已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是()A.[-2,2]B.[1,2]C.[2,3]D.[1,2]答案B解析由于f(x)=x2-2tx+1的图像的对称轴为x=t,又y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以t≥1.则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,解得-2≤t≤ 2.又t≥1,∴1≤t≤ 2.13.(2022·太原调研)对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,求实数a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲:解含参不等式,其解集包含正实数集;乙:研究函数y=[(a-1)x-1](x2-ax-1);丙:分别研究两个函数y1=(a-1)x-1与y2=x2-ax-1;丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中某位同学的想法,也可以用自己的想法,可以得出的正确答案为______.答案3 2解析选丙.画出y2=x2-ax-1的草图,y2=x2-ax-1过定点C(0,-1).∴y2=x2-ax-1与x轴有两个交点,且两交点在原点两侧,又y1=(a-1)x-1也过定点C(0,-1),故直线y1=(a-1)x-1只有过点A,C才满足题意,∴a-1>0,即a>1,令y1=0得x=1a-1,y2=x2-ax-1,-aa-1-1=0,解得a=0(舍)或a=3 2 .14.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.解(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],函数图像的对称轴为直线x=-32∈[-2,3],∴f(x)min==94-92-3=-214,f(x)max=f(3)=15,∴f(x)的值域为-214,15.(2)函数图像的对称轴为直线x=-2a-12.①当-2a-12≤1,即a≥-12时,f(x)max=f(3)=6a+3,∴6a+3=1,即a=-13,满足题意;②当-2a-12>1,即a<-12时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意.综上可知,a=-13或-1.。

高考数学知识点总结 第二章函数概念与基本初等函数

高考数学知识点总结 第二章函数概念与基本初等函数

第二章函数概念与基本初等函数知识点与方法1.函数解析式的求法主要有换元法和待定系数法等:利用函数的解析式研究问题时要特别注意分析自变量x与函数值y的关系,尤其要注意分段函数各段的自变量所对ƒ的解析式.已知函数解析式,计算有限个函数值的和.fl类问题一般都具有明显的规律,或者函数具有周期性,或者函数具有对称性(自变量具有某种关系,其函数值和fi定值).如£(x)=,求+的值(这$£(x)+£(1—x)=).².确定函数定义域的基本原则.(1)分式函数y=中,满足分母g(x)≠0.(²)偶次式y=(n∈N*)中,满足被开方式£(x)≥0.(3)对数函数y=log£(x)g(x)中,满足且£(x)≠1.(4)幂函数y=[£(x)]0中,满足£(x)≠0.(±)fl切函数y=tanx中,满足x≠kπ+(k∈Z).(6)在实际问题中考虑自变量的实际意义.3.函数值域(最值)的求法.(1)二次型函数——配方法.(²)©曲函数——均值н等式.(3)利用换元法转化fi二次型函数或©曲函数.(4)函数单调性法.(±)导数法.对于н等式恒成立、fl在性问题h要通过求函数最值的方法解决.4.判断函数单调性的方法.(1)定义法:一般地,设函数y=£(x)的定义域fiA,区间W⊆A,∀x1,x²∈W,(x1—x²)[£(x1)—£(x²)]>0⇔>0⇔£(x)在区间W L是增函数.若£(x)在区间W L fi增函数,x1, x²∈W,则有x1<x²⇔£(x1)<£(x²),减函数有类似结论.(注意:在涉þ到н等式的求解、证明等有关问题时可以考虑构造函数,利用函数单调性求解).(²)用已知函数单调性判断(下列函数都在¿共单调区间L): ķ增函数+增函数=增函数:ĸ减函数+减函数=减函数:③复合函数单调性:④奇(偶)函数在对称区间L的单调性相¼(相反).(3)借助图像判断函数单调性.(4)导数法:对可导函数£(x),x∈(a,b ),£′(x)≥0⇔£(x)在(a,b)L是增函数:£′(x)≤0⇔£(x)在(a,b)L 是减函数(其中导致导数fi0的点是孤立的).±.函数的奇偶性.(1)判定函数奇偶性的方法.函数具有奇偶性的必要条fl是定义域fi 关于原点对称的区间.判断函数奇偶性首先确定函数定义域.ķ定义法:∀x∈D£,£(x)±£(—x)=0: ĸ用已知函数奇偶性判定:(i)奇±奇=奇:偶±偶=偶:奇±偶=非奇非偶(非零函数): 奇×偶=奇:奇×奇=偶:偶×偶=偶.(ii)复合函数奇偶性,内偶则偶,两奇fi奇.③借助图像确定奇偶性.(²)奇偶函数的性质.ķ定义域含0的奇函数图像必过原点: ĸ奇函数若fl在最大(小)值,则它们的和fi0:③£(x)是偶函数,则有£(—x)=£(x)=£(|x|):④既奇又偶的函数的解析式必fi£(x)=0:⑤对于奇(偶)函数,已知y轴一侧的图像、解析式、单调性,能够确定y轴另一侧的图像、解析式、单调性.题目中出现x与—x的函数值问题,需考虑函数的奇偶性.(3)奇偶函数性质推广(对称性问题).已知函数£(x),x∈D.ķ满足£(a+x)=£(b—x)⇔£(x)关于直线x=对称, 特别地,£(—x)=£(x)⇔£(x)关于y轴(x=0)对称: ĸ满足£(a+x)=—£(b—x)⇔£(x)关于点,0 对称, 特别地,£(—x)=—£(x)⇔£(x)关于原点(0,0)中心对称:③函数y=£(x)与y=£(—x)的图像关于y轴对称:④函数y=£(x)与y=—£(x)的图像关于x轴对称:⑤函数y=£(a+x)与y=£(b—x)的图像关于x=对称. 6.函数的周期性.(1)定义:已知函数y=£(x),x∈D,若对任意x∈D,fl在非零fl 常数T,满足:ķ£(x+T)=£(x),周期fiT:ĸ£(x+T)=—£(x),周期fi²T:£(x+T)+£(x)=G,周期fi²T:③£(x+T)=±,周期fi²T:£(x+T)·£(x)=G(G≠0),周期FI²T:④£(x+T)=—£(x—T),周期fi4T:⑤£(x+T)+£(x—T)=£(x),周期fi6T.(²)对称性与周期性关系:若函数£(x)具有两个对称性(中心、轴)þ周期性三个性质中的两个,则必定具有第三个性质.例如:ķ若£(x)的图像关于直线x=a和x=b对称(a≠b),则£(x)是周期fi²|a—b|的周期函数.ĸ若£(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称(a≠b),则£(x)是周期fi²|a—b|的周期函数.③若£(x)的图像关于直线x=aþ点(b,0)对称(a≠b),则£(x)是周期fi4|a—b|的周期函数.7.三个二次(一元二次方程、二次н等式、二次函数)间的问题可相互转化.如二次函数零点是相ƒ二次方程的,二次н等式的求解依赖于二次方程与二次函数的图像等.(1)一元二次方程.ķ判别式,求¿式, 与系数关系:ĸ的分布问题,要由判别式、对称轴、端点值三者确定.例如:(i)二次方程ax²+BX+G=0(A>0)两都大于k⇔(ii)一大于k,一小于k⇔£(k)<0.(²)二次函数的三种表现形式. y=ax²+bx+G=a(x—m)²+n=a (x—x1)(x—x²)(a≠0),其中(m,n)是顶点,x1,x²fi零点.对于限定区间L的二次函数最值要注意对称轴与区间的ƒ置关系.(3)一元二次н等式解法依赖于相ƒ方程与二次函数图像.(4)对于二次函数£(x)=ax²+bx+G,若£(x1 )=£(x²), x1≠x²,则x1+x²=—.8.关于幂、指数、对数函数问题.(1)幂函数£(x)=xα在第一象限的图像如图1—3所示,单调性fi:当α>0时,函数£(x)在(0,+∞)Lfi增函数:当α<0时,函数£(x)在(0,+∞)Lfi减函数.图1-3(²)指数与对数.a b=N⇔b=log a N(a>0,a≠1),a log a N=N,log a a b=b,=,log a m b n=log a b.(3)指数函数y=a x(a>0,a≠1)与对数函数y=log a x(a>0, a≠1).ķ互fi反函数: ĸ定义域、值域之间的关系fl好相反:③单调性:在各自定义域L,当0<a<1时,均fi减函数:当a>1 时,均fi增函数.(4)以各自的䘀算规则fi模型的抽象函数的表示法.ķ幂函数:£(xy)=£(x)£(y),£=(y≠0,£(y)≠0),£(1)=1:ĸ指数函数:£(x+y)=£(x)·£(y),£(x—y)=,£(0)=1:③对数函数:£(x y)=£(x)+£(y),£=£(x)—£(y),£(1)=0.(±)会画y=a|x|,y=log a|x|,y=|log a x|(a>0,a≠1)的图像.9.图像问题.(1)注意以下两个函数图像.ķ形如y=的函数能变fi形如y=n±的函数,其图像是关于点(m,n)对称的反比例函数图像:ĸ形如y=ax+ 的“©曲函数”,若ab>0,则fi“对勾函数”: 若ab<0,则fi单调函数.(²)图像变换.ķᒣ移变换:ĸ伸缩变换:③对称变换:函数y=£(—x)的图像与函数y=£(x)的图像关于y轴对称.函数y=—£(x)的图像与函数y=£(x)的图像关于x轴对称.函数y=—£(—x)的图像与函数y=£(x)的图像关于原点对称.④翻折变换:y=£(|x|)与y=£(x)之间的关系,y=£(x)与y=£(x)之间的关系.(3)研究问题方法.会由图像特征研究函数性质,能用性质描函数图像,养成用图像、性质分析思考问题,即数形结合思想解题的习惯.查漏补缺1. 函数是数集到数集的特殊映射,其对应法则必须满足自变量在定义域内的任意性,函数值的唯一性例8 已知集合A=(1,²,3,…,²3),求证:нfl在这fi的函数£:A→(1,²,3),使得对任意的整数x1,x²∈A,若|x1—x²|∈(1,²,3),则£(x1)≠£(x²).变式1 函数y=£(x)的图像与直线x=a(a∈R)的交点个数fi ().A.0B.1 C.0或 1 D.可多于12. 结合函数图像研究函数性质如图1—4所示,以函数fi核心,其核心内容包括函数的图像与性质,函数的图像包括基本初等函数的图像的作法þ图像变换,函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性, 对称性þ特殊点.函数知识的外延主要体现在函数与方程(函数零点)þ函数与н等式的结合.而函数与方程(函数零点)þ函数与н等式问题可通过转化思想,利用函数图像与性质求解.图1-4例9 关于x的方程(x—a)(x—b)=²(a<b)的两实fiα, β,且α<β,试比较α,β,a,b的大小.变式1 已知函数£(x)=,若£(²—a²)>£(a),则实数a的ᒣ值范围是().(—1,²)A.(—∞,—1)∪(²,+∞) B.C.(—²,1)D.(—∞,—²)∪(1,+∞)3. 已知函数的解析式研究函数的性质给出函数的解析式,常常需要¼学们能够有意识地通过函数的解析式来研究函数的性质,如函数的奇偶性、单调性、周期性þ函数值的分布等,进而解决函数的有关问题.已知函数£(x)=x²—GOSX,对于L的任意x1 ,x²,有如下条fl:ķx1>x²:ĸ>:③|x1|>x²,其中能使£(x1 )>£(x²)恒成立的条fl序号是.4. 构造函数的解析式研究函数的性质看似与函数无关的问题,如果我们能够分析其本质特点,引入变量并根据其模型构造函数,利用函数性质求解.这才是函数的真正魅力例10 若α,β∈,且αsinα—βsinβ>0,则下列结论fl确的是().A.α>βB.α+β>0C.α<βD.α²>β²变式1 比较, ,ln 这三个实数的大小,并说明理由.变式2 比较, , 的大小.。

函数概念与基本初等函数

函数概念与基本初等函数

函数概念与基本初等函数函数是一种特殊的数学模型,它描述了一个输入变量和一个输出值之间的关系。

函数可以用一条函数曲线连接起来,函数曲线表示在函数中设定的变量值以及变量值对应的函数值之间的关系。

它也可以用一个公式来表示,公式是把变量和函数值之间的关系简洁的表示出来的符号表达式。

函数有着重要的应用:它们可以帮助我们简化复杂的实际情况,解决实际问题;它们也可以借助图解描绘出函数曲线,给我们带来美观的数学图像;它们还可以运用于统计、分析和建模,用于分析实际问题,从而帮助我们做出正确的决策;它们同样也在许多工程中有着重要的应用,借助函数可以解决工程问题,提高效率。

