插值问题
插值的基本定义及应用
插值的基本定义及应用插值是数学中的一种数值计算方法，用于根据给定的有限数据点，构造出一个函数，该函数在这些数据点上与原函数具有相同的性质。
基本上，插值问题可以总结为如何利用已知数据点来估计未知数据点的数值。
插值问题的基本定义是：给定一些已知的数据点，我们需要找到一个函数或曲线，使得这个函数或曲线通过这些已知的数据点，并且在这些点附近具有某种特定的性质。
具体而言，插值函数要满足以下两个条件：1. 插值函数通过已知的数据点，即对于给定的数据点(x_i, y_i)，插值函数f(x)满足f(x_i) = y_i。
2. 插值函数在已知的数据点之间具有某种连续性或平滑性。
这意味着在已知的数据点之间，插值函数f(x)的一阶导数、二阶导数或其他导数连续或平滑。
插值方法可以用于解决各种实际应用问题，例如：1. 数据重构：在一些实际应用中，我们只能获得有限的数据点，但是我们需要整个函数的完整数据。
通过插值方法，我们可以从这些有限的数据点中恢复出整个函数的形状，以满足我们的需求。
2. 函数逼近：有时候，我们需要找到一个与已知数据点非常接近的函数或曲线，以便在未知点处进行预测。
通过插值方法，我们可以构造出一个逼近函数，在已知数据点附近进行预测。
3. 数据平滑：在一些实际问题中，我们的数据可能受到噪声或误差的影响，从而产生不规则或不平滑的曲线。
通过插值方法，我们可以使用平滑的插值曲线来去除噪声或误差，从而得到更加平滑的数据。
4. 图像处理：在图像处理中，插值方法被广泛应用于图像的放大、缩小、旋转、变形等操作中。
通过插值方法，可以在图像上生成新的像素值，以获得更高的图像质量。
常见的插值方法包括：1. 线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在已知数据点之间是线性的。
线性插值的插值函数是一条直线，通过已知数据点的两个端点。
2. 拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过一个n 次的多项式来插值n+1个已知数据点，保证插值函数通过这些已知数据点。
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。
它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。
埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。
2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。
这就是插值问题。
给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。
3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。
为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。
4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。
- g i(x j)=0对所有i,j成立。
基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。
5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。
通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。
6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。
我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。
第5章 插值方法
第5章插值方法5.1 插值问题概述假设f(x)是某个表达式很复杂,甚至根本写不出来的实函数,且已知f(x)在某个区间[a,b]上的n+1个互异的点x0,x1,…,x n处的函数值f(x0),f(x1),…,f(x n)，我们希望找到一个简单的函数y=P(x),使得P(x k)=f(x k),k=0,1,…,n.这就是插值问题。
如果我们找到了这样的函数y=P(x),我们就可以在一定范围内利用P(x)近似表示f(x),从而解决了相应的计算问题。
1.利用函数值列表来表示插值问题对于一个插值问题来说，我们的已知条件就是n+1个互异的点处的函数值.回顾高等数学中学习过的函数的表示方法，我们可用下面表1的形式列出已知的函数值，并简称为由表1给出的插值问题。
表1：插值问题的函数值列表2.重要术语对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x) 为被插值函数;P(x)为插值函数；x0,x1,…,x n为插值基点或插值节点;P(x k)=f(x k),k=0,1,…,n为插值条件；[a,b]为插值区间。
注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等这些问题现在已经不用插值法来计算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。
3．多项式插值对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n 的多项式，记为P n(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把P n(x)称为插值多项式。
实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段多项式函数。
由于次数不超过n的多项式的一般形式为P n((x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n （1）所以只要确定了n+1个系数a 0,a 1,a 2,a n ，我们便确定了一个插值多项式。
4．多项式插值的一般方法对于n+1个基点的多项式插值问题，我们完全可以用上一章中的办法来求插值多项式P n (x)的系数，a 0,a 1,a 2,a n ，它们可表为下面的线性方程组的解，所以多项式插值相对说来是很简单的。
插值公式与插值定理
插值公式与插值定理插值公式与插值定理是数值分析中的重要概念，用于近似计算函数在给定节点上的值。
本文将介绍插值公式与插值定理的基本原理和应用。
