陕西省西安市高新第一中学2017届高三一模数学(理)试题

2016-2017年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）. 1．已知复数z 满足i 2i z ⋅=-，i 为虚数单位，则z =（ ）． A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i +【答案】A【解答】解：由i 2i z ⋅=-得，222i (2i)i 2i i 12i i i 1z ---====---，故选A ．2．已知a ∈R ，则“01aa -≤”是“指数函数x y a =在R 上为减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解答】解：由01aa -≤的(1)0a a -≤且10a -≠，解得01a <≤， 若指数函数x y a =在R 上为减函数，则01a <<， ∴“01aa -≤”是“指数函数x y a =在R 上为减函数”的必要不充分条件． 故选：B ．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是（ ）．A ．10B ．12C ．100D ．102【答案】B【解答】解：022S =+=，2113i =⨯+=，224S =+=，2317i =⨯+=， 426S =+=，27115i =⨯+=， 628S =+=，215131i =⨯+=， 8210S =+=，231163i =⨯+=， 10212S =+=，2631127i =⨯+=，由于127100>，退出循环，输出12S = 故输出的S 的值为12． 故选B ．4．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>在区间[],a b 上是增函数，且()f a M =-，()f b M =，则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[],a b 上（ ）． A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值M -【答案】C【解答】解：∵函数()f x 在区间[],a b 上是增函数，且()f a M =-，()f b M =采用特殊值法：令1ω=，0ϕ=，则()sin f x M x =，设区间为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．∵0M >，()cos g x M x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不具备单调性，但有最大值M ，故选：C ．5．某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（ ）．俯视图侧视图正视图A B C D 【答案】A【解答】解：由题意可知组合体上部是底面半径为1，母线长为2的圆锥，下部是半径为1 的球，所以组合体的体积为：3241π1π133⨯+⨯． 故选A ．6．已知点P 在曲线4e 1xy =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）． A ．π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3π,π4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解答】解：因为224(e 1)4(e 1)4e 4(e 1)(e 1)e e 2x x x x x x xy -''⋅+-+--'===++++，∵e e 2x x -+≥， ∴e e 24x x -++≥， ∴[)10y '∈-, 即[)tan 1,0α∈-， ∵0πα<≤ ∴3ππ4α<≤ 故选：D ．7．抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60︒的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB l ⊥，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：由抛物线的定义可得AF AB =，∵AF 的倾斜角等于60︒，∵AB l ⊥，∴60FAB =︒∠，故ABF △为等边三角形．又焦点(1,0)F ，AF 的方程为0(1)y x -=-，设(A ，1m >，由AF AB =21m =+， ∴3m =，故等边三角形ABF △的边长14AB m =+=，ABF △为等边三角形，∴四边形ABEF 的面积是11()(24)4sin6022EF AB BE +=+⨯︒= 故选C ．8．11(cos x x -⎰的值为（ ）． A ．34B ．35C ．54D ．65【答案】D【解答】解：∵cos y x x =为奇函数，∴11cos d 0x x x -=⎰，∵113536(11)15355x x-==+=-⎰∴116(cos 5x x x -=⎰，故选：D ．9．如图，三行三列的方阵中有9个数1,2,3;1,2,3()ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）． 12?1322233233112131 a a a a a a a a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭A ．37B ．47C ．114D ．1314【答案】D【解答】解：从9个数中任取3个数共有39C 84=种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有13C 种方法， 则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有12C 种方法， 第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有1132C C 6⨯=种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种，∴所求的概率为846138414-=． 