二、基本初等函数①性函数:线性函数是一类最基本的数学函数,它们的关系是一元一次的,可以用一条直线表示,也可以用一个简单的一元一次方程式y=ax+b来表示。

其中,a为参数,b为常数,x为自变量,y为因变量。

②数函数:指数函数和一般的线性函数有着显著不同,它不是把变量与常数相加,而是将变量与常数指数相乘。

指数函数可以用一条曲线表示,也可以用一个一元指数方程y=a^x来表示,其中a为正数,x为自变量,y为因变量。

③数函数:对数函数也是一类基本的数学函数,它可以用一条曲线表示,可以用一个简单的一元对数方程y=loga x表示,其中a为正数,x为自变量,y为因变量。

④函数:幂函数是一类基本的函数,它可以用一条曲线表示,可以用一个简单的一元幂函数y=x^a表示,其中a为正数,x为自变量,y为因变量。

三、应用上述基本初等函数在数学和工程等不同领域有着重要的应用。

(1)数学线性函数、指数函数、对数函数和幂函数等四种基本的初等函数可以用来简化复杂的实际情况,解决实际问题;它们也可以描绘出美观的数学图像,帮助我们分析实际问题,掌握事物的发展规律;它们还可以运用于统计、分析和建模,为我们做出正确的决策提供支持。

(2)工程初等函数在工程领域应用相当广泛。

借助它们我们可以实现复杂的功能设计、参数调整、运动控制、数据处理等任务,能够更快更准确地解决一些复杂的工程问题,有效提高工程运行的效率。

2020版高考数学第二章函数概念与基本初等函数第4讲二次函数与幂函数分层演练理(含解析)新人教A版

2020版高考数学第二章函数概念与基本初等函数第4讲二次函数与幂函数分层演练理(含解析)新人教A版

第4讲二次函数与幂函数1.如图是①y=x a;②y=x b;③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<a B.a<b<cC.b<c<a D.a<c<b解析:选D.根据幂函数的性质,可知选D.2.已知函数f(x)=-x2+4x在区间[-1,n]上的值域是[-5,4],则n的取值范围是( ) A.[2,5] B.[1,5]C.[-1,2] D.[0,5]解析:选A.f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,所以f(2)=4,又由f(x)=-5,得x=-1或5,由f(x)的图象知:2≤n≤5.3.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象是( )解析:选D.因为a>b>c,且a+b+c=0,得a>0,且c<0,所以f(0)=c<0,所以函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,与y轴的交点在y轴的负半轴上.4.f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则f(-1),f(-2),f(3)的大小关系为( ) A.f(3)>f(-2)>f(-1)B.f(3)<f(-2)<f(-1)C.f(-2)<f(3)<f(-1)D.f(-1)<f(3)<f(-2)解析:选B.因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,所以得m=0,即f(x)=-x2+3,其在[0,+∞)上为减函数,又因为f(-2)=f(2),f(-1)=f(1)且1<2<3,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(3)<f(-2)<f(-1).5.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m 的取值范围是( )A.[0,1] B.(0,1)C .(-∞,1)D .(-∞,1]解析:选D.当m =0时,令f (x )=0得,-3x +1=0,则x =13>0,符合题意;当m >0时,由f (0)=1可知:要满足题意, 需⎩⎪⎨⎪⎧Δ=(m -3)2-4m ≥0,-m -32m>0,解得0<m ≤1;当m <0时,由f (0)=1可知,函数图象恒与x 轴正半轴有一个交点. 综上可知,m 的取值范围是(-∞,1].6.已知幂函数f (x )=x α的图象过点(2,4),那么函数f (x )的单调递增区间是________. 解析:因为f (2)=2α=4,所以α=2,故函数f (x )的解析式为f (x )=x 2,则其单调递增区间为[0,+∞). 答案:[0,+∞)7.已知二次函数为y =x 2+2kx +3-2k ,则顶点位置最高时抛物线的解析式为________. 解析:由题意可知:y =x 2+2kx +3-2k =(x +k )2-k 2-2k +3,所以该抛物线的顶点坐标为 (-k ,-k 2-2k +3).设顶点的纵坐标为y =-k 2-2k +3=-(k +1)2+4,所以当k =-1时,顶点位置最高.此时抛物线的解析式为y =x 2-2x +5. 解析:y =x 2-2x +58.已知a 是实数,函数f (x )=2ax 2+2x -3在x ∈[-1,1]上恒小于零,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意知2ax 2+2x -3<0在[-1,1]上恒成立. 当x =0时,-3<0,符合题意; 当x ≠0时,a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -132-16,因为1x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以当x =1时,右边取最小值12,所以a <12.综上,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12. 答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,129.已知幂函数f (x )=x(m 2+m )-1(m ∈N *)的图象经过点(2,2),试确定m 的值,并求满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围.解:因为函数f (x )的图象经过点(2,2), 所以2=2(m 2+m )-1,即212=2(m 2+m )-1,所以m 2+m =2,解得m =1或m =-2. 又因为m ∈N *,所以m =1,f (x )=x 12.又因为f (2-a )>f (a -1), 所以⎩⎪⎨⎪⎧2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a <32,故函数f (x )的图象经过点(2,2)时,m =1.满足条件f (2-a )>f (a -1)的实数a 的取值范围为1≤a <32.10.已知函数f (x )=x 2+2ax +2,x ∈[-5,5]. (1)当a =-1时,求函数f (x )的最大值和最小值;(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x )在区间[-5,5]上是单调函数. 解:(1)当a =-1时,f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[-5,5], 所以当x =1时,f (x )取得最小值1; 当x =-5时,f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )=(x +a )2+2-a 2的图象的对称轴为直线x =-a , 因为y =f (x )在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a ≤-5或-a ≥5,即a ≤-5或a ≥5. 故a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).1.已知函数f (x )=x 2+x +c ,若f (0)>0,f (p )<0,则必有( ) A .f (p +1)>0 B .f (p +1)<0C .f (p +1)=0D .f (p +1)的符号不能确定解析:选A.由题意知,f (0)=c >0,函数图象的对称轴为x =-12,则f (-1)=f (0)>0,设f (x )=0的两根分别为x 1,x 2(x 1<x 2),则-1<x 1<x 2<0,根据图象知,x 1<p <x 2,故p +1>0,f (p+1)>0.2.(2019·陕西西安模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14,2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)(x 1<x 2)是函数图象上任意不同的两点,给出以下结论:①x 1f (x 1)>x 2f (x 2);②x 1f (x 1)<x 2f (x 2);③x 22f (x 1)>x 21f (x 2);④x 22f (x 1)<x 21f (x 2). 其中正确结论的序号为( ) A .①③ B .①④ C .②③D .②④解析:选C.设函数f (x )=x α,依题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫14α=2, 所以α=-12,因此f (x )=x -12.令g (x )=xf (x )=x ·x -12=x 12,则g (x )在(0,+∞)上单调递增,而0<x 1<x 2,所以g (x 1)<g (x 2),即x 1f (x 1)<x 2f (x 2),故①错误,②正确;令h (x )=f (x )x 2=,则h (x )在(0,+∞)上单调递减,而0<x 1<x 2,所以h (x 1)>h (x 2),即f (x 1)x 21>f (x 2)x 22, 于是x 22f (x 1)>x 21f (x 2), 故③正确,④错误,故选C.3.设函数f (x )=x 2-1,对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m -4m 2f (x )≤f (x -1)+4f (m )恒成立,则实数m 的取值范围是________.解析:依据题意,得x 2m 2-1-4m 2(x 2-1)≤(x -1)2-1+4(m 2-1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞上恒成立,即1m 2-4m 2≤-3x 2-2x +1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞上恒成立. 当x =32时,函数y =-3x 2-2x +1取得最小值-53,所以1m 2-4m 2≤-53,即(3m 2+1)(4m 2-3)≥0,解得m ≤-32或m ≥32. 答案:⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ 4.定义:如果在函数y =f (x )定义域内的给定区间[a ,b ]上存在x 0(a <x 0<b ),满足f (x 0)=f (b )-f (a )b -a,则称函数y =f (x )是[a ,b ]上的“平均值函数”,x 0是它的一个均值点,如y =x 4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f (x )=-x 2+mx +1是[-1,1]上的平均值函数,则实数m 的取值范围是________.解析:因为函数f (x )=-x 2+mx +1是[-1,1]上的平均值函数,设x 0为均值点,所以f (1)-f (-1)1-(-1)=m =f (x 0),即关于x 0的方程-x 20+mx 0+1=m 在(-1,1)内有实数根, 解方程得x 0=1或x 0=m -1. 所以必有-1<m -1<1, 即0<m <2,所以实数m 的取值范围是(0,2). 答案:(0,2)5.已知函数f (x )=x 2+4ax +2a +6.(1)若函数f (x )的值域为[0,+∞),求a 的值;(2)若函数f (x )的函数值均为非负数,求g (a )=2-a |a +3|的值域. 解:(1)因为函数的值域为[0,+∞),所以Δ=16a 2-4(2a +6)=0,即2a 2-a -3=0, 解得a =-1或a =32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负, 所以Δ=8(2a 2-a -3)≤0⇒-1≤a ≤32.所以a +3>0.所以g (a )=2-a |a +3|=-a 2-3a +2 =-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +322+174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,32. 因为二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,32上单调递减, 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (-1),即-194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-194,4.6.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间;(2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式;(3)若函数g (x )=f (x )-2ax +2(x ∈[1,2]),求函数g (x )的最小值. 解:(1)f (x )在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增.(2)设x >0,则-x <0,函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x ,所以f (x )=f (-x )=(-x )2+2×(-x )=x 2-2x (x >0),所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x (x >0),x 2+2x (x ≤0).(3)g (x )=x 2-2x -2ax +2,对称轴方程为x =a +1, 当a +1≤1,即a ≤0,g (1)=1-2a 为最小值;当1<a +1≤2,即0<a ≤1时,g (a +1)=-a 2-2a +1为最小值; 当a +1>2,即a >1时,g (2)=2-4a 为最小值. 综上可得g (x )min =⎩⎪⎨⎪⎧1-2a ,a ≤0,-a 2-2a +1,0<a ≤1,2-4a ,a >1.。