一、插值公式的基本原理在插值问题中，我们希望根据已知节点上函数的取值，推导出该函数在其他节点上的近似值。
插值公式是一种通过已知节点上的函数值，以及插值节点与已知节点之间的关系，来计算待插值节点上函数值的方法。
插值公式一般可以写为：\[f(x) = \sum_{i=0}^{n}L_i(x)f(x_i)\]其中，$f(x)$是待插值函数，$x_i$是已知节点，$f(x_i)$是已知节点上的函数值，$L_i(x)$是拉格朗日插值基函数。
拉格朗日插值基函数的表达式为：\[L_i(x) = \prod_{j=0, j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\]它具有性质：在节点$x_i$处，$L_i(x_i)=1$；在其他节点$x_j(j\neq i)$处，$L_i(x_j)=0$。
利用插值公式可以在给定节点上计算函数的近似值，从而实现对函数的插值。
二、插值定理的基本原理插值定理是插值公式的理论基础，它指出了插值问题的存在唯一性，并提供了误差估计的方法。
插值定理的基本表达式为：\[f[x_0,x_1,...,x_k] = \frac{f^{(k)}(c)}{k!}\]其中，$[x_0,x_1,...,x_k]$是插值节点$x_0,x_1,...,x_k$上的差商，$f^{(k)}(c)$是函数$f(x)$在节点$x_0,x_1,...,x_k$之间某一点$c$的$k$阶导数。
根据插值定理，如果函数$f(x)$在插值节点$x_0,x_1,...,x_k$处的值已知，并且函数的$k$阶导数存在，则可以通过差商的计算求得$f^{(k)}(c)$的值，从而得到插值多项式。
插值定理还提供了误差估计的方法。
在一般情况下，插值多项式与原函数之间存在误差。
可以通过插值定理的结果来估计这个误差。
Matlab求解插值问题
Matlab求解插值问题在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
实例：海底探测问题某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。
并绘出较细致的海底曲面图。
1、一元插值一元插值是对一元数据点(x i,y i)进行插值。
线性插值：由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。
一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。
调用格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’) %线性插值zi=interp1(x,y,xi,’spline’) %三次样条插值wi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %三次多项式插值说明：yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。
x、y为已知数据点。
例：已知数据：求当x i=0.25时的y i的值。
程序：x=0:.1:1;y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2];yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')xi=0:.02:1;yi=interp1(x,y,xi,'linear');zi=interp1(x,y,xi,'spline');wi=interp1(x,y,xi,'cubic');plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式')结果：yi0 = 0.3500要得到给定的几个点的对应函数值，可用：xi =[ 0.2500 0.3500 0.4500]yi=interp1(x,y,xi,'spline')结果：yi =1.2088 1.5802 1.34542、二元插值二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点(x,y,z)构造见上面函数求出插值点数据(xi,yi,zi)。
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
如何解决测绘技术中常见的数据插值和插值误差问题
如何解决测绘技术中常见的数据插值和插值误差问题测绘技术在现代社会中扮演着至关重要的角色，它为我们提供了准确的地理数据，帮助我们更好地了解和利用地球的各种资源。
然而，在测绘过程中，常常遇到数据插值和插值误差问题，这给数据的准确性和可靠性带来了很大的挑战。
本文将讨论如何解决测绘技术中常见的数据插值和插值误差问题，以保证测绘数据的质量。
在测绘技术中，数据插值是一种常用的方法，用于推断未测量点的属性。
例如，在绘制地形图时，常常需要根据已知高程点的数据来推断未知地点的高程值。
这时就需要使用插值方法来填补数据的空缺。
然而，数据插值过程中常常会产生误差，影响数据的准确性。
一种常见的数据插值方法是基于统计的插值方法，如Kriging插值。
Kriging插值利用已知点的空间相关性，通过插值方法估计未知点的属性值。
它在数据插值中表现出较高的准确性和可靠性。
然而，Kriging插值过程中，由于需要进行空间相关性的计算，计算量较大，且对数据的要求较高。
因此，在使用Kriging插值方法时，需要注意数据的采样密度和空间相关性的分布情况。
另一种常见的数据插值方法是基于分段函数的插值方法，如样条插值。
样条插值通过将数据划分为若干段，并在每一段内使用分段函数来拟合数据。
这种方法可以较好地保持数据的平滑性，并减小插值误差。
然而，在样条插值过程中，需要确定分段函数的参数，这需要进行数值优化计算。
因此，在使用样条插值方法时，需要注意计算的效率和参数的选择。
除了插值方法的选择外，数据插值过程中常常还会遇到插值误差的问题。
插值误差指的是由于插值方法的近似性质和计算精度的限制而产生的误差。
为了减小插值误差，可以采取以下措施：首先，可以增加数据的采样密度。
数据的采样密度越大，插值结果的准确性和可靠性就越高。
因此，在测绘过程中，需要尽可能获取更多的数据点，以提高数据的密度。
其次，可以合理选择插值方法的参数。
不同的插值方法存在不同的参数，选择合适的参数可以减小插值误差。
插值问题
Computational Methods
线性插值---余项
f ( ) R( x ) f ( x ) 1 ( x ) ( x x0 )( x x1 ) , a b 2!
