北师版八年级数学上册第四章 一次函数2 一次函数与正比例函数

知识点 2 一次函数的关系式
知2－讲
列一次函数关系式的步骤
(1)认真分析，理解题意；
(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；
(3)写出一次函数的关系式；
(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自
变量的取值要使实际问题有意义.
知2－讲
特别提醒 确定一次函数关系式的方法： ◆按等量关系写出含有两个变量的等式； ◆将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
知1－练
解：由题意，得n2－4＝0，m－2＝1，2n－4 ≠ 0.
所以m＝3，n＝－2. 一次项系数不为0 是隐含条件. 所以当m＝3，n＝－2 时，函数是一次函数.
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1 时的函数值.
由(1)得一次函数关系式为y＝－8x＋7.
数关系式的形式.
感悟新知
例3 [母题 教材P79例1 ]写出下列各题中 y 与 x 之间的关知2－练 系式，并判断： y 是否为 x 的一次函数？是否为正比 例函数？
(1)三角形的一边长为 8 cm, 三角形的面积 y( cm2)与此 边上的高 x(cm)的关系；
(2)某小汽车的油箱可装汽油 30 L，原来装有汽油 10 L，现在再加汽油 x L，每升汽油 7.5 元，油箱 内汽油的总价 y(元)与 x( L)之间的关系；
特殊 正比例函数 关系式
b＝0 y＝kx(k≠0)
(1)写出 y 与 x 之间的表达式，并判断 y 是否为 x 的一 次函数； 解：根据题意，得y＝－80x＋200， 所以y是x的一次函数．
感悟新知
(2)当 x=1.5 时，求 y的值 . 解：当x＝1.5时，y＝－80×1.5＋200＝80.
知2－练
一次函数与正比例函数
一次函数 关系式 y＝kx＋b(k≠0)
为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0).
特别提醒
知1－讲
◆一次函数y＝kx＋b(k ≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3) 常数项b可以是任意实数.
◆函数是一次函数⇔函数关系式为y＝kx＋b(k，b
是常数，k ≠ 0).
知1－练
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
1-1. 下列函数中，y是x的一次函数的是( A )
A. y＝－3x＋5
B. y＝－3x2
C. y＝1x
D. y＝π
知1－练
感悟新知
知1－练
1-2.已知 x，y 是两种相关联的量，下面函数中的 x，y 成正比例关系的是( A )
A. y=161x
B. 1x2=y1
C. x+y=10
D. 5x=y
第四章 一次函数
4.2 一次函数与正比例函数
学习目标
1 课时讲解 一次函数与正比例函数的定义
一次函数的关系式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一次函数与正比例函数的定义
知1－讲
Hale Waihona Puke 1. 定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝ kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函 数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数.例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 .
当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1.
感悟新知
知1－练
2-1.已知 y=(k－3) x+k2－9 是关于 x 的正比例函数，求当 x=－4 时， y的值 . 解：因为当k2－9＝0，且k－3≠0时，y是x的正 比例函数， 所以当k＝－3时，y是x的正比例函数． 所以y＝－6x. 当x＝－4时，y＝－6×(－4)＝24.
知1－练
例2 已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8). (1)当m，n为何值时，函数是一次函数？ (2)如果函数是一次函数，计算当x＝1 时的函数值.
感悟新知
知1－练
解题秘方：对于形如 y=kxn+b( k， b 为常数)的函 数，若它是一次函数，则有 k ≠ 0， n=1；若它是正比例函数，则有 k ≠ 0， n=1， b=0. 根据条件列出方程，一定 不能忽略条件 k ≠ 0.
2. 一次函数与正比例函数的关系
知1－讲
(1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋
b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数
都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
(2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx
(k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式
(3)一棵树现在高 50 cm，每个月长高 2 cm， x 个月 后这棵树的高度为 y( cm) .
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣题目中的等量关系，先列出两个 变量之间的关系，然后再写成一次函 数的形式 .
感悟新知
知2－练
(1)三角形的一边长为 8 cm, 三角形的面积 y( cm2)与此 边上的高 x(cm)的关系；
(1)y＝－2x2； (2)y＝x＋2 1；(3)y＝3x2－x(3x－2) ；
(4)
y=－
3 x
.
解题秘方：紧扣一次函数的定义与结构特征进行
识别.
(1)y＝－2x2；
知1－练
解：因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数.
(2)y＝x＋2 1； 因为y＝x＋2 1＝12x＋12，k＝12，b＝12，
感悟新知
知2－练
(3)一棵树现在高 50 cm，每个月长高 2 cm， x 个月 后这棵树的高度为 y( cm) . 解：由题意，得 y=2x+50， 所以 y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数 .
感悟新知
知2－练
3-1.甲、乙两地相距200 km, 现有一列火车从乙 地出 发，以 80km/h 的速度向甲地行驶 . 设x(h)表示火 车行驶的时间， y(km)表示火车与甲地的距离 .
解：由题意，得 y= 12× 8× x，即 y=4x， 所以 y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数；
感悟新知
知2－练
(2)某小汽车的油箱可装汽油 30 L，原来装有汽油 10 L， 现在再加汽油 x L，每升汽油 7.5 元，油箱内汽油的 总价 y(元)与 x( L)之间的关系； 解：由题意，得 y=7.5×(10+x)，即 y=7.5x+75， 所以 y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数 .
所以y＝x＋2 1是一次函数，但不是正比例函数.
(3)y＝3x2－x(3x－2)
知1－练
解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数，也是正比例函数.
(4)
y=－
3 x
因为 y=－ 3x中， － 3x不是整式，所以它不是一次函数 .
感悟新知
知1－练
方法点拨：判断函数是否为一次函数的方法 : 先 看函数关系式是否是整式的形式，再 将函数关系式进行恒等变形，然后看 它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ， b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 .