【鲁教版】初一数学下期末试题(及答案)

一、选择题
1．下列事件为随机事件的是（ ） A ．367人中至少有2人生日相同 B ．打开电视，正在播广告
C ．没有水分，种子发芽
D ．如果a 、b 都是实数，那么+=+a b b a
2．九年级一班在参加学校4×100米接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选手，他们比赛的顺序由抽签随机决定，则丙跑第一棒的概率为（ ） A ．
14
B ．
18
C ．
112
D ．
116
3．以下事件为必然事件的是（ ）
A ．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于6
B ．多边形的内角和是360︒
C ．二次函数的图象不过原点
D ．半径为2的圆的周长是4π
4．如图,已知ABC 为等腰三角形, , 90AB AC BAC =∠<︒,将ABC 沿AC 翻折至
,ADC E 为BC 的中点,F 为AD 的中点,线段EF 交AC 于点G ,若
()1FCD GEC
S m m S
=≠，
则
AG
GC
=（ ）
A ．m
B ．
1
1
m m +- C ．1m + D ．1m -
5．如图，若ABC ∆的面积为24，6AC =，现将ABC ∆沿 AB 所在直线翻折，使点 C 落
在直线
AD 上的C '处，P 为直线AD 上一点，则线段 BP 的长可能是( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
6．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼
间无缝隙），∠AOB 的度数为（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．22.5°
D ．30°
7．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有
（ ） ①13∠=∠；
②180BAE CAD ∠+∠=︒； ③若//BC AD ，则230∠=︒； ④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：
①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④
9．给出下列四组条件：
①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ； ②AB=DE ，∠B=∠E ．BC=EF ； ③∠B=∠E ，AC =DF ，∠C=∠F ； ④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ． 其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ） A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
10．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表： 输入
…
1
2
3
4
5
…
输出 …
12
25 310 417 526 …
那么，当输入数据8时，输出的数据是（ ） A ．
861
B ．
863
C ．865
D ．
867
11．如图所示，下列条件能判断a ∥b 的有（ ）
A ．∠1+∠2＝180°
B ．∠2＝∠4
C ．∠2+∠3＝180°
D ．∠1＝∠3
12．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积关系的是
（ ）
A ．()()2
2
-a b a b a b +-=
B ．()2
222a b a ab b +=++ C ．()2
222a b a ab b -=-+
D ．()2
222a b a ab b -=--
二、填空题
13．九年级某班有50名同学，在一次数学测试中有35名同学达到优秀，课上老师随机抽取一名同学回答问题，则抽到在此次测试中数学成绩达到优秀的概率是_____． 14．一个布袋内只装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是________． 15．如图，在△ABC 中，BD 是边AC 上的高，CE 平分∠ACB ，交BD 于点E ，DE ＝2，BC ＝5，则△BCE 的面积为__．
16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，AD 是高，M ，N 分别是AD ，AC 上的动点，△ABC 的面积是15，则MN +MC 的最小值是_____．
17．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．
18．在公式s=v 0t+2t 2（v 0为已知数）中，常量是________ ，变量是________ ． 19．如图，若a //b ，则图中x 的度数是______________度．
20．已知3927x y ÷=，则20202y x +-的值为_________．
三、解答题