函数与基本初等函数

函数与基本初等函数

第二章函数与基本初等函数知识网络考纲要求复习策略函数不仅是高中数学的核心内容,还是学习高等数学的基础,所以在高考中,函数知识占有极其重要的地位,而且知识覆盖面广、综合性强,在易、中、难各类考题中都会出现,如:2009山东高考理科第6、10、14、16、21题,2009上海高考理科第14、20题,2009浙江高考文科第8题,2009宁夏、海南高考文科第12、21题;而在江苏高考中,函数题的难度一般偏大,与其他省相比具有独特性,如:2007江苏高考第21题、2008江苏高考第14、20题,2009江苏高考第20题.本章主要学习了函数的概念,基本初等函数的概念、图象和性质,函数与方程的关系以及函数的模型及其应用.掌握它们的图象与性质是掌握函数的基础,判断、证明和应用函数的定义域、值域、单调性和奇偶性是高考的重点,特别是函数的图象和图象的变换是高考的热点,应用函数知识解决应用问题也是高考考查学生分析问题、解决问题能力的一个体现.本章中出现的数学方法有换元法、配方法、待定系数法等,主要的数学思想有化归思想、函数与方程思想、数形结合思想和分类讨论思想等.在复习本章内容的过程中要牢固掌握以下策略:1. 重视灵活应用“定义”解题.定义是一切问题的基础,是解决问题的根本出发点.如:利用定义可以直接判断一个对应法则是否为映射或函数,也可以证明或判断函数的单调性和奇偶性等.2. 紧抓函数的“定义域”解题.函数由定义域和对应法则确定,函数的值域由函数的定义域确定,研究任何函数的任何性质都必须在其定义域内进行.如:求函数的解析式要注明定义域;求函数的单调区间必须先确定其定义域;考虑函数的奇偶性必须先考虑其定义域是否关于原点对称;换元时一定要写清所换元的取值范围等.3. 巧妙利用“数形结合思想”解题.“数”具有抽象性,“形”具有直观性,只要是能作出图形的问题我们一定要作出图形,即使不能作出完整的图形我们也要作出部分图形,这样可能会让我们的思维更方便快捷.4. 注意使用“分类讨论思想”解题.在很多含有参数的函数问题中,往往没办法直接把问题说清楚,这个时候必须对参数进行讨论.如:指数函数、对数函数的性质均与其底数与1的大小有关.5. 学会用“函数与方程思想”解题.函数与方程是紧密联系在一起的,函数可以和方程相互转化,函数与方程思想是最重要、最基本的数学思想方法之一,它可以很好地帮助我们解题.第5课函数的概念及其表示法课前热身激活思维1. 设集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤4},有以下4个对应法则:①f:x→y=x2;②f:x→y=3x-2;③f:x→y=-x+4;④f:x→y=4-x2.其中不能构成从A到B的函数的是___________.(填序号)[答案]④[解析]容易作出题中给出的四个函数的图象,对于函数y=4-x2,集合A中的2在对应的数为0,不在集合B中.2. 若f(x+3)=x2-2x+3,则f(x)=___________.[答案]x2-8x+18[解析]方法一(换元法):设x+3=t,则x=t-3,∴f (t )=(t -3)2-2(t -3)+3=t 2-8t +18. ∴f (x )=x 2-8x +18.方法二(配凑法):f (x +3)=x 2-2x +3=(x +3)2-8(x +3)+18,∴f (x )=x 2-8x +18.3. 已知集合A ={3,4},B ={5,6,7},那么可建立从A 到B 的映射的个数是___________个,从B 到A 的映射的个数是___________个. [答案] 9,8[解析]易知从A 到B 的映射有32=9(个),从B 到A 的映射有23=8(个). 4. (2009·山东卷文改编)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=2log (4),0,(1)(2),0,x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩,则f (3)的值为___________.[答案] -2[解析]由已知得f (-1)=log 25,f (0)=log 24=2,所以f (1)=f (0)-f (-1)=2-log 25,f (2)=f (1)-f (0)=-log 25,f (3)=f (2)-f (1)=-log 25-(2-log 25)=-2. 知识梳理1. 函数的概念设A ,B 是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应,那么称f : A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作:y =f (x ),x ∈A .其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y =f (x )的定义域;将所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域.2. 函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则是函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.3. 映射的定义设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的对应关系叫做集合A 到集合B 的映射,记作:f :A →B .4. 函数的表示法(1)解析法:把两个变量的函数关系用一个等式来表示. (2)列表法:列出表格来表示两个变量之间的函数关系. (3)图象法:用函数图象表示两个变量之间的关系.课堂导学知识点1 判断对应法则是否为函数【例1】判断下列对应法则是否为函数:(1)x→y=x2+2x+1,x∈R;(2)x→y,这里y4=x,x∈R,y∈R;(3)A={(x,y)|x,y∈R},B=R,对任意(x,y)∈A,(x,y)→x+y.[思维引导]判断标准:根据给出的定义域和对应法则,看自变量x在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应.[解答](1)对于任意一个实数x,y=x2+2x+1都被x唯一确定,所以当x∈R时,y=x2+2x+1是函数.(2)考虑输入值1,即当x=1时,输出值为y,由y4=1得y=±1,这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应),所以x→y,这里y4=x不是函数.(3)由于集合A不是数集,所以此对应法则一定不是函数.[精要点评]由解析式判别函数关系,从三个角度入手:(1)定义域是否为数集;(2)定义域中每个值是否使解析式都有意义;(3)由解析式算出的数是否唯一.知识点2 判断是否为同一函数【例2】试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)f(x);(2)f(x)=xx,g(x)=1,0,1,0;xx≥⎧⎨-<⎩(3)f(x)f(x)(4)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.[思维引导]对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域和对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.而我们一般只要先考查定义域,再考虑对应法则即可.[解答](1)由于f(x)x|,g(x)=x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数.(2)由于函数f(x)=||xx的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而1,0,1,0xx≥⎧⎨-<⎩的定义域为R,所以它们不是同一函数.(3)由于函数f(x){x|x≥0},而g(x){x|x≤-1或x≥0},所以它们不是同一函数. (4)两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.[精要点评](1)第(4)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透.要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数.(2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一个不同,则这两个函数就不可能是同一函数.知识点3 求函数的解析式【例3】根据下列条件求各函数的表达式:(1) 已知f21x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=l gx ,求f (x ); (2) 已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x );(3) 已知f 1x x ⎛⎫-⎪⎝⎭=x 2+21x +1(x >0),求f (x ).[思维引导] 求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式,可用待定系数法;如果已知复合函数f [g (x )]的表达式来求f (x ),常用换元法;当已知表达式较为简单时,甚至可直接用配凑法;对于某些有特殊结构的式子,还会用到对称结构的方程组法.[解答](1) (换元法)令2x+1=t (t >1),则x =21t -,∴f (t )=2lg 1x -,∴f (x )=2lg 1x -(x >1).(2) (待定系数法)设f (x )=ax +b (a ≠0),则3f (x +1)-2f (x -1)=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17, ∴a =2,b =7,∴f (x )=2x +7.(3)(配凑法)2113f x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴f (x )=x 2+3.[精要点评]在采用整体换元法求解时一定要注意所换的元的取值范围,不但要从式子形式上确定其取值范围,还要注意题目的限制条件;待定系数法是求函数解析式的重要方法,用这种方法求解析式的前提是知道所求的函数的类型. 【变式拓展】 已知f 1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭=x 3+31x +1,求f (x ).[解答]2211111f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21131x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,,∴f (x )=x (x 2-3)+1(x ≠0).【备讲例题】已知f (x )=2x +a ,g (x )=14(x 2+3),若g [f (x )]=x 2+x +1,求a 的值.[解答]∵f (x )=2x +a ,g (x )=14(x 2+3),∴g [f (x )]=14[(2x +a )2+3]=x 2+ax +14(a 2+3).又∵g [f (x )]=x 2+x +1, ∴x 2+ax +14(a 2+3)=x 2+x +1,从而可得a =1.【例4】如右图,在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ,沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动,设点P 移动的路程为x ,△ABP 的面积为y =f (x ).(1) 求△ABP 的面积与点P 移动的路程间的函数关系式; (2) 作出函数的图象,并根据图象求y 的最大值.[思维引导] 考虑到点P 在正方形ABCD 四边上移动时△ABP 的面积y 与路程x 的解析式不同,应分段进行考虑. (1) 这个函数的定义域为(0,12).[解答]当0<x ≤4时,S =f (x )=12·4·x =2x ;当4<x ≤8时,S =f (x )=8; 当8<x <12时,S =f (x )=12·4·(12-x )=2(12-x )=24-2x .∴这个函数的解析式为2,(0,4],()8,(4,8],242,(8,12].x x f x x x x ∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩(2) 其图象如图所示,由图知,f (x )max =8.[精要点评](1) 写函数的解析式时一定要写清定义域;(2) 函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义的要求.规范答题赏析 (2009·江苏省泰州市高三联考)(本小题满分15分)如图,有一块四边形绿化区域BCED ,其中∠C =∠D =90°,BC =BDCE =DE =1.现准备经过DB 上一点P 和EC 上一点Q 铺设水管PQ ,且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分,设DP =x ,EQ =y .(1) 求x,y 之间的关系式; (2) 求水管PQ 的长的最小值.[规范解答] (1) 延长BD 、CE 交于点A (如图所示),则ADAE =2.……2分又BC =BDA =30°,∴S △ADE =S △BDE =S △BCE……4分 ∵PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分,∴S △APQ………6分而S △APQ =12AP ·AQ ·sin A =12(x(y +2)sin30°即14(xy∴(xy………………………8分(2) PQ 2=AP 2+AQ 2-2AP ·AQ cos30°=(x2+2-2×≥2×……………………………………………………………………12分当且仅当(x2=2,即xPQ 取得最小值,∴ PQ min……………………………………………………15分[要点反思] (1) 注意到本题中有很多的直角三角形并且相关的长度都已经给出,从而想到利用求图形的面积来寻找关系;(2)解决本题的关键是能作出辅助线和正确表达三角形的面积.总结规律1. 求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式,可用待定系数法;如果已知复合函数f[g(x)]的表达式来求f(x),常用换元法;当已知表达式较为简单时,甚至可直接用配凑法;对于某些有特殊结构的式子,还会用到对称结构的方程组法.2. 函数定义的三要素是理解函数概念的关键,用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.写分段函数的解析式时,要按x的特点分段,明确分段函数是一个函数,只是由于该函数在自变量取值的各个阶段的对应关系不一样才以分段的形式给出,并且它的定义域、值域应是各阶段相应集合的并集.3. 对于映射应注意以下几点:(1)集合A、B及对应法则f是确定的,是一个系统;(2)对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的;(3)集合A的每一个元素,在集合B中都有对应元素(象),并且该元素是唯一的,这是映射区别于一般对应的本质特征;(4)集合A中的不同元素,在集合B中对应的元素可以是同一个;(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应的元素(原象).4. 函数与映射的主要区别在于它们所研究的对象不同.温馨提醒本课时结束后,请使用《配套检测与评估》相应的第5课时.第6课函数的定义域与值域课前热身激活思维1. (2008·山东卷文改编)设函数f(x)=221,1,2,1,x xx x x⎧-≤⎪⎨+->⎪⎩则()1()2ff=___________.[答案]15 16[解析]∵f(2)=22+2-2=4,∴1(2)f=14,f(14)=1-(14)2=1516.∴1()(2)ff=15 16.2. ( 2009·江西卷文)函数y的定义域为___________.[答案] {x|-4≤x<0或0<x ≤1} [解析]由20,4001340,x x x x x ≠⎧-≤<<≤⎨--+≥⎩得或.3. (2008·江西卷文)若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=(2)1f x x -的定义域是___________.[答案][0,1)[解析]因为f (x )的定义域为[0,2],所以对于g (x )中,0≤2x ≤2且x ≠1,故x ∈[0,1).4. 函数y=221x x +的定义域是___________,值域是___________.[答案]R ,[0,1)[解析]定义域是R .当x =0时,y =0;当x ≠0时,2221.111x y x x==++.∵x 2>0,21x >0,∴1+21x >1,∴ 0<211x +<1.∴0<y <1,即原函数的值域是[0,1).知识梳理1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,若没有标明定义域,则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围. (2) 分式中分母应不等于0,偶次根式中被开方数应为非负数,奇次根式中,x ∈R ,零指数幂中底数不等于0,负分数指数幂中底数应大于0.(3) 对数式中,真数必须大于0,底数必须大于0且不等于1,含有三角函数的角要使该三角函数有意义等. (4) 实际问题中还需考虑自变量的实际意义,若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集. 2. 函数的值域求函数值域比求函数定义域要复杂得多,求函数值域常和求函数最值问题紧密相联,历届高考试卷中一般都出现,要适当注意.不过从近年的出题趋势来看,函数的值域问题考查的一般不是太难.求函数值域主要有以下一些方法:(1) 函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域. (2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域.(3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域;分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R 的函数).(4) 单调函数常根据函数的单调性求得值域.(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.(6) 有些函数具有明显的几何意义,可根据解析几何的知识利用数形结合的方法求值域. (7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.课堂导学知识点1 求相关函数的定义域【例1】 求下列函数的定义域:(1) f (x )2x +1);(2) f (x )+(3-2x )0.[解答](1) 由题意可得10,1310,3x x ->⎧-⎨+>⎩解之得<x<1,即原函数的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2) 由题意可得202,20,1,210,21,211,3320,,2x x x x x x x x x ≤≤⎧⎪⎧-≥⎪>⎪->⎪⎪⎨⎨≠-≠⎪⎪⎪⎪-≠⎩≠⎪⎩解之得 即12<x ≤2且x ≠1和32,∴原函数的定义域为133,11,,2.222⎛⎫⎛⎫⎛⎤⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦[精要点评]会求函数的定义域是正确求解一切函数问题的基础,求解时要注意找全限制条件,并正确取出各部分的公共部分,且最后结论一定要写成集合或区间的形式.【变式拓展】 求函数f (x )x 的定义域.[解答]由题意可得255250,22,sin 0,x x k x k k x πππ-≤≤⎧-≥⎧⎨⎨<<+∈>⎩⎩z 解之得,∴原函数的定义域为[-5,-π)∪(0,π). 【备讲例题】已知函数f (x )的定义域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求函数212y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域. [解答]∵-12≤x 2-x-12≤12⇒20x x ⎧≤⎪⇒⎨-≥⎪⎩2x -x-10,,01,x x x ≤≤⎪≤≥⎩或∴所求函数的定义域是151,.⎤⎡+⎥⎢⎣⎦⎣⎦知识点2 函数的定义域的应用【例2】若函数y =R ,求实数a 的取值范围. [思维引导] 可先求出使函数有意义的不等式(组),再对其中的参数进行分类讨论使问题获解. [解答]由题意知当x ∈R 时,(a 2-1)x 2+(a -1)x 2+21a +≥0恒成立. ① 当a 2-1=0,即210,10a a ⎧-=⎨+≠⎩时,得a =1,此时有(a 2-1)x 2+(a -1)x +21a +=1.可知当x ∈R 时,(a 2-1)x 2+(a -1)x +21a +≥0恒成立.② 当a 2-1≠0,即22210,2(1)4(1)01a a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪+⎩时,有221,1090,a a a ⎧>⎪⎨-+≤⎪⎩解得1<a ≤9. 综上所述,使得函数y 的定义域为R 的a 的取值范围是[1,9].[精要点评]解决本题关键的是理解函数的定义域是R 的意义,并会对函数式进行分类讨论,特别要注意不要遗漏对第一种情况a 2-1=0的讨论.【变式拓展】已知函数f (x )R ,求实数a 的取值范围.[解答]由a =0或20,4(3)0,a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩解得-12<a ≤0,即a ∈(-12,0].【备讲例题】记函数f (x )A ,g (x )=l g [(x -a -1)(2a -x )](a <1)的定义域为B . (1) 求A ;(2) 若B ⊆A ,求实数a 的取值范围. [解答](1) 由题意知3201x x +-≥+且x +1≠0,解得31x x -+≥0,即x <-1或x ≥1,∴A =(-∞,-1)∪[1,+∞). (2) 由(x -a -1)(2a -x )>0,得(x -a -1)(x -2a )<0.