2011年北京市海淀区信息学竞赛中学组解题报告
NOIP2011普及组解析
第十七届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛试题（普及组 Pascal 语言两小时完成）●● 全部试题答案均要求写在答卷纸上，写在试卷纸上一律无效●●一、单项选择题（共 20 题，每题 1.5 分，共计 30 分。
每题有且仅有一个正确选项。
）1、在二进制下，1101001 + （） = 1110110。
A、1011B、1101C、1010D、1111二进制运算，逢二进一，简单2、字符“0”的 ASCII 码为 48，则字符“9”的 ASCII 码为（）。
A、39B、57C、120D、视具体的计算机而定请牢记“0”48，“A”65，“a”973、一片容量为 8GB 的 SD 卡能存储大约（）张大小为 2MB 的数码照片。
A、1600B、2000C、4000D、160008G=8*1024MB约为8000MB4、摩尔定律（Moore's law）是由英特尔创始人之一戈登·摩尔（Gordon Moore）提出来的。
根据摩尔定律，在过去几十年以及在可预测的未来几年，单块集成电路的集成度大约每（）个月翻一番。
A、1B、6C、18D、36摩尔定律是由英特尔（Intel）创始人之一戈登·摩尔（Gordon Moore）提出来的。
其内容为：当价格不变时，集成电路上可容纳的元器件的数目，约每隔18-24个月便会增加一倍，性能也将提升一倍。
5、无向完全图是图中每对顶点之间都恰有一条边的简单图。
已知无向完全图 G 有 7 个顶点，则它共有（）条边。
A、7B、21C、42D、49无向图的顶点数为n，则边数为n(n-1)/26、寄存器是（）的重要组成部分。
A、硬盘B、高速缓存C、内存D、中央处理器（CPU）●寄存器是中央处理器内的组成部份。
寄存器是有限存贮容量的高速存贮部件，它们可用来暂存指令、数据和位址。
在中央处理器的控制部件中，包含的寄存器有指令寄存器(IR)和程序计数器(PC)。
在中央处理器的算术及逻辑部件中，包含的寄存器有累加器(ACC)。
NOIP2011DAY2解题报告
NOIP2011DAY2解题报告——by北京一零一中学张子威（c++）今天的题还蛮有意思的，虽然做的没有昨天好吧，随便写两笔，可能是我OI生涯最后一份解题报告了。
一.数学题就是一个数学题，模型化简为(a^n)*(b^m)*c(n,k)（组合数），其中前两项可以很简单算出（因为n,m<=1000，都不需要用快速幂），而c(n,k)=c(n-1,k)+c(n-1,k-1)，利用这个公式，用一个简单的DP或者记忆化都可以写完，时间复杂度O(n*K)二.qc首先可以证明，算出来的那个求和值（同样忘了叫啥了，就叫F吧）F(W)随你选定的W增大而减小，所以可以二分，如果F(middle)>s,则left=middle(就是说你选的超重了，提高点标准）,不然就right=middle（还得多选点，降低标准），但要注意，一开始的区间是[0,w[max]+1]（我就忘了加这个1！！！）最后只需要计算W=left和W=right中，跟S相差的绝对值最小的一个。
对于选定的一个W值，就可以模拟去算每个区间内的Σ值，此处可以用区间和优化，预处理中记Num[X]为前X个中满足题意的石头个数，Sum[X]为前X个中满足题意石头的总重量，则[P,Q]之间的Σ=(Num[Q]-Num[P-1])*(Sum[Q]-Sum[P-1])，所以每次模拟的复杂度为O（N+M），总复杂度为O（logw*(n+m)），可以做完。
三.bus这题挺好玩的，应该是贪心+DP什么的，但考场上我想了40分钟没想明白，就果断骗分了。
1.对于K=0和K=1的情况，可以直接模拟（K=1时把每个非0的d值都减1，取其中ans最小的），可以得到30分。
2.对于K<=20的情况，个人感觉可以DFS，但没有去测，反正也就多得10分3.对于K>20的情况，我就不知道怎么做了，直接写了两个贪心取其中最小的，但很可能一个都过不了。
对了，有一种特殊情况，如果k值大于Σd，那就把所有d改成0，不知道有没有这种数据= =~无论如何，我的NOIP历程算是就此结束了，考好也罢，考砸也罢，就这样了，坐等一周后出分。
NOIP2011提高组解题报告day1
铺地毯【问题描述】为了准备一个独特的颁奖典礼，组织者在会场的一片矩形区域（可看做是平面直角坐标系的第一象限）铺上一些矩形地毯。
一共有n 张地毯，编号从1 到n。
现在将这些地毯按照编号从小到大的顺序平行于坐标轴先后铺设，后铺的地毯覆盖在前面已经铺好的地毯之上。
地毯铺设完成后，组织者想知道覆盖地面某个点的最上面的那张地毯的编号。
注意：在矩形地毯边界和四个顶点上的点也算被地毯覆盖。
【输入】输入文件名为 carpet.in。
输入共 n+2 行。
第一行，一个整数 n，表示总共有n 张地毯。
接下来的 n 行中，第i+1 行表示编号i 的地毯的信息，包含四个正整数a，b，g，k，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示铺设地毯的左下角的坐标（a，b）以及地毯在x 轴和y 轴方向的长度。
第 n+2 行包含两个正整数x 和y，表示所求的地面的点的坐标（x，y）。
【输出】输出文件名为 carpet.out。
输出共 1 行，一个整数，表示所求的地毯的编号；若此处没有被地毯覆盖则输出-1。
【输入输出样例】carpet.in31 02 30 2 3 32 13 32 23carpet.out3【解题报告】从后往前扫，找到第一个覆盖这个点的就输出，否则无解。
program carpet;uses sysutils;varn,i,a,b:longint;x2,x1,y1,y2:array[0..100001]of longint;time:extended;procedure main;beginreadln(n);for i:=1 to n dobeginreadln(x1[i],y1[i],a,b);x2[i]:=x1[i]+a;y2[i]:=y1[i]+b;end;readln(a,b);for i:=n downto 1 do if (a<=x2[i])and(a>=x1[i])and(b>=y1[i])and(b<=y2[i]) thenbeginwriteln(i);exit;end;writeln(-1);end;beginassign(input,'carpet.in');reset(input);assign(output,'carpet.out');rewrite(output);time:=now; //当前时间main;writeln((now-time)*24*3600:0:2);//输出程序运行时间close(input);close(output);end.选择客栈【问题描述】丽江河边有 n 家很有特色的客栈，客栈按照其位置顺序从1 到n 编号。
2011海淀二模2篇
2011海淀二模第一篇：2011年海淀二模考试题一、选择题（共15题，每题1分，共15分）1. 在计算机中，一个8位的二进制数可以表示的最大十进制数是（）。
A. 127B. 255C. 256D. 5122. 在光的传播过程中，速度最快的是（）A. 真空B. 空气C. 水D. 金属3. 下列各组电路中，导通电流最大的电路是（）。
A. 电压最大，电阻最小的电路B. 电压最大，电阻最大的电路C. 电压最小，电阻最小的电路D. 电压最小，电阻最大的电路4.想解决作业中数学方程；找出数学表达式的错误；查询中学物理概念集的内容，可以使用的软件是（）。
A. Windows XPB. WordC. ExcelD. Internet Explorer5. 一位电脑使用者在Word 2003 中编辑了一个文档，突然断电了。
重新开机后应使用（）。
A. 记事本B. WordC. 计算器D. Internet Explorer6. 物体变大的一定是（）。
A. 透镜B. 凹面镜C. 凸面镜D. 电镀7. 把一个物体投射到墙上，投映出来的影子是（）。
A. 红色B. 黄色 C .蓝色 D .灰色8. 人们生活的环境中的杂声，是指带有各种频率的（）信号的叠加。
A. 不同B. 相同 C .自然环境中 D .同相9. 在运动员比赛中，为了保证比赛结果的正确性，在终点线上通常要树立（）来确定排名。
A. 数字化计时器B. 英国际协会标志C. 红白旗D. 红黄灯10.当运动员在做快速运动时，在嘴部存在的问题是：（）A. 感觉敏锐B. 说话清楚C. 口水过少D. 不易受伤11.大气的透明度较差，可能是由于（）。
A. 空气中悬浮物较多B. 空气不足C. 空气湿度过大D. 空气温度过高12.当身体感侵略信息而提高警觉性时，可产生的生理反应是（）。
A. 呼吸困难B. 心率加快C. 手足无措D. 脑失去活动能力13.为了保护肺部的健康，人们不应从事弄脏、弄湿的活动，使空气湿度过大，导致（）。
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）题号 1 2 3 4 5答案1341 314-623 2.-+-100530171．二次三项式x2+ax+b的根是实数，其中a、b是自然数，且ab=22011，则这样的二次三项式共有个．答：1341．我们发现，实际上，数a和b是2的非负整数指数的幂，即，a=2k，b=22011–k，则判别式Δ=a2– 4b=22k– 422011–k=22k– 22013–k≥0，得2k≥2013–k，因此k≥32013=671，但k ≤2011，所以k能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个.2．如右图，在半径为1的圆O中内接有锐角三角形ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC= ．答：3．解：易知，圆心O 及垂心H都在锐角三角形ABC的内部，延长AO交圆于N，连接AH并延长至H1与BC相交，连接CN，在Rt△CAN和Rt△AH1B中，∠ANC=∠ABC，于是有∠CAN=∠BAH1，再由AL是△ABC的角平分线，得∠1=∠2．由条件AP⊥OH，得AH=AO=1．连接BO交圆于M，连接AM、CM、CH，可知AMCH为平行四边形，所以CM=AH=AO=1，BM=2，因为△MBC是直角三角形，由勾股定理得2221 3.BC=-=3．已知定义在R上的函数f (x)=x2和g(x)=2x+2m，若F(x)=f (g (x)) –g (f (x))的最小值为14，则m = ．答：14-．解：由f (x)=x2和g(x)=2x+2m，得F(x)= f (g (x)) –g (f (x))=(2x+2m)2–(2x2+2m)=2x2+8mx+4m2–2m，F(x)=2x2+8mx+4m2–2m的最小值为其图像顶点的纵坐标ABCO HLMPNH11 2()2222242(42)84284242m m m m m m m m ⨯⨯--=--=--⨯．由已知，21424m m --=，得21202m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1.4m =- 4．tan 37.5= ． 答：6232-+-．解1：作Rt △ADB ，使得∠ADB =90º，AD =1，AB =2，则∠B =30º，BD =3．延长BD 到C ，使BC =2，则DC =23-．连接AC ，则∠ACB =(180º–30º)÷2=75º．作∠ACD 的平分线交AD 于E ，则∠ECD =37.5º．由于AC 2=AD 2+DC 2=1+(2–3)2=8–43，所以 ()2843621226262AC =-=-+=-=-．由三角形的角平分线定理，得AE ACED DC=，于是AE ED AC DC ED DC ++=，即()()()()1322162233221ED AD ADDC AC CD ====-++-+-+-，所以()()tan 37.53221EDDC==-+6232=-+-．解2：作等腰直角三角形ABC ，使∠C =90º，AC =BC =1，则AB =2． 作∠CAD =30º，则CD =33，AD =233，则∠DAB =15º． 作∠BAD 的平分线AE ，记CE =x ，则BE =1–x ，DE =x –33． 所以3132323x x --=，整理得 ()()213221623 2.3232x +-+===-+--+tan 37.562321CE xAC ===-+-． 5．设f (x ) =113xx+-，定义f 1(x ) = f (f (x ))，f n (x )=f (f n –1(x )) (n =2, 3,…)，f 2011(2011)= ．答：10053017．AC D E B21 30º解：记01()()13x f x f x x +==-，则()111113()()1131313xx x f x f f x x x x++--===--+-⋅-； ()211113()()11313xx f x f f x x x x--+===-+⋅+；()3201()()()()13x f x f f x f x f x x +====-； 接下来有41()()f x f x =，52()()f x f x =，63()()f x f x =，…，f n (x )的表达式是循环重复的，以3项为一周期．所以，20113670111()()()13x f x f x f x x ⨯+-===+，20112011120101005(2011)13201160343017f -===+⨯．二、（满分15分）D 是正△ABC 的边BC 上一点，设△ABD 与△ACD 的内心分别为I 1，I 2，外心分别为O 1，O 2，求证：(I 1O 1)2+(I 2O 2)2=(I 1I 2)2． 证明：作以A 为中心、逆时针旋转60的变换(,60)R A ，使△ABD 到△ACD 1，由于∠ADC +∠AD 1C =∠ADC +∠ADB =180º，所以A 、D 、C 、D 1共圆，因此2O 是△AD 1C 的外心，也就是(,60)12R A O O −−−−→，因此AO 1=DO 1=AO 2=DO 2=O 1O 2，所以∠O 1AO 2=∠O 1DO 2=60º．由∠AO 1O 2+∠ACB =120º+60º=180º，O 1在△ACD 的外接圆⊙O 2上．由于111(180)6012012022AI D ABD ABD ∠=∠+-∠=+⨯=，所以I 1在⊙O 2上，因此11118018030150O I D O AD ∠=-∠=-=，111118015030I O D I DO ∠+∠=-=．同理可证，I 2在△ABD 的外接圆⊙O 1上，所以22150DI O ∠=．由于12118090,2I DI ∠=⨯=而22111212906030I DO I DO I DI O DO ∠+∠=∠-=-=，比较可得1122I O D I DO ∠=∠．在△O 1I 1D 与△DI 2O 2中，因为已证O 1D=DO 2，1122150,O I D DI O ∠=∠=又1122.I O D I DO ∠=∠因此 △O 1I 1D ≌△DI 2O 2． 所以，I 1O 1=DI 2，DI 1= I 2O 2.由于1290,I DI ∠=△I 1DI 2是直角三角形.根据勾股定理，有()()()2221212,DI DI I I +=而I 1O 1=DI 2，DI 1=I 2O 2. 因此()()()222112212.I O I O I I +=三、（满分15分）n 是正整数，记n !=1×2×3×…×n ，如1!=1，2!=1×2=2，3!= 1×2×3=6，又记[a ]表示不超过a 的最大整数，求方程ABCDO 1I 2I 1D 1O 220111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的所有正整数解．解1：由于当x 是正整数时，[]1!x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2!2x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥12x -，3!6x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＞6x –1，所以1126x x x -++-＜2011即53x＜120122，得方程的正整数解x 满足0＜x ＜1207.5． 由于6!=720，7!=5040，所以方程的正整数解x ＜7!，即07!8!9!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 因此，方程20111!2!3!4!5!6!x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解与原方程的解是一样的．设小于7!的正整数x 为上述方程的解，我们写出(1,2,3,4,5,6)!xk k =的带余除法表达式：设16!6!r x a =+，0≤r 1＜6!，(0≤a ≤6，a ∈N )；因此.6!x a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦① 12665!5!5!r r x a a b =+=++，0≤r 2＜5!，(0≤b ≤5，b ∈N )，因此65!x a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦． ② 323053054!4!4!r r xa b a b c =++=+++，0≤r 3＜4!，(0≤c ≤4，c ∈N )， 因此3054!x a b c ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． ③341202*********!3!3!r r xa b c a b c d =+++=++++，0≤r 4＜3!，(0≤d ≤3，d ∈N )； 因此1202043!x a b c d ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦． ④5436060123360601232!2!2!r r xa b c d a b c d e =++++=+++++，0≤r 5＜2， (e =0,1,2)；因此360601232!x a b c d e ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦． ⑤5720120246272012024621!1!r xa b c d e a b c d e f =+++++=+++++，(f =0,1)； 因此72012024621!x a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦． ⑥①～⑥相加得1237a +206b +41c +10d +3e +f =2011． 