正弦函数、余弦函数的图像(附答案解析)

正弦函数.余弦函数的图象
[进修目的] 1.懂得运用单位圆中的正弦线画正弦曲线的办法.2.控制“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步折衷办法,能用“五点法”作出简略的正弦.余弦曲线.3.懂得正弦曲线与余弦曲线之间的接洽．
常识点一 正弦曲线
正弦函数y ＝sin x(x∈R)的图象叫正弦曲线．
运用几何法作正弦函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象的进程如下： ①作直角坐标系,并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆,如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图象越准确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线,可以得到对应于0,π6,π3,π
2,…,2π等
角的正弦线．
③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合．
⑤连线：用滑腻的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右衔接起来,即得y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象．
在精度请求不太高时,y ＝sin x,x∈[0,2π]可以经由过程找出(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,－1),(2π,0)五个症结点,再用滑腻
曲线将它们衔接起来,就可得正弦函数的简图．
思虑 在所给的坐标系中若何画出y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象？若何得到y ＝sin x,x∈R 的图象？
答案 y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：
只要将函数y ＝sin x,x∈[0,2π)的图象向左.向右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象． 常识点二 余弦曲线
余弦函数y ＝cos x(x∈R)的图象叫余弦曲线． 依据引诱公式
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x ＋π2＝cos x,x∈R.只需把正弦函数
y ＝sin
x,x∈R 的图象向左平移π
2个单位长度即可得到余弦函数图象(如
图)．
要画出y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,可以经由过程描出
(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π20,(π,－1),⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
32π0,(2π,1)五个症结点,再用滑腻曲线
将它们衔接起来,就可以得到余弦函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象．
思虑 鄙人面所给的坐标系中若何画出y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象？ 答案
题型一 “五点法”作图的运用
例1 运用“五点法”作出函数y ＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解 (1)取值列表：
(2)描点连线,
跟踪练习 1 作函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x,x∈[0,2π]的简图,并研讨它们之间的关系． 解 按五个症结点列表：
x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋sin x
－1
－1
－2
－1
由图象可以发明,把y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x,x∈[0,2π]的图象． 题型二 运用正弦.余弦函数图象求界说域
例2 求函数f(x)＝lg sin x ＋16－x2的界说域． 解 由题意得,x
知足不等式组⎩⎪⎨
⎪
⎧
sin x>016－x2≥0
即⎩⎪⎨⎪⎧
－4≤x≤4sin x>0
作出y ＝sin x 的图象,如图所示．
联合图象可得界说域：x∈[－4,－π)∪(0,π)．
跟踪练习2 求函数f(x)＝lg cos x ＋25－x2的界说域． 解 由题意得,x
知足不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
cos x>0
25－x2≥0
,
即⎩⎪⎨⎪⎧
cos x>0
－5≤x≤5
,作出y ＝cos x 的图象,如图所示．
联合图象可得界说域：
x∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－5－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2
π2
∪⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤32π5.
题型三 运用正弦.余弦函数图象断定零点个数
例3 在统一坐标系中,作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象,依据图象断定出方程sin x ＝lg x 的解的个数．
解 树立坐标系xOy,先用五点法画出函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象,再依次向左.右持续平移2π个单位,得到y ＝sin x 的图象．
描出点(1,0),(10,1)并用滑腻曲线衔接得到y ＝lg x 的图象,如图所示．
由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个． 跟踪练习3 方程x2－cos x ＝0的实数解的个数是． 答案 2
解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x2的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解．
数形联合思惟在三角函数中的运用
例4 函数f(x)＝sin x ＋2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不合的交点,求k 的取值规模．
解
f(x)＝sin x ＋2|sin x|＝⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
3sin x
x∈[0π]
－sin x x∈π2π].
图象如图,
若使f(x)的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不合的交点,依据图可得k 的取值规模是(1,3)．
1．函数y ＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴
C ．直线y ＝x
D ．直线x ＝π2
2．用五点法画y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是症结点( ) A ．(π6,12)
B ．(π2,1)
C ．(π,0)
D ．(2π,0)
3．函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝－1
2的交点为
A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝.