∵a <1,∴a +1>2a ,∴B =(2a ,a +1).∵BA ,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥12或a ≤-2.又a<1,∴12≤a<1或a≤-2.所以当B⊆A时,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.知识点3 求函数的值域【例3】求下列函数的值域:(1)y=3x2-x+2,x∈[1,3];(2)y=312 xx+ -;(3)y(4)y=22121x xx-+-(x>12).[思维引导]函数的值域问题是函数知识的重要组成部分,它蕴含的思想方法丰富,不同类型函数模型的值域问题有不同的解法,要视具体问题而定.[解答](1)(配方法)∵y=3x2-x+2=32123,612x⎛⎫-+⎪⎝⎭,∴函数y=3x2-x+2在[1,3]上单调增.∴当x=1时,原函数有最小值为4;当x=3时,原函数有最大值为26. ∴函数y=3x2-x+2,x∈[1,3]的值域为[4,26].(2)(分离变量法)y=313(2)722x xx x+-+=--=3+72x-,∵72x-≠0,∴3+72x-≠3.∴函数y=312xx+-的值域为{y|y∈R且y≠3}.(3)(换元法)设t0,则x=1-t2,∴原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0),∴y≤5,∴原函数的值域为(-∞,5].(4)(基本不等式法)y=22121x xx-+-=(21)121x xx-+-=x+121x-=x-12+112122x+-,∵x>12,∴x-12>0,∴x-12+1212x-≥2)1()x=-当且仅当x-12=1212x-,即时等号成立.∴y.∴原函数的值域为1,2⎫+∞⎪⎭.[精要点评]配方法、分离变量法和三角代换是求解常见函数值域的有效方法,但要注意各种方法所适用的函数形式,还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数,换元的目的是进行化归,把无理式转化为有理式来解;二次分式型函数求值域,多采用分离出整式利用基本不等式法.【变式拓展】已知f(x)=12(x-1)2+1的定义域和值域均为[1,b](b>1),求b的值.[解答]∵f (x )的对称轴为x =1且开口向上,∴f (x )在[1,b ]上单调递增,则当x =1时,f (x )min =1;当x =b 时,f (x )max =b ,即12(b -1)2+1=b ,解得b =1或b =3.又b >1,∴b =3.【备讲例题】若函数f (x )=21ax x c ++的值域为[-1,5],求实数a 、c 的值.[解答]由y =f (x )=21ax x c++,得yx 2-ax +cy -1=0.当y =0时,ax =-1,∴a ≠0.当y ≠0时,∵x ∈R ,∴Δ=a 2-4y (cy -1)≥0.∴4cy 2-4y -a 2≤0. 又∵-1≤y ≤5,∴-1、5是方程4cy 2-4y -a 2=0的两根.∴214,5,4c a c⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,∴1.4a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 规范答题赏析 (2009·淮安市十月四校联考)(本小题满分14分)已知命题p :f (x )=lg (x 2+ax +1)的定义域为R ,命题q :关于x 的不等式x +|x -2a |>1的解集为R .若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围.[规范解答]当p 为真命题时,Δ=a 2-4<0,……………………………………………2分 解得:-2<a <2. ……………………………………………………………………………………4分当p 为真命题时,令g (x )=x +|x -2a |=22,2,2,2,x a x a a x a -≥⎧⎨<⎩∴g (x )min=2a . …………………………………………………………………………………6分 ∵x +|x -2a |>1的解集为R ,∴2a >1,即a >12.…………………………………………………… 7分又“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p ,q 中一真一假,……………………………………8分∴22,22,11.22a a a a a -<<≤-≥⎧⎧⎪⎪⎨⎨≤>⎪⎪⎩⎩或或 …………………………………………………………12分 f ∴-2<a ≤12或a ≥2.∴a 的取值范围是12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦∪[2,+∞). …………………………………14分 [要点反思] 这是一道具有一定综合性的题目,首先要由题目中的条件求出各命题为真的范围,然后根据逻辑联结词之间的关系给出解答.总结规律1. 函数的定义域是函数的三要素之一,是函数内容中的重点和难点.求解函数定义域的方法:给出函数的解析式的直接法、实际问题的有界法和抽象函数的换元法等.2. 函数三要素之一的值域,是函数内容中的重点和难点,求解函数值域的基本方法有配方法、变量分离法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性策略和数形结合思想.但无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域.3. 对于函数的值域问题,由于函数的灵活性和多样性,所以抓住特征,挖掘其隐含条件,因题而异,采用不同的方法,是解此类问题的关键.温馨提醒本课时结束后,请使用《配套检测与评估》相应的第6课时.第7课函数的奇偶性与周期性课前热身激活思维1. (2009·重庆卷理)若f(x)=121x-+a是奇函数,则a=___________.[解析]方法一:由于f(-x)=121x--+a=212xx-+a,所以f(-x)=-f(x)⇒212xx-+a=1()21xa--+⇒-112x--212xx-=1,故a=12.方法二:f(1)+f(-1)=1+a-2+a=0,故a=1 2 .2. (2008·上海卷文)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为f(x)=___________.[答案]-2x2+4[解析]由f(x)=bx2+a(b+2)x+2a2是偶函数,可得a(b+2)=0.又其值域为(-∞,4],∴b<0,且2a2=4,从而b=-2.∴f(x)=-2x2+4.3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),则f(2)=___________.[答案]0[解析]∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x).又∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.∴f(2)=f(0)=0.4. (2009·辽宁卷文改编)已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=12x⎛⎫⎪⎝⎭;当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2)=___________.[答案]1 16[解析]f(2)=f(3)=f(4)=411 216⎛⎫=⎪⎝⎭.5. (2009·江西卷文)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 008)+f(2 009)的值为___________.[答案]1[解析]易知函数的周期为2,则f(-2 008)+f(2 009)=f(0)+f(1)=log21+log22=1.知识梳理1. 奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0),则称f(x)为奇函数;对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0),则称f(x)为偶函数.2. 周期函数的定义f(x)是定义在R上的函数,如果存在非零常数T,使得对任意的x都有f(x+T)=f(x),那么称f(x)是R上的周期函数,T称为f (x)的一个周期.如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是最小正周数.3. 奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0.(4)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.课堂导学知识点1 函数奇偶性的判定【例1】判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-1(2)f(x)=22lg(1)22xx---;(3)f(x)=22(0)(0)x x xx x x⎧+<⎪⎨-+>⎪⎩.[思维引导]判断函数的奇偶性首先要看其定义域是否关于原点对称,再看解析式的关系.[解答](1)由11xx+≥-,得定义域为[-1,1),关于原点不对称,∴f(x)为非奇非偶函数.(2)由2210,(1,0)(0,1), 220,xx⎧->⎪-⎨--≠⎪⎩得定义域为∴f(x)=22 22lg(1)lg(1) (2)2x xx x--=---.∴f (-x )=2222lg[(1())]lg(1)(),()x x f x x x----=-=- ∴f (x )为偶函数.(3) 当x <0时,-x >0,则f (-x )=-(-x )2-x =-(x 2+x )=-f (x ); 当x >0时,-x <0,则f (-x )=(-x )2-x =-(-x 2+x )=-f (x ).综上所述,对任意的x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.[精要点评]判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域.若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).【变式拓展】判断函数f (x )21x -的奇偶性.[解答]由2210,10,x x ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩,得x =±1,即函数的定义域为{-1,1}.于是f (x )=0,x ∈{-1,1}.而f (-x )=f (x )=0,f (-x )=-f (x )=0, ∴f (x )既是奇函数又是偶函数. 【备讲例题】函数F (x )=2121x⎛⎫+ ⎪-⎝⎭f (x )(x ≠0)是偶函数,且f (x )不恒等于零,则f (x )是____函数(填“奇”或“偶”). [答案]奇[解析]令g (x )=22112121x x x ++=--,且g (-x )=211221211221x x x x xx --+++==----=-g (x ),则g (x )为奇函数.因为F (x )是偶函数,而奇函数与奇函数的积在共同区间上是偶函数,所以f (x )为奇函数. 知识点2 函数奇偶性的证明【例2】证明:函数f (x )=11212xx ⎛⎫+⎪-⎝⎭+a (其中a 为常数)为偶函数. [思维引导] 对于函数的奇偶性和周期性的证明都应该从它们的定义出发来寻找解题思路. [解答]易知此函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵f (-x )=1121212212x x x x a x a -⎛⎫⎛⎫-++=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2111212x x x a x ⎛⎫-+=-+= ⎪-⎝⎭11212x a -⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=f (x )∴f (x )11212x x a ⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭(其中a 为常数)为偶函数. [精要点评]函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性,从而有了解决问题的方向,只是在对式子的变形上可能会要下一定的功夫,特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.【变式拓展】已知函数f (x )对一切x ,y ∈R ,都有f (x +y )=f (x )+f (y ). (1) 求证:f (x )是奇函数;(2) 若f (-3)=a ,用a 表示f (12).[解答](1) 显然f (x )的定义域是R ,关于原点对称. 在f (x +y )=f (x )+f (y )中, 令y =-x ,得f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0,得f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0.∴f (x )+f (-x )=0,即f (-x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数. (2) 由f (-3)=a ,f (x +y )=f (x )+f (y ),及f (x )是奇函数, 得f (12)=2f (6)=4f (3)=-4f (-3)=-4a .【备讲例题】设函数f (x )的定义域关于原点对称,且满足: ① f (x 1-x 2)=1221()()1()()f x f x f x f x +- (x 1≠x 2);② 存在正常数a ,使得f (a )=1.求证:(1) f (x )是奇函数;(2) f (x )是周期为4a 的周期函数. [解答](1)令x =x 1-x 2, 则f (-x )=f (x 2-x 1)=2112()()1()()f x f x f x f x +=-2121()()1()()f x f x f x f x +=-=-f (x 1-x 2)=-f (x ),∴f (x )为奇函数.(2) ∵f (x +a )=f [x -(-a )]=()()1()()f x f a f a f x -+=--()11()f x f x -+=--1-2()1f x +,∴f (x +2a )=1-2()1f x a =++1-2211()1f x =-++1-()1()f x f x +==-1()f x ,∴f (x +4a )=-1()(2)f x f x a =+.∴f (x )是周期为4a 的周期函数.[精要点评]通过本题的解答,我们学习了一种很好的解题方法,由于很难直接将4a 与条件中的a 挂钩,因此考虑到逐步逼近结论的方法:由a →2a →4a ,这是值得好好学习的数学思想方法. 知识点3 函数奇偶性、周期性的应用【例3】 已知定义在R 上的偶函数f (x )满足:f (x +1)=-f (x ),且当x ∈[0,1]时, f (x )=3x -1,求f (log 326)的值.[思维引导一]由题中的条件可得出函数f (x )的周期为2,又易知2<log 326<3,而题中只给出了f (x )在[0,1]上的表达式,所以要求出函数f (x )在[2,3]上的解析式.[解答一]∵f (x +2)=-f (x +1)=f (x ),∴f (x )是周期为2的周期函数.∵9<26<27,∴2<lo g 326<3.令2≤x ≤3,∴0≤x -2≤1.∵f (x )的周期为2,且当x ∈[0,1]时,f (x )=3x -1,∴当x ∈[2,3]时,f (x )=f (x -2)=3x-2-1. ∴f (log 326)=3log 326-2-1=326log 931-=269-1=179. [思维引导二]由题中的条件可得出函数f (x )的周期为2,又易知2<log 326<3,而题中只给出了在[0,1]上的表达式,易知0<log 326-2<1,而又函数f (x )的周期为2,即f (log 326)=f (log 326-2).[解答二]∵f (x +2)=-f (x +1)=f (x ),∴f (x )是周期为2的周期函数.∵9<26<27,∴2<log 326<3,∴0<log 326-2<1,即0<326log 9<1. 又∵f (x )的周期为2,∴(log 326)=f (log 326-2)=326log 93262617log 311.999f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭[精要点评]表达式f (x +a )=-f (x )(a >0)是周期函数的另一种表示形式,其周期是2a ,这是解决本题的关键.另外,本题给出的两种解法体现了两种不同的解题思想:一是求出所求范围内的函数解析式;二是将所求的变量化到已知的范围内. 规范答题赏析(2009·淮安中学高三期中测试)(本小题满分14分).已知函数f (x )=x 2+ax(x ≠0,常数a ∈R).(1) 讨论函数f (x )的奇偶性,并说明理由;(2) 若函数f (x )在x ∈[2,+∞)上为增函数,求a 的取值范围.[规范解答](1) 当a =0时,f (x )=x 2,………………………………………………1分 对任意x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),f (-x )=(-x )2=x 2=f (x ),∴f (x )为偶函数. …………3分 当a ≠0时,f (x )=x 2+ax(a ≠0,x ≠0).………………………………………………… 4分取x =±1,得f (-1)+f (1)=2≠0,f (-1)-f (1)=-2a ≠0.∴f (-1)≠-f (1),f (-1)≠f (1). ……………………………………………………6分 ∴函数f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.……………………………………………7分(2) 设2≤x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 21+1ax -x 22-2a x =[]12121212()x x x x x x a x x -+, …9分 要使函数f (x )在x ∈[2,+∞)上为增函数,必须f (x 1)-f (x 2)<0恒成立.…………10分 ∵x 1-x 2<0,x 1x 2>4,即a <x 1x 2(x 1+x 2)恒成立.……………………………………………11分 又∵x 1+x 2>4,∴x 1x 2(x 1+x 2)>16.……………………………………………………… 13分 ∴a 的取值范围是(-∞,16].……………………………………………………………… 14分[要点反思] 本题主要考查对抽象函数的奇偶性、单调性的理解和判断,同时考查学生综合应用的能力.解题时必须能对题中的字母进行分类讨论,否则很容易犯一概而论的错误.总结规律1. 函数的奇偶性是函数的整体性质,即自变量x 在整个定义域内任意取值,有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.2. 函数的奇偶性经常与函数的其他性质,如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此,在复习过程中应加强知识横向间的联系.值得注意的是,判定函数奇偶性的必要条件是函数的定义域关于原点对称.3. 函数的周期性是函数的重要性质,判断、证明和应用函数的周期性是对函数考查的重点和难点,解决此类问题的关键是从周期的定义出发,充分挖掘隐含条件,合理赋值,巧妙转化. 温馨提醒本课时结束后,请使用《配套检测与评估》相应的第7课时.第8课 函数的单调性课前热身激活思维1. (2009·福建卷理改编)下列函数:① f (x )=1x,② f (x )=(x -1)2,③ f (x )=e x ,④ f (x )=ln (x +1)中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”的函数有___.(填序号) [解析]依题意,可得函数f (x )=1x应在x ∈(0,+∞)上单调递减,其他都不是,故只有①.2. (2007·辽宁卷文改编)函数y = 12log (x 2-5x +6)的单调增区间为___________.[答案](-∞,2)[解析]令t =x 2-5x +6>0,得x >3或x <2.又函数y =12log t 在(0,+∞)上为减函数,函数t =x 2-5x +6在(-∞,2)上为减函数,所以原函数的单调增区间为(-∞,2).3. (2009·淮安高三十月四校联考)已知:函数f (x )=x 2+4(1-a )x +1在[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是___________.[答案]3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦[解析]要使此函数在[1,+∞)上是增函数,只需-2(1-a )≤1,即a ≤32.4. (2009·天津卷理改编)已知函数f (x )=224,04,0x x x x x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩,若f (2-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是___________.[答案](-2,1)[解析]由题知,f (x )在R 上是增函数,所以得2-a 2>a ,解得-2<a <1,即a ∈(-2,1). 知识梳理1. 函数单调性的定义(1) 一般地,对于给定区间上的函数f (x ),如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2,当12x x <时,都有12()()f x f x <(或都有12()()f x f x >),那么就说f (x )在这个区间上是增函数(或减函数).。