故答案选D ．10．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(2)3f -=-，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）．则56()()f a f a +=（ ）． A ．3B ．2-C ．3-D ．2【答案】A【解答】解：∵函数()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-∵3()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴3()2f x f x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭∴(3)()f x f x +=，∴()f x 是以3为周期的周期函数． ∵11a =-，且2n n S a n =+，∴23a =-，∴37a =-，415a =-，∴531a =-，663a =-． ∴56()()(31)(63)(2)(0)(2)(2)3f a f a f f f f f f +=-+-=+==--=． 故选A ．11．设22()1x f x x =+，()52(0)g x ax a a =+->，若对于任意1]1[0x ∈,，总存在01[]0,x ∈，使得01()()g x f x =成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．[)4,+∞B ．50,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解答】解：∵22()1x f x x =+，当0x =时，()0f x =， 当0x ≠时，22()11124f x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 由01x <≤，∴()01f x <≤． 故0()1f x ≤≤．又因为()52(0)g x ax a a =+>-，且(0)52g a =-，(1)5g a =-． 故52()5a g x a --≤≤．所以须满足 52051a a -⎧⎨-⎩≤≥，∴542a ≤≤， 故选：C ．12．ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、(1)c b ≠，且C A、sin sin BA 都是方程log(44)x =-的根，则ABC △（ ）． A ．是等腰直角三角形B ．是等腰三角形但不是直角三角形C ．是直角三角形但不是等腰三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 【答案】C【解答】解：∵log (44)b x =-，∴244x x =-解得2x =，∵C A 、sin sin B A 都是方程log(44)x =-的根， ∴sin 2sin C B A A==， ∴sin sin()sin cos cos sin sin cos 2sin cos 2sin cos C A B A B A B A B A A A A =+=+=+=， 即sin cos 0A B =，∴cos 0B =即90B =︒，30A =︒，60C =︒， ∴ABC △是直角三角形但不是等腰三角形． 故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设集合{}260|M x x mx =-+=，则满足{}1,2,3,6MM =的集合M 为___________；m的取值范围为___________．【答案】{}2,3或{}1,6或∅，5m =或7m =或(m ∈-【解答】解：由题意{}1,2,3,6M M ⋂=知M 是集合{}1,2,3,6的子集又{}260|M x x mx =-+=，当M 是空集时，即260x mx +=-无解，(m ∈- 时，显然符合题意当M中仅有一个元素，即m =±260x mx +=-的根是m =不符合题意，（舍）当M 中有两个元素时，考察集合{}1,2,3,6，{}1,6M =，{}2,3M =都符合题意，此时5m =，或7m =．综上集合M 可能为{}2,3或{}1,6或∅，m 的取值范围为5m =或7m =或(m ∈-．故答案为{}2,3或{}1,6或∅；5m =或7m =或(m ∈-．14．已知x ，y 满足140x x y x y t ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≥≤≤，记目标函数2z x y =+的最大值为7，则t =__________．【答案】2-【解答】解：作出不等式组140x x y x y t ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≥≤≤，对应的平面区域如图：（阴影部分）．由2z x y =+得2y x z =+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+的截距最大． 此时z 最大为27x y +=．由274x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，即(3,1)A ，同时A 也在0x y t -+=上， 解得312t x y =-+=-+=-． 故答案为：2-．15．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则PM PN ⋅的最大值为__________． 【答案】12【解答】解：连接PO ，可得：221()()()4PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON PO ⋅=⋅⋅⋅=+⋅⋅+⋅=-，当PO取得最大值PM PN ⋅取得最大值为21142-=⎝⎭．． 