21．（7分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=－x ＋3与两坐标轴围成一个△AOB ．现将背面完全相同，正面分别标有数l 、2、3、、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P 的横坐标，再在剩下的4张卡片中任取一张，将该卡片上的数作为点P 的纵坐标，请用所学的知识求出点P 落在△AOB 内部的概率． 22．如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A 落在A '处，BC 为折痕．
（1）图①中，若130∠=︒，则A BD '∠=________；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD 边与BA '重合，折痕为BE ，如图②所示，
130∠=︒，求2∠以及CBE ∠的度数；
（3）如果在图②中改变1∠的大小则BA '的位置也随之改变那么问题（2）中CBE ∠的大小是否改变？如果不会改变请直接写出CBE ∠的度数；如果会改变，请说明理由． 23．如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．
（1）求证：AEC ADB ≅△△；
（2）若90α=︒，试判断BD 与CE 的数量及位置关系并证明； （3）若CAB EAD α∠=∠=，求CFA ∠的度数．
24．用一根长是20cm 的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边的长为xcm ，它的面积为2ycm ．
（1）写出y 与x 之间的关系式，在这个关系式中，哪个是自变量？自变量的取值范围是怎样的？
（2）在下面的表格中填上当x 从1变到9时（每次增加1），y 的相应值； ()x cm
1 2 3 4 5 6 7 8 9
()2y cm
（3）根据表格中的数据，请你猜想一下：怎样围才能使得到的长方形的面积最大？最大是多少？
（4）请你估计一下：当围成的长方形的面积是222cm 时，x 的值应在哪两个相邻整数之间？
25．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，已知80AOC ︒∠=，射线OE 把BOD ∠分成两个角，且∠BOE ；3:5EOD ∠=． （1）求EOB ∠的度数；
（2）过点O 作射线OF OE ⊥，求BOF ∠的度数．
26．已知多项式()()
2
2
14A x x y =+--．
（1）化简多项式A ；
（2）若21y x =-，求A 的值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】
A. 367人中至少有2人生日相同 ，是必然事件，故A 不符合题意；
B. 打开电视，正在播广告，是随机事件，故B 符合题意；
C. 没有水分，种子发芽， 是不可能事件，故C 不符合题意；
D. 如果a 、b 都是实数，那么+=+a b b a ，是必然事件，故D 不符合题意. 故选B. 【点睛】
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．A
解析：A
【解析】 【分析】
根据概率公式直接进行解答即可． 【详解】
解：∵有甲，乙，丙，丁四位选手， ∴丙跑第一棒的概率为14
； 故选：A ． 【点睛】
本题考查概率公式．随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
3．D
解析：D 【分析】
必然事件是指一定会发生的事件，概率为1，根据该性质判断即可． 【详解】
掷一枚质地均匀的骰子，每一面朝上的概率为
1
6
，而小于6的情况有5种，因此概率为5
6
，不是必然事件，所以A 选项错误； 多边形内角和公式为()2180n -︒，不是一个定值，而是随着多边形的边数n 的变化而变化，所以B 选项错误；
二次函数解析式的一般形式为2y ax bx c =++()0a ≠，而当c=0时，二次函数图象经过原点，因此不是必然事件，所以C 选项错误；
圆周长公式为2C r π=，当r=2时，圆的周长为4π，所以D 选项正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查了必然事件的概念，关键是根据不同选项所包含的知识点的概念进行判断对错；必然事件发生的概率为1，随机事件发生的概率为0<P<1，不可能事件发生的概率为0．
4．D
解析：D 【分析】
连接AE ，由三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分，用m 表示出△AEG 的面积，再由等高三角形面积比等于底边之比求解即可. 【详解】
解:如图，连接AE ，
设1CEG
S
=，则FCD
S m =，
∵F 为AD 的中点，
2ACD ACB
S S
m ∴==，
1AEG
S
m ∴=-
∴
1AEG CEG
S
AG m CG S
==-
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，掌握三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分是解题的关键.
5．D
解析：D 【分析】
过B 点作BM ⊥AD 于M 点，作BN ⊥AC 于N 点，P 点在AD 上运动，，利用三角形的面积求出BN ，进而得到BM ，BM 的长即为BP 的最小值. 【详解】
如图，过B 点作BM ⊥AD 于M 点，作BN ⊥AC 于N 点，△ABC 面积为24，AC 为6，故可得到BN=24×2÷6=8，因为△ABC 翻转得到ABC ∆'，故=A B C C B A ，所以有BM=BN=8，所以BP 的最小值为8，选项中只有D 选项大于8，故选D.