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第4课时二次函数与幂函数教案(1)

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第4课时二次函数与幂函数教案(1)

二次函数与幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x )=ax2+bx+c(a≠0).②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)。

③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)图像定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减;在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增;在x∈错误!上单调递减对称性函数的图像关于x=-错误!对称2.幂函数(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)幂函数的图像比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0,+∞)上都有定义;②幂函数的图像过定点(1,1);③当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;④当α〈0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减。

【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是错误!。

(×)(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( ×)(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(√)(4)函数y=2x 12是幂函数。

( ×)(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点。

( √)(6)当n〈0时,幂函数y=x n是定义域上的减函数。

(×)1.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c。

若f(0)=f(4)〉f(1),则()A.a>0,4a+b=0B.a〈0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0 D。

a〈0,2a+b=0答案A解析因为f(0)=f(4)〉f(1),所以函数图像应开口向上,即a>0,且其对称轴为x=2,即-错误!=2,所以4a+b=0,故选A.2.已知函数f(x)=ax2+x+5的图像在x轴上方,则a的取值范围是()A.错误!B.错误!C。

2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数

2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数

第四讲 幂函数与二次函数知 识 梳 理学问点一 幂函数 函数y =x y =x 2 y =x 3y =x 12y =x -1图象定义域 R R R [0,+∞)(-∞,0)∪ _(0,+∞)__ 值域 R [0,+∞)R [0,+∞) (-∞,0)∪ _(0,+∞)__奇偶性奇 函数偶 函数 奇 函数非奇非偶 函数奇 函数单调性在R 上单 调递增在 (-∞,0)上单调递减, 在 (0,+∞) 上单调递增在R 上 单调递增在 [0,+∞) 上单调递增在 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上单调递减公共点(1,1)学问点二 二次函数的图象和性质 解析式f (x )=ax 2+bx +c (a >0) f (x )=ax 2+bx +c (a <0)图象定义域 R R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,4ac -b 24a单调性在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-b 2a 上单调递减,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上单调递增 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-b 2a 上单调递增,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上单调递减1.二次函数解析式的三种形式: (1)一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0); (2)顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0); (3)零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 2.一元二次不等式恒成立的条件:(1)“ax 2+bx +c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0,且Δ<0”. (2)“ax 2+bx +c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0,且Δ<0”.双 基 自 测题组一 走出误区1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y =12x 12是幂函数.( × ) (2)y =x 0的图象是一条直线.( × )(3)幂函数y =x -1是定义域上的减函数.( × ) (4)幂函数的图象不行能出现在第四象限.( √ ) (5)若幂函数y =x α是偶函数,则α为偶数.( × )(6)二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈[a ,b ]的最值确定是4ac -b24a .( × ) 题组二 走进教材2.(必修1P 91练习T1改编)已知幂函数y =f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,22,则此函数的解析式为 y =x -12 ,在区间 (0,+∞) 上单调递减.[解析] ∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,22, ∴2α=22=2-12,∴α=-12,∴f (x )=x -12.由f (x )的图象可知,f (x )的减区间是(0,+∞).3.(必修1P 100T5改编)已知函数f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,且x ∈(0,+∞)时,f (x )单调递减,则m 的值为( A )A .-1B .1C .2或-1D .2[解析] 利用幂函数的定义及性质列式计算并推断.∵f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,∴m 2-m -1=1,即(m -2)(m +1)=0,解得m =2,或m =-1,又当x ∈(0,+∞)时,f (x )单调递减,∴m 2+m -3<0,当m =2时,m 2+m -3=3>0,不合题意,舍去;当m =-1,m 2+m -3=-3<0,符合题意,故m =-1.故选A.4.(必修1P 53T2改编)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,确定下列各式的正负:b > 0,ac < 0,a -b +c < 0.[解析] ∵a <0,-b2a >0,∴b >0.∵ca =x 1x 2<0,∴ac <0,a -b +c =f (-1)<0.5.(必修1P 58T6改编)已知f (x )=x 2-2 025x ,若f (m )=f (n ),m ≠n ,则f (m +n )等于( C ) A .2 025 B .-2 025 C .0D .10 025[解析] 先求出函数的对称轴方程,利用二次函数的对称性求解即可.函数f (x )=x 2-2 025x 的对称轴为直线x =2 0252,∵f (m )=f (n ),∴m ,n 关于函数f (x )=x 2-2 025x 图象的对称轴对称,∴m +n =2 025,∴f (m +n )=f (2 025)=0.故选C.题组三 走向高考6.(2013·浙江文,7,5分)已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c .若f (0)=f (4)>f (1),则( A )A .a >0,4a +b =0B .a <0,4a +b =0C .a >0,2a +b =0D .a <0,2a +b =0[解析] 由f (0)=f (4),得f (x )=ax 2+bx +c 的图象的对称轴为直线x =-b2a =2,∴4a +b =0,又f (0)>f (1),f (4)>f (1),∴f (x )先减后增,∴a >0,故选A. 7.(2024·上海)下列幂函数中,定义域为R 的是( C ) A .y =x -1B .y =x -12C .y =x 13 D .y =x 12[解析] 选项A 中函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),选项B 中函数的定义域为(0,+∞),选项C 中函数的定义域为R ,选项D 中函数的定义域为[0,+∞),故选C.8.(2024·上海,7)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= -1 .[解析] ∵幂函数f (x )=x α为奇函数,∴α可取-1,1,3, 又f (x )=x α在(0,+∞)上递减,∴α<0,故α=-1.。

高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第四节 二次函数与幂函数课后作业 理-人教版高三

高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第四节 二次函数与幂函数课后作业 理-人教版高三

【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第四节 二次函数与幂函数课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1.(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )=x 2+2|x |,若f (-a )+f (a )≤2f (2),则实数a 的取值X 围是( )A .[-2,2]B .(-2,2]C .[-4,2]D .[-4,4]2.(2016·某某模拟)已知f (x )=ax 2-x -c ,若f (x )>0的解集为(-2,1),则函数y =f (-x )的大致图象是( )A B C D3.已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),且f (x )在[0,2]上是增函数,若f (a )≥f (0),则实数a 的取值X 围是( )A .[0,+∞) B.(-∞,0] C .[0,4] D .(-∞,0]∪[4,+∞)4.方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有根,则实数a 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-235,+∞B .(1,+∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-235,1 D.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-2355.(2016·某某模拟)若函数f (x )=ax 2+b |x |+c (a ≠0)有四个单调区间,则实数a ,b ,c 满足( )A .b 2-4ac >0,a >0 B .b 2-4ac >0 C .-b 2a >0 D .-b2a <0二、填空题6.若幂函数y =(m 2-3m +3)·xm 2-m -2的图象不过原点,则m 的取值是________.7.已知二次函数f (x )是偶函数,且f (4)=4f (2)=16,则函数f (x )的解析式为________. 8.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2若对任意的x ∈[t ,t +2],不等式f (x +t )≥2f (x )恒成立,则实数t 的取值X 围是________.三、解答题9.已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (-1)=0,求f (x )的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f (x )>x +k 在区间[-3,-1]上恒成立,试求k 的取值X 围. 10.已知a 是实数,函数f (x )=2ax 2+2x -3在x ∈[-1,1]上恒小于零,某某数a 的取值X 围.[冲击名校]1.已知y =f (x )为偶函数,当x ≥0时,f (x )=-x 2+2x ,则满足f (f (a ))=12的实数a的个数为( )A .8B .6C .4D .22.已知函数f (x )满足f (x )=x 2-2(a +2)x +a 2,g (x )=-x 2+2(a -2)x -a 2+8.设H 1(x )=max{f (x ),g (x )},H 2(x )=min{f (x ),g (x )}(max(p ,q )表示p ,q 中的较大值,min(p ,q )表示p ,q 中的较小值),记H 1(x )的最小值为A ,H 2(x )的最大值为B ,则A -B =()A .a 2-2a -16 B .a 2+2a -16 C .-16 D .163.已知函数f (x )=x 2-2x ,g (x )=ax +2(a >0),若∀x 1∈[-1,2],∃x 2∈[-1,2],f (x 1)=g (x 2),则实数a 的取值X 围是________.4.已知函数f (x )=ax 2-2ax +2+b (a ≠0),若f (x )在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a ,b 的值;(2)若b <1,g (x )=f (x )-mx 在[2,4]上单调,求m 的取值X 围.5.已知函数f (x )=x 2-2ax +5(a >1).若f (x )在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a +1],总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4,某某数a 的取值X 围.答 案 [全盘巩固]一、选择题1.解析:选A 由f (x )=x 2+2|x |,f (2)=8知,f (-a )+f (a )=2a 2+4|a |≤16,解得a ∈[-2,2].2.解析:选C 法一:由f (x )>0的解集为(-2,1),可得a =-1,c =-2,所以f (x )=-x 2-x +2,f (-x )=-x 2+x +2=-(x +1)(x -2),故选C.法二:由f (x )>0的解集为(-2,1),可知函数f (x )的大致图象为选项D ,又函数f (x )与f (-x )的图象关于y 轴对称,所以f (-x )的大致图象为选项C.3.解析:选C 由f (2+x )=f (2-x )可知,函数f (x )图象的对称轴为x =2+x +2-x2=2,又函数f (x )在[0,2]上单调递增,所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.4.解析:选C 法一:令f (x )=x 2+ax -2,由题意知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点,又f (0)=-2<0,∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0,f 5≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤0,5a +23≥0,∴-235≤a ≤1.法二:方程x 2+ax -2=0在区间[1,5]上有根,即方程x +a -2x =0,也即方程a =2x-x在区间[1,5]上有根,而函数y =2x -x 在区间[1,5]上是减函数,所以-235≤y ≤1,则-235≤a ≤1.5.解析:选C x >0时,f (x )=ax 2+bx +c ,此时f (x )应该有两个单调区间,∴对称轴x =-b 2a >0;x <0时,f (x )=ax 2-bx +c ,对称轴x =b2a<0,∴此时f (x )有两个单调区间,∴当-b2a>0时,f (x )有四个单调区间. 二、填空题6.解析:由幂函数性质可知m 2-3m +3=1,∴m =2或m =1.又幂函数图象不过原点,∴m 2-m -2≤0,即-1≤m ≤2,∴m =2或m =1.答案:1或27.解析:由题意可设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),则f (4)=16a +c =16,4f (2)=4(4a +c )=16a +4c =16,解得a =1,c =0,故f (x )=x 2.答案:f (x )=x 28.解析:∵当x ≥0时,f (x )=x 2,且f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (x )在R 上是增函数,又f (x +t )≥2f (x )=f (2x ),∴x +t ≥2x ,∴t ≥(2-1)x .∵x ∈[t ,t +2],∴t ≥(2-1)(t +2),∴t ≥ 2.答案:[2,+∞) 三、解答题9.解:(1)由题意得f (-1)=a -b +1=0,a ≠0,且-b2a =-1,∴a =1,b =2.∴f (x )=x 2+2x +1,单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞). (2)f (x )>x +k 在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为x 2+x +1>k 在区间[-3,-1]上恒成立.设g (x )=x 2+x +1,x ∈[-3,-1], 则g (x )在[-3,-1]上递减. ∴g (x )min =g (-1)=1.∴k <1,即k 的取值X 围为(-∞,1). 10.解:2ax 2+2x -3<0在[-1,1]上恒成立. 当a =0时,适合;当a ≠0时,x =0时,有-3<0恒成立;x ≠0时,a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -132-16,因为1x ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x =1时,右边取最小值12,所以a <12,且a ≠0.综上,实数a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,12. [冲击名校]1.解析:选A 由题意知, f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,其图象如图所示.令t =f (a ),则t ≤1,令f (t )=12,解得t =1-22或t =-1±22,即f (a )=1-22或f (a )=-1±22,由数形结合得,共有8个交点. .2.解析:选C 取a =-2,则f (x )=x 2+4,g (x )=-x 2-8x +4,画出它们的图象,如图所示.则H 1(x )的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H 2(x )的最大值为两图象左边交点的纵坐标,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4=y ,-x 2-8x +4=y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =4或⎩⎪⎨⎪⎧x =-4,y =20,∴A =4,B =20,A -B =-16.3.解析:由题意得g (x )min ≤f (x )min 且g (x )max ≥f (x ) max ,f (x )在区间[-1,2]上的最大值f (x ) max =f (-1)=3,f (x )在区间[-1,2]上的最小值f (x ) min =f (1)=-1.由于g (x )=ax +2(a >0)在区间[-1,2]上单调递增,则g (x ) min =g (-1)=-a +2,g (x ) max =g (2)=2a +2,故⎩⎪⎨⎪⎧-a +2≤-1,2a +2≥3,解得a ≥3.答案:[3,+∞)4.解:(1)f (x )=a (x -1) 2+2+b -a . 当a >0时,f (x )在[2,3]上为增函数,故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3=5,f 2=2,⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a -6a +2+b =5,4a -4a +2+b =2,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0.当a <0时,f (x )在[2,3]上为减函数,故⎩⎪⎨⎪⎧f3=2,f 2=5,⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a -6a +2+b =2,4a -4a +2+b =5,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =3.(2)∵b <1,∴a =1,b =0,即f (x )=x 2-2x +2.g (x )=x 2-2x +2-mx =x 2-(2+m )x +2,∵g (x )在[2,4]上单调,∴2+m 2≤2或m +22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值X 围为(-∞,2]∪[6,+∞).5.解:∵f (x )在区间(-∞,2]上是减函数,∴a ≥2. 又x =a ∈[1,a +1],且(a +1)-a ≤a -1, ∴f (x )max =f (1)=6-2a ,f (x )min =f (a )=5-a 2. ∵对任意的x 1,x 2∈[1,a +1], 总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4,∴f (x ) max -f (x ) min ≤4,得-1≤a ≤3. 又a ≥2,∴2≤a ≤3.故实数a 的取值X 围是[2,3].。

