难点2.1利用导数探求参数的范围问题(测试卷-备战2018高考高三二轮理数一本过精品(新课标版)(解析版)

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考点13利用导数探求参数的范围问题-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版)

典型高考数学试题解读与变式2018版考点十三：利用导数探求参数的范围问题【考纲要求】（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.学-科网（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．这也是2018年考试的热点问题.[来源:【典型高考试题变式】（一）利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数1()sin2sin3f x x x a x在,上单调递增，则a的取值范围是（）．A．1,1B．11,3C．11,33D．11,3【变式1】【改编例题中条件，给定函数在给定区间上单调（并未告知单增还是单减），求参数范围】【2018河北大名一中高三实验班第一次月考（理）】若函数lnf x kx x在区间1,上为单调函数,则k的取值范围是_______.【变式2】【改编例题中条件，给定函数不单调，求参数取值范围】【2017福建高三总复习训练（文）】已知函数22ln 5f x x x x c 在,1m m 不单调，则m 的取值范围是___.【变式3】【改编例题中条件，给定函数存在单调区间，求参数取值范围】【2017河北武邑中学高三下学期期中考试（文）】已知函数ln f x x ，212g x x bx （b 为常数）.（1）函数f x 的图象在点1,f x处的切线与函数g x 的图象相切，求实数b 的值；（2）若函数h xf xg x 在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；（3）若2b，12,1,2x x ，且12x x ，都有1212f x f x g x g x 成立，求实数b 的取值范围.[来源学科网ZXXK]（二）利用极值、最值求参数的取值范围例2.【2014山东卷（理）】设函数22()(ln )xef x k x x x （k 为常数， 2.71828e 是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.【变式1】【改编函数条件，给定函数极大、极小值都有求参数范围】【2018河南驻马店正阳第二高级中学开学考（文）】已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是（）A.B. C. D.【变式2】【改编函数条件，给定函数有最大值求参数范围】【2018海南八校联盟考试（理）】已知函数213ln 2f x x x a x 在区间1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A. 1,52 B. 111,22 C. 111,22 D. 1,52（三）在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围例3.【2017天津，文19】设,a bR ，||1a .已知函数32()63(4)f x x x a a x b ，()e ()x g x f x . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x 和e x y 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x 处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x 在区间00[1,1]x x 上恒成立，求b 的取值范围. 【变式1】【改编例题中函数模型，求参数的最值】【2014全国2卷（理）改编】已知函数f x =2xx e e x . （1）讨论f x 的单调性；[来源:Z,xx,]（2）设24g x f x bf x ，当0x 时，0g x ,求b 的最大值.【变式2】【改编例题条件，在不等式有解条件下，求参数的取值范围】【2014全国1卷（文）】设函数21ln 12af x a x x bx a ，曲线11yf x f 在点，处的切线斜率为0 （1）求b ；（2）若存在01,x 使得01af x a ，求a 的取值范围。

2018高考全国2卷理科数学带答案(K12教育文档)

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题,共150分,共4页。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．43．函数2e e ()x xf x x --=的图象大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =C ．2y = D ．3y = 6．在ABC △中，5cos 2C =1BC =,5AC =，则AB = A ．2B 30C 29D ．252018高考全国27．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50- B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018全国高考II卷理科数学试题和答案解析

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2. 已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3. 函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4. 已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.6. 在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.7. 为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1). (2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间;由求减区间.11. 已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018届高考数学二轮导数及其应用专题卷理(全国通用)

专题能力训练5 导数及其应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0<a<B.<a<C.a≥D.0<a<4.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)5.(2017浙江金丽衢十二校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极大值点,2个极小值点B.2个极大值点,1个极小值点C.3个极大值点,无极小值点D.3个极小值点,无极大值点6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为()A.πB.C.D.7.已知函数f(x)=x+e x-a,g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是()A. B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为.10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=.11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于∀t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满足f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a>0时,设函数g(x)=x3-f(x),函数h(x)=g'(x),①若h(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).参考答案专题能力训练5导数及其应用1.A解析由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.2.C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.3.C解析f'(x)=e x[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则解得a≥.4.B解析由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.5.A解析F'(x)=f'(x)-k,如下图所示,从而可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极小值点,x2为极大值点,即F(x)有1个极大值点,2个极小值点,应选A.6.D解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90°时,其图象都仍然是一个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且0<y'≤1,当且仅当x=0时等号成立,故在函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象的切线中,x=0处的切线倾斜角最大,其值为,由此可知αmax=.故选D.7.A解析由题意得f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2,则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(-1)=-1,又∵e x-a+4e a-x≥2=4,∴f(x)-g(x)≥3,当且仅当时等号成立.故选A.8.A解析设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x1>0),则切线方程为y-ln x1=(x-x1),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,+2x2+a)(x2<0),则切线方程为y-(+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),所以有因为x2<0<x1,所以0<<2.又a=ln x1+-1=-ln-1,令t=,所以0<t<2,a=t2-t-ln t.设h(t)=t2-t-ln t(0<t<2),则h'(t)=t-1-<0,所以h(t)在区间(0,2)上为减函数,则h(t)>h(2)=-ln 2-1=ln,所以a∈.故选A.9.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f'(x)=0有两个不相等的实根,则Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.10.5解析f'(x)=3x2+2ax+3,由题意知x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,则3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5.11.(-2,0)∪(2,+∞)解析令g(x)=,则g'(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(-x)==g(x),则g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),则f(x)=xg(x)>0⇔解得x>2或-2<x<0.故不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).12.解析因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围是.13.14.①②③解析由f(1)+f(3)=2f(2)化简得b=-6a.f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-12ax+c,其对称轴为x=2,如果f(x)在区间(0,1)上递增,其关于x=2对称的区间为(3,4),故区间(3,4)也是其增区间,①正确.a[f(1)-f(3)]≥0,即2a(11a-c)≥0,导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的判别式144a2-12ac=12a(12a-c),当a>0时,12a-c>11a-c≥0,判别式为正数,当a<0时,11a-c≤0,12a-c≤a<0,其判别式为正数,即导函数有零点,根据二次函数的性质可知原函数有极值,②正确.注意到f'(2)=c-12a,则③转化为f'(2)=,即函数图象上任意两点连线的斜率和函数在x=2处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于x=2是导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的最小值点,即有且仅有一个最小值点,故③正确.15.解 (1)因为当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f'(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=当a<x<1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上单调递增.当-1<x<a时,由f'(x)=3x2-1,知①当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,在上递增,所以f(x)min=min=min=a-.②当a∈时,f(x)在上递增,在上递增,在(a,1)上递增,所以f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3.综上所述,f(x)min=16.解 (1)∵f'(x)=a=a ln x,令f'(x)>0,当a>0时,解得x>1;当a<0时,解得0<x<1,∴当a>0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(1,+∞);当a<0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(0,1).(2)①∵h(x)=g'(x)=x2-f'(x)=x2-a ln x,∴由题意得h(x)min≥0.∵h'(x)=x-,∴当x∈(0,)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)min=h()=a-a ln,由a-a ln≥0,得ln a≤1,解得0<a≤e.∴实数a的取值范围是(0,e].②由(1)知a=e时,h(x)=x2-eln x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,当x=时等号成立,∴x∈N*时,2eln x<x2,令x=1,2,3,…,n,累加可得2e(ln 1+ln 2+ln 3+…+ln n)<12+22+32+…+n2,即ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).。