【点睛】
本题考查翻转的性质，解题关键在于能够合理做出辅助线.
6．B
解析：B 【分析】
根据轴对称的性质，即可求出∠AOB 的度数. 【详解】
∵折叠纸飞机的过程，对折了3次， ∴180°÷2÷2÷2=22.5°，
∴机翼展开在同一平面时，∠AOB=22.5°×2=45°， 故选B. 【点睛】
本题主要考查轴对称的性质，理解通过折叠，把原来的角平分，是解题的关键.
7．C
解析：C 【分析】
利用同角的余角相等可判断①，利用角的和差与直角三角形的性质可判断②，利用平行线的性质先求解CAD ∠，
再利用结论②可判断③，由150CAD ∠=︒，先求解230∠=︒， 如图，记,AB DE 交于,G 再求解90AGE ∠=︒， 再利用三角形的外角的性质求解4∠， 从而可判断④． 【详解】 解：
90BAC DAE ∠=∠=︒，
122390∴∠+∠=∠+∠=︒， 13∴∠=∠，
故①符合题意， 19090180BAE CAD BAE DAE BAC DAE ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故②符合题意；
//,BC AD
180C CAD ∴∠+∠=︒， 45C ∠=︒， 135CAD ∴∠=︒，
218018013545CAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 故③不符合题意； 150180CAD BAE CAD ∠=︒∠+∠=︒，， 30BAE ∴∠=︒，
如图，记,AB DE 交于,G
60E ∠=︒，
180306090AGE ∴∠=︒-︒-︒=︒，
45,B C ∠=∠=︒
4904545.AGE B ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 4.C ∴∠=∠ 故④符合题意，
综上：符合题意的有①②④． 故选：.C 【点睛】
本题考查的是角的和差，余角与补角，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
8．D
解析：D 【分析】
易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确； 【详解】
∵ BD 为∠ABC 的角平分线， ∴ ∠ABD=∠CBD ，
∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ， ∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确； ∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ， ∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ， ∵△ABD ≌△EBC ， ∴∠BCE=∠BDA ，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， 故②正确；
∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ， ∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ， ∴△ACE 是等腰三角形， ∴AE=EC ， ∵△ABD ≌△EBC ， ∴AD=EC ， ∴AD=AE=EC ， 故③正确；
作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示： ∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，
在△BEG 和△BEF 中BE BE
EF EG =⎧⎨
=⎩
∴ △BEG ≌△BEF ，
∴BG=BF，
在△CEG和△AFE中
EF EG AE CE
=
⎧
⎨
=
⎩
∴△CEG≌△AFE，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；
9．C
解析：C
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐一判断即得答案．
【详解】
解：①若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据SSS能使△ABC≌△DEF；
②若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则根据SAS能使△ABC≌△DEF；
③若∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F，则根据AAS能使△ABC≌△DEF；
④若AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，满足有两边及其一边的对角对应相等，不能使
△ABC≌△DEF；
综上，能使△ABC≌△DEF的条件共有3组．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，直接将输入数据代入即可求解．
【详解】
输出数据的规律为
2+1
n
n ， 当输入数据为8时,输出的数据为288+1=865
. 故答案选：C. 【点睛】
本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算.
11．B
解析：B 【分析】
通过平行线的判定的相关知识点，并结合题中所示条件进行相应的分析，即可得出答案. 【详解】
A.∠1 ,∠2是互补角，相加为180°不能证明平行，故A 错误.
B.∠2=∠4，内错角相等，两直线平行，所以B 正确.
C. ∠2+∠3＝180°，不能证明a ∥b ，故C 错误.
D.虽然∠1=∠3，但是不能证明a ∥b ；故D 错误. 故答案选：B. 【点睛】
本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定.
