〖汇总3套试卷〗东莞市2021年九年级上学期期末适应性数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A ．2224()24b b ac x a a -+=
B ．2224()24b ac b x a a -+=
C ．2224()24b b ac x a a
--= D ．2224()24b ac b x a a
--= 【答案】A 【解析】首先进行移项，然后把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【详解】∵ax 2+bx+c=0，
∴ax 2+bx=−c ，
∴x 2+b a x=−c a
， ∴x 2
+b a x+2
24b a =−c a +224b a ， ∴(x+2b a )2=2244b ac a
-. 故选A.
2．如图，在四边形ABCD 中，90DAB ︒∠=，AD BC ∥，12
BC AD =
，AC 与BD 交于点E ，AC BD ⊥，则tan BAC ∠的值是（ ）
A ．14
B ．24
C ．22
D ．13
【答案】C
【分析】证明ABC DAE ∽，得出AB BC DA AB
=，证出2AD BC =，得出22AB BC AD BC BC =⨯=⨯22BC =，因此2AB BC =，在Rt ABC △中，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】∵AD BC ∥，90DAB ︒∠=，
∴18090ABC DAB ︒︒∠=-∠=，90BAC EAD ︒∠+∠=，
∵AC BD ⊥，
∴90AED ︒=∠，
∴90ADB EAD ︒∠+∠=，
∴BAC ADB ∠=∠，
∴ABC DAB ∽， ∴
AB BC DA AB
=， ∵12BC AD =， ∴2AD BC =，
∴2222AB BC AD BC BC BC =⨯=⨯=，
∴AB =，
在Rt ABC △中，tan
2BC BAC AB ∠=
==； 故选：C ．
【点睛】 本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．
3．一元二次方程2(21)(21)(1)x x x +=+-的解为（ ）
A ．1x =
B ．112x =- ，21x =
C ．112x =- ，22x =-
D ．112
x =-，22x = 【答案】C
【分析】通过因式分解法解一元二次方程即可得出答案.
【详解】2(21)(21)(1)0x x x +-+-= (21)(211)0x x x ++-+=
∴210x +=或2110x x +-+= ∴112
x =-
，22x =- 故选C
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键.
4．对于二次函数()2321y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．开口向下
B ．顶点坐标是()2,1
C ．对称轴是直线2x =-
D ．与x 轴有两个交点
【答案】B
【分析】根据二次函数基本性质逐个分析即可.
【详解】A.a=3，开口向上，选项A错误
B. 顶点坐标是()
2,1，B是正确的
C. 对称轴是直线2
x=，选项C错误
D. 与x轴有没有交点，选项D错误
故选:B
【点睛】
本题考核知识点：二次函数基本性质：顶点、对称轴、交点.解题关键点：熟记二次函数基本性质. 5．2sin603
︒+等于（）
A．23B．2 C．3 D．33
【答案】A
【分析】先计算60度角的正弦值，再计算加减即可.
【详解】
3
2sin6032323︒+=⨯+=
故选A.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值的计算，能够熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 6．如图，点A，B，C，D，E都在O上，且AE的度数为50︒，则B D
∠+∠等于（）
A．130︒B．135︒C．145︒D．155︒
【答案】D
【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE=∠ADE=25°，根据圆内接四边形的性质得出
∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，即可求得∠CBE+∠ADC=155°．
【详解】解：如图所示
连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE
∵AE=50°
∴∠ABE=∠ADE=25°
∵点A，B，C，D都在O上
∴∠ADC+∠ABC=180°
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°
∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．7．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）
A．极差是8℃B．众数是28℃C．中位数是24℃D．平均数是26℃
【答案】B
【解析】分析：根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．详解：由图可得，
极差是：30-20=10℃，故选项A错误，
众数是28℃，故选项B正确，
这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，
平均数是：202224262828303
25
77
++++++
=℃，故选项D错误，
故选B．
点睛：本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确．
8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，CD与BE交于点O，则S△DOE:S△BOC的值为（）
A ．1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
9
【答案】C
【分析】DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE＝
1
2
BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝
1
2
BC，
∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴
21
4
DOE
BOC
S DE
S BC
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．9．如图，点M为反比例函数y＝
1
x
上的一点，过点M作x轴，y轴的垂线，分别交直线y＝-x+b于C，D 两点，若直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，则AD·BC的值是（）
A．3 B．2C．2 D5
【答案】C
【分析】设点M的坐标为(
1
,m
m
)，将
1
y
m
=代入y＝-x+b中求出C点坐标，同理求出D点坐标，再根据两点之间距离公式即可求解．
【详解】解：设点M的坐标为(
1
,m
m
)，
将
1
y
m
=代入y＝-x+b中，得到C点坐标为(
11
,
b
m m
-)，
将x m
=代入y＝-x+b中，得到D点坐标为(,m m b
-+)，
∵直线y ＝-x+b 分别与x 轴，y 轴相交于点A ，B ，
∴A 点坐标(0，b)，B 点坐标为(b ，0)，
∴AD×BC=2222112(0)()()(0)22m m b b b b m m m m
-+-+-⨯-
-+-=⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，先设出M 点坐标，用M 点的坐标表示出C 、D 两点的坐标是解答此题的关键． 10．函数22k y x
--=(k 为常数)的图像上有三个点(-2，y 1)，(-1，y 2)，(12，y 3)，函数值y 1，y 2，y 3的大小为( )
A ．123
y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >>
D ．312y y y >> 【答案】B
【解析】∵−k 2−2<0，
∴函数图象位于二、四象限，
∵(−2，y 1)，(−1，y 2)位于第二象限，−2<−1，
∴y 2>y1>0；
又∵(12
，y 3)位于第四象限， ∴3y <0，
∴213y y y >>.