？ 两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）效果一样吗？
此处一样！
？ 两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）可以推广到多个点吗？
( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1 , , xn ]
西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年
Computational Methods
n次插值----插值余项与事后误差估计
插值余项
Rn ( x) f ( x) n ( x) n ( x) f [ x, x0 , x1,
可以！
西南交通大学峨眉校区基础课部 数学教研室 2010年
Computational Methods
多项式插值----二次插值
y=f(x)函数表
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
y
一次函数
2 ( x) a0 a1 x a2 x
2
通过三个不同的插值点
y f ( x)
y1 y2 y0 P0
xn
yn
f [ xn1 , xn ]
f [ xn 2 , xn1 , xn ]
f [ x0 , x1 ,..., xn ]
Newton插值多项式： n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1, x2 ]
数值分析 第1章 插值方法讲解
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
拉格朗日插值(线性、二次、n次多项式插值)
1 x0 x V ( x 0 , x 1 , , x n ) 1 x1 x 1 xn x
2 0 2 1
x x x
n 0 n 1
2 n
n n
0 j i n
(x x )
i j
因为x0, x1,…,xn的互不相同，故系数行 列式不等于0，因此方程组有唯一解， 即Pn(x)存在并唯一。
j 0 ji n
x xj xi x j
是n次插值基函数
思考1 设f(x)=x2，求f(x)的次数不超 过1、2、3、…的插值多项式各是什 么？在哪些点处会有误差？ 思考2 设f(x)=sinx，求f(x)的次数不超 过1、2、3、…的插值多项式各是什 么？在哪些点处会有误差？
思考 1 答案：当 f(x) 是次数不超过 n 的 多项式时，其 ≥ n 次的插值多项式就 是f(x)本身。此时误差为0！
定义： 设插值基点 x0,x1,…,xn 中最小者为 a 、 最大者为b，当插值点x∈(a, b)时我们 称为内插，否则称为外插
例1 给定数据表
x 2 3 4 5 6 7 f(x) 10 15 18 22 20 16 要用插值方法计算 f(4.8) 的近似值。 问线性插值、二次插值和三次插值应 选哪些基点？
2. 线性插值的几何意义
用通过两点 (x0, y0) 、 (x1, y1) 的直线 y=L1(x) 近似代替曲线 y=f(x) ，如下图 所示。
y y=f(x)
y0 o x0
y=L1(x) y1
x1 x
3. 线性插值公式的推导
根据直线的点斜式，有
y1 y 0 L1 ( x ) y 0 ( x x0 ) x1 x 0
第2章 插值法(1)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 数 值 分 析 》
(2―6) (2―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(2―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
(2―5)
第2章 插值法
2.2 二次插值
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项 式 插 值 之 一 。 设 已 知 函 数 f(x) 的 三 个 互 异 插 值 基 点
《 数 值 分 析 》
x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
x y
xo y0
x1 y1
x2 y2
第2章 插值法
(2―15)
第2章 插值法
显然
0, j i li ( x j ) , i, j 0,1,2, 1, j i
,n
《 数 值 分 析 》
(2―14)式的Pn(x)是n+1个n次多项式li(x)(i=0,1,2,…,n)的 线性组合,因而Pn(x)的次数不高于n。我们称形如多项式 (2―14)的Pn(x)为拉格朗日插值多项式。Pn(x)还可以写成下 列较简单的形式:
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
第2章 插值法
取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
《 数 值 分 析 》
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
Hermite插值公式
-----(9)
′ 由条件(4)知hk ( xk ) = 1
D= 1
i =0 i≠k
∑∏ (x
j =0 i =0 i≠ j
n
n
k
xi )∏ ( xk xi ) + ∑ ∏ ( xk xi )∏ ( xk xi )
i =0 i≠k j =0 i =0 j ≠k i =0 i≠k i≠ j
f ( 1.5) ≈ H 3 ( 1.5) = 2.625 f (1.7 ) ≈ H 3 (1.7 ) = 2.931
作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有 可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题， 我们可以使用分段两点三次Hermite插值
G ( xi ) = 0, i = 0,1,L, n G′( xi ) = 0, i = 0,1,L, r
于是G ( x)必含有因式( x xi ) 2 (i = 0,1,L, r ) 和( x xi )(i = r + 1, r + 2,L, n)
故G ( x)的次数至少为n + r + 2, 矛盾.证毕21 hk (Fra bibliotekxi ) = 0
i=k i≠k
i, k = 0,1,L, n
------(3)
′ hk ( xi ) = 0, k = 0,1,L, n; i = 0,1,L, r
1 hk ( xi ) = 0 ′
i=k i≠k
i, k = 0,1,L, r
------(4)
hk ( xi ) = 0, k = 0,1,L, r; i = 0,1,L, n
由条件(4)知 xi 零点 .