显然a =1，因此206b +41c +10d +3e +f =2011–1237=774； 易知b =3，因此41c +10d +3e +f =774–206×3=156； 易知c =3，于是10d +3e +f =156–41×3=33；类似求得d =3，e =1，f =0．所求的x =1×720+3×120+3×24+3×6+1×2+0×1=1172．x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的唯一正整数解． 解2：设f (x )=1!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为对于所有的正整数k ，!x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都是单调增的，其和f (x )就是增函数；又因为对于正整数x ，11!x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1!x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+1，所以f (x )是严格单调的．经估数，将x =1172带入，求f (1172)的值，得f (1172)=2011，所以，x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的唯一正整数解．四、（满分15分）平面上的n 个点，若其中任3个点中必有2个点的距离不大于1，则称这样的n 个点为“标准n 点组”．要使一个半径为1的圆纸片，对任意“标准n 点组”都能至少盖住其中的25个点，试求n 的最小值． 答案：49．解：首先证明，n min ＞48．在平面上画长为5的线段AB ，分别以A 、B 为圆心，画半径为0.5的两个圆，在每一个圆内，取24个点，则平面上有48个点满足题设条件（其中任意3点中必有2点的距离不大于1），显然，不可能画出一个半径为1的圆，其包含有25个所选的点，所以n ＞48．下面证明n min =49．若49=n ，设A 是其中的一点，作以A 为圆心半径为1的⊙A ，若所有的点都在圆A 中，那么就满足题设条件．若不是所有的点都在圆A 中，则至少有一点B 不在圆A 中，再作以B 为圆心、半径为1的⊙B ，则A 、B 的距离大于1（如右图），除A ，B 外，余下的47个点中每一点P 都与A 、B 组成3点组，必有两个点的距离不大于1，所以要么PA ≤1，要么PB ≤1，即 点P 要么在⊙A 中，要么在⊙B 中，根据抽屉原理，必有一个圆至少包含了这47个点中的24个点，不妨设这个圆就是⊙A ，再加上圆心A 点，就有不少于25个点在这个半径为1的⊙A 中(圆内或圆周上)．所以n 的最小值是49．五、（满分15分）已知函数f ：R →R ，使得对任意实数x y z ，，都有11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14，求[1×f (1)]+[2×f (2)]+[3×f (3)]+…+[2011×f (2011)]的值．其中对于实数a ，[a ]表示不超过a 的最大整数．解：由于已知函数f R R→：，使得对任意实数x y z ，，都满足11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14，可令0x y z ===，有()211(0)(0)(0)22f f f +-≥14，即21(0)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0，由于f (0)是一个实数，所以1(0).2f =再令1x y z ===，有()211(1)(1)(1)22f f f +-≥14，即21(1)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0， 由于f (1)是一个实数，所以1(1).2f =又令0y z ==，有11(0)(0)()(0)22f f f x f +-≥14，代入1(0)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≤12． ①又令1y z ==，有11()()()(1)22f x f x f x f +-≥14，代入1(1)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≥12． ②综合①、②可得，对任意实数x ，都有1()2f x =． 验证：函数1()2f x =满足题设条件，取的是等号，所以满足题设条件的函数的唯一解为1()2f x =．于是 [][][][]1(1)2(2)3(3)2011(2011)f ff f ⨯+⨯+⨯++⨯ 1234201122222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦011223310051005=+++++++++()21231005=⨯++++(11005)1005=+⨯1011030=．。
2011年海淀区中小学生信息学 奥林匹克竞赛(上机改动)
31
26
28
zhangfang
wanghong
200 300(两个数据之间空一格） 【输出样例】：sushu.out的内容为：
227 283 229 281
233 277 239 271 241 269 251 293 263 281 7
五、字符串（题目名称：zfc.bas） (12分)
从键盘输入一个长度不大于20的字符串，现要求：将字符串中的小写字 母都改成相应的大写字母,其他字符依照原有顺序不变。 【输入文件】 文件名：zfc.in
【输入文件】 文件名：pfang.in 文件中只有一行，包含两个用空格隔开的任意自然数M
和N （其中100<=M<N<=999）。
【输出文件】 文件名：pfang.out 文件中共有若干行：前若干行每行一个整数是任意自然
数M～N之间所有满足条件的平方数；最后一行是统计这些平方数 的个数。若没有满足条件的完全平方数，直接输0。 【要求】 每一行的数据都从第一列开始输出。 【输入样例】：pfang.in的内容为：
【输入文件】 文件名：sushu.in 文件中只有一行，包含两个用空格隔开的任意自然数M
和N （其中100<=M<N<=999）。
【输出文件】 文件名：sushu.out 文件中共有若干行： 前若干行每行为一对满足条件的素数对（数据之间空1
格）； 最后一行是统计这些素数对的个数。如果没有则只输出
0即可。 【要求】 每一行的数据都从第一列开始输出。 【输入样例】：sushu.in的内容为：
现在请你计算一下：1) 每位同学合计花了多少元（如果有小 数，最后结果下取整即可）？ 2) N名同学购买学习用品平均花费的 钱数是多少元（如果有小数，最后 结果下取整即可）？ 3) 统计N名同学中哪些同学购买学习 用品的花费低于平均花费（注意是 低于实际平均花费，并非上面的显 示值）？
2011年北京市海淀区中考二模试卷及答案
海淀区九年级第二学期期末练习数学参考答案及评分标准2011.6说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.解：原式3=--1…….……………………..4分=-.2…….……………………..5分14.解：方程两边同时乘以(2)(2)+-方程可化为：x x-++=+-，x x x x x3(2)2(2)3(2)(2)…….……………………..2分即223624312-++=-.x x x x∴4x=.…….……………………..4分经检验：4x=是原方程的解.∴原方程的解是4x=.…….……………………..5分15. 证明：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴90∠=∠=︒,AEB AFD…….……………………..1分∵菱形ABCD,∴AB =AD , B D ∠=∠.…….……………………..3分 在Rt △EBA 和Rt △FDA 中, ,,.AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBA ≌△FDA .…….……………………..4分∴AE =AF .…….……………………..5分16.解：∵2()(2)(2)x y x y y x ----=(2)(2)x y x y x y ---+…….……………………..1分(2)y x y =-,…….……………………..2分 又∵32y x y +=, ∴32x y y-=.………………..3分 将32x y y -=代入上式，得(2) 3.y x y -=∴当32y x y+=时，代数式2()(2)(2)x y x y y x ----的值为3. …….……………………..5分 17．解：（1）∵ 直线y x b =-+经过点(2,1)A ， ∴ 12b =-+.…….……………………..1分 ∴ 3b =.…….……………………..2分 （2）∵ M 是直线3y x =-+上异于A 的动点，且在第一象限内．∴ 设M （a ，3a -+），且03a <<. 由MN ⊥x 轴，AB x ⊥轴得,MN=3a -+，ON=a ，AB =1，2OB =. ∵ MON △的面积和AOB △的面积相等，∴ ()1132122a a -+=⨯⨯.…….……………………..3分解得：11a =，22a =（不合题意，舍）.…….……………………..4分 ∴ M （1，2）.…….……………………..5分18．解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8x -)辆.…….……………………..1分由题意得：290,100.4030(8)1020(8)x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥…….……………………..3分 解得：56x ≤≤.…….……………………..4分即共有2种租车方案： 第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． …….……………………..5分19．解：作DE //AC ,交BC 的延长线于点E ,作DF ⊥BE,垂足为F .…….……………………..1分 ∵AD //BC ,∴四边形ACED 为平行四边形.∴AD=CE=3，BE=BC+CE=8.…….……………………..2分 ∵AC ⊥BD ， ∴DE ⊥BD.∴△BDE 为直角三角形 ，90.BDE ∠=︒ ∵∠DBC =30°，BE =8, ∴4,DE BD ==…….……………………..4分 在直角三角形BDF 中∠DBC =30°, ∴DF =.…….……………………..5分 20．（1）证明：连结OC .∵CD 是O ⊙的切线， ∴OC ⊥CD. ∴90OCM ∠=︒.…….……………………..1分 ∵//CD AB ,∴180OCM COA ∠+∠=︒.D1图BA DEF∵AM ⊥CD, ∴90AMC ∠=︒.∴在四边形OAMC 中90OAM ∠=︒ .∵OA 为O ⊙的半径,∴AM 是O ⊙的切线 .…….……………………..2分 （2）连结OC ,BC .∵CD 是O ⊙的切线， ∴OC ⊥CD . ∴90OCM ∠=︒. ∵AM ⊥CD , ∴90AMC ∠=︒. ∴//OC AM .∴12∠=∠.∵OA= OC ,∴32∠=∠. 即BAC CAM ∠=∠.…….……………………..3分易知90ACB ∠=︒， ∴BAC CAM △∽△.…….……………………..4分∴AB ACAC AM=. 即224AC AB AM =⋅=.∴AC =.…….……………………..5分21．解：（1）800，400，40；…….……………………..3分（2）2010，1800.…….……………………..5分注：本题一空一分22．解：（1）如图，当C 、D 是边AO ,OB 的中点时，点E 、F 都在边AB 上，且CF AB ⊥. ∵OA =OB =8， ∴OC =AC=OD=4. ∵90AOB ∠=︒,2图∴CD =.…….……………………..1分在Rt ACF △中，∵45A ∠=︒,∴CF =∴16CDEF S ==矩形.…….……………………..2分（2）设,CD x CF y ==.过F 作FH AO ⊥于H . 在Rt COD △中，∵4tan 3CDO ∠=, ∴43sin ,cos 55CDO CDO ∠=∠=.∴45CO x =.…….……………………..3分 ∵90FCH OCD ∠+∠=︒, ∴FCH CDO ∠=∠.∴3cos .5HC y FCH y =⋅∠=∴45FH y . ∵AHF △是等腰直角三角形, ∴45AH FH y ==. ∴AO AH HC CO =++. ∴74855y x +=. ∴1(404)7y x =-.…….……………………..4分易知2214(404)[(5)25]77CDEF S xy x x x ==-=---矩形,∴当5x =时，矩形CDEF 面积的最大值为1007.…….……………………..5分 23．解：（1）由题意可知,∵(32)4(3)90m m m ∆=---=>错误！未找到引用源。
2011海淀区初三一模试题及答案评分标准+答题纸
海淀区九年级第二学期期中练习数 学 2011.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．-2的相反数是A ．12-B . 12C. -2D. 22．据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000元． 将82 000 000 000 用科学计数法表示为A ．110.8210⨯B ．108.210⨯C ．98.210⨯D ．98210⨯ 3．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的可能是4. 一个布袋中有1个红球，3个黄球，4个蓝球，它们除颜色外完全相同. 从袋中随机取出一个球，取到黄球的概率是 A.18 B. 38 C. 13D. 125. 用配方法把代数式245x x -+变形，所得结果是A ．2(2)1x -+B ．2(2)9x --C ．2(2)1x +-D ．2(2)5x +-6. 如图，ABCD 中，AB =10，BC =6，E 、F 分别是AD 、DC的中点，若EF =7，则四边形EACF 的周长是A ．20B ．22C ．29D ．317．有20名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前10名参加复赛. 若小新知道了自己的成绩，则由其他19名同学的成绩得到的下列统计量中，可判断小新能否进入复赛的是 A ．平均数 B ．极差 C ．中位数 D ．方差ABD CE F B CDA8．如图，在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ，动点P 从点A 出发， 以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止.设2y PC =, 运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之间函数关系的大致图象是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式14x -有意义，则x 的取值范围是 . 10. 分解因式: 269mx mx m -+= .11. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点H ，若∠D =30°， CH =1cm ，则AB = cm ．12．如图，矩形纸片ABCD中，AB BC ==第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．…第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠 …CDC A B DBADCBBAD BAD三、解答题（本题共30分，每小题5分）130211)()4sin 452-+-︒．14．解不等式组：48011.32x x x -<⎧⎪+⎨-<⎪⎩，15．如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB 同侧，DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ， CO =DO ，A B ∠=∠. 求证：AE =BF .16．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值.17．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于A （2，1），B （-1，n ）两点. （1）求k 和b 的值； （2）结合图象直接写出不等式0mkx b x+->的解集.18．列方程或方程组解应用题：“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见右表. 爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里积有8200 分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，各多少件?A C D BEFO四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AB 的长．20. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上， CF ⊥OC ，且CF =BF . （1）证明BF 是⊙O 的切线;（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC =6，求∠MCF 的大小.21．为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）.（1）请根据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整； （2）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率； （3）如果该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？A D CB A FC OBM 32%其他16%音乐12%美术%体育音乐美术体育其他06类别扇形统计图条形统计图22．如图1，已知等边△ABC 的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记△DEF 的周长为p .（1）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p =_______；（2）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 .