故答案为：12． D 1C 1(P )B 1A 1ONMD C BA16．设函数2()2ln f x x x a x =++，当1t ≥时，不等式(21)2()3f t f t --≥恒成立，则实数a的取值范围是__________． 【解答】解：∵2()2ln f x x x a x =++，∴22(21)2()32422ln ln(2t 1)ln 21t f t f t t t a t a a t -⇒-+--=-≥-≥，当1t ≥时，221t t -≥，∴2ln 021tt -≥．即1t >时，222(1)ln 21t a t t --≤恒成立．又易证ln(1)x x +≤在1x >-上恒成立，∴2222(1)(1)ln ln 1(1)212121t t t t t t t ⎡⎤--=+<-⎢⎥---⎣⎦≤在1t >上恒成立． 当1t =时取等号，∴当1t ≥时，22ln(1)21t t t --≤， ∴由上知2a ≤．故实数a 的取值范围是(],2-∞．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2cos cos cos a A c B b C =+． （Ⅰ）求cos A 的值．（Ⅱ）若1a =，22cos 122cos B C +=，求边c 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+，即2sin cos sin()A A B C =+，又πB C A +=-，所以有2sin cos sin(π)A A A =-， 即2sin cos sin A A A =．而sin 0A ≠，所以1cos 2A =．（Ⅱ）由1cos 2A =及0πA <<，得π3A =，因此2ππ3B C A +=-=．由条件得1cos 1cos 122B C +++=+即cos cos B C +=2πcos cos 3B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得πsin 6B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由π3A =，知ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．于是ππ63B +=，或π2π63B +=． 所以π6B =，或π2B =． 若π6B =，则π2C =．在直角ABC △中，π1sin 3c =，解得c =， 若π2B =，在直角ABC △中，π1tan 3c =，解得c =因此c =或c =18．如图，在三棱锥P ABC -中，直线PA ⊥平面ABC ，且90ABC ∠=︒，又点Q ，M ，N分别是线段PB ，AB ，BC 的中点，且点K 是线段MN 上的动点． （Ⅰ）证明：直线QK ∥平面PAC ．（Ⅱ）若8P A A B B C ===，且二面角Q AK M --，试求MK 的长度．PQ KMNC A【解答】解：（Ⅰ）连结QM ，∵点Q ，M ，N 分别是线段PB ，AB ，BC 的中点，∴QM PA ∥且MN AC ∥，从而QM ∥平面PAC 且MN ∥平面PAC ， 又∵MN QM M ⋂=，∴平面QMN ∥平面PAC ，而QK ⊂平面QMN ， ∴QK ∥平面PAC ．（Ⅱ）方法1：过M 作M H AK ⊥于H ，连QH ， 则QHM ∠即为二面角Q AK M --的平面角， 设MK x =，且8PA PB PC ===，则MH =4QM =，且cos QHM ∠=∴tan QM QHM MH ==∠解得x ∴MK方法2：以B 为原点，以BC 、BA 所在直线为x 轴y 轴建空间直角坐标系， 则(0,8,0)A ，(0,4,0)M ，(4,0,0)N ，(0,8,8)P ，(0,4,4)Q ， 设(,0)K a b ,，则4a b +=，(0,4,4)AQ =-，(,4,0)AK a a =--， 记(,,)n x y z =为平面AQ 的一个未能向量，则0(4)0n AQ y z ax a y n Azk ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=+⋅=⎩⎪⎩，取y z a ==则4x a =+，则(4,,)n a a a =+，又平面AKM 的一个法向量(0,0,1)m =， 设二面角Q AK M --的平面角为θ，则cos (m n m na θ⋅==，解得1a =， ∴MK19．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记2||x y x ξ=-+-． （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率． （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵x 、y 可能的取值为1，2，3，∴||21x -≤，||2y x -≤，∴3ξ≤，且当1x =，3y =或3x =，1y =时，3ξ=． 因此，随机变量ξ的最大值为3．∵有放回抽两张卡片的所有情况有339⨯=种， ∴2(3)9P ξ==． 即随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29． （Ⅱ）由题意知ξ的所有取值为0，1，2，3． ∵0ξ=时，只有2x =，2y =这一种情况，1ξ=时，有1x =，1y =或2x =，1y =或2x =，3y =或3x =，3y =四种情况， 2ξ=时，有1x =，2y =或3x =，2y =两种情况．∴1(0)9P ξ==，4(1)9P ξ==， 2(2)9P ξ==． ∴随机变量ξ的分布列为：∴数学期望012399999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20．如图，曲线22:1(0,0)x y C m n m n+=>>与正方形4L x y +=:的边界相切．（1）求m n +的值．（2）设直线l y x b =+:交曲线C 于A ，B ，交L 于C ，D ，是否存在的这样的曲线C ，使得CA ，AB ，BD 成等差数列？