高等数学II试卷及答案

06/07
试卷（B ） （本试卷共 4 页）
1、函数⎪⎩⎪⎨⎧
=≠+=0
01sin
1sin ),(xy xy x
y y x y x f ，则极限),(lim 0
0y x f y x →→= 。

(A)不存在
(B)等于1 (C)等于零
(D)等于2
2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的
（A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点
（C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点
3、设f (x ,y )为连续函数，则积分
可交换积分次序为 4、
级数
()
∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--1
cos 11n n
n α （常数0>α）
（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关。

5、幂级数
n n n x n 2
1
31-∞
=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+的收敛半径是
(A) 1 ； (B) 3
e ； (C) 3-e ； (D) 1-.
6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式
（A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++ （B ）x Bx Ax 2cos )(2
+
（C ）x B x A 2sin 2cos + （D ）x B Ax 2cos )(+
一.
二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 4小题，每小题4分，总计 16 分 ）
1、设函数xy y x y x y x f =+=),(,),(2
2ϕ，则[]),(),,(y x y x f f ϕ=?????? 。

2、曲线32
31,2,t z t y t x =
==在点)3
1
,2,1(处的切线方程是 。

3、曲线上任一点),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 。

4、如果幂级数()
∑∞
=-
1n n
n
x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是 .
三.
四. 解答下列各题（本大题共 2小题，总计 12 分 ）
1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。

2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向的方向导数。

四、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 14分 ）
1、(7分)计算二重积分
224+-⎰⎰
D
x y dxdy 其中D ：x 2+y 2≤9.
2、（7分）设f (x ,y )为连续函数，写出积分
在极坐标系中先积r 后积θ的二次积分。

（要求：必须画出积分区域的图形）
五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ）
1、（7分）判别级数
∑∞
=+1
)]
1[ln(1
n n
n 的敛散性。

2、（8分 ）求幂级数∑∞
=+1
1
n n nx
的收敛域及和函数.
六、解答下列各题（本大题共 3小题，总计 19分 ）
1、（5分）求微分方程0)()(7='+''t x t x 的通解。

求微分方程024)12(=+-'+-y
e y x 的通解。

3、（7分）设⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅⋅++++++-=+∞→)!1(!3!21)1(lim 122n x x x x x y n n
试证明y 是初始值问题⎪⎩⎪
⎨⎧=+==0
d d 0x y y x x y
的解。

《高等数学Ⅱ》期末考试
参考答案及评分标准
五.
六. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在大题末的表格中）（本大题共 6 小题，每小
八. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 4 小题，每小题 4分，总计 16 分 ）
1、[]2
222)()(),(),,(xy y x y x y x f f ++=ϕ。

2、3
1
2221-=-=-z y x
3、C x y +=
3
3
1
4、)3,1[-
三、解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 12 分 ） 1、 x
x z x cos sin 1
=
（3分） y
z y 1=
（5分）
2、 {
}(
)
{}0,2,11
,,0,1,2±=-±=z
e x y n ρ
2分
0cos 5
2cos 5
1cos =±
=±
=γβα
3分
()
()()
()()
()()0
12
1
0,1,20,1,20,1,20,1,20,1,20,1,2=-=====z e z u
x y u
y x u
∂∂∂∂∂∂ 5分
5052
251±=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯+±=n u ∂∂ 7分
四、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 14分 ）
1、解 D 分为D 1：x 2+y 2－4≤0. D 2:4≤x 2+y 2≤9 2分
224+-⎰⎰
D
x y dxdy 2223
220
2
(4)(4)=
-+-⎰
⎰⎰⎰d r rdr d r rdr π
πθθ 5分
412
π
=
7分
2、解 =
7
五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ）
1、解法1 记[]
0)1ln(1
>+=n
n n u
有
（3分）
而()
02ln 1
lim
=+∞→n n ，故
10lim
1
<=+∞→n
n n u u
（5分） 由比值判别法，原级数
[]
∑∞=+1
)1ln(1
n n
n 收敛。

（7分）
解法2 因为ln(1)2(8)+>>n n 所以
11
(8)ln(1)2
<>+n n 3分
于是
11
(8)[ln(1)]2<
>+n n
n n 4分 又 11
2
n n ∞
=∑收敛， 5分
由比较审敛法，原级数
[]
∑∞=+1
)1ln(1
n n
n 收敛。

（7分）
2、解 收敛域（-1，1） 2分
1
2
1
2
1
1
1
()∞
∞
∞+-==='==∑∑∑n n n n n n nx
x
nx
x x 4分
2
(
)1'=-x
x x 6分 2
(
)1=-x x
8分 六、 解答下列各题 （本大题 3小题，总计19 分 ） 1、特征方程为： 特征根为：
7
1021-==λλ
（3分）
通解为：
t e C C y 7
121-+= （5分）
2、
解法一：12d 24d +=--x x
e y y
（3分）
C x e y
ln )12ln()2ln(++-=-
（5分） 即 C x e y
=+-)12)(2(
（7分）
解法二：原方程化为
1
24
122d d +=++x e x x e y y （3分） ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++=⎰+⎰+-⎰x e x C e e x x
x x y
d 12412d 212d 2 （5分）
}4{1
21x C x ++= （7分） 3、x
e x x y ++-=)1()( （3分） y x e y x +=+-='1 （5分） 0)0(=y 故y 为初始值问题的解。

（7分）。