小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC △以AC 边为轴翻折一次得1AB C △，再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，112DF FE E D p ++=，根据两点之间线段最短，可得2p DD ≥. 老师听了后说：“你的想法很好，但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程2(3)40x m x m --+-=.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.A BD FC E 1图AB D FC E 1F 1A 1B 2D 1D 1E 2图24．已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线2(1)y ax a x =-+与直线y kx =的一个公共点为(4,8)A . （1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积.25．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =12. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k = ；（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF长度的最大值．（备图1）（备图2）BCA DEFBDEA FC BAC1图2图备图海淀区九年级第二学期期中练习数学答题纸2011.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）14．解：48011.32 xx x-<⎧⎪+⎨-<⎪⎩，15．16．解：18．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．20．证明：(1)A DC BAFCOBM五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）海淀区九年级第二学期期中练习数 学参考答案及评分标准 2011.5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=14+-…………………………….……………………………4分 = 3.…………………………….……………………………5分 14．解：解不等式480x -<，得 2x <,…………………………….……………………………2分解不等式1132x x+-<，得 2263x x +-<, 即 4x >-, …………………………….……………………………4分 所以，这个不等式组的解集是42x -<<. …………………………….……………………………5分15．证明：在△COD 中,∵ CO =DO ,∴ ∠ODC =∠OCD . …………………………….……………………………1分 ∵ AC =BD ,∴ AD =BC . …………………………….……………………………2分 在△ADE 和△BCF 中,∵,,,A B AD BC EDA FCB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △ADE ≌△BCF . …………………………….……………………………4分 ∴ AE =BF .…………………………….……………………………5分16．解：∵ m 是方程220x x --=的一个根，∴ 220m m --=.∴ 22m m -=，22m m -=.…………………………….……………………………2分∴ 原式=222()(1)m m m m--+…………………………….……………………………3分 =2(1)mm⨯+ …………………………….……………………………4分 =22⨯=4.…………………………….……………………………5分17．解：（1）∵ 反比例函数my x =的图象过点A （2，1）， ∴ m =2.…………………………….……………………………1分∵ 点B （-1，n ）在反比例函数2y x=的图象上， ∴ n = -2 .∴ 点B 的坐标为（-1，-2）.…………………………….……………………………2分∵ 直线y kx b =+过点A （2，1），B （-1，-2）， ∴ 21,2.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩…………………………….……………………………3分（2）10x -<<或2x >. （写对1个给1分） …………….……………………………5分18．解：因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶.设小华兑换了x 个保温杯和y 支牙膏， …………….……………………………1分 依题意，得10,20005008200200.x y x y +=⎧⎨+=-⎩…………….……………………………3分解得2,8.x y =⎧⎨=⎩…………….……………………………4分答：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏.…………….……………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则∠AED =∠DEC =90°.………….……………………1分∵ AC ⊥AB ，∴ ∠BAC =90°. ∵ ∠B =60°,∴ ∠ACB =30°.∵ AD ∥BC ，ADE∴ ∠DAC =∠ACB =30°.………….……………………2分∴ 在Rt △ADE 中，DE =12AD =3，AE，∠ADE =60°.….………3分∵ ∠ADC=105°， ∴ ∠EDC =45°.∴ 在Rt △CDE 中， CE =DE =3.…………….……………………………4分∴ AC =AE +CE=3.∴ 在Rt △ABC 中，AB =AC ⋅tan ∠ACB=3)3=+ …….……………………5分20．证明：连接OF . （1） ∵ CF ⊥OC,∴ ∠FCO =90°. ∵ OC =OB ， ∴ ∠BCO =∠CBO . ∵ FC =FB ， ∴ ∠FCB =∠FBC .…………………………..1分∴ ∠BCO +∠FCB =∠CBO +∠FBC . 即 ∠FBO =∠FCO =90°. ∴ OB ⊥BF . ∵ OB 是⊙O 的半径, ∴ BF 是⊙O 的切线.…………………………..2分（2） ∵ ∠FBO =∠FCO =90°，∴ ∠MCF +∠ACO =90°，∠M +∠A =90°. ∵ OA =OC ， ∴ ∠ACO =∠A. ∴ ∠FCM =∠M.……………………………………3分易证△ACB ∽△ABM, ∴AC ABAB AM=. ∵ AB =4，MC =6， ∴ AC =2.………………………………………………..4分∴ AM =8，BM . ∴cos ∠MC F = cos M =BM AM∴ ∠MCF =30°.………………………………………………..5分AFCOBM21.（1）…………………………….……………………………2分（2）易知选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人.记选择音乐类的4人分别是12,,,A A A 小丁；选择美术类的3人分别是12,,B B 小李.可画出树状图如下：由树状图可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是112. .…………………………….……………………………4分由表可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是112..…………………………….……………………………4分 （3）由（1）可知问卷中最喜欢体育运动的的学生占40%，得 50040%200⨯=所以该年级中最喜欢体育运动的学生约有200名.…………….……………………………5分22． 解：（1）32p =; .…………………………….……………………………2分 （2）332p <≤..…………………………….……………………………5分音乐美术体育其他类别扇形统计图条形统计图32%其他16%音乐12%美术40%体育1A 1B 2B 小李2A 1B 2B 小李3A 1B 2B 小李1B 2B 小李小丁五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥0，所以方程总有两个实数根..…………………………….……………………………2分解：（2）由（1）2(5)m ∆=-，根据求根公式可知,方程的两根为：x =即：11x =，24x m =-,由题意，有448m <-<，即812m <<.……………………….……………………………5分（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，4m -）,由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（4m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 4m -）， 由题意，可得：14m -=-或44m m -=-，即3m =或4m =.……….……………………………7分24．解：（1）由题意，可得8164(1)a a =-+及84k =，解得1,2a k ==，所以，抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =.…………………………2分（2）设点P 的坐标为4(,2)(0)t t t ≤≤，可得点Q 的坐标为2(,2)t t t -，则 2222(2)4(2)4PQ t t t t t t =--=-=--+ 所以，当2t =时，PQ 的长度取得最大值为4.………………………………4分（3）易知点M 的坐标为（1，-1）.过点M 作直线OA 的平行线交抛物线于点N ，如图所示，四边形AOMN为梯形.直线MN 可看成是由直线OA 向下平移b 个单位得到，所以直线MN 的方程为2y x b =-.因为点M 在直线2y x b =-上，解得b =3,即直线MN 的方程为23y x =-，将其代入22y x x =-，可得 2232x x x -=-即 2430x x -+= 解得 11x =，23x = 易得 11y =-，23y =所以，直线MN 与抛物线的交点N 的坐标为（3,3）.…………5分如图，分别过点M 、N 作y 轴的平行线交直线OA 于点显然四边形MNHG 是平行四边形.可得点G （1,2），H （113(10)[2(1)]222OMG S MG =⨯-⨯=⨯--=△113(31)236MNHG S NH =-⨯=⨯=△所以，梯形AOMN 的面积9OMG MNHG ANH AOMN S S S S =++=△△△梯形. ……………………7分25． 解：（1）k =1；……………………….……………………………2分（2）如图2，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 与AC 的交点为Q .由题意，tan ∠BAC =12， ∴12BC DE AC AE ==. ∵ D 、E 、B 三点共线， ∴ AE ⊥DB .∵ ∠BQC =∠AQD ，∠ACB =90°, ∴ ∠QBC =∠EAQ.∵ ∠ECA+∠ACG =90°，∠BCG+∠ACG =90°， ∴ ∠ECA =∠BCG . ∴ BCG ACE △∽△. ∴12BC GB AC AE ==. ∴ GB =DE. ∵ F 是BD 中点， ∴ F 是EG 中点. 在Rt ECG △中，12CF EG =, ∴ 2BE DE EG CF -==..…………………………….……………………………5分（3）情况1：如图，当AD =13AC 时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ，∵∠ACB =90°， tan ∠BAC =12，且BC = 6, ∴AC =12，AB=.∵M 为AB 中点，∴CM=∵AD =13AC ，∴AD =4.∵M 为AB 中点，F 为BD 中点，∴FM =12AD = 2.2图BD EAFCGQ∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2+ .…………………………….……………………………6分情况2：如图，当AD=23AC时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为4+………….……………………………7分综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+.…………………………….……………………………8分。
北京市海淀区2011届高三二模考试(数学理)(2011海淀一模)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．(1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)-2. 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为A {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {0,1,2}3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间 A ．1(0,)2 B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4.若直线l 的参数方程为13()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为A ．45-B ． 35-C ． 35D ． 455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不．可能是．．．该锥体的俯视图的是 7．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③ 8. 在一个正方体1111ABCD ABCD -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．点(,)P x y 在不等式组2,,2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.10．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为 .11．若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++，其中26a =-，则实数m 的值为 ；12345a a a a a ++++的值为 .12．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =， 2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为 .13．已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N的最大值为()f t ，则()f t = .14. 已知函数sin ()xf x x=（1）判断下列三个命题的真假：①()f x 是偶函数；②()1f x < ；③当32x π=时，()f x 取得极小值. A1D 1A 1C 1B DC BOPNM Q其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号） （2）满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为___________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）已知函数2()cos cos f x x x x ωωω=+ (0)ω>的最小正周期为π.（Ⅰ）求2()3f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间及其图象的对称轴方程. 16.（本小题共13分）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望. 17.(本小题共14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求证：//OE 平面PDC ；(Ⅲ)求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．18. (本小题共14分）已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）； （II ）求函数()f x 的单调区间. 19．(本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O . （Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论. 20. (本小题共13分）对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，A DO CPBE0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -=12k =，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理）答案及评分参考 2011．5选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32， 11613. 