北京市师范大学南山附属学校中学部2015-2016学年度九年级数学上学期期中试题(无答案)

合集下载

2015-2016学年度北师大版九年级上期中考试数学试题及答案

2015—2016学年度九年级第一学期期中考试数学试卷考试时间120分钟；试卷总分100分※ 考生注意:请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共16分) 1、下列方程,是一元二次方程的是（ ) ①3x 2+x=20，②2x 2—3xy+4=0,③x 2-1x =4，④x 2=0，⑤x 2—3x+3=0 A ．①② B ．①④⑤ C ．①③④ D ．①②④⑤ 2、已知1=x 是方程022=++ax x 的一个根,则方程的另一个根为（ ) A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 3、观察下列表格,一元二次方程21.1x x -=的一个近似解是( )x1.1 1。

2 1。

3 1.4 1。

5 1.6 1。

7 1.8 1.9 2x x -0。

110.240。

390。

560。

750。

961。

191。

441。

71A ．0。

11B ．1。

6C ．1。

7D ．1。

19 4、如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB =60°，则对角线BD 的长是（） A ．1B ．3C ．2D ．234题图5题图a b cA B C DEF mn6题图5、如图，已知直线a ∥b ∥c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3,则BF 等于( ） A ． 7 B ． 7。

5C ． 8D ． 8。

56、某小组做“用频率估计概率"的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图,则符合这一结果的实验最有可能的是（ ) A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀"B ．一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C ．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是47、如图，矩形ABCG （AB<BC ）与矩形CDEF 全等,点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点在线段BD 上移动,使∠APE 为直角的点P 的个数是( ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38、如图,边长一定的正方形ABCD ，Q 为CD 上一个动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P,连接NQ ，下列结论：①AM=MN;②MP=BD ；③BN+DQ=NQ ；④为定值．其中一定成立的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④7题图11题图8题图二、填空题(每小题2分，共16分）9、()x x 6542=+-化成一般形式是____________，其中一次项系数是___________10、抽屉里有２只黑色和１只白色的袜子,它们混在一起,随意抽出两只刚好配成一双的概率是 ___________11、如图,为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具,移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点。

北师大版九年级数学上-期中答案.docx

初中数学试卷桑水出品2015-2016学年第一学期九年级期中联考数学试卷答案三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题8分，第19题8分，第20题6分，第21题8分，第22题8分，第23题9分，共52分） 17．（5分）解： a ＝4.b ＝-8,c ＝-1 ……………………………………………… 1’ ∵ b 2-4ac ＝(-8) 2-4×4×(-1)＝80＞0…………………………………………………… 2’∴x ＝a ac b b 242-±-＝4280)8(⨯±--＝252±……………….4’∴x 1＝252+ ,x 2＝252- …………………………………….5’18.（8分）解：（1）P(摸到红球)＝31…………………… ……2’ (2)………… 6’一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次取出相同颜色球的结果有3种，…∴P （两次取出相同颜色球）＝93＝31…… ……………… 8’19（8分）证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知）， ∴AB ∥DE ，AB=DE （平行四边形的对边平行且相等）； ∴∠B=∠EDC （两直线平行，同位角相等）；又∵AB=AC （已知）， ∴AC=DE （等量代换），∠B=∠ACB （等边对等角）， ∴∠EDC=∠ACD （等量代换）； ∵在△ADC 和△ECD 中，，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；(证得AC=DE 给2分，证得∠EDC=∠ACD 给2分，最后结论1分) （2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD=AE （平行四边形的对边平行且相等）， ∴AE ∥CD ；又∵BD=CD ，∴AE=CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 7’ 由（1）可知，AC=DE ，∴▱ADCE 是矩形． 8’ 20．（6分） .解：（1）画图略 2分（2）画图略 2分坐标为（1,0） 1分（3）面积10平方单位 1分21.（8分）解：设每件衬衫应降价x 元. 1’ 则依题意，得：（40-x ）（20+2x ）=1200， 5’整理，得2302000x x -+=，解得:1210,20x x ==. 7’∵商场要尽快减少库存， ∴只取x 2=20答：若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价20元． 8’22.（8分）（1）证明∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，1’∴AE=DE，AF=DF，2’∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，3’同理DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，4’∵AE=DE∴▱AEDF是菱形. 5’（2）解：∵▱AEDF是菱形.∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，6’∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，8’23.（9分）解：（1）∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上,∴BC∥x轴, BA∥y轴，∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），1’代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；2’∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线y=3x上，∴y=∴点E的坐标为（2，）；3’（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=，BC=2当点F在点C的下方时，若△FBC∽△DEB，则即：∴FC=4 3∴OF=3-43=53∴点F1的坐标为（0，）4’设直线F1B的解析式y1=kx+b（k≠0）则解得：k=，b=∴直线F1B的解析式y1=2533x+5’若△FBC∽△E DB，则CF BC EB DB=即：2 31 2CF=∴FC=3∴OF=3-3=0∴点F2的坐标为（0，0）6’设直线F2B的解析式y2=mx（k≠0）则2m=3,解得：m=32，∴直线F2B的解析式y2=32x 7’当点F在点C上方时，同理可得：y3=21333x-+;y4=362x-+综上所述，直线FB的解析式有4种可能，分别是：y1=2533x+；y2=32x；y3=21333x-+;y4=362x-+9’。

2015~2016学年度九年级上册数学期中考测试卷(北师大版)

揭西县第二华侨中学第１页，共4页2015~2016学年度第一学期期中教学测试九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、方程：①13122=-xx②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是（）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和③ 2、下面关于平行四边形的说法不正确的是（）A ．对边平行且相等B ．两组对角分别相等C ．对角线互相平分D ．每条对角线平分一组对角3、等腰三角形两边长分别是2和7，则它的周长是（） A ．9 B ．11 C ．16 D ．11或164、到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（） A ．三边的垂直平分线的交点 B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条中线的交点5、顺次连接四边形各边中点所得四边形一定是（）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 6、对角线相等，并且互相平分的四边形是（）A ．等腰梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形班级姓名座 ……………………………………………… 密 …………………………………… 封 …………………………………… 线 ……………………………………期中考测试卷第２页，共4页7、在Rt △ABC 中，已知∠C =90º，∠A =30º，BD 是∠B 的平分线，AC =18，则BD 的值为( )A ． 33B ． 9C ． 12D ． 6 8、下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图都相同的几何体是（） A ．球 B ．圆柱 C ．三棱柱 D ．圆锥9、如图，由∠1=∠2，BC=DC ，AC=EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS第9题图第10题图10、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 的度数（）A ． 30°B ． 36°C ． 45°D ． 25°二、填空题（每题4分，共20分）11、如图：DE 是△ABC 的中位线BC=8，则DE=________。

2015-2016学年第一学期九年级期中五校联考数学试题及答案

2015-2016学年第一学期九年级期中五校联考数学试卷(新北师大版）2015.11.18第一部分选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个正确） 1.方程x 2=4x 的解是（）A ． x=4B ． x=2C ． x=4或x=0D ． x=0 2.矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（）A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数 3.如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（） A ．∠ABD=∠ACB B ．∠ADB=∠ABC C ．AB 2=AD•AC D ．AD ABAB BC4.用配方法解方程x 2-4x-2=0,变形后为（）A.（x-2）2=6 B.（x-4）2= 6 C.（x-2）2= 2 D.（x+2）2=65.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（） A ． 24 B ． 18 C ． 16 D ． 66.关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋2=0的根的情况是（） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根 C 、无实数根 D 、有无实数根，无法判断 7. 在同一直角坐标系中，函数y=xk与y=kx+3的图像大致是（）A B C D 8.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若 S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（）A ．13B ．14C ．19D ．1169.顺次连结一个四边形各边中点所得的四边形必定是( )。

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形. 10．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD ．若B （1，0），则点C 的坐标为（）A ．（1，2）B ．（1，1）C ．（，）D ．（2，1）11.如图，下列一束束“鲜花”都是由一定数量形状相同且边长为1的菱形按照一定规律组成，其中第①个图形含边长为1的菱形3个，第②个图形含边长为1的菱形6个，第③个图形含边长为1的菱形10个，... ...，按此规律，则第⑦个图形中含边长为1的菱形的个数为（）第3题图第8题图第10题图① ②③A.36B.38C.34D.28 12题图12.如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y =﹣、y =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为（）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．无法确定D ．保持不变第二部分非选择题二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 14.已知，粉笔盒里有4支红色粉笔和n 支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是n2，则n ＝。

2015-2016学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案

()
（2）以坐标原点 O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于 2：1．
21．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，且 = ，连结 DE．若 AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
3．如图，D 是△ABC 的边 AC 上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE 的是 ()
A．∠ADE=∠B B． = C．∠AED=∠C D． =
4．如图，A，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了 A、B 间的距离：先在 AB 外
选一点 C，然后测出 AC，BC 的中点 M，N，并测量出 MN 的长为 12m，由此他就知道了
x
…
0
1
2
3
4
y
…
4
1
0
1
4
点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当 1＜x1＜2，3＜x2＜4 时，y1 与 y2C．y1≥y2 D．y1 ≤y
2
10．如图，正方形 ABCD 中，AB=8cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别从 B，C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC，CD 运动，到点 C，D 时停止运动，设运动时间为 t（s），△OEF 的面积为 s（cm2），则 s（cm2）与 t（s）的函数关系可用图象表示为
A、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是(
)
A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2
5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是(

北京市教院附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题(含解析)