第二章 函数的概念与基本初等函数1-3节有答案

第二章 函数的概念与基本初等函数1-3节有答案

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发.(2)如果函数y=f(x)是用表格给出,则表格中x的集合即为定义域.(3)如果函数y=f(x)是用图象给出,则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定相同.(4)函数的表示法:表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(3)各段函数的定义域不可以相交.考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y =ln (1-x )x +1+1x 的定义域是( )A .[-1,0)∪(0,1)B .[-1,0)∪(0,1]C .(-1,0)∪(0,1]D .(-1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A .(-1,1) B.⎝⎛⎭⎫-1,-12 C .(-1,0)D.⎝⎛⎭⎫12,1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,x +1>0,x ≠0,解得-1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).(2)令u =2x +1,由f (x )的定义域为(-1,0),可知-1<u <0,即-1<2x +1<0, 得-1<x <-12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1.使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)y =x 0要求x ≠0;(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1; (5)正切函数y =tan x ,x ≠k π+π2(k ∈Z);(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求. 2.抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出;(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]上的值域.[题组训练]1.函数f (x )=1ln (x +1)+4-x 2的定义域为( )A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]解析:选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln (x +1)≠0,4-x 2≥0,得-1<x ≤2,且x ≠0.2.若函数y =f (x )的定义域是[1,2 019],则函数g (x )=f (x +1)x -1的定义域是________________.解析:因为y =f (x )的定义域是[1,2 019],所以若g (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x +1≤2 019,x -1≠0,所以0≤x ≤2 018,且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}. 答案:{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ); (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ). [解] (1)法一:待定系数法因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c .因为f (2x +1)=4x 2-6x +5, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =-6,a +b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-5,c =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法二:换元法令2x +1=t (t ∈R),则x =t -12,所以f (t )=4⎝⎛⎭⎫t -122-6·t -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法三:配凑法因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)解方程组法由f (-x )+2f (x )=2x , ①得f (x )+2f (-x )=2-x ,②①×2-②,得3f (x )=2x +1-2-x .即f (x )=2x +1-2-x3.故f (x )的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数.(2)换元法对于形如y =f (g (x ))的函数解析式,令t =g (x ),从中求出x =φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),再将t 换成x ,得到f (x )的解析式,要注意新元的取值范围.(3)配凑法由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).[提醒] 由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域.[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=________________.解析:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx . 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).答案:12x 2+12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,则f (x )=________________.解析:令2x +1=t ,得x =2t -1,则f (t )=lg 2t -1,又x >0,所以t >1,故f (x )的解析式是f (x )=lg2x -1(x >1). 答案:lg2x -1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,则f (x )=________. 解析:∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,①把①中的x 换成1x ,得2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x,解此方程组可得f (x )=2x -1x(x ≠0).答案:2x -1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0(0<a <1),且f (-2)=5,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3[解析] 由题意得,f (-2)=a -2+b =5,① f (-1)=a -1+b =3,②联立①②,结合0<a <1,得a =12,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,⎝⎛⎭⎫12x +1,x ≤0,则f (-3)=⎝⎛⎭⎫12-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log 39=2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点.考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[解析] 法一:分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x ≤0,即x ≤-1时,f (x +1)<f (2x ),即为2-(x +1)<2-2x,即-(x +1)<-2x ,解得x <1. 因此不等式的解集为(-∞,-1].②当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x >0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x ≤0,即-1<x ≤0时,f (x +1)<f (2x ),即为1<2-2x,解得x <0.因此不等式的解集为(-1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x >0,即x >0时,f (x +1)=1,f (2x )=1,不合题意.综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0). 法二:数形结合法∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,∴函数f (x )的图象如图所示. 结合图象知,要使f (x +1)<f (2x ), 则需⎩⎪⎨⎪⎧x +1<0,2x <0,2x <x +1或⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,2x <0, ∴x <0,故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可;(2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解.[题组训练]1.设f (x )=⎩⎨⎧x ,0<x <1,2(x -1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则f ⎝⎛⎭⎫1a =( ) A .2 B .4 C .6D .8解析:选C 当0<a <1时,a +1>1,f (a )=a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴a =2a , 解得a =14或a =0(舍去).∴f ⎝⎛⎭⎫1a =f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1≥2,f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴2(a -1)=2a ,无解. 综上,f ⎝⎛⎭⎫1a =6.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤1,f (x -1),x >1,则f (f (3))=________.解析:由题意,得f (3)=f (2)=f (1)=21=2,∴f (f (3))=f (2)=2. 答案:23.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.①当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,故-14<x ≤0.②当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.③当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x -7,x <0,x ,x ≥0,若f (a )<1,则实数a 的取值范围是____________.解析:若a <0,则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a -7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8,解得a >-3,故-3<a <0; 若a ≥0,则f (a )<1⇔a <1,解得a <1,故0≤a <1. 综上可得-3<a <1. 答案:(-3,1)[课时跟踪检测]1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B ①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象;②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.故选B.2.函数f (x )=2x -1+1x -2的定义域为( ) A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥0,且x ≠2.3.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:选A 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.4.(2019·贵阳检测)下列函数中,同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A .y =x -1 B .y =ln x C .y =13x -1D .y =x +1x -1解析:选D 对于A ,定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),不满足题意;对于B ,定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足题意;对于C ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(0,+∞),不满足题意;对于D ,y =x +1x -1=1+2x -1,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),值域也是(-∞,1)∪(1,+∞).5.(2018·福建期末)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x +a ,x >0,4x -2-1,x ≤0.若f (a )=3,则f (a -2)=( )A .-1516B .3C .-6364或3D .-1516或3解析:选A 当a >0时,若f (a )=3,则log 2a +a =3,解得a =2(满足a >0);当a ≤0时,若f (a )=3,则4a -2-1=3,解得a =3,不满足a ≤0,所以舍去.于是,可得a =2.故f (a -2)=f (0)=4-2-1=-1516.6.已知函数y =f (2x -1)的定义域是[0,1],则函数f (2x +1)log 2(x +1)的定义域是( )A .[1,2]B .(-1,1] C.⎣⎡⎦⎤-12,0 D .(-1,0)解析:选D 由f (2x -1)的定义域是[0,1], 得0≤x ≤1,故-1≤2x -1≤1, ∴f (x )的定义域是[-1,1], ∴要使函数f (2x +1)log 2(x +1)有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤2x +1≤1,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x <0.7.下列函数中,不满足f (2 018x )=2 018f (x )的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=x -|x | C .f (x )=x +2D .f (x )=-2x解析:选C 若f (x )=|x |,则f (2 018x )=|2 018x |=2 018|x |=2 018f (x );若f (x )=x -|x |,则f (2 018x )=2 018x -|2 018x |=2 018(x -|x |)=2 018f (x );若f (x )=x +2,则f (2 018x )=2 018x +2,而2 018f (x )=2 018x +2 018×2,故f (x )=x +2不满足f (2 018x )=2 018f (x );若f (x )=-2x ,则f (2 018x )=-2×2 018x =2 018×(-2x )=2 018f (x ).故选C.8.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③ C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.9.(2019·青岛模拟)函数y =ln ⎝⎛⎭⎫1+1x +1-x 2的定义域为________. 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1+1x >0,1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >0,-1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]. 答案:(0,1]10.(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,则f (f (-9))=________.解析:∵函数f (x )=⎩⎨⎧lg (1-x ),x <0,-2x ,x ≥0,∴f (-9)=lg 10=1,∴f (f (-9))=f (1)=-2.答案:-211.(2018·张掖一诊)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于________.解析:∵f (1)=2,且f (1)+f (a )=0,∴f (a )=-2<0,故a ≤0. 依题知a +1=-2,解得a =-3. 答案:-312.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x +1,x ≤0,-(x -1)2,x >0,使f (x )≥-1成立的x 的取值范围是________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,12x +1≥-1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-(x -1)2≥-1, 解得-4≤x ≤0或0<x ≤2, 故所求x 的取值范围是[-4,2]. 答案:[-4,2]13.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求函数f (x )的解析式;(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示.第二节函数的单调性与最值一、基础知识1.增函数、减函数定义:设函数f(x)的定义域为I:(1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.(2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接.3.函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.二、常用结论在公共定义域内:(1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)+g(x)是增函数;(2)函数f (x )单调递减,g (x )单调递减,则f (x )+g (x )是减函数; (3)函数f (x )单调递增,g (x )单调递减,则f (x )-g (x )是增函数; (4)函数f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )-g (x )是减函数;(5)若k >0,则kf (x )与f (x )单调性相同;若k <0,则kf (x )与f (x )单调性相反; (6)函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1f (x )的单调性相反;(7)复合函数y =f [g (x )]的单调性与y =f (u )和u =g (x )的单调性有关.简记:“同增异减”.考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )=-x 2+2|x |+1的单调区间. (2)试讨论函数f (x )=ax x -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.[解] (1)易知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0. 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).(2)法一:定义法 设-1<x 1<x 2<1, f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝⎛⎭⎫1+1x -1,则f (x 1)-f (x 2)=a ⎝⎛⎭⎫1+1x 1-1-a ⎝⎛⎭⎫1+1x 2-1=a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1).由于-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0, 故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 函数f (x )在(-1,1)上单调递增. 法二:导数法f ′(x )=(ax )′(x -1)-ax (x -1)′(x -1)2=a (x -1)-ax (x -1)2=-a(x -1)2. 当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增.[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法:一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论.(2)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间.(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定.[题组训练]1.下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( ) A .f (x )=2x B .f (x )=|x -1| C .f (x )=1x-xD .f (x )=ln(x +1)解析:选C 由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A 、D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x 与y =-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.2.函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)解析:选D 令t =x 2-4,则y =log 12t .因为y =log 12t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t =x 2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).3.判断函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,+∞)上的单调性.解:设x 1,x 2是任意两个正数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.综上可知,函数f (x )=x +ax (a >0)在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数.考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.(2)若函数f (x )=-ax+b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域为⎣⎡⎦⎤12,2,则a =________,b =________. (3)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-4x ,x ≤0,sin x ,x >0的最大值为________.[解析] (1)图象法函数y =⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1,x ≤-1,3,-1<x <2,2x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞). (2)单调性法∵f (x )=-ax +b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f (x )min =f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (x )max =f (2)=2.即⎩⎨⎧-2a +b =12,-a2+b =2,解得a =1,b =52.(3)当x ≤0时,f (x )=-x 2-4x =-(x +2)2+4,而-2∈(-∞,0],此时f (x )在x =-2处取得最大值,且f (-2)=4;当x >0时,f (x )=sin x ,此时f (x )在区间(0,+∞)上的最大值为1.综上所述,函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3,+∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.[题组训练]1.函数f (x )=x 2+4x 的值域为________.解析:当x >0时,f (x )=x +4x ≥4,当且仅当x =2时取等号; 当x <0时,-x +⎝⎛⎭⎫-4x ≥4, 即f (x )=x +4x ≤-4,当且仅当x =-2取等号,所以函数f (x )的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). 答案:(-∞,-4]∪[4,+∞)2.若x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3,则函数y =4sin 2x -12sin x -1的最大值为________,最小值为________.解析:令t =sin x ,因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,2π3, 所以t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1,y =f (t )=4t 2-12t -1, 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t =32,所以当t ∈⎣⎡⎦⎤-12,1时,函数f (t )单调递减,所以当t =-12时,y max =6;当t =1时,y min =-9. 