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) 14. ①② , 9 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（Ⅰ） 1()(1cos 2)22f x x x =+ωω………………………2分 1sin(2)26x =++πω, …………………………3分 因为()f x 最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分所以1()sin(2)62πf x x =++, ………………………… 5分 所以21()32πf =-. …………………………6分 （Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………………8分 所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈………………………10分 由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为 ()26k πx πk Z =+∈. …………………………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A ,……………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， ……………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ .……………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响， 所以，1(4,)3X B . ……………………………9分………………11分14()433E X =⨯=. ………………………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB =∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点， ∵2PD PB ==， ∴PO BD⊥，………………………………2分 ∵BD ==∴PO ==12AO BD ==，在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分 ∵AOBD O =，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分(Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………………………9分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又A B A D ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C ，P ，11(,,222E --，则11(,,222OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC =. ∴12OE PF =-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ， ∴//OE 平面PDC ； …………………………………9分 (Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，ADOCPBE F则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111130x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC 的一个法向量为(2,0,1)n =，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,3θn CB =<>==， ∴直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值为3. ………………………………………14分 18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分 所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分 所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减；……………………………………………8分②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减……………………………14分19．(共13分） 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -=………………………………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分（II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -. 由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………………………………6分 则216640k ∆=->，即||2k >. ………………………………7分12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+……………………………………12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). ……………………………………13分 20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A …………………………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对.………………………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+， 所以22kk k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==--，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+-，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数…………………………………………………………………………………..13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
2011-2012学年北京市海淀区七年级(上)期末数学试卷及答案解析
2011-2012学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）﹣2的绝对值等于（）A．﹣B．C．﹣2D．22．（3分）神舟八号于2011年11月1日5时58分由改进型“长征二号”火箭顺利发射升空，此次火箭的起飞质量为497000公斤，数字497000用科学记数法可以表示为（）A．497×103B．0.497×106C．4.97×105D．49.7×104 3．（3分）下列结果为负数的是（）A．﹣（﹣3）B．﹣32C．（﹣3）2D．|﹣3|4．（3分）下列计算正确的是（）A．3a+b=3ab B．3a﹣a=2C．2a3+3a2=5a5D．﹣a2b+2a2b=a2b5．（3分）如图，已知点O在直线AB上，∠BOC=90°，则∠AOE的余角是（）A．∠COE B．∠BOC C．∠BOE D．∠AOE6．（3分）已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．棱锥7．（3分）若关于x的方程ax+3x=2的解是x=，则a的值是（）A．﹣1B．5C．1D．﹣58．（3分）如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．70°9．（3分）若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足m＜1＜﹣m，则下列数轴表示正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）按下面的程序计算：若输入x=100，输出结果是501，若输入x=25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若一个数的相反数是2，则这个数是．12．（3分）∠α=18°20′，∠β=6°30′，则α+β=．13．（3分）如图所示，线段AB=4cm，BC=7cm，则AC=cm．14．（3分）若|m﹣3|+（n+2）2=0，则m+2n的值为．15．（3分）如果a﹣3b=8，那么代数式5﹣a+3b的值是．16．（3分）观察下面两行数第一行：4，﹣9，16，﹣25，36，…第二行：6，﹣7，18，﹣23，38，…则第二行中的第6个数是；第n个数是．三、解答题（本题共24分，第19题8分，其他题每题4分）17．（4分）计算：（﹣1）10×3+8÷（﹣4）．18．（4分）化简：2x+5+3x﹣7．19．（8分）解方程：（1）2x﹣9=5x+3（2）．20．（4分）先化简，再求值：x2﹣（5x2﹣4y）+3（x2﹣y），其中x=﹣1，y=2．21．（4分）画一画如下图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置．（1）你是否同意甲的意见？（填“是”或“否”）；（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．四、解答题（本题共28分，第22题5分，第23题5分，第24题6分，第25题6分，第26题6分）22．（5分）如图所示，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠BOD的度数．23．（5分）列方程解应用题：油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？24．（6分）关于x的方程（m﹣1）x n﹣3=0是一元一次方程．（1）则m，n应满足的条件为：m，n；（2）若此方程的根为整数，求整数m的值．25．（6分）已知线段AB的长为10cm，C是直线AB上一动点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．（1）若点C恰好为线段AB上一点，则MN=cm；（2）猜想线段MN与线段AB长度的关系，即MN=AB，并说明理由．26．（6分）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．（1）若小明依次输入3，4，5，则最后输出的结果是；（2）若小明将1到2011这2011个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，则m的最大值为；（3）若小明将1到n（n≥3）这n个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．探究m的最小值和最大值．2011-2012学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）﹣2的绝对值等于（）A．﹣B．C．﹣2D．2【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数解答即可．【解答】解：根据绝对值的性质，|﹣2|=2．故选：D．2．（3分）神舟八号于2011年11月1日5时58分由改进型“长征二号”火箭顺利发射升空，此次火箭的起飞质量为497000公斤，数字497000用科学记数法可以表示为（）A．497×103B．0.497×106C．4.97×105D．49.7×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将497000用科学记数法表示为：4.97×105．故选：C．3．（3分）下列结果为负数的是（）A．﹣（﹣3）B．﹣32C．（﹣3）2D．|﹣3|【分析】负数就是小于的数，利用绝对值的性质，以及平方的计算方法，计算出各项的值，即可作出判断．【解答】解：A、﹣（﹣3）=3，是正数，故A选项错误；B、﹣32=﹣9，是负数，故B选项正确；C、（﹣3）2=9，是正数，故C选项错误；D、|﹣3|=3，是正数，故D选项错误．故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．3a+b=3ab B．3a﹣a=2C．2a3+3a2=5a5D．﹣a2b+2a2b=a2b【分析】本题考查同类项的概念，含有相同的字母，并且相同字母的指数相同，是同类项的两项可以合并，否则不能合并．合并同类项的法则是系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．【解答】解：A、3a与b不是同类项，不能合并．错误；B、3a﹣a=2a．错误；C、2a3与3a2不是同类项，不能合并．错误；D、﹣a2b+2a2b=a2b．正确．故选：D．5．（3分）如图，已知点O在直线AB上，∠BOC=90°，则∠AOE的余角是（）A．∠COE B．∠BOC C．∠BOE D．∠AOE【分析】求∠AOE的余角，根据互余的定义，即是求与∠AOE的和是90°的角，根据角相互间的和差关系可得．【解答】解：已知点O在直线AB上，∠BOC=90°，∴∠AOC=90°，∴∠AOE+∠COE=90°，∴∠AOE的余角是∠COE，故选：A．6．（3分）已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．棱锥【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．【解答】解：∵主视图和左视图都是三角形，∴此几何体为椎体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆锥．故选：B．7．（3分）若关于x的方程ax+3x=2的解是x=，则a的值是（）A．﹣1B．5C．1D．﹣5【分析】把x=代入方程ax+3x=2得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x=代入方程ax+3x=2得：a+=2，∴a+3=8，∴a=5，故选：B．8．（3分）如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．70°【分析】先根据平角的定义求出∠COB的度数，再由OD平分∠BOC即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠COB=180°﹣40°=140°，∵OD平分∠BOC，∴∠2=∠BOC=×140°=70°．9．（3分）若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足m＜1＜﹣m，则下列数轴表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据m＜1＜﹣m，求出m的取值范围，进而确定M的位置即可．【解答】解：∵m＜1＜﹣m，∴，解得：m＜﹣1．故选：A．10．（3分）按下面的程序计算：若输入x=100，输出结果是501，若输入x=25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】由5x+1=556，解得x=111，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的x值满足5x+1=111，最后输出的结果也为556，可解得x=22；当开始输入的x值满足5x+1=22，最后输出的结果也为556，但此时解得的x 的值为小数，不合题意．【解答】解：∵输出的结果为556，∴5x+1=556，解得x=111；而111＜500，当5x+1等于111时最后输出的结果为556，即5x+1=111，解得x=22；当5x+1=22时最后输出的结果为556，即5x+1=22，解得x=4.2（不合题意舍去），所以开始输入的x值可能为22或111．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若一个数的相反数是2，则这个数是﹣2．【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得出答案．【解答】解：﹣2的相反数为2，∴这个数为﹣2．故答案为：﹣2．12．（3分）∠α=18°20′，∠β=6°30′，则α+β=24°50′．【分析】代入后相加即可，注意：18°+6°=24°，20′+30′=50′．【解答】解：∠α+∠β=18°20′+6°30′=24°50′，故答案为：24°50′．13．（3分）如图所示，线段AB=4cm，BC=7cm，则AC=11cm．【分析】直接利用AC=AB+BC计算即可．【解答】解：∵AB=4cm，BC=7cm，∴AC=AB+BC=4cm+7cm=11cm．故答案为11．【点评】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离．14．（3分）若|m﹣3|+（n+2）2=0，则m+2n的值为﹣1．【分析】根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|m﹣3|+（n+2）2=0，∴，解得，∴m+2n=3﹣4=﹣1．故答案为﹣1．15．（3分）如果a﹣3b=8，那么代数式5﹣a+3b的值是﹣3．【分析】将已知条件整体代入所求代数式即可．【解答】解：∵a﹣3b=8，∴5﹣a+3b=5﹣（a﹣3b）=5﹣8=﹣3．故本题答案为﹣3．16．（3分）观察下面两行数第一行：4，﹣9，16，﹣25，36，…第二行：6，﹣7，18，﹣23，38，…则第二行中的第6个数是﹣47；第n个数是（﹣1）n+1（n+1）2+2．【分析】由第一行可知，每个数字为完全平方数，即第n个数字为（n+1）2，符号是偶数项为负，第二行每一个数比第一行对应的数大2，由此得出规律．【解答】解：根据观察的规律，得第二行中的第6个数是﹣（6+1）2+2=﹣47；第n个数是（﹣1）n+1（n+1）2+2；故答案为：﹣47，（﹣1）n+1（n+1）2+2．三、解答题（本题共24分，第19题8分，其他题每题4分）17．（4分）计算：（﹣1）10×3+8÷（﹣4）．【分析】首先进行乘方运算，然后在进行乘除法运算即可．【解答】解：原式=1×3﹣8÷4=3﹣2=1．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，关键在于正确认真进行计算．18．（4分）化简：2x+5+3x﹣7．【分析】合并同类项的法则就是字母不变，系数想加减．【解答】解：原式=（2x+3x）+（5﹣7）=5x﹣2．19．（8分）解方程：（1）2x﹣9=5x+3（2）．【分析】（1）按照移项，合并，系数化为1的步骤解题即可；（2）按照去分母，去括号，移项，合并的步骤解题即可．【解答】解：（1）移项得：2x﹣5x=3+9．合并得：﹣3x=12．系数化为1得：x=﹣4．（2）解：两边同时乘以12，得2（5x﹣7）+12=3（3x﹣1）．去括号得：10x﹣14+12=9x﹣3．移项得：10x﹣9x=﹣3+14﹣12，合并得：x=﹣1．【点评】考查解一元一次方程；掌握解一元一次方程的步骤是解决本题的关键；注意去分母时单独的一个数也要乘最小公倍数．