北京市教院附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）A． =B． =C． =D． =3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．34．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD：BD=1：2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A．6 B．8 C．12 D．185．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．B．C．D．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+37．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞08．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．89．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP 始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣4x+3上的两点，则y1y2．（用“＞”或“＜”填空）．12．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．13．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ．14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为．16．如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= ，A n B n= ．（n 为正整数）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：tan60°﹣cos30°×tan45°+sin30°．18．若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．20．如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（﹣5，﹣1），点C（﹣1，﹣2）．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．21．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是，顶点坐标是；y的取值范围是．22．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是；1﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A 关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．28．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．29．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．2015-2016学年北京市教院附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．2．如果4x=5y（y≠0），那么下列比例式成立的是（）A． =B． =C． =D． =【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质：等式的两边都除以同一个不为零的数，结果不变，可得答案．【解答】解：4x=5y（y≠0），两边都除以20，得=，故B正确；故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等式的性质：等式的两边都除以20是解题关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．3【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=．故选：A．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD：BD=1：2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）A．6 B．8 C．12 D．18【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可以求出AD：BD=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：BD=1：2，∴AD：AB=DE：BC=1：3，∴S△ADE：S△ABC=（AD）2：（AB）2=1：9，∵△ADE的面积等于2，∴△ABC的面积等于18，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用．解答本题求出两三角形相似是关健．5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，由勾股定理，得AB==．cosB===，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，故选：C．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=﹣＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．【解答】解：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，又∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，所以A正确．故选A．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】位似变换．【专题】计算题．【分析】根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2．故选B．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．9．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP 始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据等边三角形的性质得BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，由于∠MPN=60°，易得∠DPB=∠PEC，根据三角形相似的判定方法得到△BPD∽△CEP，利用相似比即可得到y=x（4﹣x），配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵等边△ABC中，AB=4，BP=x，∴BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，∵∠MPN=60°，∴∠DPB+∠EPC=120°，∵∠EPC+∠PEC=120°，∴∠DPB=∠PEC，∴△BPD∽△CEP，∴=，即=，∴y=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2，（0≤x≤4）．故选B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等边三角形的性质．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）分别为抛物线y=x2﹣4x+3上的两点，则y1＞y2．（用“＞”或“＜”填空）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=2，再根据二次函数的增减性，x＜2时，y随x 的增大而减小解答．【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，∵2＞﹣1＞﹣2，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．12．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， =，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．13．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB= ．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意画出图形，设BC=4x，则AC=3x，根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：如图所示，∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，∴设BC=4x，则AC=3x，∴AB==5x，∴s inB===．故答案为：．【点评】本题考查的是互余两三角函数的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．14．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【解答】解：∵∠AEC=∠BED，∴当=时，△BDE∽△ACE，即=，∴CE=．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．15．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为 3 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0．﹣=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3，故答案为3．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．16．如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2= 6 ，A n B n= n（n+1）．（n为正整数）【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】根据OA1=1，求出A1A2、A2A3、A3A4的值，推出A n A n﹣1的值，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），推出A n B n=n（n+1）即可．【解答】解：∵OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4，…A n﹣2A n﹣1=n﹣1，A n﹣1A n=n，∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…，∴=，∴=，∴A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），…，∴A n B n=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是根据求出的结果得出规律，题型较好，但是有一定的难度．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：tan60°﹣cos30°×tan45°+sin30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣×1+=+．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18．若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】先把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+3得到关于a和b的方程组，然后解方程组即可．【解答】解：根据题意得，解得．所以此二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形可得关于AE的比例式，代入已知数据计算即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC；（2）∵△AED∽△ABC，∴，∵AB=6，AD=4，AC=5，∴，∴AE=．【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．20．如图，△ABC的顶点在格点上，且点A（﹣5，﹣1），点C（﹣1，﹣2）．以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出△ABC放大后的图形△A′B′C′并写出△A′B′C′各顶点坐标．【考点】作图-位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点坐标，进而得出答案．【解答】解：如图所示：△A′B′C′即为所求，A′（10，2），B′（10，6），C′（2，4）．【点评】此题主要考查了位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．21．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），顶点坐标是（1，﹣4）；y的取值范围是当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3 ．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）根据抛物线y=x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解答】解：（1）令y=0，则0=x2﹣2x﹣3．解得x1=﹣1，x2=3．抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．22．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度．【考点】解直角三角形的应用．【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE 即可得出结论．【解答】解：由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，AD=3，CE⊥BE，DE=AB=1.7米，∴，∴．∴CE=3+1.7=4.7．答：这棵树的高度为4.7米．【点评】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．已知抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可；（2）根据题意，令x=0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．【解答】（1）证明：令y=0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0，∵△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）解：令x=0，根据题意有：m2﹣m=﹣3m+3，解得m=﹣3或1．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与x轴的交点等．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）w=y（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600（2）w=2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是x≠0；1﹣（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x≠0，（2）令x=3，∴y=×32+=+=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A 关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所以B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得，求出b，c的值，即可解答；（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答．【解答】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴．【点评】本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形解决问题．28．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为（1，﹣2）；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为（2，0）、（﹣1，6）．．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】【尝试】（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．【发现】将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．【应用1】将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=﹣3x2+5x+2中进行验证即可．【解答】解：【尝试】（1）∵将t=2代入抛物线l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．（2）∵将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，∴点A（2，0）在抛物线l上．（3）将x=﹣1代入抛物线l的解析式中，得：n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4∴抛物线l必过定点（2，0）、（﹣1，6）．【应用1】将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”．【点评】考查了二次函数的综合知识，该题通过新定义的形式考查了二次函数等综合知识，理解新名词的含义尤为关键．最后一题的综合性较强，通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在．29．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N 在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）①先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB==4，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．【解答】解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴===，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，。

北京师大附中2015-2016学年度第一学期月考初三数学试题及答案

点的坐标是 2, 5 ．
（1）①点

3,1 的限变点的坐标是___________；
2 图象上某一个点的限变点， x

②在点 A 2, 1 ， B 1, 2 中有一个点是函数 y 这个点是_______________；（ 2 ）若点 P 在函数 y x 3(2≤x≤k , k 2) 点 Q 的纵坐标 b 的取值范围是 5≤b≤2 ，求 k
子川教育——专注西城区名校教师课外辅导
北京师大附中 2015—2016 学年度第一学期月考
初三数学试卷
试卷说明：本试卷满分 120 分，考试时间为 100 分钟．一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．把抛物线 y=3x 先向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（
A B C
限内将点的坐
（ 5 分）如图，点 E 是四边形 ABCD 对角线 BD 上一 22． ∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证： ABE ∽ ACD
点，且
2 23．（8 分）已知二次函数的解析式是 y x 2 x 3 .
（1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（2）当 x 为何值时，函数值 y<0？（3）当-2<x<2 时，观察图象直接写出函数值 y 的取值的范围.
2
21 或3 b 1 4
26. （8 分)（1）如图（2）如图（3）8
27．（8 分）解：（1）① ( 3,1) ； ………………………………1 分
② 点 B． ………………………………………………2 分
第 9 页共 10 页
子川教育——专注西城区名校教师课外辅导

北京市师大附中九年级数学上学期期中试题(含解析) 新

北京市师大附中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．抛物线y=（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=，BC=2，则sinB的值为（）A．B．C．D．23．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是（）A．8 B．6 C．4 D．34．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．70°5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A．B．C．D．6．将抛物线y=3x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x+2）2﹣3 C．y=3（x﹣2）2+3 D．y=3（x﹣2）2﹣37．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．88．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A．abc＜0 B．a+b+c＜0 C．2a﹣b＞0 D．4a﹣b+c＜09．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=，折叠后，点C 落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A．B．2 C．3 D．210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式：．12．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是．13．在阳光下，身高1.7m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m．则旗杆的高度为m．14．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌，则两次摸取纸牌上数字之和为5的概率是．15．已知二次函数y=2x2+8x+m，自变量x1=﹣2+对应的函数值为y1，自变量x2=﹣4对应的函数值为y2，则y1y2（填“＞”、“＜”或“﹦”）．16．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在X轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：2sin45°+3tan30°﹣2tan60°•cos30°．18．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O，并直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．19．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；（2）若AB=4，求AE•DE的值．20．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y …﹣5 0 3 4 3 …（1）求此二次函数的解析式；（2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．21．已知如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=18，求：BC、AB的长．22．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．已知：如图，面积为2cm2的四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，∠BAD=45°，CD=cm，求AB的长．24．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．26．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=，AC=，BC=2，求∠A的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．（1）图2中与∠A相等的角为，∠A的正切值为；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG=，KG=，延长HK，求∠α+∠β的度数．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．已知抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若抛物线对称轴x=﹣1，且反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足2＜x0＜3，求k的取值范围．28．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=有交点A、B，已知点B（﹣2，﹣2），tan∠AOX=4．（1）求k的值以及抛物线的解析式；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标（注：这里E，O，C与A，O，B分别为对应点）．（3）点P为抛物线上一动点，从O点出发（含O点）沿着抛物线向左运动，已知在此过程中，△ABP 的面积S△ABP恰好有两次取到值m，请直接写出m的取值范围（P与B重合时规定S△ABP=0）．2015-2016学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．抛物线y=（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】二次函数的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣3，∴其顶点坐标为（﹣2，﹣3）．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=，BC=2，则sinB的值为（）A．B．C．D．2【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵在Rt△AB C中，∠C=90°，AB=，BC=2，∴AC===1，∴sinB===．故选A．【点评】本题主要考查了正弦函数的定义，正确记忆定义是解题关键．3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则E C的长是（）A．8 B．6 C．4 D．3【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例=，据此可以求得AC的长度，所以EC=AC﹣AE．【解答】解：∵AD=6，BD=2，∴AB=AD+BD=8；又∵DE∥BC，AE=9，∴=，∴AC=12，∴EC=AC﹣AE=12﹣9=3；故选：D．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得AB的长度．4．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．70°【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】让红豆粽的总个数除以粽子的总个数即为小颖吃到红豆粽的概率．【解答】解：P（红豆粽）==．故选：B．【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．将抛物线y=3x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x+2）2﹣3 C．y=3（x﹣2）2+3 D．y=3（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】几何变换．【分析】先由而次函数的性质得到抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律，点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（2，3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（2，3），所以平移后的抛物线的解析式是y=3（x﹣2）2+3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决此题的关键是把抛物线平移的问题转化为顶点平移的问题．7．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．【解答】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A．abc＜0 B．a+b+c＜0 C．2a﹣b＞0 D．4a﹣b+c＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，故A错误；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故B错误；∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴2a﹣b=0，故C正确；∵x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故C错误．故选C．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=，折叠后，点C 落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A．B．2 C．3 D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．【解答】解：连接CC1．Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=，易得BE=AB×tan30°=1，AE=2．∠AEB1=∠AEB=60°，由AD∥BC，那么∠C1AE=∠AEB=60°，所以△AEC1为等边三角形，那么△CC1E也为等边三角形，那么EC=EC1=AE=2，∴BC=BE+EC=3，故选C．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，注意使用翻折前后得到的对应边相等，对应角相等这个知识点及相应的三角函数等知识．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，∴S四边形OECF=S△OBC=×82=16，∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式：y=﹣x2﹣1 ．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣1）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，﹣1）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，﹣1），故解析式为：y=﹣x2﹣1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2﹣1（答案不唯一）．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．12．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是55°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题．【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用互余求解．【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°．故答案为55°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．13．在阳光下，身高1.7m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m．则旗杆的高度为15.3 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算．【解答】解：根据题意可得：设旗杆高为x．根据在同一时刻身高与影长成比例可得： =，解得：x=15.3．故答案为：15.3．【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．14．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4．随机地摸一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌，则两次摸取纸牌上数字之和为5的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】先列表展示所有可能的结果数为16，再找出两次摸取纸牌上数字之和为5的结果数，然后根据概率的概念计算即可．【解答】解：根据题意，列表如下：1 2 3 4甲乙1 2 3 4 52 3 4 5 6.3 4 5 6 74 5 6 7 8由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P（A）==，故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．已知二次函数y=2x2+8x+m，自变量x1=﹣2+对应的函数值为y1，自变量x2=﹣4对应的函数值为y2，则y1＜y2（填“＞”、“＜”或“﹦”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=﹣2，然后通过比较点（﹣2+，y1）和点（﹣4，y2）离直线x=﹣2的远近得到y1与y2的大小．【解答】解：∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点（﹣2+，y1）比点（﹣4，y2）离直线x=﹣2要近，而抛物线开口向上，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．16．边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在X轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为﹣．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】此题考查图形旋转问题，求出B点坐标代入函数就可以了．【解答】解：连接OB，∵旋转75°，∴x轴正半轴与OA的夹角为75°，∵∠AOB=45°，∴OB与x轴正半轴夹角为75°﹣45°=30°，过B作BD⊥x轴于D，∵BC=OC=1，∴OB=，∴BD=，∴OD=，∴B（，），把B点坐标代入y=ax2中得：，解之得：a=．【点评】此题主要考查坐标转换问题，先给一个确定的坐标再通过旋转求出旋转以后的坐标，问题就解决了．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：2sin45°+3tan30°﹣2tan60°•cos30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=2×+3×﹣2××=+﹣3．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．画出位似中心点O，并直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．【考点】作图-位似变换．【分析】利用位似图形的性质得出对应点的交点，进而得出答案．【解答】解：如图所示：点O即为位似中心，△ABC与△A′B′C′的位似比为：2：1．【点评】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心是解题关键．19．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；（2）若AB=4，求AE•DE的值．【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据菱形的对边平行，可得出∠1=∠2，结合∠AED=∠B即可证明两三角形都得相似．（2）根据（1）的结论可得出=，进而代入可得出AE•DE的值．【解答】解：（1）证明：如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠1=∠2，又∵∠B=∠AED，∴△ABE∽△DEA．（2）∵△ABE∽△DEA，∴=，∴AE•DE=AB•DA．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∴AB=DA=4．∴AE•DE=AB2=16．【点评】此题考查了菱形的性质、相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是利用相似三角形对边相等的性质得出∠1=∠2，证明出△ABE∽△DEA，难度一般．20．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y …﹣5 0 3 4 3 …（1）求此二次函数的解析式；（2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a的值即；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）观察函数函数图象，当﹣4＜x≤1时，函数的最大值为4，于是可得到y的取值范围为﹣5＜y≤4．【解答】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），设y=a（x+1）2+4，把（0，3）代入得a（0+1）2+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；（2）如图，（3）当﹣4＜x≤1时，﹣5＜y≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．21．已知如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=18，求：BC、AB的长．【考点】解直角三角形．【分析】过点C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值和余弦值求出CD、AD，再根据∠B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的长，根据AB=AD+BD计算即可得解．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵∠A=30°，AC=18，∴CD=AC•sin∠A=18•sin30°=18×=9，AD=AC•cos∠A=18•cos30°=18×=9，∵tanB=，∴BD=CD÷=9×=12，∴AB=AD+BD=9+12；由勾股定理得，BC===15．【点评】本题考查了解直角三角形，作辅助线构造出两个直角三角形是解题的关键．22．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】几何图形问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共边BE求得DE、CE，再根据CD=DE﹣CE计算即可求出答案．【解答】解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．【点评】本题考查解直角三角形的知识．要先将实际问题抽象成数学模型．分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．已知：如图，面积为2cm2的四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC经过圆心，∠BAD=45°，CD=cm，求AB的长．【考点】圆周角定理；勾股定理．【分析】延长BC、AD交于点E，根据圆周角定理得到∠ADC=∠B=90°，根据直角三角形的性质求出DE=CD=，求出S△EDC，得到S△EAB，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：延长BC、AD交于点E．∵直径AC，∴∠ADC=∠B=90°，∵∠BAD=45°，∴∠E=90°﹣45°=45°，∴DE=CD=，∴S△EDC=×DC×DE=1，∵四边形ABCD面积为2，∴S△EAB=3，∴×AB×BE=3，∵∠BAD=∠E=45°，∴AB=BE，∴AB=．【点评】本题考查的是圆周角定理、勾股定理的应用以及等腰直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角、等腰直角三角形的性质是解题的关键．24．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把y=70代入y=﹣5x+150，求出x即可；（2）每月销售量y=﹣5x+150，乘以每件利润（x﹣10）即可得到每月获得的利润w元的表达式；（3）转化为二次函数求出最大值即可．【解答】解：（1）当y=70时，70=﹣5x+150，解得x=16，则（16﹣10）×70=420元；（2）w=（x﹣10）（﹣5x+150）=﹣5x2+200x﹣1500，∵，∴自变量的取值范围为10≤x≤18；（3）w=﹣5x2+200x﹣1500=﹣5（x﹣20）2+500∵a=﹣5＜0，∴当10≤x≤18时，w随x的增大而增大，∴当x=18时，w有最大值，为480元．答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．【解答】（1）证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=，∴sin∠CAB=，即=，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．【点评】本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．26．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=，AC=，BC=2，求∠A的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC 相似的格点△DEF，从而使问题得解．（1）图2中与∠A相等的角为∠D，∠A的正切值为；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG=，KG=，延长HK，求∠α+∠β的度数．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由图得知：AC=，DE=2，BC=2，EF=2，AB=，DF=2，通过三边对应成比例，两三角形相似得到△ABC∽△DEF，于是得到结论；（2）根据已知，把△GHK放到正方形网格中，连结GM，如图4，由图得知各个相等的长度，于是得到=，得到△MKG∽△MGH，求得∠α=∠1，根据三角形外角的性质即可得到结果．【解答】解：（1）由图得知：AC=，DE=2，BC=2，EF=2，AB=，DF=2，∴=，∴△ABC∽△DEF，∴∠D=∠A，∴tanA=tanD=；故答案为：∠D，；（2）根据已知，把△GHK放到正方形网格中，连结GM，如图4，∵可得KM=2，MG=，∴HM=4，HG=，MG=，MG=，KG=，KM=2，∴=，∴△MKG∽△MGH，∴∠α=∠1，∵∠1+∠β=45°，∴∠α+∠β=45°．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，外角的性质，找准相似三角形是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．已知抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若抛物线对称轴x=﹣1，且反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x0，且满足2＜x0＜3，求k的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）令y=0，则x2﹣（m﹣3）x+=0，由判别式得出△=（m﹣1）2+3，不论m为任何实数，都有（m﹣1）2+3＞0，即△＞0，即可得出结论．（2）由抛物线对称轴x=﹣1，得出m=2，抛物线的解析式为y=x2+x﹣；当2＜x＜3时，对于y=x2+x ﹣，y随着x的增大而增大，对于y=（k＞0，x＞0），y随着x的增大而减小．分别求出当x0=2时和当x0=3时，k的取值范围，即可得出结果．【解答】（1）证明：令y=0，则x2﹣（m﹣3）x+=0，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4××=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，∴不论m为任何实数，都有（m﹣1）2+3＞0，即△＞0．∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．（2）解：∵抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+的对称轴为x=﹣=m﹣3，又∵抛物线对称轴x=﹣1，∴m﹣3=﹣1，解得：m=2，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣；当2＜x＜3时，对于y=x2+x﹣，y随着x的增大而增大，对于y=（k＞0，x＞0），y随着x的增大而减小．所以当x0=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，得：＞×22+2﹣，解得：k＞5．当x0=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，得：×32+3﹣＞，解得：k＜18．所以k的取值范围为5＜k＜18．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法、判别式的应用、二次函数的性质、不等式的解法等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用二次函数的性质和解不等式才能得出结果．28．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= 2.5 s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．。