(i = 0,1,L, r ; i ≠ k ) 是 hk (x) 的二重
插值法与最小二乘法
1.3 n = 1时. 设yi = f(xi) i = 0，1.
作直线方程：y
=
y0
+
y1 x1
− −
y0 x0
(x
−
x0 )
[ ] = 1
x1 − x0
y0 ( x1 − x0 ) + y1( x − x0 ) − y0 ( x − x0 )
[ ] = 1
Rn ( x)
≤
M n+1 (n + 1)!
ωn+1( x) .
② 对于指定x，当节点数m大于插值点数时，应选取
靠近x的节点构造插值多项式，以使ωn+1( x) 中诸因子
较小，从而 |Rn|较小。
作业 p116 1，3，4
§4 牛顿插值
Lagrange插值优点：对称，便
改写L1，L2 ：
于记忆和编程； 缺点：每增加一个节点，须全
L2 (x) =
f ( x0 ) +
f
(
x1 ) x1
− −
f( x0
x2
)
(
x
−
x0
)
+
x2 − x0
x1 − x0
(x2 − x1 )
(x − x0 )(x − x1 )
记
f [x, y] = f ( y) − f (x) , f [x, y, z] = f [x, z]− f [x, y]
y− x
− −
x0 )( x − x2 ) x0 )( x1 − x2 )
y1
+
(x ( x2
− −
x0 )( x − x1 ) x0 )( x2 − x1 )
数值分析第5版插值法
第一节 引言
n 一、 插值问题 设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求次数不超过n的多项式Pn(x)
使其满足
从几何意义来看,上述 问题就是要求一条多项 式曲线 y=Pn(x), 使它通
过已知的n+1个点(xi,yi)
(i=0,1, … ,n),并用Pn(x) 近似表示f(x).
2
二、插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为
f [ x0 , x1]
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
为 f (x)在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
f [ x0 , x1, x2 ]
f [ x0 , x1] f [ x1, x2 ] x0 x2
称为函数f (x)在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
25
一般地，n-1阶差商的差商
还应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无 关。
14
例1 已知 y x , x0 用4,线x1性插9,值求 近
7
似值。
解 y0 2, y1 3, 基函数分别为:
l0 ( x)
x9 49
1(x 5
9), l1( x)
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1 ( x)
y0l0 ( x) y1l1 ( x) 2
拉格朗日插值法例题
拉格朗日插值法例题
拉格朗日插值法是一种用于在给定数据点处插值的方法,其基本思想是通过最小二乘法在每个数据点处找到一组合适的插值值。
下面是一些拉格朗日插值法例题:
1. 插值函数在某个区间上的图像:
给定一个连续的插值函数 $y(x)$,例如二次函数 $y(x) =
frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x + 1$,求其在某个区间 $[a,b]$ 上的图像。
2. 需要在某个区间内进行平滑过渡:
给定一个连续的插值函数 $y(x)$,例如二次函数 $y(x) =
frac{1}{2}x^2 + frac{1}{3}x + 1$,需要将其平滑过渡到一个连续的曲线上。
求平滑过渡的曲线。
3. 需要将一个离散点映射到连续点:
给定离散点 $x_0$ 和 $x_1$,需要将其映射到连续点 $y_0$ 和$y_1$,使得 $y(x_0) = y_0$,$y(x_1) = y_1$。
例如,如果离散点$x_0$ 是 1 和 2,$y_0$ 和 $y_1$ 分别是 2 和 3,需要将其映射到连续点 $y_0 = 3$,$y_1 = 4$。
这些例题只是拉格朗日插值法的一些典型应用。
拉格朗日插值法是一种非常有用的工具,可以用于解决许多实际问题。
实例(插值问题)
1.1 带式录音机的播放时间 ............................................................................................... 1 1.2 实例：山区地貌 ........................................................................................................... 1 1.3估计水塔用水量 (2)1.1 带式录音机的播放时间带式录音机的播放时间：现收集到一个特定的录音机的计数器的数据及相应的录音机的播放时间. 假设我们不可能为这一系统建造一个明确的模型，但仍有兴趣预测可能出现的情况. 请构造一个经验模型，将录音机的播放时间作为计数器读数的函数.令i c 表示计数器读数，i t (秒)为对应的播放时间的总数. 考虑如下数据i c100 200 300 400 500 600 700 800 i t (秒)205 430 677 945 1233 1542 1872 22241.2 实例：山区地貌在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域40001200≤≤x ，36001200≤≤y )，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