2018大二轮高考总复习理数文档：解答题8 第1课时函数的单调性与导数、极值与最值、导数与不等式问题

第二单元高考压轴大题冲关解答题08：函数与导数2017 Ⅰ卷导数的运算，利用导数判定函数的单调性，求极值点、最值点，零点的存在性定理·T 211．解答题第21题压轴题一般考查利用导数研究函数的有关性质，年Ⅱ卷导数的运算及导数的应用，函数的单调性，函数的零点·T 21Ⅲ卷导数在解决函数单调性、函数与数列不等式的综合运用·T 21第一课时函数的单调性与导数、极值与最值、导数与不等式问题基本考点——函数的单调性与导数、极值与最值考向01：函数的导数与单调性(2017·宁夏大学附中二模)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数.阿凡题1083971(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．[思路点拨] (1)将a 的值代入，求导得f ′(1)，再求出f (1)的值，利用点斜式求出切线方程．(2)求导得 f ′(x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋ax (x ＋1)2. 依据a 的取值范围分类讨论f ′(x )取值的正负确定函数的单调性．【解】 (1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2(x ＋1)2. 可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0． (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a，由于x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，常需依据以下标准分类讨论：(1)二次项系数为0、为正、为负，目的是讨论开口方向； (2)判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解； (3)讨论两根差的正负，目的是比较根的大小；(4)讨论两根与定义域的关系，目的是根是否在定义域内．另外，需优先判断能否利用因式分解法求出根．考向02：函数的极值与最值问题(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e x cos x －x .阿凡题1083972(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．【解】 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0．又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0．所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2．含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论： (1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论； (3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论．1．(2016·北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4．(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)f (x )的定义域为R ．∵f ′(x )＝e a －x －x e a －x ＋b ＝(1－x )e a －x ＋b ．依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e ． (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x ，由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1．所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)，综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 2．(2017·日照二模)已知f (x )＝ax －ln x ，a ∈R ．(1)若f (x )在x ＝1处有极值，求f (x )的单调递增区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意知f ′(1)＝0，∴a －1＝0，∴a ＝1．经检验a ＝1，f (x )在x ＝1处有极值，所以f (x )＝x －ln x ，令f ′(x )＝1－1x ＞0，解得x ＞1或x ＜0，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，(x ∈(0，e])有最小值3． ①当a ≤0时，因为x ∈(0，e]，所以f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e(舍去)；②当0＜1a ＜e 时，f (x )在(0, 1a )上单调递减，在(1a ，e]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e 时，因为x ∈(0，e]，所以f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，e]上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3.解得a ＝4e，舍去．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3．常考热点——导数与不等式问题在高考压轴题中，函数与不等式的交汇是考查热点，常以含指数、对数函数为载体考查不等式的证明、比较大小、范围等问题，以及不等式的恒成立与能成立问题．考向01：利用导数证明不等式常见构造辅助函数的四种方法(1)直接构造法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )．(2)构造“形似”函数：稍作变形后构造．对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．(4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f (x )和g (x )，利用其最值求解．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .阿凡题1083973(1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＜0时，证明f (x )≤－34a－2． (1)【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x ．若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0．故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)【证明】由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a．所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0．设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x －1．当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0．所以当x ＞0时，g (x )≤0．从而当a ＜0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2．(1)证明f (x )≥g (x )或f (x )≤g (x )，可通过构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，将上述不等式转化为求证h (x )≥0或h (x )≤0，从而利用求h (x )的最小值或最大值来证明不等式．或者，利用f (x )min ≥g (x )max 或f (x )max ≤g (x )min 来证明不等式．(2)在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式，再进行证明．考向02：利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a 即可；f (x )≤a 恒成立，只需f (x )max ≤a 即可．(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x ．(1)若f (x )≥0，求a 的值；阿凡题1083974(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，1＋121＋122·…·1＋12n <m ，求m 的最小值．【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f 12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意．②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0．所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1．(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0．令x ＝1＋12n ，得ln1＋12n <12n ，从而ln1＋12＋ln1＋122＋…＋ln1＋12n<12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1．故1＋121＋122·…·1＋12n <e ．而1＋121＋1221＋123>2，所以m 的最小值为3．(1)利用最值法解决恒成立问题的基本思路是：先找到准确范围，再说明“此范围之外”不适合题意(着眼于“恒”字，寻找反例即可)．(2)对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．考向03：利用导数解决能成立问题不等式的恒成立与能成立问题(1)f (x )＞g (x )对一切x ∈[a ，b ]恒成立⇔[a ，b ]是f (x )＞g (x )的解集的子集⇔[f (x )－g (x )]min＞0(x ∈[a ，b ])．(2)f (x )＞g (x )对x ∈[a ，b ]能成立⇔[a ，b ]与f (x )＞g (x )的解集的交集不是空集⇔[f (x )－g (x )]max ＞0(x ∈[a ，b ])．(3)对∀x 1，x 2∈[a ，b ]使得f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x )max ≤g (x )min ．(4)对∀x 1∈[a ，b ]，∃x 2∈[a ，b ]使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x )min ≥g (x )min ．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x .阿凡题1083975(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)(x －a )x 2．①若a ≤1，当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，则f (x )在[1，e]上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－a ． ②若1＜a ＜e ，当x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数；当x ∈[a ，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数．所以f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)ln a －1．③若a ≥e ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a e．综上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae．(2)由题意知：f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)知f (x )在[e ，e 2]上单调递增，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae .g ′(x )＝(1－e x )x ．当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数， g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae＜1，即a ＞e 2－2e e ＋1，所以a 的取值范围为(e 2－2e e ＋1， 1) ．存在性问题和恒成立问题的区别与联系存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系：若g (x )≤m 恒成立，则g (x )max ≤m ；若g (x )≥m 恒成立，则g (x )min ≥m ；若g (x )≤m 有解，则g (x )min ≤m ；若g (x )≥m 有解，则g (x )max ≥m ．1．(2017·马鞍山三模)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －(x －a )2(a ∈R )． (1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围； (2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，求证：x 1＋x 2＞54．解：(1)由已知f ′(x )＝ln x ＋x －1x －2(x －a )＝ln x －1x－2x ＋1＋2a ≤0恒成立，令g (x )＝ln x －1x－2x ＋1＋2a ，则g ′(x )＝1x ＋1x 2－2＝－2x 2＋x ＋1x 2＝－(2x ＋1)(x －1)x 2(x ＞0)，－(2x ＋1)＜0，令g ′(x )＞0，解得：0＜x ＜1，令g ′(x )＜0，解得：x ＞1，故g (x )在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝2a －2， ∴由f ′(x )≤0恒成立可得a ≤1．即当f (x )在(0，＋∞)上单调递减时，a 的取值范围是(－∞，1]． (2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，不妨设0＜x 1＜x 2．由(1)可知a ≤1，且f ′(x 1)＝ln x 1－1x 1－2x 1＋1＋2a ①，f ′(x 2)＝ln x 2－1x 2－2x 2＋1＋2a②，由①－②得：lnx 1x 2＋x 1－x 2x 1x 2－2(x 1－x 2)＝0， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1x 1x 2－2＝－ln x1x 2＞0， ∴1x 1x 2＜2，即x 1x 2＞12＞1e，由①＋②得：ln(x 1x 2)＋2－x 1＋x 2x 1x 2－2(x 1x 2)＋4a ＝0，∴x 1＋x 2＝ln (x 1x 2)＋2＋4a 1x 1x 2＋2＞－1＋2＋42＋2＝54．2．设函数f (x )＝1－x 2＋ln(x ＋1)． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若不等式f (x )＞kxx ＋1－x 2(k ∈N *)在(0，＋∞)上恒成立，求k 的最大值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋1－2x ，由f ′(x )＞0，得－1＜x ＜3－12；由f ′(x )＜0，得x ＞3－12．所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1， 3－12，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，＋∞． (2)法一：由已知f (x )＞kxx ＋1－x 2在(0，＋∞)上恒成立，得k ＜(x ＋1)[1＋ln (x ＋1)]x(x ＞0)，令g (x )＝(x ＋1)[1＋ln (x ＋1)]x (x ＞0)，则g ′(x )＝x －1－ln (x ＋1)x 2，设h (x )＝x －1－ln(x ＋1)(x ＞0)，则h ′(x )＝1－1x ＋1＝xx ＋1＞0，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．而h (2)＝1－ln 3＜0，h (3)＝2－ln 4＞0，由零点存在定理，知存在x 0∈(2,3)，使得h (x 0)＝0，即1＋ln(x 0＋1)＝x 0，又函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜h (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞h (x 0)＝0．从而当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＝h (x )x 2＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )x 2＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (x 0)＝(x 0＋1)[1＋ln (x 0＋1)]x 0＝x 0＋1．因此f (x )＞kxx ＋1－x 2在(0，＋∞)上恒成立等价于k ＜g (x )min ＝x 0＋1．由x 0∈(2,3)，知x 0＋1∈(3,4)，所以k 的最大值为3．法二：由题意，1＋ln(x ＋1)＞kxx ＋1在(0，＋∞)上恒成立．设g (x )＝1＋ln(x ＋1)－kxx ＋1(x ＞0)，则g ′(x )＝1x ＋1－k(x ＋1)2＝x －(k －1)(x ＋1)2， (ⅰ)当k ＝1时，则g ′(x )＝x(x ＋1)2＞0，所以g (x )单调递增，g (0)＝1＞0，即g (x )＞0恒成立．(ⅱ)当k ＞1时，则g (x )在(0，k －1)上单调递减，在(k －1，＋∞)上单调递增，所以g (x )的最小值为g (k －1)，只需g (k －1)＞0即可，即ln k －k ＋2＞0．设h (k )＝ln k －k ＋2(k ＞1)，h ′(k )＝1－kk＜0，则h (k )单调递减，因为h (2)＝ln 2＞0，h (3)＝ln 3－1＞0，h (4)＝ln 4－2＜0，所以k 的最大值为3． 3．已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3． (1)求实数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k ＜f (x )x －1对任意x ＞1恒成立，求k 的最大值．解：(1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1．因为函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3，所以f ′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1． (2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，又k ＜f (x )x －1＝x ＋x ln x x －1对任意x ＞1恒成立，令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，令h (x )＝x －ln x －2(x ＞1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x＞0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因为h (3)＝1－ln 3＜0，h (4)＝2－2ln 2＞0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)．当1＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0；当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0，所以k ＜[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)，故整数k 的最大值是3．1．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝x ln x ． (1)求函数f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f (x )－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值．解：(1)因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，令f ′(x )≥0，即ln x ≥－1＝ln e －1，所以x ≥e －1＝1e ，所以x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞．同理令f ′(x )≤0，可得x ∈⎝⎛⎦⎤0， 1e ．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0， 1e .由此可知 f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e．(2)F ′(x )＝x ＋ax2，当a ≥0时，F ′(x )＞0，F (x )在[1，e]上单调递增， F (x )min ＝F (1)＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．当a ＜0时，F (x )在(0，－a )上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增． ①当a ∈(－1,0)，F (x )在[1，e]上单调递增， F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1,0)，舍去．②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e)，F (x )在[1， e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述a ＝－e ．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (a 为常数)． (1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值； (2)当0＜a ≤2时，试判断f (x )的单调性；(3)若对任意的a ∈(1,2)，x 0∈[1,2]，不等式f (x 0)＞m ln a 恒成立，求实数m 的取值范围．解：f ′(x )＝1x＋2x －a ．(1)由已知得：f ′(1)＝0，所以1＋2－a ＝0，所以a ＝3． (2)当0＜a ≤2时，f ′(x )＝1x＋2x －a ＝2x 2－ax ＋1x＝2⎝⎛⎭⎫x －a 42＋1－a 28x．因为0＜a ≤2，所以1－a 28＞0，而x ＞0，即f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)当a ∈(1,2)时，由(2)知，f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝1－a ，故问题等价于：对任意的a ∈(1,2)，不等式1－a ＞m ln a 恒成立，即m ＜1－aln a 恒成立．记g (a )＝1－a ln a (1＜a ＜2)，则g ′(a )＝－a ln a －1＋aa ln 2a ．令M (a )＝－a ln a －1＋a ，则M ′(a )＝－ln a ＜0，所以M (a )在(1,2)上单调递减，所以M (a )＜M (1)＝0，故g ′(a )＜0，所以g (a )＝1－aln a 在a ∈(1,2)上单调递减，所以m ≤g (2)＝1－2ln 2＝－log 2e ，即实数m 的取值范围为(－∞，－log 2e]．3．(2017·邯郸二模)已知函数f (x )＝ax －ln x ，F (x )＝e x ＋ax ，其中x ＞0，a ＜0．(1)若f (x )和F (x )在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；(2)若a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－1e 2，且函数g (x )＝x e ax －1－2ax ＋f (x )的最小值为M ，求M 的最小值．解：(1)求导，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，F ′(x )＝e x ＋a ，x ＞0，a ＜0，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，当－1≤a ＜0时，F ′(x )＞0，即F (x )在(0，＋∞)上单调递增，不合题意；当a ＜－1时，由F ′(x )＞0，得x ＞ln(－a )，由F ′(x )＜0，得0＜x ＜ln(－a )， ∴F (x )的单调减区间为(0，ln(－a ))，单调增区间为(ln(－a )，＋∞)． ∵f (x )和F (x )在区间(0，ln 3)上具有相同的单调性， ∴ln(－a )≥ln 3，解得a ≤－3，综上，a 的取值范围是(－∞，－3]； (2)g ′(x )＝e ax －1＋ax e ax －1－a －1x＝(ax ＋1)(e ax －1－1x)，令e ax －1－1x ＝0，解得：a ＝1－ln x x ，设p (x )＝1－ln xx ，则p ′(x )＝ln x －2x 2，当x ＞e 2时，p ′(x )＞0，当0＜x ＜e 2，p ′(x )＜0，从而p (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增， p (x )min ＝p (e 2)＝－1e2，当a ≤－1e 2，a ≤1－ln x x ，即e ax －1－1x≤0，在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，ax ＋1＞0，g ′(x )≤0，g (x )单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上，ax ＋1＜0，g ′(x )≥0，g (x )单调递增， ∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－1a ＝M ，设t ＝－1a ∈(0，e 2]，M ＝h (t )＝te 2－ln t ＋1，(0＜t ≤e 2)，h ′(t )＝1e 2－1t ≤0，h (t )在(0，e 2]上单调递减，∴h (t )≥h (e 2)＝0， ∴M 的最小值为0．4．(2017·梅州一模)已知函数f (x )＝a ln x －x －ax ＋2a (其中a 为常数，a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，是否存在实数a ，使得当x ∈[1，e]时，不等式f (x )＞0恒成立？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，说明理由(其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…)．解：(1)由于f (x )＝a ln x －x －ax ＋2a ，(x ＞0)，f ′(x )＝－x 2＋ax ＋ax 2，①a ≤0时，f ′(x )＜0恒成立，于是f (x )的递减区间是(0，＋∞)， ②a ＞0时，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜a ＋a 2＋4a2，令f ′(x )＜0，解得x ＞a ＋a 2＋4a2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋a 2＋4a 2递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋4a 2，＋∞递减；(2)a ＞0时，①若a ＋a 2＋4a 2≤1，即0＜a ≤12，此时f (x )在[1，e]递减，f (x )min ＝f (e)＝3a －e －ae ＝⎝⎛⎭⎫3－1e a －e ≤⎝⎛⎭⎫3－1e ×12－e ＜0， ∵f (x )＞0恒成立，∴不合题意，②若a ＋a 2＋4a 2＞1，a ＋a 2＋4a 2＜e ，即12＜a ＜e 2e ＋1时，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a ＋a 2＋4a 2递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋4a 2，e 递减，要使在[1，e]恒有f (x )＞0恒成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＞0f (e )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞03a －e －ae＞0，解得：a ＞e 23e －1综上可得：e 23e －1＜a ＜e 2e ＋1；③若a ＋a 2＋4a 2≥e ，即a ≥e 2e ＋1时，f (x )在[1，e]递增，令f (x )min ＝f (1)＝a －1＞0，解得a ≥e 2e ＋1，综上，存在实数a ∈⎝⎛⎭⎫e23e －1，＋∞，使得f (x )＞0恒成立．5．(2017·新乡二模)已知函数f (x )＝2ln x －3x 2－11x ． (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若关于x 的不等式f (x )≤(a －3)x 2＋(2a －13)x －2恒成立，求整数a 的最小值；(3)若正实数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＋4(x 21＋x 22)＋12(x 1＋x 2)＝4，证明：x 1＋x 2≥2．解：(1)∵f ′(x )＝2x －6x －11，f ′(1)＝－15，f (1)＝－14，∴切线方程是：y ＋14＝－15(x －1)，即y ＝－15x ＋1；(2)令g (x )＝f (x )－(a －3)x 2－(2a －13)x ＋2＝2ln x －ax 2＋(2－2a )x ＋2， ∴g ′(x )＝2x －2ax ＋(2－2a )＝－2ax 2＋(2－2a )x ＋2x ，a ≤0时，∵x ＞0，∴g ′(x )＞0，g (x )在(0，＋∞)递增， ∵g (1)＝－a ＋2－2a ＋2＝－3a ＋4＞0，∴关于x 的不等式f (x )≤(a －3)x 2＋(2a －13)x －2不能恒成立， a ＞0时，g ′(x )＝－2a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)x ，令g ′(x )＝0，得x ＝1a，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )＜0，故函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞递减，故函数g (x )的最大值是g ⎝⎛⎭⎫1a ＝2ln 1a ＋1a ＝1a －2ln a ≤0，令h (a )＝1a －2ln a ，则h (a )在(0，＋∞)递减，∵h (1)＝1＞0，h (2)＝12－2ln 2＜12－2ln e ＜0，∴a ≥2时，h (a )＜0，故整数a 的最小值是2；(3)证明：由f (x 1)＋f (x 2)＋4(x 21＋x 22)＋12(x 1＋x 2)＝4，得2ln(x 1x 2)＋(x 21＋x 22)＋(x 1＋x 2)＝4，从而(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)＝2x 1x 2－2ln(x 1x 2)＋4，令t ＝x 1·x 2，则由φ(t )＝2t －2ln t ＋4，得φ′(t )＝2(t －1)t ，可知φ(t )在区间(0,1)递减，在(1，＋∞)递增，故φ(t )≥φ(1)＝6， ∴(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)≥6，又x 1＋x 2＞0，故x 1＋x 2≥2成立．6．(2017·芜湖二模)已知函数f (x )＝2ln x ＋x 2－2ax (a ＞0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，且f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2(x 2－ax ＋1)x ，令x 2－ax ＋1＝0，则Δ＝a 2－4，①0＜a ≤2时，Δ≤0，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)递增；②a ＞2时，Δ＞0，方程x 2－ax ＋1＝0有两根 x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42，且0＜x 1＜x 2，函数f (x )在(0，x 1)上，f ′(x )＞0，在(x 1，x 2)上，f ′(x )＜0，在(x 2，＋∞)上，f ′(x )＞0，故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞递增；(2)由(1)得f (x )在(x 1，x 2)上递减，x 1＋x 2＝a ，x 1·x 2＝1，则f (x 1)－f (x 2)＝2lnx 1x 2＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2a )＝2ln x 1x 2＋x 2x 1－x 1x 2，令t ＝x 1x 2，则0＜t ＜1，f (x 1)－f (x 2)＝2ln t ＋1t －t ，令g (t )＝2ln t ＋1t －t ，则g ′(t )＝－(t －1)2t ＜0，故g (t )在(0,1)递减且g ⎝⎛⎭⎫12＝32－2ln 2，故g (t )＝f (x 1)－f (x 2)≥32－2ln 2＝g ⎝⎛⎭⎫12，即0＜t ≤12，而a 2＝(x 1＋x 2)2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝t ＋1t ＋2，其中0＜t ≤12，∵⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2′＝1－1t 2＜0在t ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，故a 2＝t ＋1t ＋2在⎝⎛⎦⎤0，12递减，从而a 的范围是a 2≥92，故a ≥322．。