4．运用“五点法”画出函数y ＝2－sin x,x∈[0,2π]的简图．
5．已知
0≤x≤2π,试摸索sin x 与cos x 的大小关系．
一.选择题
1．函数y ＝－sin x,x∈
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－π2
3π2的简图是(
)
2．在统一平面直角坐标系内,函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝sin
x,x∈[2π,4π]的图象( ) A ．重合
B ．外形雷同,地位不合
C ．关于y 轴对称
D ．外形不合,地位不合
3．方程sin x ＝x
10
的根的个数是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 4．函数y ＝cos x ＋|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为( ) 5．如图所示,函数y ＝cos x|tan x|(0≤x<3π2且x≠π
2)的图象是
( )
6．若函数y ＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个关闭的平面图形,则这个关闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D．4π 二.填空题 7．函数y ＝
log 1
2
sin x 的界说域是．
8．函数y ＝2cos x ＋1的界说域是．
9．函数f(x)＝sin x ＋1
16－x2
的界说域为．
10．设0≤x≤2π,且|cos x －sin x|＝sin x －cos x,则x 的取值规模为． 三.解答题
11．用“五点法”画出函数y ＝1
2＋sin x,x∈[0,2π]的简图．
12．依据y ＝cos x 的图象解不等式： －32≤cos x≤1
2,x∈[0,2π]．
13．分离作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x|,x∈R; (2)y ＝sin|x|,x∈R. 当堂检测答案 1．答案 D 2．答案 A 3．答案 3π 解析 如图所示, x1＋x2＝2×3π
2＝3π.
4．解 (1)取值列表如下：
x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x
2
1
2
3
2
(2)描点连线,
5．解 用“五点法”作出y ＝sin x,y ＝cos x(0≤x≤2π)的简图． 由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π
4
时,sin x ＝cos x;
②当π4<x<5π
4
时,sin x>cos x;
③当0≤x<π4或5π
4<x≤2π时,sin x<cos x.
课时精华精辟答案 一.选择题 1．答案 D 2．答案 B
解析 依据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝sin x,x∈[2π,4π]的图象只是地位不合,外形雷同． 3．答案 A
解析 在统一坐标系内画出y ＝x
10和y ＝sin x 的图象如图所示：
依据图象可知方程有7个根． 4．答案 D 解析 由题意得
y ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
2cos x 0≤x≤π2或3
2π≤x≤2π0
π2<x<32π.
显然只有D 适合． 5．答案 C
解析 当0≤x<π
2
时,y ＝cos x·|tan x|＝sin x;
当π
2<x≤π时,y ＝cos x·|tan x|＝－sin x;
当π<x<3π
2时,y ＝cos x·|tan x|＝sin x,
故其图象为C. 6．答案 D
解析 作出函数y ＝2cos x,x∈[0,2π]的图象,函数y ＝2cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的暗影部分．
运用图象的对称性可知该暗影部分的面积等于矩形OABC 的面积,又∵OA＝2,OC ＝2π,
∴S 暗影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 二.填空题
7．答案 {x|2kπ<x<2kπ＋π,k∈Z}
解析 由log 1
2sin x≥0知0<sin x≤1,由正弦函数图象知
2kπ<x<2kπ＋π,k∈Z.
8．答案
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2kπ－23
π
2kπ＋23π,k∈Z
解析
2cos x ＋1≥0,cos x≥－12,联合图象知
x∈
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2kπ－23
π
2kπ＋23π,k∈Z.
9．答案 (－4,－π]∪[0,π] 解析
⎩⎪⎨⎪⎧
sin x≥016－x2>0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
2kπ≤x≤2kπ＋π
－4<x<4
⇒－4<x≤－π或0≤x≤π.
10．答案
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
π4
5π4
解析 由题意知sin x －cos x≥0,即cos x≤sin x,在统一坐标系画出y ＝sin x,x∈[0,2π]与y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示：
不雅察图象知x∈
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤π4
5π4.
三.解答题
11．解 (1)取值列表如下：
x 0 π2 π 32π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1
2
＋sin x 12
32
12
－12
12
(2)描点.连线
12．解 函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示： 依据图象可得不等式的解集为 {x|π3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3}．
13．解
(1)y ＝|sin x|＝
⎩⎪⎨⎪⎧ sin x 2kπ≤x≤2kπ＋π－sin x 2kπ＋π<x≤2kπ＋2π (k∈Z)．
其图象如图所示,
(2)y ＝sin|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x x≥0－sin x x<0. 其图象如图所示,。