答案:6 -93.已知f (x )=x 2+2x +ax ,x ∈[1,+∞),且a ≤1.若对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围是________.解析:对任意x ∈[1,+∞),f (x )>0恒成立等价于x 2+2x +a >0在x ∈[1,+∞)上恒成立,即a >-x 2-2x 在x ∈[1,+∞)上恒成立.又函数y =-x 2-2x 在[1,+∞)上单调递减, ∴(-x 2-2x )max =-3,故a >-3,又∵a ≤1,∴-3<a ≤1. 答案:(-3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是( )A .f (π)>f (-3)>f (-2)B .f (π)>f (-2)>f (-3)C .f (π)<f (-3)<f (-2)D .f (π)<f (-2)<f (-3)[解析] 因为f (x )是偶函数,所以f (-3)=f (3),f (-2)=f (2). 又因为函数f (x )在[0,+∞)上是增函数. 所以f (π)>f (3)>f (2),即f (π)>f (-3)>f (-2). [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x <2,x 2,x ≥2.若f (a +1)≥f (2a -1),则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1]B .(-∞,2]C .[2,6]D .[2,+∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(-∞,+∞)上是增函数,∵f (a +1)≥f (2a -1), ∴a +1≥2a -1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2]. [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式,再根据函数的单调性去掉“f ”,得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x )).考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )=x -a x +a2在(1,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.[解析] 设1<x 1<x 2,∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1,+∞)上是增函数, ∴f (x 1)-f (x 2)=x 1-a x 1+a2-⎝⎛⎭⎫x 2-a x 2+a 2 =(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎫1+a x 1x 2<0.∵x 1-x 2<0,∴1+ax 1x 2>0,即a >-x 1x 2.∵1<x 1<x 2,x 1x 2>1,∴-x 1x 2<-1,∴a ≥-1. ∴a 的取值范围是[-1,+∞). [答案] [-1,+∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.[题组训练]1.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝⎛⎭⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c >a >b B .c >b >a C .a >c >bD .b >a >c解析:选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称,故函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =f ⎝⎛⎭⎫-12=f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,等价于函数f (x )在(1,+∞)上单调递减,所以b >a >c .2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax 2-x -14,x ≤1,log a x -1,x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14,12 B.⎣⎡⎦⎤14,12 C.⎝⎛⎦⎤0,12 D.⎣⎡⎭⎫12,1解析:选B 由对数函数的定义可得a >0,且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调,而二次函数y =ax 2-x -14的图象开口向上,所以函数f (x )在R 上单调递减,故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,12a≥1,a ×12-1-14≥log a1-1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,0<a ≤12,a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14,12.[课时跟踪检测]A 级1.下列四个函数中,在x ∈(0,+∞)上为增函数的是( ) A .f (x )=3-x B .f (x )=x 2-3x C .f (x )=-1x +1D .f (x )=-|x |解析:选C 当x >0时,f (x )=3-x 为减函数;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32时,f (x )=x 2-3x 为减函数,当x ∈⎝⎛⎭⎫32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1x +1为增函数;当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数.2.若函数f (x )=ax +1在R 上单调递减,则函数g (x )=a (x 2-4x +3)的单调递增区间是( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .(4,+∞)D .(-∞,4)解析:选B 因为f (x )=ax +1在R 上单调递减,所以a <0. 而g (x )=a (x 2-4x +3)=a (x -2)2-a .因为a <0,所以g (x )在(-∞,2)上单调递增.3.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13,23 B.⎣⎡⎭⎫13,23 C.⎝⎛⎭⎫12,23D.⎣⎡⎭⎫12,23解析:选D 因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.4.(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C 由题意知当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,又f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在相应的定义域内都为增函数,且f (1)=-1,f (2)=6,∴f (x )的最大值为6.5.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(全集为R)( )A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,-1)∪[4,+∞)D .(-∞,-1]∪[2,+∞)解析:选D 由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f (x +1)<1即为f (0)<f (x +1)<f (3),所以0<x +1<3,所以-1<x <2,故不等式-3<f (x +1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞).6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,0)B .(-∞,-2]C .[-3,-2]D .(-∞,0)解析:选C 若f (x )是R 上的增函数,则应满足⎩⎪⎨⎪⎧-a2≥1,a <0,-12-a ×1-5≤a 1,解得-3≤a ≤-2.7.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为________.解析:设t =x 2-2x -3,由t ≥0,即x 2-2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3,所以函数f (x )的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t =x 2-2x -3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f (x )的单调递增区间为[3,+∞).答案:[3,+∞)8.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1的最大值为________.解析:当x ≥1时,函数f (x )=1x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.答案:29.若函数f (x )=1x 在区间[2,a ]上的最大值与最小值的和为34,则a =________.解析:由f (x )=1x 的图象知,f (x )=1x 在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a ]⊆(0,+∞),∴f (x )=1x 在[2,a ]上也是减函数,∴f (x )max =f (2)=12,f (x )min =f (a )=1a ,∴12+1a =34,∴a =4. 答案:410.(2019·甘肃会宁联考)若f (x )=x +a -1x +2在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.解析:f (x )=x +a -1x +2=x +2+a -3x +2=1+a -3x +2,要使函数在区间(-2,+∞)上是增函数,需使a -3<0,解得a <3.答案:(-∞,3)11.已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域是⎣⎡⎦⎤12,2,求a 的值. 解:(1)证明:任取x 1>x 2>0, 则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2x 1x 2,∵x 1>x 2>0,∴x 1-x 2>0,x 1x 2>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上是增函数, ∴f ⎝⎛⎭⎫12=1a -2=12,f (2)=1a -12=2, 解得a =25.12.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:当a =-2时,f (x )=xx +2.任取x 1,x 2∈(-∞,-2),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). 因为a >0,x 2-x 1>0,又由题意知f (x 1)-f (x 2)>0, 所以(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1. 所以0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1].B 级1.若f (x )=-x 2+4mx 与g (x )=2mx +1在区间[2,4]上都是减函数,则m 的取值范围是( )A .(-∞,0)∪(0,1]B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,+∞)D .(0,1]解析:选D 函数f (x )=-x 2+4mx 的图象开口向下,且以直线x =2m 为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m ≤2,解得m ≤1;g (x )=2m x +1的图象由y =2mx 的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m >0,解得m >0.综上可得,m 的取值范围是(0,1].2.已知函数f (x )=ln x +x ,若f (a 2-a )>f (a +3),则正数a 的取值范围是________. 解析:因为f (x )=ln x +x 在(0,+∞)上是增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2-a >a +3,a 2-a >0,a +3>0,解得-3<a <-1或a >3.又a >0,所以a >3. 答案:(3,+∞)3.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1. (1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 解:(1)令x =y =0,得f (0)=-1.在R 上任取x 1>x 2,则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1. 又f (x 1)=f [(x 1-x 2)+x 2]=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以函数f (x )在R 上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1,故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1.函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下:(1)f (-x )=f (x )⇔f (-x )-f (x )=0⇔f (-x )f (x )=1⇔f (x )为偶函数;(2)f (-x )=-f (x )⇔f (-x )+f (x )=0⇔f (-x )f (x )=-1⇔f (x )为奇函数.2.函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.周期函数定义的实质存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次.(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.二、常用结论1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )=1f (x ),则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1f (x ),则T =2a (a >0).3.函数图象的对称性(1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2|x +3|-3;(2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2;(4)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0.[解] (1)由f (x )=36-x 2|x +3|-3,可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧-6≤x ≤6,x ≠0且x ≠-6,故函数f (x )的定义域为(-6,0)∪(0,6],定义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,x 2-1≥0⇒x 2=1⇒x =±1,故函数f (x )的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f (x )=0,所以f (-x )=f (x )=-f (x ),所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x -2|-2≠0⇒-1<x <0或0<x <1,定义域关于原点对称.此时f (x )=log 2(1-x 2)|x -2|-2=log 2(1-x 2)2-x -2=-log 2(1-x 2)x ,故有f (-x )=-log 2[1-(-x )2]-x =log 2(1-x 2)x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数. (4)法一:图象法画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0的图象如图所示,图象关于y 轴对称,故f (x )为偶函数.法二:定义法易知函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,-x >0,故f (-x )=x 2+x =f (x );当x <0时,f (x )=x 2+x ,则当x >0时,-x <0,故f (-x )=x 2-x =f (x ),故原函数是偶函数.法三:f (x )还可以写成f (x )=x 2-|x |(x ≠0),故f (x )为偶函数.[题组训练]1.(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A .y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4 B .y =x 2+e |x | C .y =x cos xD .y =ln|x |-sin x解析:选B 对于选项A ,易知y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4为非奇非偶函数;对于选项B ,设f (x )=x 2+e |x |,则f (-x )=(-x )2+e |-x |=x 2+e |x |=f (x ),所以y =x 2+e |x |为偶函数;对于选项C ,设f (x )=x cos x ,则f (-x )=-x cos(-x )=-x cos x =-f (x ),所以y =x cos x 为奇函数;对于选项D ,设f (x )=ln|x |-sin x ,则f (2)=ln 2-sin 2,f (-2)=ln 2-sin(-2)=ln 2+sin 2≠f (2),所以y =ln|x |-sin x 为非奇非偶函数,故选B.2.设函数f (x )=e x -e -x2,则下列结论错误的是( )A .|f (x )|是偶函数B .-f (x )是奇函数C .f (x )|f (x )|是奇函数D .f (|x |)f (x )是偶函数解析:选D ∵f (x )=e x -e -x2,则f (-x )=e -x -e x2=-f (x ).∴f (x )是奇函数. ∵f (|-x |)=f (|x |),∴f (|x |)是偶函数,∴f (|x |)f (x )是奇函数.考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y =f (x )是R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=2x ,则当x >0时,f (x )=( )A .-2xB .2-xC .-2-xD .2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )=a -2e x +1(a ∈R)是奇函数,则函数f (x )的值域为( )A .(-1,1)B .(-2,2)C .(-3,3)D .(-4,4)[解析] (1)当x >0时,-x <0,∵x <0时,f (x )=2x ,∴当x >0时,f (-x )=2-x .∵f (x )是R 上的奇函数,∴当x >0时,f (x )=-f (-x )=-2-x .(2)法一:由f (x )是奇函数知f (-x )=-f (x ),所以a -2e -x+1=-a +2e x +1,得2a =2e x+1+2e -x +1,所以a =1e x +1+e x e x +1=1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).法二:函数f (x )的定义域为R ,且函数f (x )是奇函数,所以f (0)=a -1=0,即a =1,所以f (x )=1-2e x +1.因为e x +1>1,所以0<1e x +1<1,-1<1-2e x +1<1,所以函数f (x )的值域为(-1,1).[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解,根据f (x )±f (-x )=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.[题组训练]1.(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=log 2(x +2)-1,则f (-6)=( )A .2B .4C .-2D .-4解析:选C 根据题意得f (-6)=-f (6)=1-log 2(6+2)=1-3=-2.2.已知函数f (x )为奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-x ,则当x <0时,函数f (x )的最大值为________.解析:法一:当x <0时,-x >0,所以f (-x )=x 2+x .又因为函数f (x )为奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-x 2-x =-⎝⎛⎭⎫x +122+14,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14. 法二:当x >0时,f (x )=x 2-x =⎝⎛⎭⎫x -122-14,最小值为-14,因为函数f (x )为奇函数,所以当x <0时,函数f (x )的最大值为14.答案:143.(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =________. 解析:∵f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,∴f (-x )=f (x ),即-x ln(a +x 2-x )=x ln(x +a +x 2),从而ln[(a +x 2)2-x 2]=0,即ln a =0,故a =1.答案:1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=-f (x +2),当x ∈(0,2]时,f (x )=2x +log 2x ,则f (2 019)=( )A .5 B.12C .2D .-2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R),且在区间(-2,2]上,f (x )=⎩⎨⎧cos πx2,0<x ≤2,⎪⎪⎪⎪x +12,-2<x ≤0,则f (f (15))的值为________.[解析] (1)由f (x )=-f (x +2),得f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )是周期为4的周期函数,所以f (2 019)=f (504×4+3)=f (3)=f (1+2)=-f (1)=-(2+0)=-2.(2)由函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R), 可知函数f (x )的周期是4, 所以f (15)=f (-1)=⎪⎪⎪⎪-1+12=12, 所以f (f (15))=f ⎝⎛⎭⎫12=cos π4=22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1.(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数,且满足f (x +2)=-1f (x ),当2≤x ≤3时,f (x )=x ,则f ⎝⎛⎭⎫-112=________. 解析:∵f (x +2)=-1f (x ),∴f (x +4)=f (x ), ∴f ⎝⎛⎭⎫-112=f ⎝⎛⎭⎫52,又2≤x ≤3时,f (x )=x , ∴f ⎝⎛⎭⎫52=52,∴f ⎝⎛⎭⎫-112=52. 答案:522.(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-2,-2≤x ≤0,x ,0<x <1,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214=________. 解析:由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214=f ⎝⎛⎭⎫6-34=f ⎝⎛⎭⎫-34=4×⎝⎛⎭⎫-342-2=14,f ⎝⎛⎭⎫14=14.答案:14[课时跟踪检测]A 级1.下列函数为奇函数的是( ) A .f (x )=x 3+1 B .f (x )=ln 1-x1+xC .f (x )=e xD .f (x )=x sin x解析:选B 对于A ,f (-x )=-x 3+1≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于B ,f (-x )=ln 1+x 1-x=-ln1-x 1+x=-f (x ),所以其是奇函数;对于C ,f (-x )=e -x ≠-f (x ),所以其不是奇函数;对于D ,f (-x )=-x sin(-x )=x sin x =f (x ),所以其不是奇函数.故选B.2.(2019·南昌联考)函数f (x )=9x +13x 的图象( )A .关于x 轴对称B .关于y 轴对称C .关于坐标原点对称D .关于直线y =x 对称解析:选B 因为f (x )=9x +13x =3x +3-x ,易知f (x )为偶函数,所以函数f (x )的图象关于y轴对称.3.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,则f (-7)=( )A .3B .-3C .2D .-2解析:选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x +1),x ≥0,g (x ),x <0,所以f (-7)=-f (7)=-log 2(7+1)=-3.4.若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x ,则g (x )=( ) A .e x -e -xB.12(e x +e -x )C.12(e -x -e x ) D.12(e x -e -x )解析:选D 因为f (x )+g (x )=e x ,所以f (-x )+g (-x )=f (x )-g (x )=e -x ,。