新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.1利用导数探求参数的范围问题测试卷文2018012921

难点 2.1 利用导数探求参数的范围问题（一）选择题（12*5=60分） 1.已知函数 f (x ) x 2e x ，当 x [1,1]时，不等式 f (x ) m 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）1 A ．[ ,)eB ． (e ,)C ．[e ,)D ． (e ,)【答案】D2.设函数x3 1 f xex ax a ，其中 a1，若有且只有一个整数x 使得 fx，则 a的取值范围是（）2 3 A. ，B. e 4 2 3 2 ，C.，1 D. e 4e2， 1 e【答案】D【解析】设 g x e 3x 1， h x ax a ，则 '3 2g xe xx ，∴xx2，，3g x ， g x单调递减； ' 0x 2，， g 'x 0 ， g x单调递增，所以 32x 处取32得最小值 3e，所以 g1 ah0， g 1 h 12e 0 ，直线 hxax a 恒过定 3 点1 ，0且斜率为 a ，所以1 1 4e2 0g ha，∴ e， 1 2ea 而 a1，∴ a 的取值范围 23.若 f (x ) x 3 ax 2 1在 (1,3)内单调递减，则实数 a 的范围是（）A．(,3] B．[9 ,) C．(3, 9)2 2 D ．0, 3【答案】B【解析】因为函数f(x ) x 3 ax 2 1在(1,3)内单调递减，所以f x x 2 ax ，在' 3 2 03(1,3)内恒成立，即a x 在1, 3内恒成立，因为2 3 x 9 所以9, a ，故选B.2 2 24.设函数f x在R上存在导函数f 'x，对任意的实数x都有f x 4x f x，当211 3x ,0时， fxx .若'4 f m 1fm3m ,则实数 m 的取值范围是 22（）1 A., 2B.3 , 2C.1, D.2,【答案】A1【解析】令 F (x )f (x ) 2x 2 ,则F / (x )f / (x ) 4x,故函数 F (x )f (x ) 2x 22在x ,0上单调递减;因( ) ( ) ( ) ( ) 4 0F x F x f x f x x 2 ,即 F (x) F (x ) ,3故 F (x )f (x ) 2x 2 是奇函数,则不等式f m 1fm3m 可化为 2 1F.,故函数的单调性可得 m 1m ,即(m 1) F ( m )m,故应选 A.25. 【2018山西山大附中四调】已知 fx 是函数 fx的导函数，且对任意的实数x 都有 fxe 2x3fx（e 是自然对数的底数）， f1，若不等式 fxk0的解x集中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围是（）A.1 ,0eB.1 ,0eC.1 ,0 e2D.1 ,0 e2【答案】C26. 【四川省绵阳市2018届一诊】若存在实数x，使得关于x的不等式2e ax9+x2﹣12ax+a2≤（其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）101 1 1 1A. { }B. [ ，+∞）C. { }D. [ ，+∞）9 9 10 10【答案】C7.已知函数2ln x x m2f xx，若存在x1, 2使得f 'x A x fx0，实数m的取值范围是（）5 A.,2 B.2,25C.0,25D.,2【答案】D【解析】令F(x ) xf(x) ,则F/ (x ) f(x ) xf/ (x) ,由f 'x A x fx0可知F,即函数F(x ) xf(x ) 2ln x (x m)2 是单调递增函数,所以存在x1, 2使/ (x) 02 1得F/ (x ) 2(x m ) 0 成立,即m x ,因此问题转化为mx x1 5 5上的最大值问题.因h max (x ) 2 ,故m ,故应选D.2 2 21h(x ) x 在[1, 2]x8. 【安徽省淮南市2018届第四次联考】已知函数f x ln x a sin x在区间,6 4上是单3调增函数，则实数a的取值范围为()A. 4 3, B. 4 2,C. 4 2 4 3,D. 4 2,【答案】B9.若关于x的不等式xe x ax a 0 的解集为m,n n0，且m,n中只有一个整数，则实数a的取值范围是（）A．2 1,3e2e22 1B．,3e2e22 1C．,3ee22 1D．,3e e2【答案】B【解析】xe x ax a 0 可化为xe a x 1，令,1xf x xe xg x a x，显然a 0 ，函数g x a x 1过定点C 1, 0，令f' x x 1 e x 0, x0 ，所以在,1，f x 单调递减，在1,，f x单调递增，f x在x 1处取得极小值，画图象下图所示，由图可知，当直线g x a x 1介于AC, BC之间时，符合题意1xe x a x 的解集为m,n n 0，且m,n中只有一个整数解.12A1, , B 2,ee2，所以41 221k,k，所以a,.ACBC222e 3e3e 2e10. 【浙江省杭州市 2018届质量监测】对于函数 f x 和 g x，设{x R | f x 0}，，若存在, ，使得1，则称 f x与g x互为“情侣函{x R | g x 0}数”．若函数 fx ex 与 gx ax ln x 互为“情侣函数”，则实数 a 的取值范围为x 23（）A. ln3 1,3 eB. ln30,3C. 1 0,eD.1 1, e【答案】C11.已知函数 f x x sin x xR ，且f y 22y 3f x 24x10，则当 y1时，y x1的取值范围是（）．1 3 ,A ．4 41 ,1 B ．4C ．1,3 2 31D ．, 3【答案】A 【解析】 fx x sin x 为奇函数，且 fx 1 cos x 0，即为增函数，所以f y 22y 3 f x 2 4x10 f y 22y3f x 24x1f y 22y3f x 24x 15。

难点2-1 利用导数探求参数的范围问题测试卷-备战2018

（一）选择题（12*5=60分）1.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因,故当时,,函数单调递减；故当时,,函数单调递增,且,故,则,故应选D．2.设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D3.若在内单调递减，则实数的范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在内单调递减，所以，在内恒成立，即在内恒成立，因为所以，故选B4.设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若,则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A5. 【2018山西山大附中四调】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，即解，构造函数，可令：，所以，由，得：，由，得：得出解为，其中恰有两个整数，所以时成立，排除A、D.当，则，，得：函数在上递减，上递增，此时的解集至少包括，所以不合题意，故不能取，排除B，本题选C.6. 【四川省绵阳市2018届一诊】若存在实数x，使得关于x的不等式 +x2﹣2ax+a2≤（其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）A. {}B. [，+∞）C. {}D. [，+∞）【答案】C7.已知函数，若存在使得，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令,则,由可知,即函数是单调递增函数,所以存在使得成立,即,因此问题转化为在上的最大值问题.因,故,故应选D.8. 【安徽省淮南市2018届第四次联考】已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B9.若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】可化为，令，显然，函数过定点，令，所以在，单调递减，在，单调递增，在处取得极小值，画图象下图所示，由图可知，当直线介于之间时，符合题意的解集为，且中只有一个整数解.，所以，所以.10. 【浙江省杭州市2018届质量监测】对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“情侣函数”．若函数与互为“情侣函数”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C11.已知函数，且，则当时，的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】为奇函数，且，即为增函数，所以，当时，表示上半实心圆，所以的取值范围是，其中，由圆心到直线距离等于半径1得因此的取值范围是，选A.12.已知关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．B． C．D．【答案】A（二）填空题（4*5=20分）13.函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，得，故存在切点，使得，所以有解．由于，所以（当且仅当取等号），即．14.已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】因为,所以问题转化为函数在上有零点,即在上有解,由于函数在单调递减,故,即，应填答案.15. 【吉林省实验中学2018届一模】对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为__________.【答案】16. 【2018安徽阜阳一中二模】已知，若关于的方程恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴当或时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，可作出大致函数图象如图所示：令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解，∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根，∴关于的方程在和上各有一解，∴，解得，故答案为（三）解答题（4*12=48分）17.已知函数，为自然对数的底数.(Ⅰ)当时，试求的单调区间；(Ⅱ)若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围.18.设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围19. 【江西省抚州市2018届质量检测（二）】已知函数，其中为自然对数的底数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）依题意，，，故，而，故所求方程为，即．（2），依题意，当时，，即当时，；设，则，设，则．①当时，∵，∴，从而（当且仅当时，等号成立），∴在上单调递增，又∵，∴当时，，从而当时，，∴在上单调递减，又∵，从而当时，，即，于是当时，；②当时，令，得，∴，故当时，，∴在上单调递减，又∵，∴当时，，从而当时，，∴在上单调递增，又∵，从而当时，，即，于是当时，，不符合题意．综上所述，实数的取值范围为．20. 【河南省郑州市2018届第一次质量检测】已知函数，在处的切线与轴平行.（1）求的单调区间；（2）若存在，当时，恒有成立，求的取值范围.。

2018届高考数学(理)二轮复习命题热点课件专题 2.3.2 利用导数解不等式及参数的取值范围

1 1
时,h'(x)>0.
1 1
所以 h(x)在区间 0, 2 内单调递减,在区间 2 , + ∞ 内单调递增. 又 h(e-2)>0,h 2 <0,h(1)=0,所以 h(x)在区间 0, 2 内有唯一零点 x0,在区间 2 , + ∞ 内有唯一零点 1,且当 x∈(0,x0)时,h(x)>0;当 x∈ (x0,1)时,h(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)>0.
1 �� 1
高频考点命题热点一命题热点二命题热点三
-3-
(2)证明:由(1)知 f(x)=x2-x-xln x,f'(x)=2x-2-ln x. 设 h(x)=2x-2-ln x,则当 x∈
1 0, 2 1 h'(x)=2-��. 1 ,+∞ 2
时,h'(x)<0;当 x∈
a≥3.
-��- ��2 -3�� 3 -��+ ��2 -3�� 3
当 a=3 时,f'(x)>0(x≠-1),故 f(x)在 R 上是增函数,f(x)没有极值; 当 a>3 时,f'(x)=0 有两个相异的实根 x1= ,x2= .
高频考点命题热点一命题热点二命题热点三
设 g(x)=ax-a-ln x,则 f(x)=xg(x),f(x)≥0 等价于 g(x)≥0. 因为 g(1)=0,g(x)≥0,故 g'(1)=0,而 g'(x)=a-��,g'(1)=a-1,得 a=1. 若 a=1,则 g'(x)=1- .当 0<x<1 时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当 x>1 时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以 x=1 是 g(x)的极小值点,故 g(x)≥g(1)=0. 综上,a=1.