北师大版九年级数学上-第一学期期中试卷.docx

初中数学试卷鼎尚图文**整理制作2015-2016学年度第一学期九年级数学期中试卷一、单项选择题1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）2.下列方程中是一元二次方程的是（）3.若关于x的一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0的常数项为0，则m的值等于（）A. -2B. 2C. -2或2D. 04.抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位。

B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位。

C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位。

D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位。

5.已知直角三角形边为x2-5x+6=0的两个根，则此直角三角形的斜边为（）A. 3B. 13C.D.6.方程（2x+3）（x-1）=1的解的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个相等的实数根D. 有一个实数根7. 当点P关于x轴对称的点P1的坐标(2,3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（）A. (-3, -2)B. (2, -3)C. (-2, -3)D. (-2, 3)8.若方程x2-5x-10=0的两根为x1, x2, 则的值为( )A, 2 B.-2C.D.9.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是（）A. 25%B. 30%C. 20%D. 10%10.在同一直角坐标系中一次函数y=ax+c和函数y=ax2+c的图像大致是（）二、填空题11. 二次函数y＝2（x－1）²的图像的顶点坐标是___________12. ，当x=_____________时，函数值y随着x的增大而增大。

13. （x-3）2+5=6x化成一般形式是____________，其中一次项系数是_____。

14.将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a(x-h)2+k的形式是___________________。