高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 4 第4讲 二次函数与幂函数课件 理

高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 4 第4讲 二次函数与幂函数课件 理

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2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=_____ax_2_+__bx_+__c_(a_≠__0_)_____. ②顶点式:f(x)=_____a_(x_-__m_)_2+__n_(a_≠__0_)____. ③零点式:f(x)=____a_(x_-__x_1)_(x_-__x_2)_(a_≠__0_)___.
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法二:(利用顶点式) 设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为 f(2)=f(-1), 所以抛物线的对称轴为 x=2+(2-1)=12. 所以 m=12.又根据题意函数有最大值 8,所以 n=8, 所以 f(x)=ax-122+8. 因为 f(2)=-1,所以 a2-122+8=-1, 解得 a=-4,所以 f(x)=-4x-122+8=-4x2+4x+7.
调递减,则 a 的取值范围是( )
A.a≥3
B.a≤3
C.a<-3
D.a≤-3
解析:选 D.函数 f(x)=x2+4ax 的图象是开口向上的抛物线,其 对称轴是 x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知, 区间(-∞,6)应在直线 x=-2a 的左侧, 所以-2a≥6,解得 a≤-3,故选 D.
4a .( )
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(5)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈R 不可能是偶函数.( ) (6)在 y=ax2+bx+c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同 一直角坐标系中的开口大小.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
调 在____-__2_ba_,__+__∞_____上单 性

第二章 函数的概念与基本初等函数

第二章 函数的概念与基本初等函数

高三数学试卷化作业之函数的概念与表示(4)班级 姓名 评价等级 批阅日期1.如图,是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )2.已知函数f (x )=|x -1|,则下列函数中与f (x )相等的函数是 ( )A .g (x )=|x 2-1||x +1|B .g (x )=⎩⎨⎧ |x 2-1||x +1|,x ≠-1,2,x =-1C .g (x )=⎩⎨⎧x -1,x >0,1-x ,x ≤0 D .g (x )=x -1 3.函数f (x )=log 2(1-2x )+1x +1的定义域为 ( ) A. 1(0,)2 B.1(,)2-∞ C .(-1,0)∪1(0,)2 D .(-∞,-1)∪1(1,)2- 4.若函数f (x )满足f (1-ln x )=1x ,则f (2)等于 ( )A.12 B .e C.1e D .-15.已知函数f (x )=⎩⎨⎧ f (-x ),x >2,ax +1,-2≤x ≤2,f (x +5),x <-2,若f (2018)=0,则a = ( )A .0 B.12 C .-12 D .-26.已知实数a <0,函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2a ,x <1,-x ,x ≥1,若f (1-a )≥f (1+a ),则实数a 的取值范围是 ( )A .(-∞,-2]B .[-2,-1]C .[-1,0)D .(-∞,0)7.若函数y =mx -1mx 2+4mx +3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 ( ) A.3(0,]4 B.3(0,)4 C.3[0,]4 D.3[0,)48.已知1()x f x+=x 2+1x 2+1x ,则f (x )= ( ) A .(x +1)2B .(x -1)2C .x 2-x +1D .x 2+x +19.设函数f (x )=⎩⎨⎧x +2,x ≤0,f (x -3)+2,x >0,则f (9)=_____ ___. 10.已知函数f (x )=3-2x +1的定义域为A ,值域为B ,则A ∩B =__ ______.11.已知函数f (x )=lg(1)2x a -的定义域是1(,)2+∞,则实数a 的值为________. 12.已知函数f (x )的定义域为[3,6],则函数y =f (2x )log12(2-x )的定义域为____ __ .13.设函数f (x )=⎩⎨⎧ x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+1()2f x ->1的x 的取值范围是______ __. 14.已知1()f x x-=x 2+1x 2,则f (3)=________. 15.函数y =1-x 2x +5的值域为________.。

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1.函数y=x sin x在[-π,À]上的图象是( )
解析:选A.容易判断函数y=x sin x为偶函数,排除D.当0<x<时,y=x sin x>0,当x =π时,y=0,排除B、C,故选A.
2.定义一种运算:g⊗h=已知函数f(x)=2x⊗1,那么函数f(x-1)的大致图象是( )
解析:选B.由定义知,当x≥0时,2x≥1,所以f(x)=2x,当x<0时,2x<1,所以f(x)=1,所以f(x)=其图象易作,f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,故选B.
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=log f(x)的图象大致是( )
解析:选C.法一:由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以log f(x)
≤0,结合选项知,选C.
法二:由函数f(x)的图象知,函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以y =log f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合各选项知,选C.4.图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图象是( )
解析:选B.由题图知,随着h的增大,阴影部分的面积S逐渐减小,且减小得越来越慢,结合选项可知选B.
5.(2018·河南焦作模拟)函数f(x)=|x|+(其中a∈R)的图象不可能是( )
解析:选C.当a=0时,函数f(x)=|x|+=|x|,函数的图象可以是B;
当a=1时,函数f(x)=|x|+=|x|+,函数的图象可以类似A;
当a=-1时,函数f(x)=|x|+=|x|-,x>0时,|x|-=0只有一个实数根x=1,函数的图象可以是D;所以函数的图象不可能是C.故选C.
6.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________.
解析:当x∈[-1,0]时,设y=kx+b,
由图象得解得所以y=x+1;
当x∈(0,+∞)时,设y=a(x-2)2-1,
由图象得0=a·(4-2)2-1,解得a=,
所以y=(x-2)2-1.
综上可知,f(x)=
答案:f(x)=
7.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是________.
解析:在同一坐标系内作出y=log2(-x),y=x+1的图象,知满足条件的x∈(-
1,0).
答案:(-1,0)
8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=若方程f(x)=x+a有两个不同实根,则实数a的取值范围为________.
解析:当x≤0时,f(x)=2-x-1,0<x≤1时,-1<x-1≤0,f(x-1)=2-(x-1)-1.
故x>0时,f(x)是周期函数,如图所示.
若方程f(x)=x+a有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点,
故a<1,即a的取值范围是(-∞,1).
答案:(-∞,1)
9.已知函数f(x)=
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象;
(2)写出f(x)的单调递增区间;
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].
(3)由图象知当x=2时,f(x)min=f(2)=-1,
当x=0时,f(x)max=f(0)=3.
10.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.
(1)求实数m的值;
(2)作出函数f(x)的图象;
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;
(4)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.
解:(1)因为f(4)=0,所以4|m-4|=0,即m=4.
(2)f(x)=x|x-4|=
f(x)的图象如图所示.
(3)f(x)的单调递减区间是[2,4].
(4)从f(x)的图象可知,当a>4或a<0时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,方程f(x)=a只有一个实数根,即a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).
1.(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y=的部分图象大致为( )
解析:选C.由题意,令函数f(x)=,其定义域为{x|x≠2kÀ,k∈Z},又f(-x)===-f(x),所以f(x)=为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B;因为f()==0,f()==<0,所以排除A;f( À)==0,排除D.故选C.
2.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )
A.f(x)在(0,2)单调递增
B.f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析:选C.法一:由题意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定义域为(0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],由复合函数的单调性知,函数f(x)=ln x+ln(2-x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,所以排除A,B;又f()=ln+ln(2-)=ln ,f()=ln+ln(2-)=ln,所以f()=f()=ln,所以排除D,故选C.
法二:由题意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定义域为(0,2),f 2(x)=+=,由,得0<x<1;由,得1<x<2,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,所以排除A,B;又f()=ln+ln(2-)=ln ,f()=ln+ln(2-)=ln,所以f()=f()=ln,所以排除D,故选C.
3.如图,半径为2的圆O切直线MN于点P,射线PK从PN出发绕点P按逆时针方向旋转
到PM,旋转过程中,PK交圆O于点Q,设∠POQ为x(rad),弓形PmQ的面积S=f(x),则f(x)的图象大致是( )
解析:选D.由题意知,半径为2的圆O切直线MN于点P,射线PK从PN出发绕点P按逆时针方向旋转到PM,旋转过程中,弓形PmQ的面积S=f(x)=×À×22-sin x×22=2x-2sin
x.因为f 2(x)=2-2cos x≥0恒成立且不恒为0,所以f(x)为增函数.令g(x)=2-2cos x,则当x ∈[0,À]时,g 2(x)=2sin x≥0,故函数f(x)的图象向下凹,当x∈[ À,2 À]时,g 2(x)=2sin x ≤0,故函数f(x)的图象向上凸,故选项D中的图象满足要求,选D.
4.(2018·安徽黄山模拟)函数f(x)=与g(x)=|x+a|+1的图象上存在关于y轴对称的点,
则实数a的取值范围是( )
A.R B.(-∞,-e]
C.[e,+∞) D.∅
解析:选C.设y=h(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,
则h(x)=f(-x)=
作出y=h(x)与y=g(x)的函数图象如图所示.
因为f(x)与g(x)图象上存在关于y轴对称的点,所以y=h(x)与y=g(x)的图象有交点,所以-a≤-e,即a≥e.故选C.
5.已知函数f(x)=2x,x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)-2|=m有一个解?两个解?
(2)若不等式f2(x)+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范围.
解:(1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示,由图象看出,
当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;当0<m<2时,
函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解.
(2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,
因为H(t)=-在区间(0,+∞)上是增函数,所以H(t)>H(0)=0.
因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,
即所求m的取值范围为(-∞,0].
6.已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
解:(1)设f(x)图象上任一点P(x,y),
则点P关于(0,1)点的对称点P 2(-x,2-y)在h(x)的图象上,
即2-y=-x-+2,
所以y=f(x)=x+(x≠0).
(2)g(x)=f(x)+=x+,
g 2(x)=1-.
因为g(x)在(0,2]上为减函数,
所以1-≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,
所以a+1≥4,
即a≥3,
故实数a的取值范围是[3,+∞).。

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