利用导数研究函数的单调性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向15 利用导数研究函数的单调性【2022年新高考全国Ⅰ卷】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>1．求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值．【提醒】()f x 为增函数的充要条件是对任意的,()x a b ∈都有()0f x '≥且在(),a b 内的任意一个非空子区间上()0f x '≠.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知0.02e a =， 1.02b =，ln2.02c =，则（） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．a c b >>D ．b a c >>2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()02,B ．[)0,1C ．()0,∞+D ．()2,+∞3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f xf x ->-的解集为（）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若函数()321f x x x ax =++-在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A ．13a ≥ B ．13a ≤C ．13a >D ．13a <1．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数()f x 的定义域为D ，如果[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则称函数()f x 在[],m n 上为“等域函数”，若定义域为21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数()xg x a =（0a >，1a ≠）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（） A ．221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 1,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．221e e e ,e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．221e ee ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知1333,e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（） A ．a b c <>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））定义在R 上的可导函数()f x 满足()2f x '<，若()()1262f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立，则下列不等式成立的（） A ππ264f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ336f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ3243⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 2ππ334f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是（） A ．ln()1a b +> B ．ln()0-<a b C ．122a b +<D ．3222a b +<8．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（） A ．()()20212022f ef C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()t f x e f x t <+10．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()()1e x f x a x a =--∈R ，()ln e k x x =-，e 为自然对数的底数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当1x >时，不等式()()f x k x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ()221f x ax x a =-+- ( a 为实常数).(1)设 ()f x 在区间 []1,2 上的最小值为 ()g a ，求 ()g a 的表达式; (2)设 ()()f x h x x=，若函数 ()h x 在区间[]1,2上是增函数，求实数a 的取值范围.13．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2ln f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； (2)若()()()e xg x f x ax -=+⋅在区间()01，内是单调函数，求实数a 的取值范围．14．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()ln 13f x a x x =+-． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a =时，方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解．15．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)当0a <时，求函数()f x 在区间[1,e] 上的最小值．16．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =，讨论函数()()e x g x f x =的单调性； (2)当0x ≤时，()()211g x x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.17．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数e ()axf x x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若对任意[)1,x ∈+∞，都有1()ef x >成立，求实数a 的取值范围.18．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.1．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·北京·高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．4．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+++>++++．5．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.7．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．8．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．9．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.10．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．11．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．。

2018 年高考数学（理科二卷）导数解答题解题研究及教学建议

强的训练，学生通过解题，总结解题方法，注意通性通法，做一题，得一法，通一类，提高学生解决问题能力。

应用中及时反馈，及时纠正，再针对性复习，有效提高复习教学效率。

三、及时掌握复习反馈与纠正，进行针对性复习与强化训练学生复习回顾知识，然后投影展示，点评表扬优点，及时让学生自己发现并纠正错误，很好地理解和掌握数学基础知识和思想方法；强化训练时，要求学生在独立思考基础上，与同伴交流，尝试解题，巡视指导，学生有足够的时间和空间去解决问题，充分调动学生学习的积极性，让学生板演，及时发现问题，及时纠正，点评表扬优点；考试要求认真解答。

讲评题时，要注重引导学生分析条件，有效寻求涉及的知识和方法，清楚试题考查什么知识点，解题突破口在哪里，解答时需要注意什么，有哪些解法，哪些最佳解题途径等问题。

这样，充分调动学生学习的积极性与主动性。

应用知识强化测试，认真分析各题的错误率，找出错误的症结，对错误率比较高的题目和典型的问题要重点评，特别是数学知识与思想方法的讲评，强调规范解答，及时有效帮助学生分析总结错误，进行针对性复习与强化训练，有效提高解题能力。

如学生解决离散型随机变量的均值与方差问题时，容易写出变量的可能取值，会写出均值和方差公式，但不容易求出相应的概率，以致出错，针对这类情况，教师要重点引导学生分析概率问题的类型，弄清它们的特点，熟练掌握各种概率分布的公式，注意与排列、组合知识联系，注意基本思想方法，熟练求解离散型随机变量的分布列、均值和方差，熟练地将实际问题转化为概率问题，准确得出相应的概率，解决均值和方差的问题，同时进行针对性训练。

对出错多的问题有针对性训练，如学生解答题时往往是因缺少严密的推理步骤，不准确的计算等造成丢分，及时进行针对性训练；对解答不够规范的及时让学生自己纠正，规范解答；对学困生给予较多指导，多鼓励。

及时掌握复习反馈与纠正，进行针对性复习与强化训练，有效提高复习教学效率。

2018年高考数学（理科二卷）导数解答题解题研究及教学建议【摘要】高考是高中教学课堂教学的风向标，能否答好高考题也是学生综合能力的体现。

难点2.1利用导数探求参数的范围问题-备战2018高考高三二轮理数一本过精品(新课标版)(解析版)

在上的最大值，则问题等价于对对任意
，不等式
调性，即可求出
的取值范围 .
成立，然后构造新函数
，再对
求导，然后讨论，得出
的单
点评：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题 .在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会 .学科 & 网 2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题
型和相应的对策加以总结 .
1. 与函数零点有关的参数范围问题
函数 f ( x) 的零点，即 f ( x) 0 的根，亦即函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范
围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其
图象与 x 轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围．
k 的取值范围，或者切斜角范围问题．
例 2.已知函数 f x
x
2
e ax bx .
（ 1）当 a 0 ，b 1时，求 f x 的单调区间；
（ 2）设函数 f x 在点 P t ，f t 0 t 1 处的切线为 l ，直线 l 与 y 轴相交于点 Q ，若点 Q 的纵坐标恒小
于 1，求实数 a 的取值范围 . 思路分析：（Ⅰ）先明确函数定义域，再求函数导数
例 1【 2018 安徽阜阳一中二模】已知函数
（ 1）当
在
处取得极值时，若关于的方程
求实数的取值范围 .
为常数，

2018年全国高考II卷理科数学试题及答案

绝密★启用前2018年一般高等学校招生全国统一考试理科数学留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.点睛：本题考察复数除法法则，考察学生根本运算实力.2. 已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考察集合与元素关系，点与圆位置关系，考察学生对概念理解与识别.3. 函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】分析：通过探讨函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，推断图象左右的位置，由函数的值域，推断图象的上下位置；②由函数的单调性，推断图象的改变趋势；③由函数的奇偶性，推断图象的对称性；④由函数的周期性，推断图象的循环往复．4. 已知向量，满意，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.6. 在中，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就须要根据正、余弦定理结合已知条件敏捷转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.7. 为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最终再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最终再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图探讨的数学问题，是求和还是求项.8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的探讨中获得了世界领先的成果．哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最终根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中根本领件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：合适于较为困难的问题中的根本领件的探求.对于根本领件有“有序”与“无序”区分的题目，常采纳树状图法. (3)列表法：适用于多元素根本领件的求解问题，通过列表把困难的题目简洁化、抽象的题目详细化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，精确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.10. 若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值详解：因为，所以由得因此，从而的最大值为，选A.点睛：函数的性质：(1). (2)周期 (3)由求对称轴， (4)由求增区间;由求减区间.11. 已知是定义域为的奇函数，满意．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省2018届高三下学期第二次调研考试数学(理)试卷(含答案)

2018届河北省普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研考试数学（理）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U= {小于7的正整数)，{}{}21257100,,A B x x x x N ==-+≤∈，，，则 ()U A C B ⋂=A.{}1B. {}2C. {}12，D. {}125，，2．设复数12z i =+(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为A ．()3,2-B ．(5，4)C ．(－3，4)D ．(3，4)3．设a R ∈，则“3a >”是“函数()log 1a y x =-在定义域内为增函数”的A ．充分不必要条件B.必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()201821n n S a n N a *=-∈=，则A. 20162B. 20172C. 20182D. 201925．已知双曲()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点，当2AB CD =时，双曲线的离心率为A ．2BCD 6．已知随机变量X 服从正态分布()()3,1240.6826N X ≤≤=，且P ，则()4P X >= A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D. 0.158 57．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．4π+B ．24π++C ．22π++D ． D ．24π++8．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是A ．()c a f x dx ⎰ B ．()c a f x dx ⎰ C ．()()bc a b f x dx f x dx +⎰⎰ D ．()()c bb a f x dx f x dx -⎰⎰ 9.执行如图所示的程序框图，令()y f x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围是A. ()(],22,5-∞⋃B. ()(),11,-∞-⋃+∞C. ()(),22,-∞⋃+∞D. ()(],11,5-∞-⋃10.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移12π个单位长度后，所得图像与函数()y g x =的图像重合，则 A. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()2sin 2g x x =D. ()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的向左、右焦点分别为12F F P ，，是椭圆上一点，12PF F ∆是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120PF F <∠<o o ，则该椭圆的离心率的取值范围是A. 1⎫⎪⎪⎝⎭B. 12⎫⎪⎪⎝⎭，C. 112⎛⎫⎪⎝⎭， D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12.已知在数列{}()112,1,n n n n a a n a a a n N *+=-=+∈中，，若对于任意的[]2,2a ∈-，n N *∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为 A. (][),22,-∞-⋃+∞B. (][),21,-∞-⋃+∞C. (][),12,-∞-⋃+∞D. []2,2- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()()1,,3,1,1,2a b c λ===，若向量2a b c -与共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为___________.14.若不等式组0,0,260,0x y x y x y m ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≤⎪⎪-+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域，则实数m 的取值范围是___________.15.在三棱锥A BCD ABC BCD -∆∆中，与都是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为，则ABC ∆的边长为__________.16.若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线()ln 2y x =+的切线，则实数b=__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为5,,,cos cos 3a b c c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求cos B 的值；（2）若2,cos a C ABC ==∆的外接圆的半径R.18.（12分）如图，在四棱锥222=P ABCD PA PD AD CD BC ADC -=====∠中，，且=90BCD ∠o .（1）当PB=2时，证明：平面PAD ⊥平面ABCD.（2）当四棱锥P ABCD -的体积为34，且二面角P AD B --为钝角时，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.19.（12分）一只药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：℃）有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表所示.经计算得()()()26666111111=26,33,55766i i i i i i i i i i x x y y x x x y y x x =======--=-∑∑∑∑， 84=，()6213930i i y y=-=∑，线性回归模型的残差平方和$()621236.64,i i i y y =-=∑8.06053167e ≈，其中,i i x y 分别为观测数据中的温度和产卵数，1,2,3,4,5,6.i =（1）若用线性回归模型，求y x 与的回归方程y bx a =+（结果精确到0.1）.（2）若用非线性回归模型预测当温度为35℃时，该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()$$()()2121122111,;1n n i i i i i n n i i i x xy y y y b a y bx R xx y y ====---==-=--∑∑∑∑$$.20.（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:12x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点.（1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值.（2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=u u u r ，且22854HA HB +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()()2ln ,3x f x x x g x x ax e ==-+-（a 为实数）.（1）当5a =时，求函数()g x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求()f x 在区间[](),20t t t +>上的最小值；（3）若存在两个不等实数121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使方程()()2x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a .（1）求a 的值；（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14233y m n m n=+++的最小值.。