XY1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 40003600 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 3200 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 2800 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 2400 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 2000 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 1600 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 1200 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700提示：可能用到函数interp2，griddata 辅助：mesh ，meshgrid ，contourx=[1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000]; y=[3600 3200 2800 2400 2000 16001200]';[xx,yy]=meshgrid(x,y)zz=[1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 15501500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 10701500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 10101390 1500 1500 1400 900 1100 1060 9501320 1450 1420 1400 1300 700 900 8501130 1250 1280 1230 1040 900 500 700];%mesh(xx,yy,zz)xi=linspace(1200,4000,50);yi=fliplr(linspace(1200,3600,50));[xxi,yyi]=meshgrid(xi,yi);method='spline';zzi = interp2(xx,yy,zz,xxi,yyi,method);subplot(1,2,1)mesh(xx,yy,zz)subplot(1,2,2)mesh(xxi,yyi,zzi)figure%观察单个节点plot3(xx,yy,zz,'o')grid on1.3 估计水塔用水量估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量的装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其精度不超过0.5%,更重要的是,当水塔中的水位下降最低水位L 时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H,但也不能测量水泵的供水量.因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系.水泵每两天输水一次或两次,每次约二小时.试估计任何时刻(包括水泵正在输水的时间内)从水塔流出的流量f(t),并估计一天的总用水量.附表给出了某各小镇一天中真实的数据.附表给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻.以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值.例如,3316 秒后,水塔中水位达到31.10 英尺.水塔是一个高为40 英尺,直径为57 英尺的正圆柱.通常当水塔水位降至约27.00 英尺的水泵开始工作,当水位升到35.50 英尺时水泵停止工作.时间（秒）水位(0.01英尺)时间（秒）水位(0.01英尺)时间（秒）水位(0.01英尺)0 3175 35932 水泵工作68535 2842 3316 3110 39332 水泵工作71854 2767 6635 3054 39435 3550 75021 2697 10619 2994 43318 3445 79154 水泵工作13937 2947 46636 3350 82649 水泵工作17921 2892 49953 3260 85968 3475 21240 2850 53936 3167 89953 3397 25223 2797 57254 3087 93270 3340 28543 2752 60574 301232284 2697 64554 2927。
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程
（原创实用版）
目录
1.插值法的概念与应用
2.插值法例题的解答过程
3.插值法在实际问题中的应用
4.总结
正文
一、插值法的概念与应用
插值法是一种求解未知数值的方法，它通过已知的数据点来预测或推断未知数据点的值。
在数学、工程、物理等学科中都有广泛的应用。
插值法可以分为拉格朗日插值法、牛顿插值法、三次样条插值法等。
二、插值法例题的解答过程
假设我们有一组数据：当折现率为 10% 时，净现值为 121765；当折现率为 12% 时，净现值为 116530。
现在需要求解当折现率为 i 时，净现值的值。
我们可以使用插值法来解决这个问题。
首先，我们假设净现值为120000，然后列出一个方程：
（i-12%）/（10%-12%）=（120000-116530）/（121765-116530）
解这个方程，我们可以得到 i 的值。
三、插值法在实际问题中的应用
插值法在实际问题中有广泛的应用，例如在财务管理中，我们可以使用插值法来计算债券的收益率、股票的预期收益等。
在工程领域，插值法可以用来预测工程项目的进度、成本等。
在物理学中，插值法可以用来预
测物体的运动轨迹等。
四、总结
插值法是一种强大的求解未知数值的方法，它可以通过已知的数据点来预测或推断未知数据点的值。
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16
例
已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
X Y
0 0
3 1.2
5 1.7
7 2.0
9 2.1
y
11 2.0
12 1.8
13 1.2
14 1.0
15 1.6
机翼下 轮廓线
x
To MATLAB(plane) 返回
17
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
返回
11
三次样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
a
xi-1
xi
b
x
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲 线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光 滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低 次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
