实验班7年级(下)《因式分解》期中复习测试题

7年级（下）《因式分解》期中复习测试题
班级：__________________姓名：____________________
一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分）
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）
A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9
2．已知x2+y2﹣2x﹣6y=﹣10，那么x2011y2的值为（）
A．B．9 C．1 D．2
3．已知a﹣b=3，b+c=﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为（）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
4．若x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（）A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x
5．已知a﹣b=5，且c﹣b=10，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac等于（）
A．105 B．100 C．75 D．50
6．x3﹣x2﹣7x+t有一个因式为x+1，则t=（）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
7．在实数范围内分解因式：a3﹣2a=________________________．
8．若x2﹣y2﹣x+y=（x﹣y）•A，则A=________________________．
9．若x2﹣3x﹣10=（x+a）（x+b），则a=，b=．
10．已知a+b=2，则a2+ab+b2=________________________．
11．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=．
12．已知a+b+2c=1，a2+b2﹣8c2+6c=5，则代数式ab﹣bc﹣ca=_________________．三、解答题（共5小题，共46分）
13．（9分）因式分解：
（1）6ab2﹣9a2b﹣12b4
（2）4x4﹣64
（3）（a﹣3）2﹣6（a﹣3）+9．
14．（7分）已知x2+x﹣3=0，求代数式x3+1991x2+1987x+1990的值．15．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得：x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n，
∴，解得：n=﹣7，m=﹣21．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知关于x的多项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x+4），求另一个因式以及k的值．
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．
16．（10分）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1﹣1=a2+6a+9﹣1=（a+2）（a﹣4）
②M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=（a﹣b）2+（b﹣1）2+1
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0
∴当a=b=1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2﹣x+．
（2）用配方法因式分解：x2﹣4xy+3y2．
（3）若M=x2+2x﹣1，求M的最小值．
（4）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，求x+y+z的值．
17．（10分）按下面规则扩充新数：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．
（1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
（2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．
7年级（下）《因式分解》期中复习测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2016秋•宁城县期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9
【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．
2．（2016秋•自贡期末）已知x2+y2﹣2x﹣6y=﹣10，那么x2011y2的值为（）A．B．9 C．1 D．2
【解答】解：x2+y2﹣2x﹣6y=﹣10，
（x﹣1）2+（y﹣3）2=0，
x=1，y=3，
x2011y2=12011×32=9，
故选：B．
3．（2015秋•海门市期末）已知a﹣b=3，b+c=﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为（）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵ac﹣bc+a2﹣ab
=c（a﹣b）+a（a﹣b）
=（a﹣b）（c+a），
∵a﹣b=3，b+c=﹣4，
∴a+c=﹣1，
∴ac﹣bc+a2﹣ab=3×（﹣1）=﹣3；
故选：D．
4．（2015春•深圳校级期中）若x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n为整数，则x 与y的数量关系为（）
A．x=4y B．y=4x C．x=12y D．y=12x
【解答】解：∵====4
∴x=4y．
故选A．
5．（2015秋•黄陂区校级月考）已知a﹣b=5，且c﹣b=10，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ac等于（）
A．105 B．100 C．75 D．50
【解答】解：∵a﹣b=5，c﹣b=10
∴a﹣c=﹣5
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]=×[52+（﹣10）2+（﹣5）2]=75
故答案为C
6．（2010秋•浦东新区校级期末）x3﹣x2﹣7x+t有一个因式为x+1，则t=（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【解答】解：∵x3﹣x2﹣7x+t有一个因式为x+1，
∴设x3﹣x2﹣7x+t=（x+1）（x2+ax+b），
（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+（a+1）x2+（b+a）x+b
即a+1=﹣1，b+a=﹣7，b=t，
解得：a=﹣2，b=﹣5，t=﹣5，
故选D．
二．填空题（共10小题）
7．（2016•闵行区二模）在实数范围内分解因式：a3﹣2a=a（a+）（a﹣）．
【解答】解：a3﹣2a=a（a2﹣2）=a（a+）（a﹣）．