导数的概念及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向14 导数的概念及应用【2022·全国·高考真题】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【2022·全国·高考真题】若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．1．在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2．过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．一、导数的概念和几何性质1．概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2．几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3．物理意义函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．二、导数的运算 1．求导的基本公式基本初等函数导函数 ()f x c =（c 为常数） ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠， ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠， 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；（3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3．复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））曲线2e x y x -=在2x =处的切线方程为（） A ．34y x =+ B ．43y x =+ C ．34y x =-D ．43y x =-2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（） A ．310 B ．±310C ．35D ．±353．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线()2:ln 3C y x x a x =++-上的一动点，曲线C 在P点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)23,0⎡⎣B ．)22,0⎡⎣C ．(,23⎤-∞⎦D ．(,22⎤-∞⎦4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（）A ．1-B ．23-C ．12D ．11．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（） A ．30n m <<-B ．3n m >-C ．0n <D ．30n m <=-3．（2022·全国·模拟预测（理））过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（） A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．135．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（） A ．e 2B ．eC eD ．2e6．（2022·云南师大附中模拟预测（理））若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点A ，B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数的是（） A ．ln y x x =+ B ．3y x = C ．cos y x x =-D ．sin y x x =+7．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e x f x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（）A ．25e e m -<，0b >，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（） A ．219ab+≥B ．19ab ≤C 225a b +D 22a b ≤9．（多选题）（2022·山东潍坊·模拟预测）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（）A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值B ．直线P 1P 2的斜率为定值C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1]10．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）设函数()()()2e R x f x x ax a a -=++∈的导函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >，当a 变化时，记点()()11,x f x 构成的曲线为1C ，点()()22,x f x 构成的曲线为2C ，则（） A ．曲线1C 恒在x 轴上方 B ．曲线1C 与2C 有唯一公共点C ．对于任意的实数t ，直线y t =与曲线1C 有且仅有一个公共点D ．存在实数m ，使得曲线1C 、2C 分布在直线y x m =-+两侧 11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________． 12．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________. 13．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.14．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，请写出()f x 与()g x 的一条公切线的方程______．15．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数()()2e ,x f x g x x a==，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a 的取值范围__________．16．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数()()211ln 21,4212,2x x f x x x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪++≤⎪⎩，函数在1x =处的切线方程为____________．若该切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是____________．1．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）参考答案 A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +123．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+4．（2022·全国·高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线5．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．6．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．7．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．8．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 9．（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.10．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线．(1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围．11．（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．12．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．。

2018届高考数学(全国通用)二轮复习压轴大题精品课件第2讲圆锥曲线的热点问题

4 2
1 1 1 2 2 2 设△AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝2|AB|· d＝2 －2t －2 ＋2≤ 2 ， 2 1 当且仅当 t ＝2时，等号成立.
2 故△AOB 面积的最大值为 2 .
1 2 3 4
解答
1 3.已知抛物线 y ＝4x，直线 l：y＝－2x＋b 与抛物线交于 A，B 两点.
c 2 解由题意知 e＝a＝ 2 ，2c＝2，
所以 c＝1，a＝ 2，则 b＝1，
x2 2 所以椭圆 E 的方程为 2 ＋y ＝1.
1 2 3 4
解答
3 (2)如图，动直线 l：y＝k1x－ 2 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上一 2 点，直线 OC 的斜率为 k2，且 k1k2＝ 4 .M 是线段 OC 延长线上一点，且 |MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为 S，T.求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率.
2 则 x2 ＝ 4 y ， x 1 1 2＝4y2，
12 12 y1－1 y2－1 4x1－1 4x2－1 1 ∴k1＋k2＝＋＝＋＝4(x1＋2＋x2＋2)＝－2. x1－2 x2－2 x1－2 x2－2
∴x1＋x2＝－12，
12 12 y2－y1 4x2－4x1 1 ∴kAB＝＝＝4(x1＋x2)＝－3. x2－x1 x2－x1
2
(1)若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；
1
2
3
4
解答
(2)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值.
1
2
3
4
解答
x2 y2 4.(2017· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离 2 心率为 2 ，焦距为 2.

2018高三数学全国二模汇编(理科)专题03导数与应用

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、选择题1．【2018河南郑州高三二模】已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 【答案】B【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2xg x x ae =-在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决。

2．【2018陕西咸阳高三一模】已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()11,a f b ef e e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. a c b << 【答案】D【解析】设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义域上的奇函数，所以()h x 是定义在实数集上的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时()h x 为单调递增函数，又由11e e <<-，所以()()()111f f ef e ef e e e ⎛⎫<<--=-- ⎪⎝⎭，即a c b <<，故选D.点睛：本题主要考查了函数性质的基本应用问题，其中解答中利用题设条件，构造新函数()()h x xf x =，得出函数()h x 为单调递增函数和函数()h x 是定义在实数集上的偶函数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.3．【2018湖南衡阳高三二模】已知e 为自然对数的底数，设函数()21f ln 2x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()0f 0x <,则下列结论中正确的是( ) A.存在0x =使得()01f 2x e<-B.存在0x ，使得()20f x e >- C. b 的最大值为3e D. b 的最大值为22e 【答案】C分析得()f x 的极大值点为10x x =，2a a a a +--==<=， (()0,x f x ∴∈∴在()00,x 递增，在()02,x x 递减，当()0,x x f x =取得极大值()0f x ，又()200000'00bf x x a x b ax x =⇒-+=⇒+=， ()()222000000011ln ln 22f xx ax b x x x b b x =-+=-++，即()20001ln 2f x x b b x =--+，令()(21ln ,2g x x b x b x =-+-∈，原命题转化为()0g x <恒成立，()()22'000b x bg x x x x b x x-+∴=-+=><<⇒<<， ()g x ∴在(上递增，()12g x gb b ∴<=-+ 102b b b =-+≤，33232bb e b e ∴≤⇒≤⇒≤，所以b 的最大值为3e ， C 对、D 错，又0x b <，即不存在极大值点0x =,A B ，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 4．【2018河南商丘高三二模】记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（）A.B.C. D.【答案】B点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．【2018四川德阳高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（） A. B.C.D.【答案】A6．【2018重庆高三二诊】已知函数()ln f x x a =+， ()1g x ax b =++，若0x ∀>， ()()f x g x ≤，则ba的最小值是（） A. 1e + B. 1e - C. 1e - D. 12e - 【答案】B【解析】由题意()()0,x f x g x ∀>≤，即ln 1x a ax b +≤++，即ln 1x ax a b -+≤+，设()ln h x x ax a =-+，则()1h x a x'=-，若0a ≤时， ()10h x a x -'=>，函数()h x 单调递增，无最大值，不适合题意；当0a >时，令()10h x a x -'==，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>，函数()h x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()max 1ln 1h x h a a a ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭，即ln 11a a b -+-≤+，即ln 20a a b -+--≤ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题．7．【2018甘肃兰州高三二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x >'有恒成立，且()31(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（） A. ()01f = B. ()01f < C. ()62f e < D. ()62f e >【答案】C 【解析】设()()3xf xg x e=，则()()()()()()()333223333x x x xxe f x f x e f x e f x g x e e ⎡⎤-'-⎣⎦=''=.∵在R 上()()3f x f x >'有恒成立∴()0g x '<在R 上恒成立，即()g x 在R 上为减函数. ∴()()()()()0301001f f g f g e e ==>=∵()31f e =∴()01f >，故A ，B 不正确. ∵()()()62211f g g e =<=∴()62f e < 故选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等8．【2018河北唐山高三二模】已知函数()f x 满足()()f x f x >'，在下列不等关系中，一定成立的是（） A. ()()12ef f > B. ()()12ef f < C. ()()12f ef > D. ()()12f ef <【答案】A点睛：本题的关键在于通过()f x f >'（x ）能得到()'()0xf x e <，得到()xf x R e 是上的减函数，问题就迎刃而解.所以在这里，观察和联想的数学能力很重要.9．【2018吉林四平高三质检】若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C2424,1664,40b k k b k k ≤-≤≤--≤≤，同理421664,b k b ≤≤-可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()()f x kx e x R ≥-∈，可得20x kx e -+-≥，当x R ∈恒成立，则(20k ∆=-≤，只有k =，此时直线方程为y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()G x e h x =--2ln e e x =--， ()'x G x x=，当x =()'0G x =；当0x <<时， ()'0G x <；当x >()'0G x >；当x = ()'G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值，()()0G x e h x ∴=--≥，则()h x e ≤-， ∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y x e =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的. 10．【2018湖南郴州高三二诊】已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（）A. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 23,3e e -⎡⎤-⎣⎦C. 2,3e e -⎡⎤-⎣⎦D. 322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D若直线y=1﹣mx 经过点（1e，﹣2），则m=3e ，若直线y=1﹣mx 与y=2lnx 相切，设切点为（x ，y ）．则，解得3232{3 2x ey m e-===-．∴322e--≤m≤3e ．故选：D ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．【2018云南昆明高三质检二】已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A.2,4e⎛⎤-∞⎥⎝⎦B. ,2e⎛⎤-∞⎥⎝⎦C. (]0,2 D. [)2,+∞【答案】A【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号。