12．C
解析：C 【分析】
根据阴影部分的面积的不同表示方法，即可求出答案． 【详解】
解：如图所示，根据图中的阴影部分面积可以表示为：（a-b ）2 图中的阴影部分面积也可以表示为：a 2-2ab+b 2 可得：（a-b ）2=a 2-2ab+b 2
故选：C 【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是能用算式表示出阴影部分的面积
二、填空题
13．【分析】根据概率的计算公式计算即可【详解】∵有50名同学有35名同学达到优秀∴此次测试中数学成绩达到优秀的概率是=；故答案为：【点睛】本题考查了简单概率的计算熟记概率计算公式是解题的关键
解析：
7 10
．
【分析】
根据概率的计算公式计算即可．
【详解】
∵有50名同学，有35名同学达到优秀，
∴此次测试中数学成绩达到优秀的概率是35
50=
7 10
；
故答案为：
7 10
．
【点睛】
本题考查了简单概率的计算，熟记概率计算公式是解题的关键．14．【解析】试题
解析：4 9 .
【解析】
试题
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况，
∴两次摸出的球都是黄球的概率是4
9
.
考点：列表法与树状图法．
15．5【分析】作EF⊥BC于F根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2然后根据三角形面积公式求得即可【详解】解：作EF⊥BC于F∵CE平分
∠ACBBD⊥ACEF⊥BC∴EF＝DE＝2∴S△BCEBC•EF5
解析：5
【分析】
作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】
解：作EF ⊥BC 于F ，
∵CE 平分∠ACB ，BD ⊥AC ，EF ⊥BC ， ∴EF ＝DE ＝2， ∴S △BCE 1
2=
BC•EF 12
=⨯5×2＝5． 故答案为：5． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
16．5【解析】【分析】首先过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E 交AD 于点M 过点M 作MN ⊥AC 于点N 由AD 是∠BAC 的平分线由垂线段最短得出MN=MEMC+MN=CE 的长度最后通过三角形面积公式即可求解【详解】
解析：5 【解析】 【分析】
首先过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交AD 于点M ，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，由AD 是∠BAC 的平分线，由垂线段最短得出MN=ME ，MC+MN= CE 的长度，最后通过三角形面积公式即可求解. 【详解】
过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E,交AD 于点M,过点M 作MN ⊥AC 于点N, ∵AB ＝AC
∴△ABC 是等腰三角形 ∴AD 是∠BAC 的平分线
∴MN =ME ，则此时MC +MN 有最小值，即CE 的长度，
152
CE AB
⨯∴=
5CE ∴=
【点睛】
本题主要考查等腰三角形三线合一定理，三角形面积公式，垂线段最短，运用数形结合思想是解题关键.
17．4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE
解析：4cm ． 【分析】
由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=12BC=1
2
BD=4． 【详解】
解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°， ∴∠ABC+∠DEB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠A=90°， ∴∠A=∠DEB ， 在△ABC 和△EDB 中，
ACB DBC
A DEB
AB DE ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ）， ∴BD=BC ，AC=BE ， ∵E 是BC 的中点，BD=8cm ， ∴BE=
12BC=1
2
BD=4cm ， ∴AC=4cm ． 故答案为：4cm ． 【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
18．v02st 【分析】因为在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中再结合函数的概念
即可作出判断【详解】解:因为在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）所以v02是常量st是变量【点睛】本题考查了变量与
解析：v0、2 s、t
【分析】
因为在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中,再结合函数的概念即可作出判断.
【详解】
解:因为在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）,所以v0、2 是常量,s、t是变量.
【点睛】
本题考查了变量与常量的识别,属于简单题,熟悉变量之间的定义是解题关键.函数的定义:在一个变化过程中,有两个变量x,y,对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,则y是x的函数,x叫自变量；常量与变量:在某一变化过程中始终保持不变的量叫常量;不断变化的量叫变量.