北京师大附属实验中学九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程x2-4=0的解是（）A. x=2B. x1=2，x2=−2C. x1=2，x2=0D. x=162.有A、B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了”细“”致“的字样，B袋中的两只球上分别写了”信“”心“的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成”细心“字样的概率是（）A. 14B. 13C. 23D. 343.下列命题不正确的是（）A. 对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形B. 两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形C. 两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形4.如果代数式x2-3x的值为-6，那么代数式3x2-9x+5的值为（）A. 3B. −13C. 3或−13D. 不能确定5.当4c＞b2时，方程x2-bx+c=0的根的情况是（）A. 有两个不等实数根B. 有两个相等实数根C. 没有实数根D. 不能确定有无实数根6.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DBC=34°，则∠AOB等于（）A. 34∘B. 56∘C. 68∘D. 73∘7.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A. (x+2)2=5B. (x−2)2=3C. (x−2)2=5D. (x+2)2=38.如图，已知△ABC，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，小红按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．则四边形ADCE的周长为（）A. 10B. 20C. 12D. 249.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为( )A. 80∘B. 70∘C. 65∘D. 60∘10.如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A. 9cm2B. 16cm2C. 21cm2D. 24cm2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.若方程（m-1）x2-4x+3=0是一元二次方程，当m满足条件______．12.小明和小花在玩纸牌游戏，有两组牌，每组各有两张，分别标有数字1，2，每人每次从每组中抽出一张，两张牌的数字之积为2的概率为______．13.近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程______．14.如图，已知点E为矩形ABCD内的点，若EB=EC，则EA______ED（填“＞”、“＜”或“=”）三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）15.小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算：（1）若小明随机选择一个插座插入，则插入A的概率为______；（2）现小明对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法表示出两个插头插入插座的所有可能情况，并计算两个插头插在相邻插座的概率．四、解答题（本大题共10小题，共71.0分）16.关于x的方程x2+mx-1=0的一个根是x=2，求m的值．17.（1）解方程：x2=2x．（2）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，将△ABC向右平移至△A′B′C′的位置，使得四边形ABB′A′为菱形，求B′C的长．18.已知关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为x=1，求m的值及另一个根．19.如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．（1）求证：△ABF≌△EDF；（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．20.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E，F分别在边AB，BC上，沿直线EF将△EBF翻折，使顶点B的对应点B1落在AC边上，且EB1⊥AC．求证：四边形BFB1E是菱形．21.已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0，（1）当k为何值时，方程有实数根；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值．22.现有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1、-2 和1．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，在从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y）：（1）用列表或画树状图的方法列出点P的所有可能坐标；（2）求点P落在直线y=x-3上的概率．23.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．24.某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？等边△BCE，连接AE、DE．（1）请直接写出∠AEB的度数，∠AEB=______；（2）将△AED沿直线AD向上翻折，得△AFD．求证：四边形AEDF是菱形；（3）连接EF，交AD于点O，试求EF的长？答案和解析1.【答案】B【解析】解：x2=4，x=±2，所以x1=-2，x2=2．故选：B．先移项得到x2=4，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．2.【答案】A【解析】【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出能组成”细心“字样的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中能组成”细心“字样的结果数为1，所以刚好能组成”细心“字样的概率=．故选：A．3.【答案】D【解析】解：根据菱形的判定方法知：A，B，C均正确，只有D错误，应为“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”，故选：D．菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．4.【答案】B【解析】解：∵x2-3x=-6，∴原式=3（x2-3x）+5=-18+5=-13．故选：B．根据题意得到x2-3x的值，所求式子前两项提取3变形后，将x2+3x的值代入计算即可求出值．此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．5.【答案】C【解析】解：∵4c＞b2，∴b2-4c＜0，∴方程x2-bx+c=0中，△=b2-4ac=b2-4c＜0，∴方程无实数根，故选：C．利用4c＞b2判断方程x2-bx+c=0的根的判别式后即可判断方程根的情况．本题考查了根的判别式，根据已知条件得到其根的判别式的符号是解决本题的关键．6.【答案】C【解析】解：因为四边形ABCD为矩形，所以BO=OC，∴∠ACB=∠DBC=32°，则在三角形BOC中，∠BOC=180°-32°×2=116°，∴∠AOB=180°-116°=64°．故选：C．根据矩形的性质可知∠ACB=∠DBC=32°，则在三角形BOC中，可求出∠BOC 的度数，又∠AOB和∠BOC为邻补角，则可求出∠AOB．本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、邻补角等知识，属于基础题，中考常考题型．7.【答案】D【解析】解：∵x2+4x+1=0，∴x2+4x=-1，∴x2+4x+4=-1+4，即（x+2）2=3，故选：D．移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，∴MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CD∥AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形；∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，∵∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD=BC=×3=1.5，∴AD==2.5，∴菱形ADCE的周长=4AD=10．故选：A．由根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．此题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．9.【答案】D【解析】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°，∴∠ABF=∠BAF=40°，∵∠ABC=180°-80°=100°，∠CBF=100°-40°=60°，∴∠CDF=60°．故选：D．连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF=∠CDF，根据已知可解得∠CBF的度数，则∠CDF也就求得了．本题考查全等三角形的判定条件，菱形的性质，垂直平分线的性质．10.【答案】B【解析】解：设AB=x，AD=y，∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2∴x2+y2=68，∵矩形ABCD的周长是20cm∴2（x+y）=20，∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴100=68+2xy，∴xy=16，∴矩形ABCD的面积为：xy=16故选：B．设AB=x，AD=y，根据题意列出方程x2+y2=68，2（x+y）=20，利用完全平方公式即可求出xy的值．本题考查正方形与矩形的性质，解题的关键是设AB=x，AD=y，利用完全平方公式求出xy与的值，本题属于中等题型．11.【答案】m≠1【解析】解：根据题意得：m-1≠0解得m≠1．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，（a≠0），据此即可求解．本题容易忽视的问题是m-1≠0．12.【答案】12【解析】解：画树形图得：由树状图可知共有2×2=4种可能，两张牌的和为3的有2种，所以概率=，故答案为：．先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】150（1+x）2=216【解析】解：设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，根据题意得：150（1+x）2=216．故答案为：150（1+x）2=216．设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，由2015年及2017年的旅游总收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】=【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠BCD，∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∴∠ABE=∠ECD，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴AE=ED．故答案为：=．根据矩形的对边相等和4个角都是90°的性质可得AB=CD，∠ABC=∠BCD，由EB=EC，可得∠EBC=∠ECB，那么∠ABE=∠ECD，所以△ABE≌△DCE，进而可得AE=ED．本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．15.【答案】14【解析】解：（1）小明随机选择一个插座插入，则插入A的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两个插头插在相邻插座的结果数为6，所以两个插头插在相邻插座的概率==．（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两个插头插在相邻插座的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．16.【答案】解：把x=2代入方程x2+mx-1=0得4+2m-1=0，解得m=-32．【解析】先把x=2代入方程x2+mx-1=0得4+2m-1=0，然后解关于m的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17.【答案】解：（1）∵x2-2x=0，∴x（x-2）=0，则x=0或x=2；（2）∵∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴BC=AB2+AC2=122+52=13，∵四边形ABB′A′为菱形，∴BB′=AB=5，则B′C=BC-BB′=13-5=8．【解析】（1）因式分解法求解可得；（2）根据勾股定理求得BC=13，根据菱形的性质得BB′=5，即可得答案．本题主要考查解一元二次方程和菱形的性质、勾股定理，熟练掌握解方程的基本技能和勾股定理、菱形的性质是解题的关键．18.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有实数根，∴△=b2-4ac=22-4×1×[-（m-2）]=4m-4≥0，解得：m≥1．（2）将x=1代入原方程，1+2-（m-2）=0，解得：m=5，∴原方程为x2+2x-3=（x-1）（x+3）=0，解得：x1=1，x2=-3．∴m的值为5，方程的另一个根为x=-3．【解析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及十字相乘法解一元二次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△=b2-4ac≥0”是解题的关键．（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）将x=1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次不等式即可得出方程的另一个根．19.【答案】（1）证明：由折叠可知，CD=ED，∠E=∠C．（1分）在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∴AB=ED，∠A=∠E．∵∠AFB=∠EFD，∴△AFB≌△EFD．（4分）（2）解：四边形BMDF是菱形．（5分）理由：由折叠可知：BF=BM，DF=DM．（6分）由（1）知△AFB≌△EFD，∴BF=DF．∴BM=BF=DF=DM．∴四边形BMDF是菱形．（7分）【解析】（1）因为△BCD关于BD折叠得到△BED，显然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，∠E=∠C=∠A=90°．再加上一对对顶角相等，可证出△ABF≌△EDF；（2）利用折叠知识及菱形的判定可得出四边形BMDF是菱形．本题利用了折叠的知识（折叠后的两个图形全等）以及矩形的性质（矩形的对边相等，对角相等），以及菱形的判定、全等三角形的判定和性质的有关知识．20.【答案】证明：∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∵EB1⊥AC，∴EB1∥BC，由折叠的性质得：BE1=BE，∠EB1F=∠B，∵∠A+∠B=90°，∠EB1F+∠FB1C=90°，∴∠A=∠FB1C，∴AB∥B1F，∴四边形四边形BFB1E是平行四边形，又∵BE1=BE，∴四边形BFB1E是菱形．【解析】首先证出EB1∥BC，由折叠的性质得：BE1=BE，∠EB1F=∠B，由角的互余关系证出∠A=∠FB1C，得出AB∥B1F，证出四边形四边形BFB1E是平行四边形，即可得出四边形BFB1E是菱形．本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定、平行四边形的判定、平行线的判定；熟练掌握翻折变换的性质，证明AB∥B1F是解决问题的关键．21.【答案】解：（1）要使方程有实数根，必须△≥0即4（k-1）2-4k2≥0解得k≤12，∴当k≤12时，方程有实数根．（2）由韦达定理得，x1+x2=2（k-1），x1x2=k2∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（k-1）2-2k2=2k2-8k+4，∵x12+x22=4，∴2k2-8k+4=4解得k1=0，k2=4，由（1）知k≤12，∴k=4不合题意，∴k=0．【解析】（1）根据△≥0，确定k的取值范围；（2）把x12+x22=4转化成（x1+x2）2-2x1x2=4，再把x1+x2=2（k-1），x1x2=k2代入，得到关于k的方程，即可求得k的值．此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22.【答案】解：（1）树状图如下：∴P点的所有可能是（1，-1）；（1，-2）；（1，1）；（2，-1）；（2，-2）；（2，1）．（2）∵只有P（1，-2），（2，-1）在直线y=x-3上，∴点P落在直线y=x-3上的概率为26=13．【解析】（1）根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果，即可求得点P的所有可能坐标；（2）根据（1）中的树状图，求得点P落在直线y=x-3上的情况数目，再根据概率公式求解即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．∴在△BEC与△DEC中，BC=CD∠ECB=∠ECDEC=EC∴△BEC≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC=∠DEC=12∠BED．∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF．∴∠EFD=60°+45°=105°．【解析】（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD．解答本题要充分利用正方形的特殊性质、全等三角形的判定与性质、以及对顶角相等等知识．24.【答案】解：设每件童装应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x只取20．答：每件童装应降价20元．【解析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40-x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．考查了一元二次方程的应用，首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25.【答案】75°【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD，∵△EBC是等边三角形，∴BE=BC，∠EBC=60°，∴∠ABE=90°-60°=30°，AB=BE，∴∠AEB=∠BAE=（180°-30°）=75°；故答案为75°；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，∵△BCE为等边三角形，∴∠BCE=∠EBC=60°，BE=EC，∴∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°，∴△ABE≌△DCE，∴AE=ED，∵△AED沿着AD翻折为△AFD，∴AE=ED=AF=FD，∴四边形AEDF是菱形；（3）如图，由翻折知，AE=AF，∠FAO=∠EAO，∴EF⊥AD，过点E作EH⊥BC于H，在等边三角形BCE中，BC=2，∴EH=BC=，∴EO=OH-EH=AB-EH=2-，∴EF=2EO=2（2-）=4-2．（1）由正方形和等边三角形的性质得出∠ABE=30°，AB=BE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数；（2）先判断出△ABE≌△DCE，得到AE=ED，再由翻折的性质即可得出结论；（3）先由等边三角形的性质求出EH，进而得出OE，借助（2）的结论即可求出EF．此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折性质，菱形的判定和性质，解（2）的关键是判断出AE=ED，解（3）的关键是作出辅助线求出EH．是一道中等难度的中考常考题．。