20．（4分）先化简，再求值：x2﹣（5x2﹣4y）+3（x2﹣y），其中x=﹣1，y=2．【分析】先去括号，x2﹣（5x2﹣4y）+3（x2﹣y）=x2﹣5x2+4y+3x2﹣3y；再合并同类项得﹣x2+y；最后把x=﹣1，y=2代入式子求值．【解答】解：x2﹣（5x2﹣4y）+3（x2﹣y）=x2﹣5x2+4y+3x2﹣3y=﹣x2+y；∴当x=﹣1，y=2时，原式=﹣（﹣1）2+2=1．21．（4分）画一画如下图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B 向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置．（1）你是否同意甲的意见？否（填“是”或“否”）；（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．【分析】（1）根据线段的性质可判断；（2）水泵应在线段AB上，连接AB，与l的交点，即为水泵的位置；【解答】解：（1）否；（2）连接AB，交l于点Q，则水泵站应该建在点Q处；依据为：两点之间，线段最短．四、解答题（本题共28分，第22题5分，第23题5分，第24题6分，第25题6分，第26题6分）22．（5分）如图所示，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠BOD的度数．【分析】由角平分线的定义，可以得到∠BOD=∠AOB÷2，从而可以转化为求∠AOB．【解答】解：∵∠COB=2∠AOC，且∠AOC=40°，∴∠COB=2×40°=80°，∴∠AOB=∠AOC+∠COB=40°+80°=120°，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=∠AOB÷2=120°÷2=60°．∴∠BOD的度数是60°．故答案为60°．23．（5分）列方程解应用题：油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？【分析】可设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为42﹣x人，根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于x的方程，求解即可．【解答】解：设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为42﹣x 人，根据题意可列方程：120x=2×80（42﹣x），解得：x=24，则42﹣x=18．答：生产圆形铁片的有24人，生产长方形铁片的有18人．24．（6分）关于x的方程（m﹣1）x n﹣3=0是一元一次方程．（1）则m，n应满足的条件为：m≠1，n=1；（2）若此方程的根为整数，求整数m的值．【分析】（1）根据一元一次方程的定义：含有一个未知数，未知数的次数为1，求解；（2）先由（1）得方程（m﹣1）x﹣3=0，求出x，再根据此方程的根为整数确定m的值．【解答】解：（1）根据一元一次方程的定义得：m﹣1≠0，n=1，即m≠1，n=1，故答案为：≠1，=1；（2）由（1）可知方程为（m﹣1）x﹣3=0，则x=∵此方程的根为整数，∴为整数．又m为整数，则m﹣1=﹣3，﹣1，1，3，∴m=﹣2，0，2，4．25．（6分）已知线段AB的长为10cm，C是直线AB上一动点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．（1）若点C恰好为线段AB上一点，则MN=5cm；（2）猜想线段MN与线段AB长度的关系，即MN=AB，并说明理由．【分析】（1）因为点C恰好为线段AB上一点，所以MN=MC+NC=AC+BC=（AC+BC）=AB=5cm；（2）分三种情况当C在线段AB上时，当C在线段AB的延长线上时，当C在线段BA的延长线上时，进行推论说明．【解答】解：（1）因为点C恰好为线段AB上一点，所以MN=MC+NC=AC+BC=（AC+BC）=AB=5cm；故答案为：5；（2）；证明：∵M是线段AC的中点，∴CM=AC，∵N是线段BC的中点，∴CN=BC，…（3分）以下分三种情况讨论，当C在线段AB上时，MN=CM+CN=AB；…（4分）当C在线段AB的延长线上时，MN=CM﹣CN=AB；…（5分）当C在线段BA的延长线上时，MN=CN﹣CM=AB；…（6分）综上：MN=AB．故答案为：．26．（6分）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．（1）若小明依次输入3，4，5，则最后输出的结果是4；（2）若小明将1到2011这2011个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，则m的最大值为2010；（3）若小明将1到n（n≥3）这n个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．探究m的最小值和最大值．【分析】（1）根据已知得出输入与输出结果的规律求出即可；（2）根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，转化为奇偶性的性质然后讨论最大值．（3）根据分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按（*）式结构计算分别得出最大值与最小值．【解答】解：（1）根据题意可以得出：||3﹣4|﹣5|=|1﹣5|=4；故答案为：4．（2）由于输入的数都是非负数．当x1≥0，x2≥0时，|x1﹣x2|不超过x1，x2中最大的数．对x1≥0，x2≥0，x3≥0，则||x1﹣x2|﹣x3|不超过x1，x2，x3中最大的数．小明输入这2011个数设次序是x1，x2，x2011，相当于计算：||||x1﹣x2|﹣x3|﹣x2011|﹣x2011|=P．因此P的值≤2011．另外从运算奇偶性分析，x1，x2为整数．|x1﹣x2|与x1+x2奇偶性相同．因此P与x1+x2+…+x2011的奇偶性相同．但x1+x2+…+x2011=1+2+2011=偶数．于是断定P≤2010．我们证明P可以取到2010．对1，2，3，4，按如下次序|||1﹣3|﹣4|﹣2|=0．|||（4k+1）﹣（4k+3）|﹣（4k+4）|﹣（4k+2）|=0，对k=0，1，2，均成立．因此，1﹣2008可按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||2009﹣2010|﹣2011|=2010．所以P的最大值为2010．故答案为：2010；（3）对于任意两个正整数x1，x2，|x1﹣x2|一定不超过x1和x2中较大的一个，对于任意三个正整数x1，x2，x3，||x1﹣x2|﹣x3|一定不超过x1，x2和x3中最大的一个，以此类推，设小明输入的n个数的顺序为x1，x2，…x n，则m=|||…|x1﹣x2|﹣x3|﹣…|﹣x n|，m一定不超过x1，x2，…x n，中的最大数，所以0≤m≤n，易知m与1+2+…+n的奇偶性相同；1，2，3可以通过这种方式得到0：||3﹣2|﹣1|=0；任意四个连续的正整数可以通过这种方式得到0：|||a﹣（a+1）|﹣（a+3）|﹣（a+2）|=0（*）；下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按（*）式结构计算．当n=4k时，1+2+…+n为偶数，则m为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；当n=4k+1时，1+2+…+n为奇数，则m为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；当n=4k+2时，1+2+…+n为奇数，则m为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n和n﹣1，则最小值为1，从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n，最大值为n﹣1；当n=4k+3时，1+2+…+n为偶数，则m为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0，则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n，则最大值为n﹣1．希望我的资料对您有帮助，非常感谢您的下载。
2013年中小学生信息学奥林匹克竞赛获奖名单(2013-10-25)
2013年海淀区中小学生信息学奥林匹克竞赛获奖名单一、团体奖
小学组团体奖：
团体一等奖：花园村二小
团体二等奖：育鹰小学
初中组团体奖：
团体一等奖：北京市第一零一中学
团体二等奖：人大附中
团体三等奖：师大附中
高中组团体奖：
团体一等奖：人大附中
团体二等奖：北京市第一零一中学
二、优秀辅导员奖（41人）
三、小学组一等奖（44人）
四、小学组二等奖（42人）
五、小学组三等奖（48人）
六、初中组一等奖（16人）
七、初中组二等奖（23人）
八、初中组三等奖（46人）
八、高中组一等奖（11人）
九、高中组二等奖（13人）
十、高中组三等奖（15人）。
北京市海淀区2011-2012学年八年级(上)期末数学试题(含答案)(精)
北京市海淀区2011-2012学年八年级(上)期末数学试题数 学（分数：100分 时间：90分钟） 2012.1 学校 班级 姓名 成绩 一、选择题：（本题共36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的. 请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1. 16的平方根是（A ）4- （B ）4 （C ）±4 （D ） 256 2．下列运算结果正确的是(A) 236()a a = (B) 3412a a a ⋅= (C) 824a a a ÷= (D)333)3(a a =3. 下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y 是x 的函数的是（A ） （B ） （C ） （D ） 4. 下列分解因式正确的是（A) 3(1)(1)m m m m m -=-+ （B ）26(1)6x x x x --=-- （C ）22(2)a ab a a a b ++=+ （D ）222()x y x y -=-5．如图，△ABC ≌△FDE ，40C ∠=︒，110F ∠=︒，则∠B 等于（A ）20° （B ）30° （C ）40° （D ）150°6. 已知1122(3)(2)P y P y -，，，是一次函数21y x =+的图象上的两个点，则12y y ，的大小关系是 （A ）12y y >（B ）12y y < （C ）12y y = （D ）不能确定7．已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为 （A ）7 （B ）8 （C ）7或8 （D ）2或3 8. 分式 2aa b-+ 可变形为 （A ）2a a b- （B ）2a a b -+ （C ）2aa b -- （D ）2a a b ---9. 如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM上的一个动点. 若4PA =，则PQ 的最小值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410．如图，将△ABC 沿DE 、HG 、EF 翻折，三个顶点均落在点O 处.若1129∠=︒，则2∠的度数为（A ）49° （B ）50° （C ）51° （D ）52°11. 某项工程，由甲、乙两个施工队合作完成．先由甲施工队单独施工3天，剩下的工作由甲、乙两个施工队合作完成．工程进度满足如图所示的函数关系，则完成此项工程共需 （A ）3天 （B ）5天 （C ）8天 （D ）9天12.如图，若点P 的坐标可以通过解关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧+==nmx y x y ,4求得，则m 和n 的值最可能为（A ）0,21=-=n m （B ）2,3-=-=n m （C ）4,3=-=n m （D ）2,21=-=n m二、填空题：（本题共24分，每小题3分） 13．因式分解：24a -= .14. 函数y =11x -的自变量x 的取值范围是 . 15．若实数x y 、2(5)y =-0，则y x 的值为 .16．化简：))(2(y x y x -+= .17. 如图，等边ABC ∆的周长是9，D 是AC 边上的中点，E 在BC 的延长线上．若DB DE =,则CE 的长为_ ．18. 如图，在△ABC 中，AB AC =，∠B ＝30︒，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，2EF =，则BC 的长为_ ．19．某公司为用户提供上网费的两种收费方式如下表：若设用户上网的时间为x 分钟，A 、B 两种收费方式的费用分别为A y （元）、B y （元），它们的函数图象如图所示,则当上网时间多于400钟时,选择 种方式省钱.（填 “A ”或“B ”）20. 图2中的这四块纸板形成一个“链条”，当它们向左边合拢时，就能成为一个等边三角形（如图1）；当它们向右边合拢时，就能成为一个正方形（如图3）. 如果 2.2, 2.1a b ==，那么c 的长为 .图1 图2 图3C三、解答题：（本题共15分，每小题5分）210132π⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭解：22. （1）解方程：211x x x=+-． 解：（2）已知102=-y x ，求()y y x y y x y x 4)](2[222÷-+--+的值.解：四、解答题：（本题共9分，第23题4分，第24题5分）23.如图，在ABC ∆中，AC AB =，D 、E 两点在BC 边上，且AE AD =. 求证：CE BD =. 证明：24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过(0,4)A 和(2,0)B 两点. （1）求直线l 的解析式；（2）C 、D 两点的坐标分别为(4,2)C 、(,0)D m ，且△ABO 与△OCD 全等.① 则m 的值为 ；（直接写出结论） ② 若直线l 向下平移n 个单位后经过点D ，求n 的值. 解：五、解答题：（本题共16分，第25题5分,第26题5分，第27题6分） 25. 阅读材料：. 小明的方法：<3k =+（01k <<）.∴22(3)k =+. ∴21396k k =++. ∴1396k ≈+.解得 46k ≈.43 3.676≈+≈.问题：（1（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若1a a <<+，且2m a b =+≈_________________(用含a 、b 的代数式表示)；（3）请用（2的近似值. 解：26. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+经过点(2,0)A ，交y 轴于点B . 点D 为x 轴上一点，且1ADBS=.（1）求m 的值；（2）求线段OD 的长；（3）当点E 在直线AB 上（点E 与点B 不重合），且∠BDO =∠EDA ，求点E 的坐标.（备用图）27.如图1，在△ABC 中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l ⊥AO 于H ,分别交直线AB AC BC 、、于点N E M 、、. （1）当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =； （2）当M BC 是中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系. 解：（备用图）北京市海淀区2011-2012学年八年级(上)期末数学试题答案一、选择题：（本题共36分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CABABBCBDCDC二、填空题：（本题共24分，每小题3分）13．(2)(2)a a +-；14．1x ≠；15.1-；16．222y xy x --；17.32；18．12；19．B ；20．4.3.三、（本题共15分，每小题5分）210132π⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭解：原式=2133π-+-+-----------------4分 =1π+.-----------------5分 22．（1）解方程：211x x x=+-． 解：方程两边同时乘以),1(-x x 得2(1)2(1)x x x x =-+-. ---------------2分解方程，得2=x . ---------------4分 经检验，2=x 是原方程的解. ∴ 原方程的解为2=x . ---------------5分（2）已知102=-y x ，求222[()2()]4x y x y y x y y +--+-÷的值.解：原式=22222[(2)22]4x y x xy y xy y y +--++-÷----------------2分 =22222(222)4x y x xy y xy y y +-+-+-÷ =2(42)4xy y y -÷---------------3分=12x y -. ---------------4分 当102=-y x 时，原式=11(2)10 5.22x y -=⨯= ---------------5分四、（本题共9分，第23题4分, 第24题5分）23．证法一：如图，过点A 作AP ⊥BC 于P . ----------------------1分 ∵AB AC =，∴PC BP =. ----------------2分 ∵AD AE =，∴PE DP =. ----------------------3分 ∴CE BD =. -------------------4分证法二：∵AB AC =，∴∠B =∠C . ---------------------1分∵AD AE =， ∴∠ADE =∠AED . 又∵点D 、E 在BC 边上，∴∠ADB =∠AEC .----------------------2分 在△ABD 和△ACE 中，,,,ADB AEC B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE . ---------------------3分 ∴CE BD =. --------------------------4分24．解：（1）设直线l 的解析式为y kx b =+（0k ≠）.