19．72【分析】根据平角的定义可求再根据平行线的性质即可求解【详解】解：如图过两平行线中间角的顶点作的平行线由平行线的性质可得解得故答案为：72【点睛】考查了平行线的性质关键是熟悉两直线平行内错角相等的
解析：72
【分析】
∠=︒，再根据平行线的性质即可求解．
根据平角的定义可求160
【详解】
解：如图，过两平行线中间角的顶点作a的平行线，
∠=︒-︒=︒，
118012060
x+︒=︒+︒+︒，
由平行线的性质可得48603030
x=︒．
解得72
故答案为：72．
【点睛】
考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点．
20．【分析】把化成同底数幂的除法算式得出的值然后整体代入算式即可求解【详解】∵∴∴故答案为：2017【点睛】此题考查了同底数幂的除法的逆运算然后用到整体代入的思想求解要熟练同底数幂的除法的法则是解题的关键
解析：【分析】
把3927x y ÷=化成同底数幂的除法算式232333=3x y x y -÷=得出2x y -的值，然后整体代入算式即可求解． 【详解】
∵23933x y x y ÷=÷
23x y -= 33=
∴23x y -=，
∴202022020(2)y x x y +-=--
20203=- 2017=．
故答案为：2017． 【点睛】
此题考查了同底数幂的除法的逆运算，然后用到整体代入的思想求解．要熟练同底数幂的除法的法则是解题的关键．
三、解答题
21．
1
2
3
1
（2,1） （3,1）
（
,1）
（
,1）
2
（1,2）
（3,2）
（
,2）
（
,2）
3
（1,3）
（2,3）
（
,3）
（
,3）
（1,）
（2,）
（3,
）
（
,）
（1,
）
（2,
）
（3,
）
（
,
）
当时，∴点（1,），（1,）在△AOB内部，
当时，∴点（2,），（2,）在△AOB内部，
当时，∴设上述点在△AOB内部，
当时，则点（,1）（,2），（,）在△AOB内部，
当时，则点（,1）（,2）, （,）在△AOB内点，
则点P在△AOB的内部概率P(内部)
【解析】
试题分析：由列表法得到所有的点，再找出在△AOB内部的点的个数即可．
试题
由题意得，列表如下：
123
1（1,2）（1,3）
（1，）（1，）
2（2,1）（2,3）
（2，）（2，）
3（3,1）（3,2）
（3，）（3，）（,1）（,2）（,3）（，）
（,1）（,2）（,3）（，）
所有的点共有20个，当x=1时，y=2，点（1，），（1，）在△AOB内部，有2个；
当x=2时，y=1，点（2，），（2，）在△AOB 内部，有2个； 当x=3时，y=0，没有点在△AOB 内部，有0个；
当x=时，y=，点（，1），（,2），（，）在△AOB 内部，有3个； 当x=时，y=，点（，1），（,2），（，）在△AOB 内部，有3个； 可以发现落在△AOB 内的点共有10个，所以点P 落在△AOB 内的概率为=．
考点：1．概率公式；2．一次函数的性质．
22．（1）120°；（2）60°，90°．（3）∠CBE 不变，是90°． 【分析】
（1）根据∠A′BD=180°-2∠1计算即可． （2）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE ，可得∠2=1
2
∠A′BD=60°， （3）由∠1+∠2=12∠ABA′+12∠A′BD=1
2
（∠ABA′+∠A′BD ）计算即可． 【详解】
解：（1）∵∠1=30°， ∴∠1=∠ABC=30°，． ∴∠A′BD=180°-30°-30°=120° （2）∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE ， ∴∠2=
1
2
∠A′BD=60°， ∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°． （3）结论：∠CBE 不变． ∵∠1=
12∠ABA′，∠2=1
2
∠A′BD ，∠ABA′+∠A′BD=180°， ∴∠1+∠2=12∠ABA′+1
2
∠A′BD =1
2（∠ABA′+∠A′BD ） =
1
2
×180° =90°． 即∠CBE=90°． 【点睛】
本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题．
23．（1）见详解；（2）BD=CE ，BD ⊥CE ；（3）902
α︒-
【分析】
（1）根据三角形全等的证明方法SAS 证明两三角形全等即可；