2015-2016学年北师大附中初三上学期数学期中试卷

2015年北京师范大学附属实验中学初三上学期数学期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分） #1．抛物线2(2)3y x =+-的顶点坐标是（）． A ．(2,3)- B ．(2,3)-- C ．(2,3)- D ．(2,3)【答案】B【解析】抛物线的顶点为(2,3)--，故答案为B ．#2．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若5AB =，2BC =，则sin B 的值为（）． A ．5B ．25C ．12D ．2【答案】A【解析】在Rt ABC △中，22541AC AB BC =-=-=，则5sin 5B ==．故选A ．#3．如图，在ABC △中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥，若6AD =，2BD =，9AE =，则EC 的长是（）． A ．8 B ．6C ．4D ．3 【答案】D【解析】∵DE BC ∥，∴ABC ADE ∽△△． ∴AD AE AB AC =， ∴632AD AE BD EC ===， ∴3EC =．#4．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，35ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数为（）． A ．20︒ B ．40︒ C ．60︒ D ．70︒【答案】D【解析】圆心角是其所对圆弧圆周角的2倍，即270AOB ACB ∠=∠=︒．故答案为D ．#5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2个红豆粽、3个碱水粽、5个咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）．A ．110B ．15C ．13D ．12【答案】B 【解析】粽子的总数为23510++=，其中红豆综有2个，所以任意吃一个吃到红豆综的概率是21105=．故答案为B ．#6．将抛物线23y x =向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）． A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =+-C ．23(2)3y x =-+D ．23(2)3y x =--OCBA【答案】C【解析】将抛物线23y x =向右平移2个单位得到23(2)y x =-，再向上平移3个单位得到23(2)3y x =-+．故答案为C ．#7．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且2CE =，8DE =，则AB 的长为（）． A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】根据圆的性质可知，圆的半径11()(28)522r CE DE =+=+=，在Rt BOE △中，2222AB BE OB OE ==-，其中523OE OC CE =-=-=，所以222538AB =-=．故答案为D ．#8．二次函数2y ax bx c +=+(0a ≠)的图象如图所示，则下列关系式不正确．．．的是（）． A ．0abc < B ．0a b c ++< C ．20a b -> D ．40a b c -+<【答案】C【解析】由图象可知，该二次函数开口向下，所以0a <；对称轴为1x =-，即12ba-=-，即20b a =<；顶点为(1,)a b c --+在x 轴上半部分，所以0a b c -+>；与y 轴的交点在y 轴负半轴上，所以0c <．所以0abc <；1x =时，0y <，即0a b c ++<；20a b -=，故C 错误．#9．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，30BAE ∠=︒，3AB =，折叠后，点C 落在AD 边上的1C 处，并且点B 落在1EC 边上的1B 处．则BC 的长为（）． A ．3 B ．2C ．3D ．23【答案】C【解析】根据折叠的性质可知，130BAE C AB ∠=∠=︒，在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，3AB =，则tan301BE AB =⋅︒=，在1Rt ABC △中，1tan301BC AB =⋅︒=，所以12EC =，又11=(1802)302FEC AEB ∠︒-∠=︒，在1Rt C EF △中，143cos303C E EF ==︒，在Rt ECF △中，cos302CE EF =⋅︒=，所以3BC BE CE =+=．故答案为C ．#10．如图，正方形ABCD 中，8 cm AB =，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E ，F分别从B 、C 两点同时出发，以1 cm /s 的速度沿BC 、CD 运动，到点C 、D 时停止运动，设运动时间为t (s )，OEF △的面积S (2cm )，则S (2cm )与t (s )的函数关系可用图象表示为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意BE CF t ==，8CE t =-， ∵四边形ABCD 为正方形，∴OB OC =，45OBC OCD ∠=∠=︒， ∵在OBE △中和OCF △中， OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴OBE △≌OCF △（SAS ）， ∴OBE OCF S S =△△，∴218164OBC OECF S S ==⨯=四边形△，∴2211116(8)416(4)8222CEF OECF S S S t t t t t =-=--⋅=-+=-+四边形△（08t ≤≤），∴S (2cm )与t (s )的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8)，自变量为08t ≤≤．故答案为B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）#11．请写出一个开口向下，且经过点(0,1)-的二次函数解析式：__________．【答案】21y x =--【解析】开口向下，所以0a <，此时只需满足21y ax =-，即可符合条件．#12．如图，已知AB 是ABC △外接圆的直径，35A ∠=︒，则B ∠的度数是__________．【答案】55︒【解析】∵AB 是ABC △外接圆的直径， ∴90ACB ∠=︒，又35A ∠=︒，此时55B ∠=︒．故答案为55︒．#13．在阳光下，身高1.7m 的小强在地面上的影长为2m ，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为18m ．则旗杆的高度为__________m ．【答案】15.3【解析】由于太阳光可近似看作平行线，所以可根据相似定理可得，旗杆高度为21815.31.m 7h =⋅=．故答案为15.3．#14．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4．随机地摸一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌，则两次摸取纸牌上数字之和为5的概率是__________．【答案】14【解析】摸两张牌所得结果有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，则两次摸取纸牌上数字之和为5的样本情况为(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，其概率为41164=．故答案为14．#15．已知二次函数228y x x m =++，自变量123x =-+对应的函数值为1y ，自变量24x =-对应的函数值为2y ，则1y __________2y （填“>”、“<”或“=”）．【答案】<【解析】212(23)8(23)2y m m =-++-++=-，222(4)8(4)y m m =⋅-+⋅-+=，此时12y y <．故答案为<．#16．边长为1的正方形111OA B C 的顶点1A 在x 轴的正半轴上，如图将正方形111OA B C 绕顶点O 顺时针旋转75︒得正方形OABC ，使点B 恰好落在函数2y ax =（0a <）的图象上，则a 的值为__________．【答案】23-【解析】将正方形111OA B C 绕顶点O 顺时针旋转75︒得正方形OABC ，即75xOA ∠=︒，又45AOB ∠=︒，所以30xOB ∠=︒，所以点B 的坐标为62(,)-，而点B 的坐标为2(,)x ax ，解得：6x =，2a =-．故答案为2-．三、解答题（本大题共30分，每小题5分） #17．计算：2sin453tan302tan60cos30︒+︒-︒⋅︒．【答案】2．【解析】2sin453tan302tan60cos30︒+︒-︒⋅︒2332323233=⨯+⨯-⨯=+-．#18．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，ABC △与A B C '''△是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． @（1）画出位似中心O ．【答案】【解析】画出位似中心O ，见答案．@（2）ABC △与A B C '''△的位似比为__________，面积比为__________．【答案】2:1，4:1【解析】根据图中ABC △与A B C '''△的边长可知21AC A C=''，即位似比为2:1；三角形面积比是边长比的平方，即为4:1．#19．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 为BC 边上一点，AED B ∠=∠．@（1）求证：ABE DEA ∽△△．【答案】ABE DEA ∽△△【解析】证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD BC ∥．又∵B AED ∠=∠， ∴ABE DEA ∽△△@（2）若4AB =，求AE DE ⋅的值．【答案】16【解析】∵ABE DEA ∽△△， ∴AE ABDA DE=． ∴AE DE AB DA ⋅=⋅．∵四边形ABCD 是菱形，4AB =， ∴4AB DA ==． ∴216AE DE AB ⋅==．#20．若二次函数2y ax bx c=++的x与y的部分对应值如下表：x4-3-2-1-0 y5-0343【答案】223y x x-=-+【解析】由表知，抛物线的顶点坐标为(1,4)-，∴设()214y a x=++，∵抛物线过(0,3)，∴()20143a++=，∴1a=-，∴抛物线的解析式为()214y x=-++，即223y x x-=-+．@（2）画出此函数图象（不用列表）．xyO【答案】【解析】如图．@（3）结合函数图象，当41x-<≤时,写出y的取值范围．【答案】y的取值范围是54y-<≤．【解析】当41x-<<-时，y单调递增，4x=-时，5y=-；1x=-时，max4y=；11x-<<时，y单调递减，1x =时，0y =．所以y 的取值范围是54y -<≤．#21．已知：如图，在ABC △中，30A ∠=︒,3tan 4B =，18AC =，求BC 、AB 的长．【答案】15BC =，9312AB =+．【解析】过D 点作CD AB ⊥于D ， ∴90ADC BDC ∠=∠=︒，在Rt ACD △中， ∵30A ∠=︒，∴1118922CD AC ==⨯=，3cos 1893AD AC A =⋅=⨯=，在Rt BCD △中， ∵tan CDB BD =， ∴9123tan 4CD BD B ===， ∴2215BC BD CD =+=， ∴9312AB AD BD =+=+．#22．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A 处自B 点看雕塑头顶D 的仰角为45︒，看雕塑底部C 的仰角为30︒，求塑像CD 的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：3 1.7≈）【答案】1.2【解析】根据题意，得45DBE ∠=︒，30CBE ∠=︒， 2.7BE =，在Rt DEB △中，45DBE ∠=︒， ∴tan45 2.7DE BE =⋅︒=米， ∴tan300.93CE BE =⋅︒=米， ∴ 2.70.93 1.2CD DE CE =-=-≈米．故塑像CD 的高度大约为1.2米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）#23．已知：如图，面积为22cm 的四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 经过圆心，45BAD ∠=︒，2cm CD =，求AB 的长．【答案】6【解析】延长BC 、AD 交于点E ． ∵直径AC ，∴90ADC B ∠=∠=︒， ∵45BAD ∠=︒， ∴904545E ∠=︒-︒=︒， ∴2DE CD ==，∴3ABE S =△，∴132AB BE ⋅=， ∵45BAD E ∠=∠=︒， ∴AB BE =， ∴6AB =．#24．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y 与销售单价x 之间的关系可以近似地看作一次函数：50150y x =-+，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元．@（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元？【答案】420【解析】当70y =时，515070x -+=，解得16x =， ∴(1610)70420-⨯=元．@（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w 元，求每月获得的利润w 元与销售单价x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【答案】1018x ≤≤【解析】2(10)(5150)52001500w x x x x =--+=-+-， ∵1005150018x x x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩， ∴自变量的取值范围是1018x ≤≤．@（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？【答案】当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．【解析】22520015005(20)500w x x x =-+-=--+， ∵50a =-<，∴当1018x ≤≤时，w 随x 的增大而增大． ∴当18x =时，w 有最大值为480元．答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元．#25．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥与点E ，点P 在⊙O 上，1C ∠=∠．@（1）求证：CB PD ∥．【答案】证明见解析．【解析】∵C P ∠=∠，又∵1C ∠=∠， ∴1P ∠=∠，∴CB PD ∥． @（2）若3BC =，3sin 5P ∠=，求⊙O 的直径．【答案】5 【解析】连接AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒，又∵CD AB⊥，∴BC BD=，∴P CAB∠=∠，∴3 sin5CAB∠=，即35 BCAB=，又知，3BC=，∴5AB=，∴直径为5．#26．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在ABC△中，三边的长分别为AB=，AC=2BC=，求A∠的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点ABC△（ABC△三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和ABC△相似的格点DEF△，从而使问题得解．CBA图2D EFBA图1@（1）图2中与A∠相等的角为__________，A∠的正切值为__________．【答案】D∠，12．【解析】2BC=，AC=AB所以cos A==，从而1tan2A=，在DEF△中，1tan2D=，故D A∠=∠．@（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在GHK△中，2HK=，HG=KG=，延长HK，请写出求αβ∠+∠度数的解题思路（需写出计算结果）．【答案】45αβ∠+∠=︒．【解析】根据已知，把GHK △放到正方形网格中，连结GM ， ∵可得2KM =，22MG =，∴4HM =，210HG =22MG =，25KG =2KM =，∴MKG MGH ∽△△， ∴1α∠=∠，∴45αβ∠+∠=︒．αβG KHM11M HGβα1MHβα五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） #27．已知抛物线2154(3)22m y x m x -=--+． @（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点．【答案】证明见解析．【解析】证明：令0y =，则2154(3)022mx m x ---+=． ∴[]222154(3)424(1)322m m m m m -∆=---⨯⨯=-+=-+． ∵不论m 为任何实数，都有2(13)0m -+>，即0∆>， ∴无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点．@（2）若抛物线对称轴1x =-，且反比例函数(0,0)ky k x x =>>的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足023x <<，求k 的取值范围．【答案】518k <<．【解析】∵抛物线2154(3)22m y x m x -=--+的对称轴为(3)3122m x m --=-=-⨯．又∵抛物线对称轴1x =-， ∴31m -=-，即2m =， ∴抛物线的解析式为21322y x x =+-．当23x <<时，αβG KHM1对于21322y x x =+-，y 随着x 的增大而增大，对于(0,0)k y k x x =>>，y 随着x 的增大而减小．所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，得21333223k ⨯+->，解得18k <．所以k 的取值范围为518k <<．#28．如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，10cm AB =，12cm BC =，点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm /s ，点F 的运动速度为3cm /s ，点G 的运动速度为1.5cm /s ，当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，EBF △关于直线EF 的对称图形是EB F '△．设点E 、F 、G 运动的时间为t （单位：s ）．@（1）当t =__________s 时，四边形EBFB '为正方形．【答案】2.5．【解析】当四边形EBFB '为正方形时，45B EF BEF '∠=∠=︒，BEF △为等腰直角三角形．此时10EB t =-，3BF t =，即103t t -=，解得 2.5t =．@（2）若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值．【答案】2.8或14269-+．【解析】分两种情况，讨论如下：①若EBF FCG ∽△△，则有EB BF FC CG =，即103123 1.5t t t t-=-，解得： 2.8t =； ②若EBF GCF ∽△△，则有EB BF CG FC =，即1031.5123t t t t-=-，解得：14269t =--（不合题意，舍去）或14269t =-+． ∴当 2.8t s =或(14269)t s =-+时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似．@（3）是否存在实数t ，使得点B '与点O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在，理由见解析．【解析】假设存在实数t ，使得点B '与点O 重合．如图，过点O 作OM BC ⊥于点M ，则在Rt OFM △中，3OF BF t ==，1632FM BC BF t =-=-，5OM =，由勾股定理得：222OM FM OF +=，即：2225(63)(3)t t +-=，解得：6136t =；过点O 作ON AB ⊥于点N ，则在Rt OEN △中，10OE BE t ==-，1055EN BE BN t t =-=--=-，6ON =，由勾股定理得：222ON EN OE +=，即：2226(5)(10)t t +-=-，解得： 3.9t =．∵61 3.936≠，∴不存在实数t ，使得点B '与点O 重合．#29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx a =+>与双曲线k y x=有交点A 、B ，已知点()2,2B --，tan 4AOX ∠=．@（1）求k 的值以及抛物线的解析式．【答案】4k =，23y x x =+．【解析】∵()2,2B --在双曲线上，∴()()224k=-⨯-=．∵tan 4AOx ∠=，∴可设(),4A m m ，∵A 在双曲线上，∴44m m ⋅=，∴1m =（1m =-舍去），∴()1,4A ，∵抛物线过点A 、B ，∴()()22222114a b a b ⎧-+-=-⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩，解得()(),1,3a b =，∴4k =，23y x x =+．@（2）过抛物线上点A 作直线AC x ∥轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足EOC AOB ∽△△的点E 的坐标（注：这里E 、O 、C 与A 、O 、B 分别为对应点）．【答案】G 点能落在⊙O 上，此时2x =．【解析】如图，设抛物线与x 轴负半轴的交点为D ．由（1）知，抛物线的解析式是23y x x =+， ∵AC x ∥轴，∴()4,4C -，42OC =．又OB = ∴2OC OB=． ∵45COD BOD ∠=∠=︒，∴90COB ∠=︒，要BOA COE ∽△△，必须BOA COE ∠=∠，则点E 在直线CO 的两旁． ①将BOA △绕点O 顺时针转90︒，得到B OA ''△. 此时，点()2,2B '-是OC 的中点，点()14,1A -．延长'OA 至点1E ，使得112OE OA =，连接1CE ，此时()18,2E -． ②取点1E 关于直线OC 的对称点()22,8E -．@（3）点P 为抛物线上一动点，从O 点出发（含O 点）沿着抛物线向左运动，已知在此过程中，ABP △的面积ABP S △恰好有两次取到值m ，请直接写出m 的取值范围__________（P 与B 重合时规定0ABP S =△）．【答案】03m <<或278m =．【解析】见答案．。