2018年全国各地高考数学理科模拟试卷分项汇编专题3【导数与应用类题】及解析

1 3

0 0
，这是解答本题的难点，也是解答好
本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。
9．【2018 陕西西工大附中六模】若存在两个正实数 x, y ，使得等式 3x a 2 y 4ex lny lnx 0 成立，
其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是(
C. 存在正实数 k，使得 fx > kx 恒成立 D. 对任意两个正实数x1,x2，且x2 > x1，若 fx1 = fx2，则x1 + x2 > 4
【答案】C
∴函数 y=f（x）﹣x 有且只有 1 个零点，即 B 正确；
f（x）＞kx，可得 k＜x22 +lnxx ，
令 g（x）=x22 +lnxx
意的实数 x,
yR
，等式
f
x
f
y

f
x
y 成立，若数列an满足
f
an1
f
1

1

an

1
n N*
，
且 a1 f 0 ，则下列结论成立的是（）
A. f a2013 f a2016
若 a=0,则 f 2 x +af(x)>0 得 f 2 x >0，此时有无数个整数解，不满足条件。
若 a>0，
则由 f 2 x +af(x)>0 得 f(x)>0 或 f(x)<−a，
当 f(x)>0 时，不等式由无数个整数解，不满足条件。
当 a<0 时,由 f 2 x +af(x)>0 得 f(x)>−a 或 f(x)<0，

新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.1利用导数探求参数的范围问题测试卷理2018040851

利用导数探求参数的范围问题（一）选择题（12*5=60分） 1.已知函数 f (x ) x 2e x ，当 x [1,1]时，不等式 f (x ) m 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）1 A ．[ ,)eB ． (e ,)C ．[e ,)D ． (e ,)【答案】D【解析】因 f / (x ) e x (2x x 2 ) x (x 2)e x ,故当 1 x0 时, f / (x ) 0 ,函数 f (x ) 单调递减；故当 0x1时, f / (x )0,函数 f (x ) 单调递增,且 f (1) f (1) ,故 f(x )emax,则 m e ,故应选 D ．2.设函数3 1 f xexx ax a ，其中 a1，若有且只有一个整数x 使得 fx，则 a的取值范围是（）2 3 A. ，B. e 4 2 3 2 ，C.，1 D. e 4e2， 1 e【答案】D3.若 f (x ) x 3 ax 2 1在 (1,3)内单调递减，则实数 a 的范围是（）A ． (,3] B ． [9 ,)C ． (3, 9)22D ．0,3【答案】B【解析】因为函数 f (x )x 3 ax 21在 (1,3)内单调递减，所以f ' x3x2ax 0 ，在23(1,3)内恒成立，即3 x 9 所以9 , a ，故选a x 在1, 3内恒成立，因为2B.2 2 24.设函数f x在R上存在导函数f 'x，对任意的实数x都有f x 4x f x，当211 3x ,0时， fxx .若'4 f m 1fm3m ,则实数 m 的取值范围是 22（）1 A., 2B.3 , 2C.1,D.2,【答案】A5. 【2018山西山大附中四调】已知 fx 是函数 fx的导函数，且对任意的实数x 都有 fxe 2x3fx（e 是自然对数的底数）， f1，若不等式 fxk0的解x集中恰有两个整数，则实数 k 的取值范围是（）A.1 ,0eB.1,0 eC.1 ,0 e2D.1 ,0 e2【答案】C 【解析】当 k0 时，即解 fx 0 ，构造函数23f x f x f xg xg xx ，可令：g xx 23x c ，所以eexxfxx x c e，由f0c 1，得：fxx xe，由fx0 ，2 2 x 23 1 x得：x 2 3x 10得出解为3 53 5x2 2 ，其中恰有两个整数2, 1 ，所以k 0时成立，排除A、D.当k1 1，则f x e x3x 1x 2，e e2 2hx e x 2 x 2 3x11, fx e x 2 x 5x 4，得：函数在4,1上递减，,4,1,上递增，此时e x 2 x 2 3x1 1的解集1至少包括4,2,3, 1 ，所以不合题意，故不能取，排除B，本题选C.e226. 【四川省绵阳市2018届一诊若】存在实数x使，得关于x的不等式2e ax91 +x2﹣2ax+a2≤10（其中e为自然对数的底数）成立，则实数a的取值集合为（）A. { 19} B. [191，+∞） C. {101} D. [10，+∞）【答案】C7.已知函数2ln x x m2f xx，若存在x1, 2使得f 'x A x fx0，实数m的取值范围是（）5 A.,2 B.2,25C.0,25D.,2【答案】D【解析】令F(x ) xf(x) ,则F/ (x ) f(x ) xf/ (x) ,由f 'x A x fx0可知F,即函数F(x ) xf(x ) 2ln x (x m)2 是单调递增函数,所以存在x1, 2使/ (x) 02 1得F/ (x ) 2(x m ) 0 成立,即m x ,因此问题转化为mx x1 5 5上的最大值问题.因h max (x ) 2 ,故m ,故应选D.2 2 21h(x ) x 在[1, 2]x8. 【安徽省淮南市2018届第四次联考】已知函数f x ln x a sin x在区间,6 4上是单3调增函数，则实数 a 的取值范围为( ) A.4 3 ,B.4 2 ,C.4 2 4 3,D. 4 2,【答案】B9.若关于 x 的不等式 xe x ax a 0 的解集为m ,n n，且m ,n中只有一个整数，则实数 a 的取值范围是（）2 1 A ．,3e 2e22 1B ．,3e 2e22 1 C ． ,3e e22 1 D ．,3e e2【答案】B 【解析】 xe xax a 0 可化为1xe x a x ，令f x xe x, g x a x 1，显然a0 ，函数g x a x 1过定点C 1, 0，令f' x x 1 e x 0, x0 ，所以在,1，f x 单调递减，在1,，f x单调递增，f x在x 1处取得极小值，画图象下图所示，由图可知，当直线g x a x 1介于AC, BC之间时，符合题意1xe x a x 的解集为m,n n 0，且m,n中只有一个整数解.12A1, , B 2,ee2，所以41 221k,k，所以a,.AC BC2 22e3e3e2e10. 【浙江省杭州市2018届质量监测】对于函数f x和g x，设{x R| f x0}，，若存在,，使得1，则称f x与g x互为“情侣函{x R| g x0}数”．若函数f x ex 与g x ax ln x互为“情侣函数”，则实数a的取值范围为x 2 3（）A.ln3 1,3 eB.ln30,3C.10,eD.11,e【答案】C11.已知函数f x x sin x x R，且f y 2 2y 3 f x 2 4x 1 0，则当y 1时，yx1的取值范围是（）．1 3 ,A ．4 41 ,1 B ．4C ．1,3 2 31D ．, 3【答案】A 【解析】 fx x sin x 为奇函数，且 fx 1 cos x 0，即为增函数，所以f y 22y 3 f x 2 4x10 f y 22y3f x 24x1f y 22y3f x 24x 15。