故答案为：a（a+）（a﹣）．
8．（2017春•金牛区校级月考）若x2﹣y2﹣x+y=（x﹣y）•A，则A=x+y﹣1．【解答】解：原式=（x2﹣y2）﹣（x﹣y），
=（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y），
=（x﹣y）（x+y﹣1）．
因此A=x+y﹣1．
9．（2016春•沙坡头区校级期末）若x2﹣3x﹣10=（x+a）（x+b），则a=2或﹣5，b=﹣5或2．
【解答】解：∵（x+a）（x+b），
=x2+（a+b）x+ab，
=x2﹣3x﹣10，
∴a+b=﹣3，ab=﹣10，
解得a=2，b=﹣5或a=﹣5，b=2．
故答案为：2或﹣5，﹣5或2．
10．（2016春•莲湖区期末）已知a+b=2，则a2+ab+b2=2．
【解答】解：∵a+b=2，
∴=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×22=2．
故答案为：2．
11．（2015秋•文登市期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=15．【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，
他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，
∴a=6，
同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，
∴b=9，
因此a+b=15．
故应填15．
12．已知a+b+2c=1，a2+b2﹣8c2+6c=5，则代数式ab﹣bc﹣ca=﹣2．
【解答】解：由a+b+2c=1，a+b=1﹣2c
∴（a+b）2=（1﹣2c）2
∴a2+b2+2ab=1﹣4c+4c2…①
又∵a2+b2﹣8c2+6c=5…②
用①﹣②得：2ab=2c﹣4﹣4c2
即ab=c﹣2﹣2c2
∴ab﹣bc﹣ca=ab﹣c（a+b）
=ab﹣c（1﹣2c）
=c﹣2﹣2c2﹣c（1﹣2c）
=﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共5小题）
13．（2015春•临清市期末）因式分解：
（1）6ab2﹣9a2b﹣12b4
（2）4x4﹣64
（3）（a﹣3）2﹣6（a﹣3）+9．
【解答】解：（1）6ab2﹣9a2b﹣12b4=3b（2ab﹣13a2﹣4b3）；
（2）4x4﹣64
=4（x4﹣16）
=4（x2+4）（x2﹣4）
=4（x2+4）（x+2）（x﹣2）；
（3）（a﹣3）2﹣6（a﹣3）+9
=（a﹣3﹣3）2
=（a﹣6）2．
14．已知x2+x﹣3=0，求代数式x3+1991x2+1987x+1990的值．
【解答】解：x3+1991x2+1987x+1990
=（x3+x2﹣3x）+（1990x2+1990x+1990）
=x（x2+x﹣3）+1990（x2+x+1）
∵x2+x﹣3=0，
∴x2+x=3，
故x3+1991x2+1987x+1990
=0+1990×（3+1）
=1990×4
=7960．
15．（2016春•江阴市校级月考）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知关于x的多项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得：x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n，
∴，解得：n=﹣7，m=﹣21．
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知关于x的多项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x+4），求另一个因式以及k的值．
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．
【解答】解：（1）设另一个因式是（2x+b），则
（x+4）（2x+b）=2x2+bx+8x+4b=2x2+（b+8）x+4b=2x2+3x﹣k，
则，
解得：．
则另一个因式是：2x﹣5，k=20．
（2）设另一个因式是（2x2+mx+n），则
（x+2）（2x2+mx+n）=2x3+（m+4）x2+（2m+n）x+2n=2x3+5x2﹣x+b，
则，
解得．
故b的值是﹣6．
16．（2016春•句容市期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1﹣1=a2+6a+9﹣1=（a+2）（a﹣4）
②M=a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2=a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1=（a﹣b）2+（b﹣1）2+1
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0
∴当a=b=1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2﹣x+．
（2）用配方法因式分解：x2﹣4xy+3y2．
（3）若M=x2+2x﹣1，求M的最小值．
（4）已知x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，则x+y+z的值为4．
【解答】解：（1）x2﹣x+=，
故答案为：；
（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；
（3）M=x2+2x﹣1，
M=（x2+8x+16﹣16）﹣1=（x+4）2﹣5，
∵（x+4）2≥0，
∴当x=﹣4时，M有最小值为﹣5；
（4）x2+2y2+z2﹣2xy﹣2y﹣4z+5=0，
x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1+z2﹣4z+4=0，
（x﹣y）2+（y﹣1）2+（z﹣2）2=0，
∵x﹣y≥0，y﹣1≥0，z﹣2≥0，
∴，
∴x=1，y=1，z=2，
∴x+y+z=1+1+2=4，
故答案为：4．
17．解：（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因为要求最大新数，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三数取9和49，就得到扩充三次的最大数为499．
（2）1999可以扩充得到．
∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，
∴c+1=（a+1）（b+1），
取数a、c可得新数
d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）-1=（a+1）2（b+1）-1，即d+1=（a+1）2（b+1），
同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，
∴e+1=（b+1）2（a+1），
设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，式中m、n为整数，
当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，
又∵1999+1=24×53，
故1999可以通过上述规则扩充得到．。