北京教院附中2015-2016学年九年级上数学期中试题及答案

点， 1
2
则 y ___ y ．（用“＞”或“＜”填空）．
1
2
12．在某一时刻，测得一根高为 2m 的竹竿的影长为 1m，同时测得一栋
建筑物的影长为 12m，那么这栋建筑物的高度为
m.
13．在△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ 34，则 sinB＝
.
14．如图，点 D 为△ABC 外一点，AD 与 BC 边的交点为 E，AE=3，DE=5，BE=4，要使
出放大后的图形△ ABC 并写出△ ABC 各顶点坐标.
y
A
O
x
C B
17.计算： tan 600 cos 300 tan 450 sin 300
21．已知二次函数的解析式是 y = x2 - 2x - 3 .
（1）与 x 轴的交点坐标是__________________，顶点坐标是_______；
B. 2
2
C.
5 5
D.
5 2
6．把抛物线 y = x2 +1向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛
物线（）
A． y x 32 1
B． y x 32 3
C． y x 32 1
D． y x 32 3
7．已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则a 、 b 、 c 满足
）
A.
3 2
B. 9 2
C
C. 3 3 2
D. 3 3
AD
B
4．如图，在△ABC 中，若 DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE 的
面积等于 2，则△ABC 的面积等于（
）
A．6
B．8

北师大版2015-2016上九年级数学期中试卷

2015-2016学年第一学期九年级数学期中测试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟，请把答案写在答题卡上）一、选择题（每题3分，共45分）1.在下列命题中,正确的是( ).A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形2.方程x2-3x=0的解为（）A．x=0 B．x=3 C．x1=0，x2=-3 D．x1=0，x2=33.下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x2=8 (a≠3)B.ax2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.x2+45x=x-54．如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm, 8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( ).5．如图,矩形纸片ABCD中,AD=4,CD=3,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,折痕为AE,记与点B重合的点为F,则BE的长为( ).A. 2B. 32C. 3D. 46. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD=BC B．AB∥DC，AD∥BCC．AB=DC，AD=BC D．OA=OC，OB=OD7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．108.平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等三角形的对数是（）A 2 对B 3对C 4对D 5 对9. 已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.1910. 若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( )A.k>-74B.k≥-74且k≠0 C.k≥-74D.k>74且k≠011.关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0有一个解为0，则m的值为（）A.±2B.-2C.2D.012. 若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1+ x2= x1x2，则k的值为（）A.34B.-1C.-1或34D.不存在13.用配方法解方程x2-4x+2=0,下列配方法正确的是（）A．(x-2)2=2 B．(x+2)2=2 C. (x-2)2= -2 D．(x-2)2 =614.已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是25，则n的值是（）A．4 B．6 C．8 D．1015. 某超市一月份的营业额为200万元,该超市营业额逐月增长，到第三月营业额已达220万元, 如果平均每月的增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=220B. 200(1-x)2=220C.200+200×3x=220D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=220二、填空题（每小题5分，共25分）16.一元二次方程4X²-3X+1=0的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．17.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45份合同，则共有 ________家公司参加本次交易会.18.依次连接菱形各边中点所得到的四边形是．19.已知正方形的面积为4，则正方形的对角线长为________.20.若实数a、b满足(4a+4b) (4a+4b－2)－8=0，则a+b=__________.三、解答题（共80分）21. （10分）用适当的方法解下列方程（1） x2+8x+15=0 （2）（x+8）（x+1）=-1222. （10分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB 交AC于F,AD平分∠BAC，试证明四边形AEDF是菱状．AB CEDF23.（10分）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米，则修建的路宽应为多少米？24.（12分）四张大小质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张。