主题06 导数文-2018年高考数学二轮透析23题对对碰含

2018届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第一篇主题6 导数（文）【主题考法】本主题考试题型为选择填空题，与解析几何、函数、立体几何、概率等数学知识结合主要考查常见函数的导数、导数的运算法则，考查利用导数函数研究函数的切线，利用导数研究函数单调性、极值及最值进而研究函数的图象与性质，再利用函数图象与性质处理函数零点、不等式等综合问题，常为压轴题，难度较大，分值为5至10分.【主题回扣】1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【易错提醒】1．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )＞0(＜0)的解集为(a ，b )．2．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点． 3.函数在某点的切线与过某点的切线的区别. 【主题考向】考向一导数的运算和几何意义【解决法宝】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 例1【江西省金溪一中、余江一中等五市八校2018届第一次联考】直线与曲线相切于点，则的值为（）A.B. C. D.【分析】由题知M （1,2）在切线上，将其代入切线方程即可求出k ，求出曲线在x=1处的导数即为切线的斜率，即可求出b.考向二利用导数研究函数的性质【解决法宝】利用导数研究函数性质的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导函数)(x f '；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式)(x f '>0或)(x f '<0. ②若已知函数的单调性，则转化为不等式)(x f '≥0或)(x f '≤0在单调区间上恒成立问题来求解. (4)①若求极值，则先求方程)(x f '＝0的根，再检查)(x f '在方程根的左右函数值的符号. ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程)(x f '＝0根的大小或存在情况来求解.(5)求函数)(x f 在闭区间],[b a 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值)(a f ，)(b f 与)(x f 的各极值进行比较得到函数的最值.例2 【安徽省池州市2018届高三上学期期末】函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. (),0-∞C. ()0,1D. ()0,+∞ 【分析】由函数()2ln f x x x mx =-有两个极值点知，)(x f '恰好有两个零点，转化函数y=lnx 与y=2mx ﹣1的图象有两个交点，数形结合即可求出实数m 的取值范围.考向三导数的综合应用【解决法宝】研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．例3【湖北省武汉市2018届二月调研】已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围为（） A.B.C.D.【分析】先考虑当1=x 时，当0)1(≥f 时，a 满足的条件，当10<<x 时，参变分离为1ln 22-≥x x x a ，利用导数求1ln 22-=x xx y 的最大值，即可求出a 的取值范围.【解析】当时，恒成立，；当时，即：，令，则，令，则：，则函数在区间上单调递减，，据此可得函数，故函数在区间上单调递增，的最大值为：，综上可得，实数的取值范围为.，故选C .【主题集训】1. 【湖北省天门、仙桃、潜江2018届上学期期末联考】已知函数，则其单调增区间是A. （0，1]B. [0，1]C. （0，+∞）D. （1，+∞）【答案】D 【解析】，定义域为，令，解得，故函数单调增区间是，故选2.【福建省南平市2018届第一次质检】已知可导函数()f x 的导函数为()f x '， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()f x f x >'，则不等式()2018xf x e <的解集为（）A. ()0,+∞B. 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. (),0-∞ 【答案】A【解析】根据题意构建函数()()()()'(,'0x x f x f x f x g x g x e e -==<），故函数在R 上递减，且g(0)=2018,所以()2018xf x e <等价于()()()0xf xg x g e=<，所以0x >，故选A.3.【河南省南阳市2018届上学期期末】已知：，若方程有唯一的实数解，则（） A.B.C.D. 1【答案】B4.【辽宁省朝阳市2018届一模】已知定义在上的奇函数可导，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（） A. B.C.D.【答案】D 【解析】因为，所以当时，，所以在单调递减，又为奇函数，所以为偶函数，因此由得，选D.5.【甘肃省兰州市2018届高三一诊】定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】令，则其导数，又由，且有，所以，即函数为减函数，又由，则有，即，化简可得，故选C.6.【河南洛阳一高2018届一练】设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2- B ．()3,+∞ C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D7.【云南省曲靖市第一中学2018届质量监测卷（六）】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】A 【解析】有两个正根，即有两个正根，令，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以,故选：A ．8.【广东省河源市2018届一模】已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 【答案】B【解析】由)()(x f x f -=知函数()x f 为偶函数，设()()x xf x F =，则()x F 为奇函数，当()0,∞-∈x 时，()()()0<'+='x f x x f x F ，所以()F x 在()0,∞-上为递减函数，所以()F x 在R 上是递减函数．因为0.121log 30ln 2128=-<<<<，所以0.121(log )(ln 2)(2)8F F F >>，即a b c >>，故选B ． 9.【山西省孝义市2018届模拟卷（一）】已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是( )A. (]1,3 B. 1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 11ln21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D. 11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，不等式程()ln 21x a x >+只有一个整数解，在同一坐标系中画出图像，可知这个整数解就是2，故得到()()ln2221,ln3321a a >+≤+，解得不等式组解集为1111ln2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭,故选B.10.【山西省晋中市2018届1月适应性调研】已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（） A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式在上恒成立，令,，由图可知，或，即；又在上单调递增，故在上恒成立，，综上，，故选D.11.【黑龙江省哈尔滨市三中2018届一模】设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】，若因为是函数是极大值点，所以即，所以若时，因为，所以当时，，当时，所以是函数是极大值点，符合题意；当时，若是函数是极大值点，则需，即，综上，故选A.12.【吉林省长春市2018届质量监测（二）】若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是 A. B.C.D.【答案】C【解析】原方程可化为，令，则．设，则得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故当时，函数有极大值，也为最大值，且．可得函数的图象如下：∵关于的方程存在三个不等实根，∴方程有两个根，且一正一负，且正根在区间内．令，则有，解得．∴实数的取值范围是．选C ．13. 【河北省衡水市武邑中学2018届高三下学期开学考】已知函数()()232xf x e x a x =+++在区间()1,0-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A. 11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 1,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 3,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D14.【河北省唐山市2018届一模】已知函数，则下列关于的表述正确的是（）A. 的图象关于轴对称B. ，的最小值为C.有个零点 D.有无数个极值点【答案】D【解析】A 因为函数，故函数不是偶函数，图像也不关于y 轴对称；A 不正确；B. 假设，使得的最小值为，即有解，在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x 处取得的，故得到两个图像无交点，故B是错误的;C,其中一个零点为0，另外的零点就是两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确； D ，化一得到，，此时满足的x 值有无数个；故选D.15. 【安徽省安庆一中等六校联考】函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】∵函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点∴方程2ln 20x x x ax +-+=在()0,+∞上有且只有一个根，即2ln a x x x=++在()0,+∞上有且只有一个根，令()2ln h x x x x =++，则()()()2222211221x x x x h x x x x x+-+-='=+-=，当01x <<时， ()0h x '<，则()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时， ()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 13h x h ==由题意可知，若使函数()2ln 2f x x x x ax =+-+恰有一个零点，则()min 3a h x ==，故选D.16. 【四川省成都七中2018届高三二诊】已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为____.【答案】2 【解析】∵当时，，∴当时，，∵函数为奇函数，∴，则∴ ∴曲线在点处的切线的斜率为17. 【湖北省天门、仙桃、潜江2018届上学期期末联考】已知l 为曲线在A （1，2）处的切线，若l 与二次曲线也相切，则______．【答案】4【解析】的导数为曲线在处的切线斜率为则曲线在处的切线方程为，即由于切线与曲线相切可联立得到：又，两线相切有一个切点，，解得.18.【山东省济宁市2018届第一次模】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，因为，所以，所以函数单调递减，由因为为奇函数，，所以，即，解得.19.【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届联考】已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-⋃+∞20.【广东省深圳市2018届高三第一次调研考】曲线1x y e x -=+的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为____________. 【答案】2y x = 【解析】设切点为()0100,x x ex -+，则1'1x y e -=+，即011x k e -=+，故切线方程为()()0011001x x y e x e x x ----=+-，又切线过原点， ()()001100010x x e x e x --∴--=+-，解得01x =，将01x =代入()()0011001x x y e x e x x ----=+-，可得切线方程为2y x =，故答案为2y x =.21.【江西上饶市2018届第一次模拟】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】函数存在唯一的整数，使得，设与,即存在唯一的整数，使得在直线下方, ,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,所以当时, 取到最小值,且g(0)=1;直线恒过点(1,0),斜率为,由图知当时不合题意,故,若要存在唯一的整数，使得在直线下方,则,即,代入得,解得,故填.22.【江苏省盐城中学2018届上学期期末】已知函数()()2ln,mf x x xg xe x=+-=，其中e为自然对数的底数，若函数()f x与)(xg的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．【答案】0m≥或21eme+=-【解析】因为()110f xx=+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110fe e⎛⎫=--<⎪⎝⎭，所以当0m≥时，与()mg xx=有一个公共点，当0m<时，令()()22,f xg x x xlnx x me=∴+-=有一解即可，设22(=h x x xlnx xe+-），令2(=2x+1=0h x lnxe-'+）得1xe=，因为当10xe<<时，()0h x'<，当1xe<时，()0h x'>，所以当1xe=时，(h x）有唯一极小值21ee+-，即()h x有最小值21ee+-，故当21eme+=-时有一公共点，故填0m≥或21eme+=-.。

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0 x 1 时 , f / ( x) 0 , 函数 f ( x) 单调递增 , 且 f (1) f ( 1) , 故 f max ( x) e , 则 m e , 故应选 D．
2. 设函数 f x ex 3x 1 ax a ，其中 a 1 ，若有且只有一个整数 x0 使得 f x0 0，则 a 的取值范围是
（一）选择题（ 12*5=60 分）
1. 已知函数 f ( x) x2ex ，当 x [ 1,1] 时，不等式 f ( x) m 恒成立，则实数 m的取值范围为（
）
A． [ 1 , )
B
． (e, ) C ． [e, )
D
． (e, )
e
【答案】 D
【解析】因 f / (x) ex (2x x 2 ) x(x 2)ex , 故当 1 x 0 时, f / (x) 0 , 函数 f ( x) 单调递减；故当
）
上递增，此时 ex 2 x 2 3 x 1
1 的解集至少包括
4, 2, 3, 1 ，所以不合题意，故不能取
1 e2 ，排除 B，本题选 C. 学科 * 网
6. 【四川省绵阳市
2018 届一诊】若存在实数
x，使得关于 x 的不等式
ex
2
a
2
21
+x ﹣2ax+a ≤ （其中
9
10
e 为自然对数的底数）成立，则实数 a 的取值集合为（
由f x
0 ，得： x2 3x 1 0 得出解为 3
5 x
2
35
，其中恰有两个整数
2
时成立，排除 A、 D.当 k
x2 2
h x e x 3x 1
1 e2 ，则 f x
ex x2 3x 1
x2
1, f x e x 5x 4 ，
1 e2 ，
2, 1 ，所以 k 0
得：函数在 4, 1 上递减，
, 4 , 1,
）
A.
1 ,0
B.
e
1 ,0
C.
e
1 e2 ,0
D.
1 e2 ,0
【答案】 C
fx
【解析】当 k 0 时，即解 f x 0 ，构造函数 g x
ex
gx
f x fx ex
2Hale Waihona Puke x 3 ，可令：g x x2 3x c ，所以 f x x2 2x c ex ，由 f 0 c 1，得： f x x2 3x 1 ex ，
即a
3 x在
1,3
内恒成立，因为
3 x
9 , 所以 a
9
，故选 B. 学科 * 网
2
22
2
4. 设函数 f x 在 R 上存在导函数 f ' x ，对任意的实数 x 都有 f x 4x2 f x ，当 x
,0 时，
1
3
f' x
4 x . 若 f m 1 f m 3m , 则实数 m 的取值范围是（）
（）
A. 2 ， 3
B.
e4
【答案】 D
2 ，3
C.
2 ，1
D.
e4
e
2 ，1 e
3. 若 f ( x) x3 ax2 1在 (1,3) 内单调递减，则实数 a 的范围是（）
A． (
,3]
9 B ．[ ,
2
【答案】 B
)
9 C ． (3, )
D ． 0,3
2
【解析】因为函数 f ( x) x3 ax2 1 在 (1,3)内单调递减，所以 f ' x 3x2 2ax 0 ，在 (1,3) 内恒成立，
2
2
A.
1 ,
2
B.
3 ,
2
【答案】 A
C.
1,
D.
2,
5. 【 2018 山西山大附中四调】已知 f x 是函数 f x 的导函数，且对任意的实数 x都有
f x ex 2x 3 f x （ e是自然对数的底数）， f 0 1，若不等式 f x k 0 的解集中恰有两
个整数，则实数 k 的取值范围是（