2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测：(三十二) 数列的概念与简单表示 Word版含解析

课时跟踪检测(三十二)　数列的概念与简单表示
一、题点全面练
1．已知数列1,2，，，，…，则2在这个数列中的项数是( )7101319A ．16 B ．24C ．26
D ．28
解析：选C 因为a 1＝1＝，a 2＝2＝，a 3＝，a 4＝，a 5＝，…，所以a n ＝.14710133n －2令a n ＝＝2＝，解得n ＝26.
3n －219762．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1，2，…)，则a 3等于( )A ．5 B ．9C ．10
D ．15
解析：选D 令n ＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由a n ＋1＝(2n ＋1)a n ，得a 3＝5a 2＝5×3＝15.故选D.
3．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝，则等于( )n n ＋11
a
5A. B.
5665
C. D ．30
130
解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
－＝，所以＝5×6＝30.n n ＋1n －1n 1n (n ＋1)
1a 54．(2019·西宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a (a n ＞0)，则a n
＝( )2n A ．10n －2 B ．10n －1
C ．102n －4
D ．22
n －1
解析：选D 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a (a n
＞0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒＝2n log 2a n ＋1
log 2a n
2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒a
n
＝22n －1
.
5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )
A ．(－∞，－1]
B ．(－∞，2]
C ．(－∞，3)
D.(－∞，
92
]解析：选C 因为数列{a n
}是单调递增数列，
所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b ＞0(n ∈N *)，所以b ＜2n ＋1(n ∈N *)，所以b ＜(2n ＋1)min ＝3，即b ＜3.
6．(2018·佛山模拟)若数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通
121221231
2n 项公式a n ＝________.
解析：因为a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋
1212212312n 1212212312n 1
2n ＋11＝2(n ＋1)＋1，两式相减得a n ＋1＝2，即a n
＝2n ＋1，n ≥2.又a 1＝3，所以a 1＝6，因此a n ＝1
2n ＋112
Error!
答案：Error!
7．已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝，
1
3则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
解析：∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，∴两边同除以a n ·a n ＋1，得－＝－＋1，整理，得－＝1，即是以3为首项，1为公差
2(1－a n ＋1)a n ＋12(1－a n )
a n 1a n ＋11a n 1a n ＋11a n {1a n }
的等差数列，∴＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝.
1a n 1
n ＋2
答案：
1n ＋2
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
解析：由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，
∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(n ≥2)，
经检验，当n ＝1时，a n ＝1，符合上式．∴a n ＝3×2n －1－2.答案：3×2n －1－2
9．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n .(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，
所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.
(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2，
[12(32
)
n －2＋a －3
]
当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.
(32
)
又a 2＝a 1＋3＞a 1.
综上，a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．
10．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a }的前n 项和为T n ，2n 且3T n ＝S ＋2S n
，n ∈N *.2n (1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)由3T 1＝S ＋2S 1，21得3a ＝a ＋2a 1，即a －a 1
＝0.212121因为a 1＞0，所以a 1＝1.
(2)因为3T n ＝S ＋2S n ，①2n 所以3T n ＋1＝S ＋2S n ＋1，②2n ＋1②－①，得3a ＝S －S ＋2a n ＋1.
2n ＋12n ＋12n 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，＝2.
a n ＋1
a n 又由3T 2＝S ＋2S 2，
2得3(1＋a )＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a －2a 2＝0.22因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以＝2，
a 2
a 1所以对
n ∈N *，都有
＝2成立，a n ＋1
a n
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝Error!答案：Error!
2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)
n
，则此数列的最大项是第________项．(1011
)解析：∵a n ＋1
－a n
＝(n ＋2)n ＋1
－(n ＋1)n
＝n
×，
(1011)(1011)(10
11
)9－n 11当n ＜9时，a n ＋1
－a n
＞0，即a n ＋1
＞a n
；
当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．答案：9或10
3．若数列{a n }满足a n ＋1＝Error!a 1＝，则数列{a n }的第2 019项为________．
3
5解析：由已知可得，a 2＝2×－1＝，
351
5a 3＝2×＝，
152
5a 4＝2×＝，
254
5a 5＝2×－1＝，
453
5
∴{a n }为周期数列且T ＝4，∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝.
2
5答案：
25
4．(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．
解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }单调递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0,1)．
答案：(0,1)
(二)交汇专练——融会巧迁移
5．[与函数零点交汇]已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R)有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．。