信息学奥赛普及组1-18届问题求解题解析

历届“问题求解”解析（2013竞赛辅导）问题求解是信息学竞赛初赛中常见题型，它共两题，每题5分，共10分，十六届增加了比重，有三题，占15分。

诸如寻找假币、博弈原理、抽屉原理、容斥问题、排列组合、逻辑推理、递推关系等问题出现在问题求解中。

（相关问题的具体讲解根据需要考虑发讲义） 第一届（逻辑推理问题）1. 有标号为A 、B 、C 、D 和1、2、3、4的8个球，每两个球装一盒，分装4盒。

标号为字母的球与标号为数字的球有着某种一一对应的关系（称为匹配），并已知如下条件： ① 匹配的两个球不能在一个盒子内。

② 2号匹配的球与1号球在一个盒子里。

③ A 号和2号球在一个盒子里。

④ B 匹配的球和C 号球在一个盒子里。

⑤ 3号匹配的球与A 号匹配的球在一个盒子里。

⑥ 4号是A 或B 号球的匹配球。

⑦ D 号与1号或2号球匹配。

请写出这四对球匹配的情况。

第四届（递推、树、图）1. 已知一个数列U 1，U 2，U 3，…，U N ，… 往往可以找到一个最小的K 值和K 个数a 1，a 2，…,a n 使得数列从某项开始都满足： U N+K =a 1U N+K-1+a 2U N+K-2+……+a k U N (A)例如对斐波拉契数列1，1，2，3，5，…可以发现：当K=2，a 1 =1，a 2 =1时，从第3项起（即N>=1）都满足U n+2 =U n+1+U n 。

试对数列13，23，33，…，n 3,…求K 和a 1,a 2, …,a K 使得（A ）式成立。

当K= 4，a 1,a 2,…,a k 为a 1=4, a 2=6, a 3=4，a 4=-1对数列132333,…,n 3,…（A ）成立。

2．给出一棵二叉树的中序遍历：DBGEACHFI 与后序遍历：DGEBHIFCA 画出此二叉树。

3．用邻接矩阵表示下面的无向图：表示该无向图的邻接矩阵为 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0第五届（递推）将Ln 定义为求在一个平面中用n 条直线所能确定的最大区域数目。

例如：当n=1时，L1=2,进一步考虑，用n 条折成角的直线（角度任意），放在平面上，能确定的最大区域数目Zn 是多少？例如：当n=1时，Z1=2（如下图所示）当给出n 后，请写出以下的表达式：Ln = ______________ 2、Zn = _______________ 答案为：Ln=n(n+1)/2+1(n ≥0) Zn=L2n-2n=2n2-n+1解析：本题实质是求直线或折线将一个平面分成的最大区域数，从两个方面考虑： （1）求在一个平面中用n 条直线所能确定的最大区域数； n=1,L1=2, F(1)=2n=2,L2=4, F(2)=F(1)+2 n=3,L3=7, F(3)=F(2)+3 n=4,L4=11, F(4)=F(3)+4 ……所以， F(n)=F(n-1)+n把上面的n 个等式左右相加，化简得出：F （n ）=2+2+3+4+……+n 即：L （n ）=n*(n+1)/2+1A B C D 4 3 1 2 A C B D E F G H I（2）求在一个平面中用n条折线所能确定的最大区域数；n=1,Z1=2, F(1)=0+2n=2,Z2=7, F(2)=1*(2*2-1)+4n=3,Z3=16, F(3)=2*(2*3-1)+6n=4,Z4=29, F(4)=3*(2*4-1)+8……所以，F(n)=(n-1)*(2*n-1)+2*n即：Z（n）=(n-1)*(2*n-1)+2*n 几何+归纳+组合数学！第六届（树与递推）1.已知，按中序遍历二叉树的结果为：abc问：有多少种不同形态的二叉树可以得到这一遍历结果，并画出这些二叉树。

有5种不同形态的二叉树可以得到这一遍历结果; 可画出的这些二叉树为:①a ②b ③ a ④ c ⑤ c\ / \ \ / /b ac c a b\ / \ /c b b a2.设有一个共有n级的楼梯，某人每步可走1级，也可走2级，也可走3级，用递推公式给出某人从底层开始走完全部楼梯的走法。

例如：当n=3时，共有4种走法，即1+1+1，1+2，2+1，3。

答案：F(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3) n>=4; F(1)=1; f(2)=2; f(3)=4;解析：两种方法，一是“猜”+“凑”，从具体的n=1,2,3……算起，只能算比较简单的，容易错；二是用组合数学和归纳法进行推导，一般先假设F（n）= a*F（n-1）+b*F（n-2）+c*F（n-3）+……，然后算a，b，c……直到某个系数=0就结束，再代入式子中。

F（1）＝1F（2）＝2 F（3）＝4F（N）＝F（N－3）＋F（N－2）＋F（N－1）（N≥4）推导：对于n级楼梯，可以有下面几种走法：1. 最后走一级，则有f(n-1)种2. 最后走两级，则有f(n-2)种3. 最后走三级，则有f(n-3)种第七届（树与排列组合）1.已知一棵二叉树的结点名为大写英文字母，其中序与后序遍历的顺序分别为：CBGEAFHDIJ与CGEBHFJIDA则该二叉树的先序遍历的顺序为：ABCEGDFHIJ2.平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。

