高考数学二轮直通车夯滚训练30讲 (1-2)

选修第1讲 空间向量
【要点扫描】
1、空间向量及其运算
2、空间向量的应用
【课前热身】
1．点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是_____________。

2．设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-，若c ma nb =+，则t = ，
m n += 。

3．已知向量b 与向量(2,1,2)a =-共线，且满足18a b ⋅=，()()ka b ka b +⊥-，则b = ，
k = 。

4．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 。

【例题探究】
例1．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且160,DAB AD AA ∠=︒=，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点. （1）求证：直线MF //平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；
（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小.
例2．如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧
棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°
求 (1)AC 1的长；
(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值
例3如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =1，AD =3，
点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.
（1）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； （2）证明：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF; （3）当BE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°
【方法点拔】
1．利用向量论证平行、垂直问题，如例1；
2．数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用，如例2； 3．在处理几何探索性问题时，要注重向量法的应用，如例3。

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选修冲刺强化训练（1）
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿ 成绩＿＿＿＿＿＿ 1．对于空间任意一点O 和不共线三点,,A B C ，点P 满足OP xOA yOB zOC =++是点
,,,P A B C 共面的 条件。

2．棱长为a 的正四面体中，AB BC AC BD ⋅+⋅= 。

3．向量,,a b c 两两夹角都是60，||1,||2,||3a b c ===，则||a b c ++= 。

4．
若向量
(1,
,2),(2,1,1a b a b λ==-夹角的余弦值为
1
6
，则
λ= 。

5．已知点
(3,1,4)
A --，则点
A
关于
x
轴的对称点的坐标
为 。

6．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则 。

7．已知A(3,1,3)，B(1,5,0)，则到两点A,B 距离相等的点P(x,y,z)的坐标x ，y ，z 满足的条 件是 。

8．已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos ),a b αααα==则向量a b a b +-与的夹角是_________。

9．如图，四边形ABCD 为矩形，且2,1AD AB ==，PA ABCD ⊥平面，E 为BC 上的动点.
(1) 当E 为BC 的中点时，求证：PE DE ⊥；
(2) 设1PA =，在线段BC 上存在这样的点E ，使得二面角P ED A --
的大小为4
π
. 试
确定点E 的位置.
D
E
10．如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，
BC AC ⊥，且BC AC =．
(1)求证：⊥AM 平面EBC ；
(2)求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小； (3)求二面角C EB A --的大小．
B
M
E
D
C
A
选修第2讲 概率统计
【要点扫描】
1、超几何分布、n 次独立重复试验的模型及二项分布几种概型
2、随机变量的分布列及通过分布列计算均值、方差
【课前热身】
1. 若随机变量⎪⎭
⎫ ⎝⎛
21,5~B X ,那么()1≤X P = 。

2. 随机变量的X 分布列如下表，且()1.1=X E ，则()=X V 。

31个．已知第一次抽出的是红 球，则第2次抽出的是白球的概率为 。

4．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是81
65， 则事件A 在一次试验中出现的概率是 。

【例题探究】
例1． 为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到 了下表：
（1）在计算2χ的值之前，完成右边解决问题的流程图； （2）是否有99.5%把握认为喜爱打篮球与性别有关，说 明你的理由？
下面临界值表仅供参考：
参考公式：()()()()
d b c a d c b a bc ad n ++++-=2
χ
例2．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程2
0x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程2
0x bx c ++=有实根的概率； （2）求ξ的分布列和数学期望；
（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2
0x bx c ++=有实根的概率．
例3据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在C 02-以下的概率为
3
1。

（1）设ξ为该地区从2005年到2010年最低气温在C 02-以下的年数，求ξ的分布列。

（2）设η为该地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在C 0
2-以下经过的年数，求η的分布列。

（3）求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在C 02-以下的概率。

【方法点拔】
1．应用公式求2
χ，如例1；
2．例2是一道综合例题，它包括分列的计算及分布列的应用，条件概率的求法； 3．“至少、至多”问题的处理方式是分类到底，或利用独立、互斥或对立事件进行转化，如例3；
选修冲刺强化训练（2）
班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿ 成绩＿＿＿＿＿＿ 1．若p 为非负实数，随机变量ξ的分布为
则E （ξ）的最大值为 ，（ξ)的最大值为 。

2．某高校“统计初步”课程的教师随机调查
了选该课的一些学生情况，具体数据如下表： 为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到
84.430
202723)7102013(502
2
≈⨯⨯⨯⨯-⨯=χ，因为841.32≥χ，所以断定主修统计专业与性别有关
系，这种判断出错的可能性为 。

3．设随机变量X 的概率分布是k a
k X P 5
)(=
=，a 为常数，3,2,1=k ，则a =_________。

4．A 、B 两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A 、B 两队在每场比赛中获胜的概率均为2
1
，ξ为比赛需要的场数，则=)(ξE 。

5．在一次试验中，事件A 发生的概率是3
1
，在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率是不小于
81
66
，则n 的最小值是______________。

6．假定每一个家庭生男孩和生女孩是等可能的，在某个有3个小孩的家庭中，已知其中一个是男孩，另外2个小孩的性别未知，则这3个小孩中至少有一个女孩的概率是 。

7．正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4．将3个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为 。

8．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有 放回的每次模取一个球，定义数列{}n a ：
⎩
⎨
⎧-=次摸取白球第次摸取红球
第n n a n 11， 如果n S 为数列{}n a 的前n 项之和，那么37=S 的概率为。

9．袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1
,
7
现有甲、乙两人从袋
中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
（1）求袋中所有的白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率.
.
10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
（1）求ξ的分布及数学期望；
（2）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率.。