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由2214x y m n x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2()8160n m x mx m mn +-+-=，∴2644()(16)0m m n m mn ∆+--==， 化简，得4()640mn m n mn +-=，又0m >，0n >，∴0mn >，∴16m n +=． （2）若CA ，AB ，BD 成等差数列， 则2AB CA BD =+，∴3AB =AB =由221x y m n y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22()20n m x bmx mb mn -+++=． 由22222(2)4()()4440bm n m mb mn nmb n m m n --∆=+=-++>， 得216b m n +=<，∴AB ===，323=，∴32832m n +==，∴21289b ≤，即有b 216b m n +=<，∴当实数b 的取值范围是⎡⎢⎣⎦时，存在的这样的曲线C ，使得CA ，AB ，BD 成等差数列．21．设函数2()ln 2f x x x x -=- （Ⅰ）求()f x 的单调区间．（Ⅱ）若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域是[](2),(2)k a k b ++，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令()()2ln 1(0)g x f x x x x '==-->，令()0g x '>，解得：12x >，令()0g x '<，解得：102x <<，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，则()g x 的最小值为1ln 202g ⎛⎫-> ⎪⎝⎭．所以1()g()02f x x f ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭≥，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x 在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭递增，∵()f x 在[],a b 上的值域是[](2),(2)k a k b ++．所以()(2)f a k a =+，()(2)f b k b =+，12a b <≤．则()(2)f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上至少有两个不同的正根，()2f x k x =+，令2()ln 21()222f x x x x F x x x x -+⎛⎫== ⎪++⎝⎭≥， 求导，得2232ln 41()(2)2x x x F x x x +--⎛⎫'= ⎪+⎝⎭≥， 令21()32ln 42G x x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭≥，则2(21)(2)()230x x G x x x x -+'=+-=≥． 所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0f =． 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0G x <，∴()0F x '<，当(1)x ∈+∞,时，()0G x >， ∴()0F x '>，所以()F x 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在(1,)+∞上递增，故1(1)2F k F ⎛⎫< ⎪⎝⎭≤∴92ln 21,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．请考生在第（23）、（24）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l ：sin cos x a t y b t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）（1）当π3α=时，求直线l 的斜率． （2）若()P a b ,是圆O ：224x y +=内部一点，l 与圆O 交于A 、B 两点，且PA ，OP ，PB 成等比数列，求动点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）当π3α=时，直线l的斜率1cos sin k αα===， （2）由题意，设A 、B 两点对应的参数分别为A t ，B t ，把直线l 的方程代入圆O 的方程中，22sin )((cos )40a t b t αα+++=， 整理得：222(2sin 2cos )40t a b t a b αα++-++=．∴224A B t t a b PA PB ⋅-=-⋅=+，又∵PA ，OP ，PB 成等比数列， ∴2OP PB PA =⋅，∴22224)a b a b +=-+-(即222a b +=， ∴动点P 的轨迹方程为222x y +=．[选修4-5：不等式选讲] 23．选修45﹣：不等式选讲 设不等式|2|11x -<的解集为M ，且a M ∈，b M ∈． （Ⅰ）试比较1ab +与a b +的大小．（Ⅱ）设max A 表示数集A 中的最大数，且max h=，求h 的范围． 【解答】解：由不等式|2|11x -化为：1211x -<-<，解得01x <<，∴原不等式的解集{}01|M x x =<<． （Ⅰ）∵,a b M ∈，∴01a <<，01b <<． ∴(1)()(1)1)0ab a b a b +-+=-->（， ∴1ab a b +>+．（Ⅱ）∵,a b M ∈，∴01a <<，01b <<． 不妨设01a b <<≤，，<．2h =>．∴(2,)h ∈+∞．。