问用这些点为顶点，能组成多少个不同四边形？C(7,2)*(5+6)+C(5,2)*(7+6)+C(6,2)*(7+5)+7*6*5=21*11+10*13+15*12+210=231+130+180+210=751第八届（排列与递推）1.在书架上放有编号为1 ，2 ，．．．，n的n本书。

现将n本书全部取下然后再放回去，当放回去时要求每本书都不能放在原来的位置上。

例如：n = 3时：原来位置为：1 2 3放回去时只能为：3 1 2 或 2 3 1 这两种问题：求当n = 5时满足以上条件的放法共有多少种？（不用列出每种放法）解法一：c(5,0)*5!-c(5,1)*4!+c(5,2)*3!-c(5,3)*2!+c(5,4)*1!-c(5,5)*0!=60-20+5-1=44解法二：n封装入n个信封时全部装错的装法总数为⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-!1)1(!21!111!nn n。

通常称为伯努利一欧拉错装信封问题，又称为乱序排列，即把n个元素的排列a1，a2，L，an重新排列，使每个元素都不在原来的位置上的排列问题。

因此只要你代入公式就行2．设有一棵k叉树，其中只有度为0和k两种结点，设n 0 ，n k ，分别表示度为0和度为k的结点个数，试求出n 0 和n k之间的关系（n 0 = 数学表达式，数学表达式仅含n k 、k和数字）。

n0和nk之间的关系为：n0=(k-1) nk+1。

第九届（图与集合）1．无向图G有16条边，有3个4度顶点、4个3度顶点，其余顶点的度均小于3，则G至少11个顶点。

2. 某年级学生共选修6门课程，期末考试前，必须提前将这6门课程考完，每人每天只在下午至多考一门课程，设6门课程为C1，C2，C3，C4，C5，C6，S(Ci)为学习Ci 的学生集合。

已知S(Ci)∩S(C6)≠ф，i=1，2，...，5，S(Ci)∩S(Ci+1)≠ф，i=1，2，3，4，S(C5)∩S(C1)≠ф，问至少安排_4__天才能考完这6门课程。

第十届(递推)1. 75名儿童到游乐场去玩。

他们可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。

已知其中20人这三种东西都玩过，55人至少玩过其中的两种。

若每样乘坐一次的费用是5元，游乐场总共收入700，可知有名儿童没有玩过其中任何一种。

设a1,a2,a3分别是仅仅玩过一种游戏的人数，仅仅玩过2种游戏的人数，仅仅玩过三种的人数。

因此有a2+a3 = 55, a3=20, a1+2*a2+3*a3= 700/5;==>a1= 10所以结果就是75-a1-a2-a3=10名2. 已知a, b, c, d, e, f, g七个人中，a会讲英语；b会讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲汉语和日语；e会讲意大利语和德语；f会讲俄语、日语和法语；g会讲德语和法语。

能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？如果可以，请以“a b”开头写出你的安排方案：abdfgec第十一届（排序与最火柴）1. 将数组{32, 74, 25, 53, 28, 43, 86, 47}中的元素按从小到大的顺序排列，每次可以交换任意两个元素，最少需要交换次。

思路一：用直接选择排序实现：25,74,32,53,28,43,86,47 第一次：32<-->2525,28,32,53,74,43,86,47 第二次: 28<-->7425,28,32,43,74,53,86,47 第三次：43<-->55325,28,32,43,47,53,86,74 第五次：47-->7425,28,32,43,47,53,74,86 第五次：74<-->86思路二：首先排序给每个数字标上序号{32，74，25，53，28，43，86，47}{3 ，7 ，1 ，6 ，2 ，4 ，8 ，5 }再和标准序列{1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }比较找出其中所有的"环" ，这里的"环"就是指它们互相交换之后能成为标准序列的最小集合比如这里{1,3}是一个"环", {7,2,5,8}是一个"环"。

具体找法很简单首先确定一个不在已找出"环"中的数字。

例如第一次从3开始,3对应标准序列的1 再找1对应的标准序列3 3回到了开始的数字那么这个环就是{1，3}第二次从7开始，7->2 2->5 5->8 8->7 所以第二个环是{7，2，5，8} 第三个环是{6,4} 这样所有的数字都在环中了交换的次数=（环中数字总数-环数）=8-3=52.一堆火柴有N根，A、B两人轮流取出。

每人每次可以取1 根或2 根，最先没有火柴可取的人为败方，另一方为胜方。

如果先取者有必胜策略则记为1，先取者没有必胜策略记为0。

当N 分别为100，200，300，400，500 时，先取者有无必胜策略的标记顺序为（回答应为一个由0 和/或1 组成的字符串）。

答案：11011规律：每次可以取1..m 根火柴(n 为正整数，且1<=m<N) 则 N=k(m+1) 后手胜，N ！=k(m+1)先手胜(k 为正整数)，N=3k 后手胜和 N ！=3k 先手胜(k 为正整数)补：(取石子游戏)现有5堆石子,石子数依次为3,5,7,19,50,甲乙两人轮流从任一堆中任取(每次只能取自一堆,不能不取),取最后一颗石子的一方获胜.甲先取,问甲有没有获胜策略(即无论乙怎样取,甲只要不失误,都能获胜) 如果有,甲第一步应该在哪一堆里取多少 请写出你的结果。