（2）由（1）△AEC ≌△ADB 可知CE=BD 且CE ⊥BD ；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A 分别做AM ⊥CE ，AN ⊥BD ，易知AF 平分∠DFC ，进而可知∠CFA 【详解】
（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE ， ∴ ∠CAE=∠BAD ， ∵AB=AC ，AE=AD 在△AEC 和△ADB 中
AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪
⎨⎪⎩
∠=∠= ∴ △AEC ≌△ADB （SAS ）
（2）CE=BD 且CE ⊥BD ，证明如下： 将直线CE 与AB 的交点记为点O ， 由（1）可知△AEC ≌△ADB ， ∴ CE=BD ， ∠ACE=∠ABD ， ∵∠BOF=∠AOC ，∠α=90°， ∴ ∠BFO=∠CAB=∠α=90°， ∴ CE ⊥BD ．
（3）过A 分别做AM ⊥CE ，AN ⊥BD 由（1）知△AEC ≌△ADB ， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF 平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=α ∴∠DFC=180°-α ∴∠CFA=
12
∠DFC=902α︒-
【点睛】
本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；
24．（1）y=210x x -，x 是自变量，010x <<；（2）见解析；（3）当长方形的长与宽相等，即x 为5时，y 的值最大，最大值为225cm ；（4）当围成的长方形的面积是222cm 时，x 的值应在3和4之间或6和7之间．
【分析】
（1）根据周长的等量关系可得长方形的另一边为10-x ，那么面积=x （10-x ），自变量是x ，取值范围是0＜x ＜10；
（2）把相关x 的值代入（1）中的函数解析式求值即可；
（3）根据表格可得x 为5时，y 的值最大；
（4）观察表格21＜y ＜24时，对应的x 的取值范围即为所求．
【详解】
（1）(202)y x x =÷-2(10)10x x x x =-=-．
x 是自变量，010x <<．
（2）当x 从1变到9时（每次增加1），y 的相应值列表如下 ()x cm 1 2
3 4 5 6 7 8 9 ()2y cm 9
16 21 24 25 24 21 16 9 （）当长方形的长与宽相等，即为时，的值最大，最大值为25cm ．（4）由表格可知，当围成的长方形的面积是222cm 时，x 的值应在3和4之间或6和7之间．
【点睛】
本题考查了变量与函数，函数的表示方法，求函数值等知识．用到的知识点为：长方形的长与宽的和等于周长的一半；长方形的面积等于长×宽．
25．（1）30°；（2）120°或60°
【分析】
（1）根据对顶角相等可得∠BOD =∠AOC ，然后根据比例求解即可；
（2）分OF 在∠AOD 的内部时，∠BOF =∠EOF +∠BOE ，OF 在∠BOC 的内部时，∠BOF =∠EOF -∠BOE 进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）∵∠AOC =80°，
∴∠BOD =∠AOC =80°，
∵∠BOE ：∠EOD =3：5，
∴∠BOE =80°×335
+=30°； （2）∵OF ⊥OE ，
∴∠EOF =90°，
OF 在∠AOD 的内部时，
∠BOF =∠EOF +∠BOE
=90°+30°，
=120°，
OF 在∠BOC 的内部时，
∠BOF =∠EOF -∠BOE
=90°-30°，
=60°，
综上所述：∠DOF =120°或60°．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质，角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键． 26．（1）214x y ++；（2）3
【分析】
（1）整式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号就先算小括号里面的；
（2）由21y x =-变形可得x+2y=1，然后整体代入求值即可．
【详解】
解：（1）A=（x+1）2﹣（x 2﹣4y ）
=x 2+2x+1﹣x 2+4y
=2x+1+4y ；
（2）∵ 2y=1-x
∴x+2y=1，
由（1）得：A=2x+1+4y=2（x+2y ）+1
∴A=2×1+1=3．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．。