∵直线l 经过点(0,4)A ，∴4b =. ----------------------------------1分 ∵直线l 经过点(2,0)B -， ∴240k -+=. ∴2k =.∴直线l 的解析式为24y x =+. -----------------------------------2分（2）①4m =.-----------------------------------3分②设平移后的直线1l 的解析式为12y x b =+.∵直线1l 经过点(4,0)D ，∴1240b ⨯+=.∴18b =-. ---------------------------------4分∴直线1l 的解析式为28y x =-.∴12n =.---------------------------------5分五、（本题共16分，第25题5分,第26题5分，第27题6分）25．解：（1<<，6k =+（01k <<）. ---------------------------------1分∴22(6)k =+.∴2413612k k =++.∴413612k ≈+. 解得 512k ≈.5660.42 6.4212≈+≈+=.------------------2分（22b a a≈+.------------------4分（316 6.0812≈+≈.------------------5分 (注：结果保留几位小数都不扣分)26. 解：（1）∵直线y x m =-+经过点(2,0)A ,∴02m =-+.∴m =2. ---------------------1分（2）∵直线2y x =-+交y 轴于点B ,∴点B 的坐标为(0,2).∴2OB =.∵112ADB S AD OB =⋅=, ∴1AD =.∵点A 的坐标为(2,0)，∴点D 的坐标为(1,0)或(3,0).∴1OD =或OD =3.---------------------3分（3）①当点D 的坐标为(1,0)时，如图所示.取点'(0,2)B -,连接'B D 并延长，交直线BA 于点E .∵'OB OB =,'AO BB ⊥于O ,∴OD 为'BB 的垂直平分线.∴'DB DB =.∴12∠=∠.又∵23∠=∠，∴13∠=∠.设直线'B D 的解析式为2(0)y kx k =-≠.∵直线'B D 经过点(1,0)D ，∴02k =-.∴2k =.∴直线'B D 的解析式为22y x =-.解方程组2,22,y x y x =-+⎧⎨=-⎩得4,32.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点E 的坐标为(42,33).----------------------4分 ②当点D 的坐标为(3,0)时，如图所示.取点'(0,2)B -,连接'B D ，交直线BA 于点E.同①的方法，可得12∠=∠，直线'B D 的解析式为223y x =-. 解方程组22,32,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得12,52.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点E 的坐标为（122,55-）. 综上所述，点E 的坐标为(42,33)或（122,55-）.----------------------5分 27．（1）证明：连接ND .∵AO 平分BAC ∠,∴12∠=∠.∵直线l ⊥AO 于H ,∴4590∠=∠=︒.∴67∠=∠.∴AN AC =.∴NH CH =.∴AH 是线段NC 的中垂线.∴DC DN =. --------------------1分∴98∠=∠.∴AND ACB ∠=∠.∵3AND B ∠=∠+∠,2ACB B ∠=∠,∴3∠=∠B .∴DN BN =.∴BN DC =.----------------------2分（2）如图，当M BC 是中点时,CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE =. ----3分证明：过点C 作'CN AO ⊥交AB 于'N .由（1）可得'BN CD =,',AN AC AN AE ==.∴43∠=∠,'NN CE =.过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G .∴42∠=∠,1B ∠=∠.∴23∠=∠.∴CG CE =.∵M BC 是中点,∴BM CM =.在△BNM 和△CGM 中，1,,,B BM CM NMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BNM ≌△CGM .∴BN CG =.∴BN CE =.∴''2CD BN NN BN CE ==+=.----------------------4分（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+；当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-.----------------------6分 (注：三种情况写对一个给1分，全对给2分)(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)。
北京市海淀区2011届高三模拟数学(文)试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学 （文科）2011.4选择题 （共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题 ,每题 5 分 ,共 40 分.在每题列出的四个选项中 ,选出切合题目要求的一项 .1、已知会合 Ax R 0 x 3 ， B xR x 2 4 ，则 A BA. x x2 或 2 x 3B.x 2 x 3C. x 2 x 32. 设 a 30.5, blog 3 2, ccos2，则3A. c b aB. c a bC. a b cD. bx 13．函数 f ( x) 图象的对称中心为xA ． (0,0)B.(0,1)C. (1,0)D.(1,1)4. 履行以下图的程序框图，若输入x 的值为 2，则输出的 x 值为A. 25B ． 24 C. 23 D ． 225.从会合 A { 1,1,2}中随机选用一个数记为k ，从会合 B { 2,1,2} 中随机选用一个数记为b ，则直线 ykx b 不经过第三象限的概率为2 1 C.4 5A ．B.9D.9396. 在 同 一 个 坐 标 系 中 画 出 函 数 y a x, y sin ax 的 部 分 图 象 ， 其 中a 0且a 1 ，则以下所给图象中可能正确的选项是yy11O12xO 1D. Rc a开始 输入 xn 1n ≤3否 输出 x 结束2n n 1x 2x 1是xAByy11O12xO12xC D7. 已知函数f ( x)x2ax1,x1,则“ 2 a 0 ”是“ f (x)在 R 上单一递加”的ax2x1,x1,A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8.若直线 l 被圆 C : x2y2 2 所截的弦长不小于2，则 l 与以下曲线必定有公共点的是A2y 21B．．x 2y21 C. y x2D．x2y21． ( x 1)2非选择题（共 110 分）二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每题 5 分,共 30 分 .把答案填在题中横线上.29. 计算__________________.1i10.为认识本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每个月平时花费额”的检查.他们将检查所获得的数据分别绘制成频次分布直方图（以下图），记甲、乙、丙所检查数据的标准差分别为s1， s2，s3, 则它们的大小关系为. （用“”连结）频次频次频次组距组距组距0.00080.00080.00080.00060.00060.00060.00040.00040.00040.00020.00020.0002O1000 1500 2000 2500 3000 3500 元O1000 1500 2000 2500 3000 3500 元O10001500 2000 2500 3000 3500 元甲乙丙11.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1 D1内一动点，则三棱锥P ABC 的主视图与左视图的面积的比值为_________.D1C1A1PB1[根源 :]DC左视A B主视12. 已知函数f ( x) xe x ，则 f ' (x) =________;函数 f ( x) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_______13. 已知向量 a ( x,2), b (1,y) ，此中 x, y 0 .若 agb 4 ，则 y x 的取值范围为.14．如图， 线段 AB =8，点 C 在线段 AB 上，且 AC =2， P 为线段 CB 上一动点， 点 A 绕点 C 旋转后与点B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x ， △ CPD 的面积为 f (x) .则 f (x) 的定义域为 ________； f ( x) 的最大值为________.D ACP B三、解答题 : 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .15. （本小题共 13 分）在 ABC 中，内角 A 、B 、 C 所对的边分别为1 ， tan C1a 、b 、c ，已知 tan B, 且23c 1 .[ 根源 :Z#xx #](Ⅰ ) 求 tan(B C ) ；(Ⅱ) 求 a 的值 .16. （本小题共 13 分）数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 12 且 S n S n 1 2n （ n 2 ， n N * ） . [根源 :]( I )求 S n ；( II ) 能否存在等比数列{ b n } 知足 b 1 a 1, b 2a 3，b 3 a 9 ？若存在， 则求出数列 { b n } 的通项公式；若不存在，则说明原因.17. （本小题共 13 分）如图：梯形 ABCD 和正△PAB 所在平面相互垂直，此中 AB//DC,ADCD1AB ，且 O 为 AB 中点.P2( I ) 求证： BC // 平面 POD ；OAB(II) 求证：AC PD .18. （本小题共14 分）已知函数 f (x)1a ln x ( a 0, a R) x（Ⅰ）若 a 1，求函数 f ( x) 的极值和单一区间；(II) 若在区间[1,e] 上起码存在一点 x0，使得 f ( x0 )0 建立，务实数 a 的取值范围.19.（本小题共 14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 经过点 M (1,3), 其离心率为1 . a2b2 1 ( a22（Ⅰ）求椭圆C的方程；( Ⅱ) 设直线l与椭圆C订交于 A、B 两点，以线段OA, OB为邻边作平行四边形OAPB，其中极点 P 在椭圆C上，O为坐标原点 . 求O到直线距离的l 最小值.20.（本小题共 13 分）已知每项均是正整数的数列a1, a2 ,a3 ,L ,a100，此中等于i 的项有k i个(i1,2,3L ) ，设 b j k1 k 2k j( j1,2,3L ) ，g(m) b1b2L b m 100m ( m1,2,3L ).（Ⅰ）设数列 k140, k230, k3 20,k4 10, k5...k1000 ，求 g(1), g(2), g(3), g(4) ；(II)若 a1 ,a2 , a3 ,L , a100中最大的项为50，比较 g(m), g(m1) 的大小；（Ⅲ）若 a1 a2La100200 ，求函数 g( m) 的最小值.[根源:][根源 : ][根源 : ]海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参照2011． 4（共 40 分） [ 根源 :]一、 （本大 共8 小 , 每小 5 分 , 共 40 分） [ 根源 :Z § xx § ]号 12 3 45 6 7 8答案CABC ADBB非（共 110 分）二、填空 （本大 共 6小 , 每小 5分 . 共 30分 . 有两空的 目，第一空3 分，第二空 2分）9.1 i10. s 1 > s 2 > s 3 11. 1 12.xy x13. [ 4,2]14.(1 x e ，，2 2)(2, 4) 三、解答 ( 本大 共 6 小 , 共 80 分)15. （共 13 分）解：（ I ）因 tan B1 ， tanC 1 , tan(B C ) tan B tan C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分231 tan B tan C1 1代入获得， tan(B C) 2 3 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分1 1 12 3（ II ）因 A180o B C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此 tan A tan[180 o(B C )]tan( B C )1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 又 0oA180o ，因此 A 135o .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因 tan C1 ，且 0oC180o，因此 sin C10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分0 ，310ac 5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 [来由，得 asin Asin C源 :学§科§网 ]16. （共 13 分）解：（ I ）因 S n Sn 12n ，因此有S n S n 1 2n n 2 ， nN *建立 ⋯⋯⋯2 分即 a n 2n n 2建立，又 a 1 S 12 1 , 因此 a n2n nN *建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 因此 a n 1 a n 2 n N * 建立 ，因此 { a n } 是等差数列，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 因此有 S na 1annn 2 n ， nN *⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2（ II ）存在 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分[ 来源 :Z|xx|]由（ I ）， a n 2n ， n N * 建立因此有 a 36, a 9 18 ，又 a 12 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此由b 1 a 1, b 2 a 3， b 3 a 9 b 2b 3 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分，b 1b 2因此存在以 b 1 2 首 ，公比 3 的等比数列 {b n } ，其通 公式 b n23n 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分P17. （共 13 分）明 : (I) 因 O AB 中点，因此 BO1AB,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分21又 AB / /CD, CDAB ，AO2B因此有 CD BO,CD / /BO,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分D C因此 ODCB 平行四 形 ,因此 BC / /OD ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又 DO 平面 POD, BC 平面 POD,因此 BC//平面 POD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(II) 接 OC .P因 CD BO AO, CD / / AO, 因此 ADCO平行四 形，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又 ADCD ,因此 ADCO 菱形，OABDC因此AC DO ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因正三角形PAB , O AB 中点，因此 PO AB ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又因平面 ABCD平面 PAB ,平面 ABCD I 平面 PAB AB ，因此 PO平面 ABCD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分而 AC平面 ABCD ，因此 PO AC ，[根源:]又POI DO O ，因此 AC平面 POD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分又 PD平面 POD ，因此 AC PD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 [来源 : ]18. （共 14 分）解：（ I）因 f '( x)1a ax 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x2x x2当 a 1 ， f '( x)x1，x2令 f'( x)0 ，得x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又 f( x) 的定域(0,) ，f( x) ， f (x) 随x的化状况以下表：x(0,1)1(1,)f '( x)0f ( x)]极小Z所以 x 1 ， f ( x)的极小 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分f ( x) 的增区(1,) ，减区(0,1) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（ II）解法一：因 f '( x)1a ax10 ，x2x x2，且 a令 f '( x)0 ，获得 x 1，a若在区 (0, e] 上存在一点 x0，使得 f ( x0 )0 建立，其充要条件是 f (x) 在区 (0, e] 上的最小小于0 即可 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ 1）当 x10 ， f '( x)0 x(0,) 建立，0 ，即 aa因此， f ( x) 在区 (0, e] 上 减，故 f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 f (e)1 a ln e 1 a ，e由111) e a 0，得 a，即 a (, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分e1e e（ 2）当 x 0 ，即 a0 ，a① 若 e1， f '( x)0 x(0, e] 建立，因此f ( x) 在区 (0, e] 上 减，a11因此， f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 f ( e)a ln ea 0 ，e e然， f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 小于0 不建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分② 若 0 1 e ，即 a1， 有aex(0,11( 1)a, e)a af '( x)f ( x)]极小Z因此 f ( x) 在区 (0, e] 上的最小f ( 1) aa ln 1，aa由 f ( 1)a a ln1a(1 ln a) 0 ，aa得 1ln a，解得ae，即 a(e,) .13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分上，由 (1)（ 2）可知： a(, 1) U (e, ) 切合 意 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分e(0, e] 上存在一点 x 0 ，使得 f ( x 0 )0 1 a ln x 0 0 ，解法二：若在区建立，即x 0因 x 00 , 因此，只需 1 ax 0 ln x 0 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分令 g ( x) 1ax ln x ，只需 g(x) 1 ax ln x 在区 (0, e] 上的最小 小于0 即可因 g '(x)a ln x aa(ln x 1) ，令 g '( x)a(ln x1) 0，得 x 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分e（ 1）当 a 0 ：x1 1 (1, e] [ 来(0, )eee源 :]g '( x) [ 来源:学+科+ 网 ]g(x)Z极大][来源 :Z*xx*]因 x(0, 1) ， g( x)1 ax ln x 0 ，而 g(e) 1 ae ln e 1 ae ，e11只需 1 ae 0 ，得 a(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分，即 a, )（2 ）当 aee：1x [:(0, ) [根源 :11e根源 学,e]#科#网]学+科+网e(eZ+X+X+K]g '( x)g(x)]极小Z因此，当x (0, e] ， g( x) 极小 即最小g( 1 ) 1 a 1 ln 11a ，e e ee由1a 0 ， 得ae ，即 a(e,).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分e131上，由 (1)（ 2）可知，有 a( ,) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分 [根源 : 学*) U (e,e科 * 网 Z*X*X*K]19. （共 14 分）解：（Ⅰ）由已知， e 2a 2b 2 1 ，因此 3a 2 4b 2，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分a 2431 9 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又点 M (1, ) 在 C 上，因此a 24b 2②2由①②解之，得 a 24, b 23 .故 C 的方程x 2y 2 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分43( Ⅱ ) 当直 l 有斜率 ，y kx m ，y kxm,由y 2x 2 1.43消 去 y 得 ， (34k 2 ) x 2 8kmx 4m 2 12 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 [ 来源 :]64k 2m 24(3 4k 2 )(4m 2 12) 48(3 4k 2m 2 ) 0 ，③ ⋯⋯⋯⋯7分A 、B 、 P 点的坐 分 (x 1, y 1 )、(x 2 , y 2 )、( x 0 , y 0 ) ， ：x 0 x 1x 28km 2 , yy 1 y 2k( x 1x 2 ) 2m6m 2 ⋯⋯⋯⋯8分3 4k3 4k ，因为点 P 在 C 上，因此x 02y 02 1 .⋯⋯⋯9 分43进而16k 2m 212m 21 ，化 得 4m 234k 2 ， 足③式 .(3 4k 2 )2(3 4k 2 )2⋯⋯⋯10 分又点 O 到直 l 的距离 ：| m | 3 k 21 1 34d1 k 212 )121 k 24(1 k 4[根源 :学| 科 | 网]⋯⋯⋯11分当且 当 k 0 等号建立⋯⋯⋯⋯12 分当直 l无斜率 ，由 称性知，点P 必定在 x 上，进而 P 点 (2,0),(2,0) ，直 l x1 ，因此点 O 到直 l 的距离1 ⋯⋯13 分因此点 O 到直 l 的距离最小3 ⋯⋯14 分220. （共 13 分）解:(I)因 数列 k 140, k 2 30, k 3 20, k 4 10 ，因此 b 1 40, b 2 70,b 3 90, b 4 100 ，因此 g (1)60, g(2)90, g(3)100, g(4)100 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(II)一方面， g(m 1) g( m) b m 1 100 ，北京市海淀区2011届高三模拟数学(文)试题及答案依据 b j的含知 b m 1100，故 g(m1)g( m) 0 ，即g( m)g (m1) ，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分当且当 b m 1100 取等号.因 a1, a2 ,a3,L, a100中最大的50，因此当m50必有b m100 ，因此 g (1) g(2)L g(49)g(50)g(51)L L即当 1m49 ，有g( m) g( m1) ；当 m49 ，有g (m)g(m1) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ III）Ma1 , a2 ,L ,a100中的最大 .由（ II ）能够知道，g( m) 的最小 g (M ) .下边算 g (M ) 的.g(M )b1 b2b3L b M100M( b1100)(b2 100) (b3100)L(b M 1 100)( k2k3 L k M ) ( k3k4 L k M ) ( k4 k5L k M ) L( k M )[ k22k3L( M 1)k M ]( k12k23k3 L Mk M ) ( k1k2L k M )( a1a2a3L a100)b M(a1a2a3L a100)100 ，∵ a1a2a3L a100200，∴ g (M )100 ，∴ g (m)最小100.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分明：其余正确解法按相步分.。
2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答
2011年北京市中学生数学竞赛 高中一年级初赛试题及参考解答一、选择题（每小题6分，满分36分）1．函数()f x 是偶函数且(3)2,f -=-则f 2(3)−5f (3)+2的值为 （A ）12-． （B ）16． （C ）17． （D ）8． 答：B ．解：根据条件()()f x f x -=，则由(3)2f -=-，得(3)2f =-． 所以f 2(3)−5f (3)+2=4+10+2=16．2．若图中给出的函数y =x 2+ax +a 的图像与x 轴只有一个公共点，则a 为（A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）4． 答：D ．解：由函数y =x 2+ax +a 只有一个0点，所以∆=a 2−4×1×a =0，则a =0，或a =4．但对称轴2a-≠0，得a ≠0，所以a =4．3．函数1161()log (16x f x x =-的零点个数为（A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3．答：D ．解：方程1161log ()16x x =的解的个数也就是函数116log y x =的图象与函数1(16x y =的图象在0x >时有几个交点．易知，函数116log y x =的图象与函数1()16x y =的图象关于y x =对称，所以必存在一点(a , a )在这两个函数的图象上．经验算，点11(,24和11(,)42也是两个图象的交点．所以，零点的个数为3个．4．定义在实数集R 上的函数f ，对于每一个x ∈R 和常数a ＞0，都满足方程1()2f x a +=f 的值域记为M ，则（A ）7M π∈．（B M ．（CM ．（D ）3M π∈． 答：C ．解：1()2f x a +=12即对于任意x ∈R 都有f (x )≥12．由题意，()2()()f x f x -≥0，即()()1()f x f x -≥0，由于f (x )≥12＞0，所以1− f (x )≥0，即f (x )≤1，所以1,12M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．易知：7π＜3.5172=，得7π∉M； 1.5132=∉M ；3π＞1，得3π∉M ；而12＜2＜1，所以2∈M ． 5．P 为正方形ABCD 内一点，P A =1厘米，PB =2厘米，PC =3厘米．则△PBC 的面积（单位：平方厘米）为（A ）2（B ）2 （C ）2 （D ）2 答：A ．解：将△APB 绕点B 顺时针旋转90º，得△CQB ，显然△CQB ≌△APB ，连接PQ ，因为∠PBQ =90º，PB=QB =2，所以∠PQB =∠QPB =45º，PQ在△PQC 中，PC =3，CQ =1，PQ =2，由于32=12+(2，所以PC 2=CQ 2+PQ 2，所以∠PQC =90º，这样，四边形PBQC的面积11221222PBQ PQC S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯=+．又∠PQB =45º，∠BQC = 45º+90º =135º，作CH ⊥BQ 的延长线于H ，则∠CQH =45º，因此2CH =，1122222BQC S BQ CH ∆=⨯⨯=⨯⨯=． 所以PBC PBQC BQC S S S ∆∆=-=2222=+．6．函数()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的周期为4的周期函数，已知(2)(2)6f g -=-=且()()()2(2)(2)(2)(2)120(2)2f fg g f g g f ++-+-=，则(0)g 的值为 （A ）2． （B ）1． （C ）0． （D ）−1．答：A ．解：()f x 是奇函数，(2)6f -=，所以(2)6f =-，(0)0f =．()g x 是周期为4的周期函数，(2)6g -=，所以(2)6g =．()()()()20(2)20(6)1204(30)(0)g f g g g g =⨯-=-=⨯-=． 由此化简()()()2(2)(2)(2)(2)120(2)2f fg g f g g f ++-+-=，有2(66)(66)1(0)2f g g -+++=，进而2(0)(340)1(0)2f g g +⨯+=，得2(0)1(0)2g g =，即2(0)2(0)g g =，得(0)0g =或(0)2g =，但由题意知，(0)0g ≠，所以(0)2g =．二、填空题（每小题8分，满分64分） 1．求tan22.5°的值．1．解：如图，△ACB 是直角边为1的等腰直角三角形，∠BAC =45º，∠C =90º，AC =BC =1，AB作∠BAC 的平分线AD ，则∠DAC =22.5º． 在直角△ACD 中，tan22.5º=1DC DCAC ==DC ，由三角形的角平分线性质，有1BD DC =1DC =BC DC =BD DC DC +．所以1DC ==． 因此，tan22.5º1．2．设函数()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有2f (x 2+x )+f (x 2−3x +2)=9x 2−3x −6，求f (60)的值． 答：176．解：用1−x 代替条件等式中的x ，得f (x 2−3x +2)+2f (x 2+x )=9x 2−15x ， 由上式及原式，消去f (x 2−3x +2)得f (x 2+x )=3x 2+3x −4=3(x 2+x )−4，所以f (60)=3×60−4=176． 3．若[x ]表示不超过x 的最大整数．求在平面直角坐标系x -O -y 中满足[x ]·[y ]=2011的所有点(x , y )组成的图形的面积．答案：4.解：设[x ]=a ，[y ]=b ，即所有这样的点(x , y )组成的图形就是a ≤x ＜a +1，b ≤y ＜b +1界定的区域，如右图中的阴影，它的面积为1，又2011是质数，所以满足[x ]·[y ]=2011的点(x , y )组成的图形是4个面积为1的区域．即[x ]=1，[y ]=2011；[x ]=2011，[y ]=1；[x ]=−1，[y ]=−2011；[x ]=−2011，[y ]=−1．这些图形的总面积是4．4．如图，两同心圆的半径分别为6和10，矩形ABCD 的边AB 、CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长．解：设这两个圆的圆心是点O ，则△OAD 的面积是矩形ABCD 面积的14，所以△OAD 的面积最大时，矩形ABCD 面积取得最大值．而OA 、OD 是定值，OA =6，OD =10，所以OA 与OD 垂直时，△OAD 的面积最大，此时，矩形ABCD的周长为17． 5．已知21()1f x x=+，求 111(1)(2)(3)(2011)232011f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．答：2010.5．解：因为222221111()()111111x f x f x x x x x +=+=+=++++，所以 原式111(1)[(2)()][(3)()][(2011)()]232011f f f f f f f =+++++++ 201010.51112010.5=++++=个6．已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程ax2+bx+c=0的两个根，试确定这个直角三角形外接圆的面积．（结果用含a, b, c和圆周率π的式子表示）．答：22 (2)4b acaπ-解：设该直角三角形两直角边的长分别为x1，x2，则x1+x2=ba-，x1x2=ca，==于是，该直角三角形外接圆的半径R所以该直角三角形外接圆的面积=22224b acRaππ-==22(2)4b acaπ-．7．若二次函数f(x)=ax2−2x−a满足f(2)＜f(1)＜f(3)＜f(0)，试确定实数a的取值范围．答：12(,)23．解：由f(2)＜f(1)＜f(3)，知道二次函数开口向上，对称轴在[1, 2]之间由f(2)＜f(1)知，对称轴在3(,2)2之间，即顶点的横坐标13(,2)2a∈，可得12(,)23a∈．8．如图，D为△ABC内一点，使得∠BAD=∠BCD，且∠BDC=90°．已知AB=5，BC=6，M为AC的中点，求DM．答：2．解：延长CD到E，使得DE=DC，连接BE，则△BDE≌△BDC，所以BE=BC=6，∠BED=∠BCD=∠BAD，所以A、D、B、E四点共圆，因此∠EAB=∠EDB=90°．所以AE=2DM=．。
2019海淀区信息学奥赛题目1解析
2019海淀区信息学奥赛题目1解析1. 论题引出2019海淀区信息学奥赛题目1是本次奥赛中被广泛讨论和关注的一个题目。
作为信息学奥赛的一部分，这个题目在很大程度上代表了信息学领域的一些核心概念和技术难点。
在本文中，我们将对这个题目进行深入的解析，帮助读者更好地理解其中的思想和算法。
2. 题目内容概述这道题目主要涉及了一个关于数据结构和算法的问题。
题目要求参赛者设计一个高效的算法，解决一个特定的问题。
具体问题涉及到了图论中的一些概念，以及对图的遍历和路径查找。
这种类型的问题是信息学领域中非常经典的内容，也是考察参赛者对算法设计和分析能力的一个很好的方式。
3. 题目分析与解决思路我们需要了解题目中涉及的核心概念，比如图的表示方法、遍历算法、最短路径算法等。
对于图的表示，可以选择邻接矩阵或邻接表等数据结构；对于遍历算法，可以选择深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）；对于最短路径算法，可以选择Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法等。
在解决这道题目时，我们需要根据具体情况综合运用这些知识和算法，设计出一个高效的解决方案。
4. 具体实现步骤在设计算法之后，我们需要进行具体的实现步骤。
这包括对输入数据进行处理和存储、算法的具体实现、以及对输出结果的处理等。
在这个过程中，我们需要考虑到算法的时间复杂度和空间复杂度，并确保算法的正确性和效率。
5. 个人观点与总结2019海淀区信息学奥赛题目1是一道涉及到图论和算法设计的经典问题，具有一定的难度和挑战性。
通过对这道题目的深入解析和思考，我们可以学习到很多关于算法设计和分析的核心知识，提高自己的信息学水平和能力。
希望本文的解析能对读者有所帮助，也希望大家在信息学领域的学习和探索中能够不断进步和提高。