X Y 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 1200 1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480 1600 1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500 2000 1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550 2400 1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510 2800 1040 1300 900 1450 1600 1600 1430 3200 900 700 1100 1200 1550 1600 1300 3600 500 900 1060 1150 1380 1600 1200 4000 700 850 950 1010 1070 1550 980
O
x
18
已知 mn个节点
其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
19
第二种（散乱节点）：
y
0
x
20
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
返回
21
最邻近插值
y
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插 值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不
15
能够超过x的范围。
例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温 度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31， 30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度 值。
* *
y
*
y1 y0
x0 x1 x*
xn
返回
6
拉格朗日(Lagrange)插值
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插TLAB (moutain)
返回 29
*
节点可视为由
y1 y0
y
*
y g (x)
g
产生,， 表达式复杂,，
x0 x1 x*
xn
或无封闭形式,， 或未知.。
5
构造一个(相对简单的)函数 y f (x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1,n)
再用
f (x) 计算插值，即 y f ( x ).
12
三次样条插值
S ( x) {si ( x), x [ xi 1, xi ],i 1,n}
1) si ( x ) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x ) C 2 [ x0 , xn ]
(x1, y2)
(x2, y2)
(x1, y1) (x2, y1)
O
x
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的 节点的函数值即为所求。 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
返回
22
分片线性插值
y
(xi, yj+1) (xi+1, yj+1) (xi, yj) (xi+1, yj)
直接验证可知 Ln x满足插值条件 , .
8
例
1 g ( x) , 5 x 5 2 1 x
采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n 分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.
To Matlab lch(larg1)
拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象
称为拉格朗日插值基函数。
7
拉格朗日(Lagrange)插值
特别地: 两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x1 x x2 y x x0 x x2 y x x0 x x1 y L2 x 0 1 2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
最邻近插值 分片线性插值 双线性插值
三、用Matlab解插值问题
网格节点数据的插值
散点数据的插值
返回
4
一维插值的定义
已知 n+1个节点 ( x j , y j ) ( j 0,1,n,其中
xj 互不相同，不妨设 a x0 x1 xn b),
求任一插值点
x ( x j ) 处的插值 y * .
返回
9
分段线性插值
y o
Ln ( x ) y j l j ( x )
j 0 n
xj-1 xj xj+1 xn x
x0
x x j 1 , x j 1 x x j n越大，误差越小. x j x j 1 x x j 1 l j ( x) , x j x x j 1 lim Ln ( x) g ( x), x0 x x j x j 1 n 0, 其它 10
si ( xi ) si 1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件） 2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
25
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值
要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取 行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出 x0,y0的范围。
数学建模与数学实验
插 值
后勤工程学院数学教研室
1
实验目的
1、了解插值的基本内容。
2、掌握用数学软件包求解插值问题。
实验内容
[1]一维插值 [2]二维插值
[3]实验作业
2
一 一、插值的定义 二、插值的方法
维
插
值
拉格朗日插值
分段线性插值
三次样条插值 三、用Matlab解插值问题
返回
3
二维插值
一、二维插值定义 二、网格节点插值法
Pn ( x ) L i ( x ) y i
i 0
n
其中Li(x) 为n次多项式：
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x x n ) L i (x) ( x i x 0 )( x i x 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
g(x)为被插值函数。
) x ( g ) x ( S mil
13
n
例
1 g ( x) , 6 x 6 2 1 x
用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych) To MATLAB ych(larg1)
返回
14
用MATLAB作插值计算
一维插值函数：