2016年北京师大附中九年级上学期数学期中考试试卷

2016年北京师大附中九年级上学期数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标是( )A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (2,−1)D. (2,1)2. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100∘，则∠ACB的度数是( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘3. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是( )A. 摸出的三个球中至少有一个球是黑球B. 摸出的三个球中至少有一个球是白球C. 摸出的三个球中至少有两个球是黑球D. 摸出的三个球中至少有两个球是白球4. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20∘，则∠BOD等于( )A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 60∘5. 有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概率为2，则下列各图中涂3色方案正确的是( )A. B.C. D.6. 抛物线y=−2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为( )A. y=−2(x+1)2+3B. y=−2(x+1)2−3C. y=−2(x−1)2−3D. y=−2(x−1)2+37. 如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为( )A. 4B. 8C. 8√2D. 4√28. 若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+bx=5的解为( )A. x1=0，x2=4B. x1=1，x2=5C. x1=1，x2=−5D. x1=−1，x2=59. 已知点A(−1−√2,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在抛物线y=(x−1)2+c上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y1>y2D. y2>y3>y110. 小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O−M−N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t 的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的( )A. 点QB. 点PC. 点MD. 点N二、填空题（共7小题；共35分）11. 二次函数y=−3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为______．12. “双十二”期间，小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包，除了书包打八折外还随机赠送购买者1支笔（除颜色外其它都相同且数量有限）．小冉的妈妈购买成功时，还有5支黑色，3支绿色，2支红色的笔．那么随机赠送的笔为绿色的概率为______．13. 在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．试验次数105010020050010002000事件发生的频率0.2450.2480.2510.2530.2490.2520.251估计这个事件发生的概率是______（精确到0.01）．14. 在平面直角坐标系xOy中，以点(3,4)为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是______．15. 已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(−2,4)，B(8,2)．如图所示，则能使y1>y2成立的x的取值范围是______．16. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：椭圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90∘，其依据是______；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______．17. 观察下列等式：第1层1+2=3第2层4+5+6=7+8第3层9+10+11+12=13+14+15第4层16+17+18+19+20=21+22+在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第______ 层．三、解答题（共12小题；共156分）18. 如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少?19. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x⋯−2−10123⋯y⋯046640⋯（1）求这个二次函数的表达式；（2）直接写出当y<0时x的取值范围．20. 如图，有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率．21. 已知：如图，⊙O的半径是5cm，PA，PB切⊙O于点A，B两点，∠PAB=60∘．求AB的长．22. 石头剪子布．又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”，“剪刀”，“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）请你用画树状图或列表的方式，求出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请直接写出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．23. 如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45∘，∠AOC=150∘，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）求证：CD=CB；（2）如果⊙O的半径为√2，求AB的长．24. 学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB<AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米?25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x−5与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C．（1）求点A和点C的坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得△DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标．26. 如右图，△ABC内接于⊙O，∠B=60∘，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=4+√3，BC=2√3，求⊙O的半径．27. 阅读下面材料：交于A(1,3)和如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=kx B(−3,−1)两点．观察图象可知：①当x=−3或1时，y1=y2；上②当−3<x<0或x>1时，y1>y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b>kx 的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2−x−4>0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2−x−4>0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4）补充完整：将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；；当x>0时，原不等式可以转化为x2+4x−1>4x当x<0时，原不等式可以转化为x2+4x−1<4；x（1）构造函数，画出图象，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．设y3=x2+4x−1，y4=4x如图（2）所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x−1；（不用列表）双曲线y4=4x（2）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为______；（3）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2−x−4>0的解集为______．28. 我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物x2，求a的值；线的解析式y=14（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为(3,2)，正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M，P，N，Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．29. 我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G 的距离跨度为R=D−d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A(−1,0)的距离跨度；B(12,−√32)的距离跨度；C(−3,2)的距离跨度；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是______．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C(1,0)为圆心，2为半径的圆，直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y=√33x(x≥0)，圆C是以3为半径的圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．答案第一部分1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. D8. D9. A 10. B第二部分11. y=3x2−112. 31013. 0.2514. 相交15. x<−2或x>816. 直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线17. 44第三部分18. 过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，OB=r，因为一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好“2”和“10”，所以AB=4，因为刻度尺宽2cm，所以OA=r−2，在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2，即(r−2)2+42=r2，解得r=5，则该光盘的直径是10cm．19. （1）设抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x−3)，把(0,6)代入得：6=−6a，a=−1，所以抛物线的表达式为：y=−(x+2)(x−3)=−x2+x+6；（2）如图所示，y<0时，x的取值范围是：x<−2或x>3．20. 列表法：A B C DA AB AC ADB AB BC BDC AC CB CDD AD DB DCP=212=16．21. 连接AO，如图所示．∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∠APO=12∠APB，∵∠PAB=60∘，∴△ABP是等边三角形，∴∠APO=30∘，∵∠PAO=90∘，∴PO=10，PA=5√3，∴PA=AB=5√3cm．22. （1）根据题意画图如下：9种等可能的结果数，其中出现相同手势的结果数为3，则一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率39=13；（2）因为游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，共有27种等可能的结果数，其中三种手势都相同或都不相同的结果数为9，所以甲、乙、丙三个出第一次手势时，不分胜负的概率927=13．23. （1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45∘=90∘，OA=OB，所以∠OAB=OBA=45∘所以∠AOC=150∘，OA=OC，所以∠OCA=∠OAC=15∘，所以∠OCB=∠OCA+∠ACB=60∘，所以△OBC是等边三角形，所以∠BOC=∠OBC=60∘，所以∠CBD=180∘−∠OBA−∠OBC=75∘，因为CD是⊙O的切线，所以OC⊥CD，所以∠D=360∘−∠OBD−∠BOC−∠OCD=360∘−(60∘+75∘)−60∘−90∘=75∘,所以∠CBD=∠D，所以CB=CD．（2）因为∠AOB=2∠ACB=90∘，OA=OB=√2，所以AB=√OA2+OB2=2．24. （1）由题意得，AB=x，BC=36−3x．S=AB⋅BC=x(36−3x)=−3x2+36x.∵0<AB<AD，∴0<x<36−3x．∴0<x<9．（2）S=−3x2+36x=−3(x−6)2+108，∵0<6<9，∴x =6 时，S 取得最大值 108，答：要想使矩形花圃 ABCD 的面积最大，AB 边的长应为 6 米．25. （1）当 x =0 时，y =−5，当 y =0 时，5x −5=0，解得，x =1，则点 A 的坐标为 (1,0)，点 B 的坐标为 (0,−5)，则点 C 的坐标 (0,5)．（2）由题意得，{a +b +c =0,c =5,−b 2a =3,解得，a =1，b =−6，c =5，则抛物线的解析式为 y =x 2−6x +5．（3）设点 P 的坐标为 (x,0)，y =x 2−6x +5=(x −3)2−4，则点 D 的坐标为 (3,−4)，由题意得，12×|x −1|×4=6，解得，x =−2 或 4，则点 P 的坐标为 (−2,0) 或 (4,0)．26. （1）连接 OA ．∵∠B =60∘，∴∠AOC =2∠B =120∘ ．又 ∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =30∘，∵AP =AC ，∴∠P =∠ACP =30∘，∴∠OAP =∠AOC −∠P =90∘∴OA ⊥PA ，∵ 点 A 在 ⊙O 上，∴PA 是 ⊙O 的切线．（2）过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E ，Rt △BCE 中，∠B =60∘ ， BC =2√3，∴BE =12BC =√3，CE =3，∵AB =4+√3，∴AE =AB −BE =4 ．在 Rt △ACE 中，AC =√AE 2+CE 2=5，∴AP =AC =5 ．在 Rt △PAO 中，OA =5√33， ∴⊙O 的半径为5√33 ． 27. （1）（2） ±1 和 −4（3） x >1 或 −4<x <−128. （1） ①如图1中，O 为顶点的抛物线的解析式为 y =ax 2，因为过 B (2,2)，所以 2=4a ，所以 a =12，所以所求的抛物线的解析式为 y =12x 2．②如图2中，B (a,a )．则有 a =14a 2，解得 a =4或0（舍弃），所以 B (4,4)，所以 OA =4，所以正方形的边长为 4．（2）如图3中，结论：四边形 MPNQ 是菱形，对角线的交点坐标为 (5,4)．ABCD 的边长为 4，A (3,2)，所以 B (7,2)，C (7,6)，D (3,6)，所以以 A 为顶点的对角抛物线为 y =14(x −3)2+2，以 B 为顶点的对角抛物线为 y =14(x −7)2+2，以 C 为顶点的对角抛物线为 y =−14(x −7)2+6，以 D 为顶点的对角抛物线为 y =−14(x −3)2+6，由 {y =14(x −3)2+2,y =14(x −7)2+2,可得 M (5,3)，由 {y =−14(x −7)2+6,y =−12(x −3)2+6,可得 N (5,5)，由 {y =14(x −3)2+2,y =−14(x −3)2+6,可得 P(3+2√2,4)，由 {y =14(x −7)2+2,y =−14(x −7)2+6, 可得 Q(7−2√2,4)，所以 PM =√(2√2−2)2+12，PN =√(2√2−2)2+12，QN =√(2√2−2)2+12，QM =√(2√2−2)2+12，所以 PM =PN =QN =QM ，所以四边形 MPNQ 是菱形，对角线的交点坐标为 (5,5)．29. （1）如图 1，G 1 为以 O 为圆心，2 为半径的圆，所以直径为 4，因为 A (−1,0)，OA =1，所以点 A 到 ⊙O 的最小距离 d =MA =OM −OA =1，点 A 到 ⊙O 的最大距离 D =AN =ON +OM =2+1=3，所以点 A 到图形 G 1 的距离跨度 R =D −d =3−1=2；因为 B (12,−√32)，所以 OB =√(12)2+(√32)2=1，所以点 B 到 ⊙O 的最小距离 d =BG =OG −OB =1，点 B 到 ⊙O 的最大距离 D =BF =FO +OB =2+1=3，所以点 B 到图形 G 1 的距离跨度 R =D −d =3−1=2；因为 C (−3,2)，所以 OC =√(−3)2+22=√13，所以点 C 到 ⊙O 的最小距离 d =CD =OC −OD =√13−2，点 C 到 ⊙O 的最大距离 D =CE =OC +OE =2+√13，所以点 C 到图形 G 1 的距离跨度 R =D −d =2+√13−(√13−2)=4；② 圆理由：①设 ⊙O 内一点 P 的坐标为 (x,y )，所以 OP =√x 2+y 2，所以点 P 到 ⊙O 的最小距离 d =2−OP ，点 P 到 ⊙O 的最大距离 D =2+OP ，所以点 P 到图形 G 1 的距离跨度 R =D −d =2+OP −(2−OP )=2OP ；因为图形 G 1 的距离跨度为 2，所以2OP=2，所以OP=1，所以√x2+y2=1，所以x2+y2=1，即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．②设⊙O外一点Q的坐标为(x,y)，所以OQ=√x2+y2，所以点Q到⊙O的最小距离d=OQ−2，点P到⊙O的最大距离D=OQ+2，所以点P到图形G1的距离跨度R=D−d=OQ+2−(OQ−2)=4；所以图形G1的距离跨度为2，所以此种情况不存在，所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．（2）设直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点P(m,k(m+1))，所以OP=√(m−1)2+[k(m+1)]2，由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，因为图形G2为以C(1,0)为圆心，2为半径的圆，P为到G2的距离跨度为2的点，所以距离跨度小于图形G2的圆的直径4，所以点P在图形G2⊙C内部，所以R=2OP=2√(m−1)2+[k(m+1)]2，因为直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点P，所以2√(m−1)2+[k(m+1)]2=2，所以(k2+1)m2+2(k2−1)m+k2=0, ⋯⋯①因为存在点P，所以方程①有实数根，所以Δ=4(k2−1)2−4×(k2+1)k2=−9k2+4≥0，所以−23≤k≤23．（3）同（2）的方法得出，射线OA上存在点P到圆C的距离跨度为2时，点P在圆内，设点P(n,√33n)，(n>0)，因为圆心C(x C,0)，所以PC=√(n−x C)2+(√33n)2=12×2=1，所以43n2−2x C n+x C2−1=0，因为射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，{ Δ=4x C 2−4×43(x C 2−1)≥0,n 1+n 2=2x C 43>0,n 1n 2=x C 2−143>0, 所以 1≤x C ≤2．。

2015-2016学年北京市XX中学九年级(上)期中数学试卷(含答案)

2015-2016学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2 5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B．C．D．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1;B．y=3（x+2）2﹣1;C．y=3（x﹣2）2﹣1;D．y=3（x+2）2+18．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…0 1 2 3 4 …y… 4 1 0 1 4 …点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为__________m．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为__________．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为__________cm．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为__________．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．19．对于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围__________．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2：1．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥A B．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．24．百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？26．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．五．综合运用（27、28题7分，29题8分，共22分）27．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．28．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．29．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．试卷答案一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得用x表示y，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得y=．===7．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y=是解题关键，又利用了分式的性质．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考点】位似变换．【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．故选：D．【点评】此题考查了位似图形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比得出答案是解题关键．3．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，A正确；∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，B正确；∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，C正确；D不符合两边成比例且夹角相等，D错误；故选：D．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可．【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，只有选项D的顶点符合要求，故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…0 1 2 3 4 …y… 4 1 0 1 4 …点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2 D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1与y2的大小．【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，∴y1＜y2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判断自变量取值范围内，函数值的大小．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF 的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，=S△OBC=×82=16，∴S四边形OECF∴S=S﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），四边形OECF∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为10m．【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：因为=，所以：树的高度=×树的影长=×15=10（m）．故答案是：10．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为k≤4．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点；故k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为20cm．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由在▱ABCD中，且AE=4ED，易得DE：BC=1：5，△ADF∽△EBF，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵AE=4ED，∴DE：AD=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=DF：BF=1：5，∵DF=4cm，∴BF=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入二次函数解析式计算即可得解；根据点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为或3．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的相似比求AF，注意分情况考虑．【解答】解：∵∠A=∠A，∴两种情况进行讨论：①当时，△ABC∽△AEF，即，解得：AF=；②当时，△ABC∽△AFE，即，解得：AF=3；综上所述：AF的长为或3；故答案为：或3．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定，分情况讨论是解决本题的关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①②③⑤．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由抛物线满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象过（1，0）点，∵a＜b＜c，a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，故①③正确，∵图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象一定不过（﹣1，0）点，且另一交点坐标在（﹣1，0）右侧，∴a﹣b+c＜0，故②正确，∴图象对称轴一定在x轴的正半轴，∴0＜﹣＜1，∴a，b异号，∴a﹣2b＜0，故④此选项错误，∵b＜c，a+b+c=0，∴c=﹣（a+b），∴b＜﹣（a+b），即a+2b＜0，∴2b＜﹣a，∴＞，∴＞﹣，∴﹣＜，故⑤选项正确，故正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】首先根据∠ACD=∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再根据D是AB的中点和AB=10得到后代入以上比例式后即可求得AC的长．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△AB C．∴．∵D是AB的中点，AB=10，∴．∴．∴AC2=50．∴（舍负）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化-对称．【分析】（1）直接利用对称性求解即可；（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式，解三元一次方程组可得y=x2﹣x﹣4．【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴方程是x=1，∴此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标为：B′（﹣2，0）；（2）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点评】此题主要考查了二次函数的概念、性质以及待定系数法求解析式，正确掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．19．对于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．【考点】二次函数的图象．【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；（3）根据函数图象回答即可．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y=（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x…0 1 2 3 4 …y… 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范围是解题的关键．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，可以得出A1，B1，C1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A1，B1，C1的坐标是解决问题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥A B．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；（2）根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，由垂直的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵，=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥A B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】首先由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，根据相似三角形的性质可知：，设DE=x，则EC=9﹣x，代入计算求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=BC=AB=9，∠D=∠C=90°，∴CF=BC﹣BF=2，在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE=x，则E C=9﹣x，∴，解得x1=3，x2=6，∵DE＞CE，∴DE=6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE=x，利用方程思想解决几何问题．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）根据抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△的值有关．24．百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）=1200，解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？【考点】相似形综合题．【分析】（1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定义得到∠2++∠3=135°，则∠1=∠3，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y，∴，∴y=x2﹣x+1（0＜x）；（3）解：∵y=x2﹣x+1=，∴当x=时，y有最小值为，即BD=时，AE的最短长度是．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质定理和等腰直角三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理和二次函数的最值是解答此题的关键．26．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．【解答】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．。