参考文章格式：xxx以上是我根据您提供的主题进行的文章撰写，如果需要调整内容或修改语气，请随时告诉我。
2019海淀区信息学奥赛题目1是一道非常经典的图论和算法设计问题，它要求参赛者设计一个高效的算法，解决一个特定的图论问题。
2011年北京市海淀区信息学竞赛中学组解题报告
第二题
读数
题目地址： /home/problem.htm?problemID=185 题目分析： 这道题目无疑是一个简单的题目，但是，说到细致，又有不少的地方可圈可点。非常 喜欢这样的出题风格。让我又似乎看到了，2007-2009 年间冯老师出的几套题目中表现出来 的一些风格。似繁而非难，似简而不易。 这道题目需要处理的点只有几个： （1）20 以内，单独处理。这种问题，与其做几个判断，不如直接打表； （2）整百的情况； （3）有百位，十位为 0，个位不为零； （4）百位为零； （5）正常情况； 主要代码： char a[22][20] = {"ling", "yi", "er", "san", "si", "wu", "liu", "qi", "ba", "jiu", "shi", "shiyi", "shier", "shisan", "shisi", "shiwu", "shiliu", "shiqi", "shiba", "shijiu"}; //前面的表，20 以内即可 拆位的到 g 表示个位，s 表示十位，b 表示百位。 //处理百位 if (b != 0) cout << a[b] << "bai"; //处理十位 if (s != 0) cout << a[s] << "shi"; else if (b != 0 && g != 0) cout << a[0]; //处理个位 if (g != 0) cout << a[g] << endl; 从上面的代码看来，虽然我们分析的是整体的几种情况，但是如果这道题想写的清晰， 还是最好按照各个位上面的情况分析，才是最好的方案。
NOIP2011提高组解题报告day2
计算系数【问题描述】给定一个多项式(ax + by)^k，请求出多项式展开后(x^n)*(y^m)项的系数。
【输入】输入文件名为 factor.in。
共一行，包含 5 个整数，分别为a，b，k，n，m，每两个整数之间用一个空格隔开。
【输出】输出文件名为 factor.out。
输出共 1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。
【输入输出样例】【数据范围】对于 30%的数据，有0≤k≤10；对于 50%的数据，有a = 1，b = 1；对于 100%的数据，有0≤k≤1,000，0≤n, m≤k，且n + m = k，0≤a，b≤1,000,000。
【考察知识点】数论/二项式系数/组合【思路】学OI的应该知道二项式系数/组合数/杨辉三角，再不行手推几个也就能知道ans=C(k,n)*(a^n)*(b^m)这里由于是取模，同余只能用于加和乘。
但又要算组合数，而组合数公式里有除法，我因此纠结了很久很久，甚至最后都有写高精加减乘除模的想法。
瞬间灵光一闪，C(k,n)=C(k-1,n)+C(k-1,n-1)，行了！注意要边加边mod，否则跟没想到一样。
【时间复杂度】O(k^2)program factor;//uses sysutils;constproname='factor';yu=10007;varfin,fout:text;i,j,k,m,n,l,r,s,t,x,y:longint;a,b:int64;ans:int64;c:array[0..1100,0..1100]of longint;procedure pin;i,j:longint;beginreadln(fin,a,b,k,n,m);end;function getc(n,r:int64):int64;vari,j:longint;beginfillchar(c,sizeof(c),0);c[0,0]:=1;c[1,0]:=1;c[1,1]:=1;for i:=2 to n dobeginc[i,0]:=1;for j:=1 to i doc[i,j]:=(c[i-1,j]+c[i-1,j-1]) mod yu;end;exit(c[n,r] mod yu);end;procedure main;vari,j:longint;beginans:=1;a:=a mod yu;b:=b mod yu;for i:=1 to n doans:=ans*a mod yu;for i:=1 to m doans:=ans*b mod yu;if n>m thent:=melset:=n;ans:=ans*getc(k,t) mod yu;end;procedure pout;vari,j:longint;beginwriteln(fout,ans);end;beginassign(fin,proname+'.in');assign(fout,proname+'.out');reset(fin);rewrite(fout);//time:=now;pin;main;pout;//writeln(fout,(now-time)*24*3600*1000:0:0);close(fin);close(fout);end.聪明的质监员【问题描述】小 T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。
北京市海淀区第11届高二数学竞赛团体赛
高中二年级 班 学号 姓名 成绩 一．选择题：（每小题5分，共50分）1．设函数f (x , y )=12++mx mx 的定义域是全体实数集R ，那么实数m 的取值范围是（ ）。
（A ）0<m <4 （B ）0≤m ≤4 （C ）m ≥4 （D ）0<m ≤42．已知arccos x >32π，那么x 的取值范围是（ ）。
（A ）－1≤x <－21 （B ）－21<x ≤1 （C ）0≤x <π32 （D ）π32<x ≤π 3．如果不等式mx x +2)31(<3m －3x 对一切x 都成立，那么实数m 的取值范围是（ ）。
（A ）(－∞, 1) （B ）(9, ＋∞) （C ）(1, 9) （D ）不是以上答案4．函数f (x )=log e (12+x －1)的反函数f －－1(x )的值域是（ ）。
（A ）(－1, 1) （B ）(0, 1) （C ）(－∞, 1) （D ）(－∞, ＋∞)5．设x , y 是变量；a , b 是常量，且by a x +=1, 那么x ＋y 的最小值等于（ ）。
（A ）4ab （B ）a ＋b ＋2ab （C ）a ＋b ＋ab （D ）2(a ＋b )＋ab6．设x =arcsin(cos3), y =tg[arcctg(－π2)]，那么x ＋y 等于（ ）。
（A ）－3 （B ）3 （C ）π－3 （D ）π＋37．射线OA , OB 关于原点对称，(2sin 5π, 2cos 5π)在射线OA 上，那么以射线OB 为终边的角的集合为（ ）。
（A ）{α| α=2k π－5π, k ∈Z } （B ）{α| α=2k π＋103π, k ∈Z } （C ）{α| α=2k π＋107π, k ∈Z } （D ）{α| α=2k π－103π, k ∈Z } 8．圆x 2＋y 2－2x ＋6y －6=0关于直线y =x 对称的圆的方程是（ ）。
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a[ty][tx] = true; s[ty][tx] = '.'; } } head++;//头指针后移 } return tail; } 相信有了这两个主要的函数，大家都能够把这道题目解决了。
第四题
套括号
题目地址： /home/problem.htm?problemID=187 题目分析： 这道题目，看起来很可怕。但是，仔细分析起来，其实并不尽然。我在分析时，也是 经历了一个有趣的过程才得到正解的。 这道题目，一直有学生在跟我讨论着她的思路。但是，说实话，都没有仔细的看。因 为一直认为，在没有经过自己的仔细思考之前，如果太多的接受他人思想，可能会影响自己 在思考时的方式。当然，这不是说，我们都不要听别人的方法，而是希望所有人，能够在跟 别人“讨论”之前，先有自己的充分认识，才能够比较好调整、反思和进步。这也是，我能 够在向出题老师求教时，快速理解他意图的本质原因。 这道题目，首先就是按照动态规划的发展性原则去进行思考。4 个数的括号方法，肯定 是由 3 个数的方法发展而来。只是要进行一些调整。 思考的方法，主要是，增加了一个数字，能够那么这个新增的数字是不是要参与括号 的分配就是我们主要讨论的议题。如果这个新增加进来的数字，根本不参加括号分配，那么 f(i– 1)即为方案数，且，f(i - 1)是可以加括号，或者不加括号，所以，自然这种方式即为 2 * f(i – 1)（那么在这里其实就产生了一个矛盾，f(i-1)的含义，是有问题的。这个我们放在后面 仔细讨论） 。然后，如果第 i 个数字参与括号分配，就考虑它和几个数字结合的问题了。如 果，它跟一个结合括号，那么两个数字的方案是 f(2)，剩下的数字为 f(i – 2)，且也如前面一 样，可以加括号，或者不加括号，所以，一定是 2 * f(2) * f(i – 2)，后面依次类推。只是在 f(1) * f(i – 1)的时候，我们注意到 1 个数字是无法选择是否加括号的，所以，没有乘 2 的问 题。这个就是后面我们类似卡特兰数的部分。综合起来式子为： f(i) = 3 * f(i – 1) + 这个式子看似已经很完美了。 但是我们得回到到底什么是 f(i)。 我们最容易产生的问题， 就在于我们非常希望 f(i)直接为我们的所求 （当然， 我在一开始时也是这样去定义的） 。 但是， 刚刚在过程中，我们其实就知道，我们在所有的分配中，都无差别的需要把一个括号都没有 的这种情况加入其中。否则，我们将无法处理是否整体加括号的问题。那么，我们的 f(i)的 定义，也自然变成了我们的所求加一。所以，在做题过程中，需要在 f(n)中减去 1 再输出。 最后，这个式子很容易发现，n 为 100 以内的值，必然超过 int 64 范围。所以，如果要 想得到完美解，必然需要将上面的式子变成高精度的计算方法。 我也很犹豫是否按照重载来讲，但是，最终决定还是按照标准方法，自行实现。其实， 实现起来也不那么复杂。至少在比赛中，两位满分选手的程序，均选择了标准高精度写法实 现。 乘 3 的过程： void f3(int x) { int i, t; int w; w = 0; for (i = 1 ; i <= 299 ; i++)
{ t = s[x - 1][i] * 3; s[x][i] = s[x][i] + t % 10; s[x][i + 1] += t / 10; if (s[x][i] != 0) { w = i; } } s[x][0] = w; } 自然，s 是这个高精度的二维数组。s[x]代表的是 f(x)。但是重要的一点是，f[x][0]存放 的是，这个数值的长度。 2 * f(j) * f(i – j)的过程。 void cheng(int x, int y) { int z, i, j, w, t; z = x + y; for (i = 1 ; i <= s[x][0] ; i++) for (j = 1 ; j <= s[y][0] ; j++) { w = (i - 1) + (j - 1) + 1; s[z][w] += (s[x][i] * s[y][j]) * 2; } w = 0; for (i = 1 ; i < 300 ; i++) { t = s[z][i]; s[z][i] = t % 10; s[z][i + 1] += t / 10; if (s[z][i] != 0) w = i; } s[z][0] = w; } 在解决了这两个环节后，相信读者也能够，很好的解决编程的问题。顺便说一下，我 并不是很想写出前文中的式子，那个式子被成为状态转移方程式。相信大家应该能够理解， 这个式子是由思路而来， 而不是找到式子再有思路。 无论你说这个题目是递推还是动态规划， 仔细理解思路才是最最重要的。 感谢所有耐心阅读完本份解题报告的同仁。文中难免有一些问题，对您的阅读会产生 影响，我非常抱歉。也欢迎您，来邮件跟我交流。我会尽力改进。 再次明目张胆的宣传一下，码酷在线测评系统（）和北京市科协 的 BJOJ 在线测评系统（） ，欢迎您的访问。
第二题
读数
题目地址： /home/problem.htm?problemID=185 题目分析： 这道题目无疑是一个简单的题目，但是，说到细致，又有不少的地方可圈可点。非常 喜欢这样的出题风格。让我又似乎看到了，2007-2009 年间冯老师出的几套题目中表现出来 的一些风格。似繁而非难，似简而不易。 这道题目需要处理的点只有几个： （1）20 以内，单独处理。这种问题，与其做几个判断，不如直接打表； （2）整百的情况； （3）有百位，十位为 0，个位不为零； （4）百位为零； （5）正常情况； 主要代码： char a[22][20] = {"ling", "yi", "er", "san", "si", "wu", "liu", "qi", "ba", "jiu", "shi", "shiyi", "shier", "shisan", "shisi", "shiwu", "shiliu", "shiqi", "shiba", "shijiu"}; //前面的表，20 以内即可 拆位的到 g 表示个位，s 表示十位，b 表示百位。 //处理百位 if (b != 0) cout << a[b] << "bai"; //处理十位 if (s != 0) cout << a[s] << "shi"; else if (b != 0 && g != 0) cout << a[0]; //处理个位 if (g != 0) cout << a[g] << endl; 从上面的代码看来，虽然我们分析的是整体的几种情况，但是如果这道题想写的清晰， 还是最好按照各个位上面的情况分析，才是最好的方案。
2011 年北京市海淀区区赛解题报告
北京市海淀区 北京市八一中学 王祺磊 首先说， 这是第一次写区赛的解题报告。 其实每年， 我们所有老师， 看到海淀区的题目， 就像是在找一个机会来考我们自己。很遗憾，我们中的绝大多数人，当然也包含我在内，无 法完全理解所有题目。 每年， 我们的心中都以无限惶恐的心情去尽可能的理解海淀区的题目， 并让自己朝着更高的高度前进。 各个中学的老师，无论自身多么的紧张（在刚刚过去的 2，3 年中，我们有 6 位老师， 喜得贵子或贵女） ，仍然尽全力的为孩子们，创造条件，培养着他们。这不仅仅是海淀区的 荣幸，更是北京市的荣幸。我真心的希望，所有参与学习的各位同学，体谅你们身边的辅导 老师，与老师一起，更加努力，取得更好的成绩。 本解题报告在分析过程中，得到了出题的朱若愚老师的全力提点。在此，也替所有学生 和老师，向朱老师表示感谢。作为，信息学中的后辈，我很庆幸，在我们的周围有这样优秀 的老师在帮助着我们不断前进。 另外，题目内容，已全部放在网站上，本解题报告不再累述。也欢迎大家通过邮件联 系我进行交流，我的邮箱是：fatship@。 注：本解题报告，仍然不给出全部的通过代码，望读者谅解我的苦心。能够细心思考， 细致消化。
第三题
海龟圈地
题目地址： /home/problem.htm?problemID=186 题目分析： 这道题目，分成两个步骤。第一个步骤为模拟。主要是按照题目的要求，做一个二维 数组，让海龟在这个二维数组中做图。这个过程为完全的模拟。但是，在这个模拟过程中， 第一要注意的就是操作方法和数据范围。 操作方法，建议建立两个数组，分别控制在一个方向时，海龟 X 和 Y 坐标的变化值。 再用一个标量一直表示着海龟的方向。 而数据，范围，因为要考虑一直走下去的情况，所以，上下左右均定义到 1000 余量为 好，所以，数组最好定义到 2005*2005，才能够安心使用。 在模拟完成之后就需要考虑，如何计算乌龟占据的地盘了。这个问题，其实，就让我 们存在很多的误区。 （1） 是否要成环。一般我们都会认为成环后才是占据地盘，但是，实际上，它走过 的轨迹也是地盘的一部分。所以，即便不成环，海龟也是有占据的底盘的； （2） 地盘的统计。一般认为，如果成环之后，我们需要从内部进行填充。这样统计 海龟的地盘，但是，实际上，路径是可能造成内部有很多孔，或者完全不成环。 所以，应该找到地盘的外点。进行外填充统计。剩下的为海龟的地盘。 （3） 填充的方法。一般认为，填充使用的方式为深度优先中的 floodfill。在这道题目 中，我们就需要采用广度优先搜索的填充方案。才能够处理这么大范围内的数 据。 所以，从这道题目中我们有颇多收获。 主要程序： int zx[5] = {0, 1, 0, -1}; int zy[5] = {-1, 0, 1, 0}; 两个 x，y 变化的辅助数组，分别代表上，右，下，左方向情况时的 xy 变化值。 //这个函数，用来处理模拟的整个部分 void walk() { s[y0][x0] = '*'; //记录下最大、最小坐标，以便减少填充统计范围。 minx = maxx = x0; miny = maxy = y0; int i; for (i = 0 ; i < l ; i++)//用循环处理没一个动作 { //分别处理右、左是方向的变化。 if ('r' == w[i]) { way++; way %=ome/problem.htm?problemID=184 题目分析： 在这道题目中，我们惊奇的发现，很多老选手，没有拿到满分和新学的很多学生确拿 到了满分。 原因其实也很简单， 这道题目的题面容易让我们联想到动态规划的递增子序列的 变形题目。第一印象一个 O(N^2)的算法就会充斥在我们的想法中。而数据量 n 的范围达到 n 万之巨。就让人有些无措。 而新选手因为学的东西较少，掌握的算法多为模拟、枚举和贪心。他们选择的算法会直 接朝贪心去思考，那么每一次的选择就会很清洗。这不得不让我们烦死，算法的学习和最后 的梳理是不可分割的。 最佳解题思虑： 这道题目的最佳解题思路，个人认为应该属于贪心算法。 在整个的变化中，其实冰箱能够起到的作用就是为我们保留的价格升值。每经过一个 城市， 我们保留的原始价格就要增值 m， 而在本城市能够选择的价格就是原有价格 p 增值 m 后和本地价格 a[i]中小的那个价格。而这个价格也会成为我们新的持有价格（因为，冰箱空 间其实可以忽略，所以，你可以认为我到哪里都可以购买到价格为 p 的鸡蛋，而不用考虑这 个鸡蛋是哪里来的） 。 在本道题目中，的确混淆着动态规划和贪心算法的一些特征。但从整体来说，本题最 佳解题思路，应该还是属于贪心范畴。不过，我也本着学习的态度，欢迎各位阅读者来邮件 跟我交流。毕竟探讨才是学习的最好途径。 主要代码： for (i = 1 ; i < n ; i++) //第一个价格单独得到，所以，少循环一次 { cin >> pt;//当前城市新的选择价格 p += m;//前面的最低价值“增值”m 后的价格。 if (p > pt) p = pt;//选择最低价值 //最后做和即可 } //输出和