2015-2016学年第一学期九年级数学北师大期中试题

1 2 转盘 A 5 3 1 2 转盘 B
（2）猜想与证明：连接 FC，判断 ABCF 是什么四边形，并证明。
3
21. （本题 8 分）已知：如图，平行四边形 ABCD 中，点 O 是 CD 的中点，连接 AO 并延长，交 BC 的延长线于点 E。（1）求证： △AOD ≌ △EOC；
A. m＞- 1
8. 连接四边形 ABCD 各边中点得到的四边形是菱形,则四边形 ABCD 是（ A. 矩形 C. 对角线相等的四边形 B. 菱形 D. 平行四边形）
3. 某县为发展教育事业，加强对教育经费的投入， 2013 年投入 4000 万元， 2015 年投入 7000 万元，设教育经费的年平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是（
2 A. 4000 （1 + x） = 7000
）
9. 若 n （n≠0）是关于 x 的方程 x2 + mx + 2n = 0 的根，则 m + n 的值为（ A. 1 B. 2 九数（北师大）（A） C. - 1 第 2 页（共 8 页）
D. - 2
九数（北师大）（A）
第 1 页（共 8 页）
B E C
17. 解方程。（8 分）（1）解方程 2x2 - 5x - 3 = 0。（配方法）
）
A
D F
得分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ评卷人
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
（2）当 x 为何值时， x2 - x 的值与 3x2 - 5x + 2 的值相等？
11. 在平行四边形 ABCD 中，添加一个条件 _______________ （写出一个即可），使平行四边形 ABCD 是菱形。 12. 若关于 x 的方程 2x2 - 3x + c = 0 的一个根是 1，则另一个根是 __________。 13. 经过某十字路口的汽车，它可以继续前行，也可以向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续右行的概率是 _________。 14. 三角形两边分别为 2 和 6，第三边是方程 x2 - 10x + 21 = 0 的解，则三角形的周长为 __________。 15. 如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，连接 AE、 BE、 CE，将△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90毅到△CBE忆的位置。若 AE = 1， BE = 2， CE = 3，则∠BE忆C = ________。

2015—2016学年度第一学期期中试题(试题)(终稿)

北京师大附中2015—2016学年度第一学期期中考试初三数学试题 2015.11【试卷说明】：1、本试卷分试题部分和答题纸两部分，满分120分，考试时间为120分钟。

2、请将各题答案写在答题纸．．．上。

一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线y = (x －1)2 + 1的顶点坐标为（）A ．(－1，1)B ．(1，－1)C ．(1，1)D ．(－1，－1) 2．将抛物线24x y =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（） A ．3)1(42++=x y B ．3)1(42+-=x y C ．3)1(42-+=x y D ．3)1(42--=x y3．在Rt △ABC 中，∠C = 90︒，BC = 1，AC = 2，则cosA 的值为（） A ．21B ．55C ．552D ．254．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为（） A ．61 B ．41 C ．31 D ．215．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE = 33︒，AB = a ，BD = b ，则下列求旗杆CD 长的正确式子是（）A ．CD = b sin33︒ + aB ．CD = b cos33︒ + aC ．CD = b tan33︒ + a D ．CD =a b+︒33tan6．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△A 1B 1C 1（顶点均在格点上），若它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是（）CA ．(―4，―3)B ．(―3，―3)C ．(―4，―4)D ．(―3，―4) 7．若A (413-，y 1)、B (－1，y 2)、C (35，y 3)为二次函数542+--=x x y 的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 8．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知EH = EB = 3，AE = 4，则CH 的长是（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．59．二次函数y = ax 2 + bx + 1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)，设t = a + b + 1，则t 值的变化范围是（）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜1 10．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4cm ，BC = 6cm ，动点P 从点C 沿CA ，以1cm/s 的速度向点A 运动，同时动点O 从点C 沿CB ，以2cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPO 的面积y （cm 2）与运动时间x （s ）之间的函数图象大致是（）二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知α为锐角，且tan α=21，则sin α= . 12．两个相似三角形的一对对应边边长分别为20厘米，25厘米，它们的周长差为63厘米，则这两个三角形的周长分别是 .13．如图，两建筑物的水平距离为BC 为18米，从点A 测得点D 的俯角α为30︒，测得点C 的俯角β为60︒，则建筑物CD 的高度为米（结果不作近似计算）.AECHBs )s )s )s )AE DCαβ14．在一个不透明的盒子里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余完全相同，搅匀后从盒子里随机取出1个小球，将小球上的数字作为a 的值，则使关于x 的不等式组⎩⎨⎧+≤-212a x a x ＞只有一个整数解的概率为 .15．如图，□ABCD 中，E 为BC 中点，AE 交对角线BD 于G ，如果△BEG 的面积是1，则□ABCD 的面积是 .16．已知抛物线bx x y +=2的对称轴为x = 1，若关于x 的一元二次方程x 2 + bx －t = 0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是 .三、计算题（共2题，每题5分，共10分）17．︒︒-︒+︒30tan 60tan 45cos 330sin 2 18．12)14.3(30cos 2201--π+︒+-四、解答题（共62分，19～22题，每题5分，23～24题，每小题6分，25～26题7分，27～28题为能力题）19．如图，∠D = 90︒，BC = 10，∠CBD = 30︒，∠A = 15︒. （1）求CD 的长；（2）求tanA 的值.20．二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴交于点C (0，－5)，且经过点D (3，－8).（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式.DAGBE CA B DC21．有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其它任何区别。

2015-2016学年北师大数学上九年级期中测试试卷

2015-2016学年第一学期九年级数学试题一、选择题1.如图，321l l l ∥∥，如果AB ＝2，BC ＝3，EF ＝4，则DE=（）A ．2B ．53C ．83D ．2032.如图所示ABC △中，DE BC ∥，DF AC ∥，则下列比例式中正确的是（）A ．AE DE EC BC =B ．AE CF EC FB = C ．DE DF BC AC =D ．CF ECBC AC =3．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方AB C D '''则它们的公共部分的面积等于（）.A ．313-B ．314-C ．12D ．334．右边四个三角形，与左边的三角形相似的是（）5．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC=1：2， AE 交BD 于点F ，则BF ：FD 等于（） A ．5：7，B ．3：5，C ．1：3，D ．2：56．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似．则留下矩形的面积是 ( ) A ．2 cm2 B ．4 cm2 C ．8 cm2 D ．16 cm2l 3l 2l 1F ED C BA F EDCBA7．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，若12DE ，则EF 等于（）A ．8B ．6C ．4 D．38.如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF=21S △ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E•不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的有（） A 、①④ B 、①② C 、①②③ D 、①②③④二、填空题9．若2＝＝＝fed c b a ，且4＝＋＋f d b ，则＝＋＋e c a ______.10．如图，BD 和EC 相交于点A ，ED ∥BC ，BD ＝12，AD ＝4，EC ＝9， AC ＝______.11．如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米.12.有一个正十二面体，12个面上分别写有1~12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字是3的倍数或4的倍数的概率是．13．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB ．若DG=3，EC=1，则DE 的长为________.ABC D E FO14、如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线BD 上有一点P ，使PC+PE 的和最小，则这个最小值为15．如图所示，在正方形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使得∠BAE =15°，连接AE ，CE ，延长CE 到F ，连接BF ，使得BC =BF ．若AB =1，有下列结论：①AE =CE ；②F 到BC 的距离为22；③BE EC EF +=；④S △AED=1248+；⑤S △EBF 312=．其中正确结论的序号是____________．三、解答题16．如左下图，BCAEAB DE AC AD ＝＝. 求证：AE AB ＝17.如图，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.18.已知：如图，在ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，且DE AC ∥交AB 于E ，点F 在AC 上，且DF DC =。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

北京市师范大学南山附属学校中学部2015-2016学年度九年级数学上学期期中试题
15-16学年度上学期九年级数学期中试卷
选择题（每小题3分，共计36分）每题只有一个正确选项，请将正确选项的字母代号填在 “答题表”内，否则不给分。

若，则等于（）
A. 3：2
B. 2：3
C. 2-: 3
D. 3-: 2 若1x ，2x 是一元二次方程0652
=+-x x 的两个根，则21x x +的值是（） A. 1 B. 5 C. 5- D. 6
若关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）
A. 1-＞k
B. 01≠-k k 且＞
C. 1＜k
D. 01≠k k 且＜
下列命题中，真命题是（）
两条对角线相等的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知线段1=AB ，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（）
A.
215- B. 253- C. 215-或2
5
3- D. 以上都不对已知反比例函数x
k
y -=
1，当0＜x 时，y 随x 的增大而增大，则k 的值可以是（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于点O ，9:4:=∆∆cob D O E S S ，则EC AE :为（） A. 2：1 B. 2：3 C. 4: 9 D. 5: 4
第7题图
一次函数)0(≠+=m m x y 与反比例函数x
m
y =
的图像在同一平面直角坐标系中是（）
如图，在反比例函数)0(2
＞x x
y =
的图像上，有点1P ，2P ，3P ，4P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4。

分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，
则1S +2S +3S =（）
A. 2
B. 4
C. 1.5
D. 1
第9题图第12题图
10. 下列44⨯的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（）
为丰富学生学习生活，学校举行绘画展，小强所绘长为cm 80，宽为cm 50的图画被选中去参加展览，图画四周镶上一条等宽的金边装裱成一幅矩形挂图后，图画的面积是整个挂图面积的27
20
，若设金边的宽度为x cm ，那么x 满足的方程是（）
A. 50802720)250)(280(⨯=⨯
++x x B. 27205080)250)(280(⨯⨯=++x x C. 50802720)250)(280(⨯=⨯--x x D. 27
205080)250)(280(⨯⨯=--x x 12. 如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测
得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（）
A. 4.5米
B. 6米
C. 7.2米
D. 8米
填空题（每小题3分，共计12分）请将正确答案填在“答题表”内，否则不给分
已知点A （2，m ）在函数x
y 2
=
的图像上，那么m= 。

如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图。

已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米。

若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为平方米。

（用含π代数式表示）
已知点A （1.2-，1y ），B （3.1-，2y ），C （4，3y ）都在反比例函数x
y 2
-=的图像上，则1y 、2y 、3y 的大小关系（从大到小）为。

如图，菱形ABCD 对角线长分别为a 、b ，以菱形ABCD 各边中点为顶点作矩形1111D C B A ，然后再以矩形1
111D C B A
中点为顶点作菱形2222D C B A ，，得到四边形2012201220122012D C B A 面积用含a 、b 的代数式表示为。

第14题图第16题图
解答题（本题共6大题，17题20分，18题7分，19题7分，20题9分，21题9分，共52分）解方程（每小题5分，共计20分）
（1）01632
=--x x （2）0322
=--x x （3）0)1(2)1(2=---x x x
（4）用配方法解方程 01582
=++x x
已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD 、AC 、BC 分别交于点E 、O 、F 。

（1）求证：四边形AFCE 是菱形；
（2）若AB 5=，BC 12=，求AE 的长。

若反比例函数x
y 6
=
与正比例函数mx y =的图像相交于点A （a ，2）与点B 。

求点A 和点B 的坐标；
求正比例函数mx y =的解析式；
C （1，n ）为反比例函数上一点，求AOC ∆的面积。

如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，动点P 从点B 出发以2cm/s 速度向点C 移动，同时动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t 。

t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的8
1
？
运动几秒后，△CPQ 与△CBA 相似？
在运动过程中，PQ 的长度能否为1cm ？试说明理由。

如图，点P 是双曲线)00(11
＜，＜x k x
k y =上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线x
k y 2
=
)0(12k k ＜＜于E 、F 两点。

图1中，四边形PEOF 的面积=1S （用含1k 、2k 的式子表示）；图2中，设P 点坐标为（4-，3） ①用含2k 的式子表示E 、F 点的坐标
②判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论； ③记OEF PEF S S S ∆∆-=2，请用含2k 的式子表示2S。