故选B.
点睛：在反比例函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分是否在同一象限内.在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较.
11．如图，在正方形ABCD 中，H 是对角线BD 的中点，延长DC 至E ，使得DE=DB ，连接BE ，作DF ⊥BE
交BC 于点G ，交BE 于点F ，连接CH 、FH ，下列结论：（1）HC=HF ；（2）DG=2EF ；（3）BE·DF=2CD 2；（4）
S △BDE =4S △DFH ；（5）HF ∥DE ，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF=BF，根据H是正方形对角线BD的中点可得CH=DH=BH，
即可证明HF是△BDE的中位线，可得HF=1
2
DE，HF//DE；由BD=DE即可得HC=HF；利用直角三角形两锐
角互余的关系可得∠CBE=∠CDG，利用ASA可证明△BCE≌△DCG，可得DG=BE，可判定DG=2EF，由正方
形的性质可得BD2=2CD2，根据∠CBE=∠CDG，∠E是公共角可证明△BCE∽△DFE，即可得DE DF
BE BC
=，即
BE·DF=DE·BC，可对③进行判定，根据等底等高的三角形面积相等可对④进行判定，综上即可得答案. 【详解】∵BD=DE，DF⊥BE，
∴EF=BF，
∵H是正方形ABCD对角线BD的中点，
∴CH=DH=BH=1
2 BD，
∴HF是△BDE的中位线，
∴HF=1
2
DE=
1
2
BD=CH，HF//DE，故①⑤正确，
∵∠CBE+∠E=90°，∠FDE+∠E=90°，∴∠CBE=∠FDE，
又∵CD=BC，∠DCG=∠BCE=90°，
∴△BCE≌△DCG，
∴DG=BE，
∵BE=2EF，
∴DG=2EF，故②正确，
∵∠CBE=∠FDE，∠E=∠E，
∴△BCE∽△DFE，
∴DE DF
BE BC
=，即BE·DF=DE·BC，
∵BD2=CD2+BC2=2CD2
∴DE2=2CD2，
∴DE·BC≠2CD2，
∴BE·DF≠2CD2，故③错误，
∵DH=1
2 BD，
∴S△DFH=1
2
S△DFB，
∵BF=1
2 BE，
∴S △DFB =12
S △BDE ， ∴S △DFH =14S △BDE ，即S △BDE =4S △DFH ，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②④⑤，共4个，
故选B.
【点睛】
本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及三角形中位线的性质，综合性较强，熟练掌握所学性质及定理是解题关键.
12．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ＇OB ＇，若∠AOB=15°，则∠AOB ＇的度数是（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
【答案】B 【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA -∠A′OB′=45°-15°=30°，
故选B ．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，将ABC ∆绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''∆，若40A ∠=︒，110B '∠=︒，则B CA '∠的度数是__________．
【答案】20︒
【分析】根据旋转的性质，得到'50ACA ∠=︒，'40A ∠=︒，
利用三角形内角和定理，得到''30A CB ∠=︒，即可得到答案.
【详解】解：将ABC ∆绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''∆，
∴'50ACA ∠=︒，'40A A ∠=∠=︒，
∴''1801104030A CB ∠=︒-︒-︒=︒，
∴503020B CA '∠=︒-︒=︒.
故答案为：20°.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，以及角的和差问题，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，正确求出角的度数.
14．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是____.
【答案】716 【解析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率． 【详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝
774416=⨯， 故答案为：
716． 【点睛】
本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
15．用一根长为31cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 1．
【答案】2．
【解析】试题解析：设矩形的一边长是xcm ，则邻边的长是（16-x ）cm ．
则矩形的面积S=x （16-x ），即S=-x 1+16x ，
当x=-16822
b a -=-=-时，S 有最大值是：2． 考点：二次函数的最值．
16．如图，竖直放置的一个铝合金窗框由矩形和弧形两部分组成，AB=3m ，AD= 2m ，弧CD 所对的圆心角为∠COD=120°．现将窗框绕点B 顺时针旋转横放在水平的地面上，这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为__m ．
【答案】（13
【分析】连接OB ，过O 作OH ⊥BC 于H ，过O 作ON ⊥CD 于N ，根据已知条件求出OC 和OB 的长即可．
【详解】连接OB ，过O 作OH ⊥BC 于H ，过O 作ON ⊥CD 于N ，
∵∠COD=120°，CO=DO，∴∠OCD=∠ODC=30°，∵ON⊥CO，
∴CN=DN=1
2
CD=
1
2
AB=
3
2
m，
∴ON=3
CN=
1
2
m，OC=1m，
∵ON⊥BC，
∴四边形OHCN是矩形，
∴CH=ON=1
2
m，OH=CN=
3
m，
∴BH=BC-CH=3
2 m，
∴OB=22
BH OH
=3m，
∴在这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为（3+1）m，
故答案为：（3+1）．
【点睛】
本题考查了垂径定理，矩形的性质和判定，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
17．如图，将一张画有内切圆⊙P的直角三角形纸片AOB置于平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B （4，0），⊙P与三角形各边相切的切点分别为D、E、F．将直角三角形纸片绕其右下角的顶点依次按顺时针方向旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则直角三角形纸片旋转2018次后，它的内切圆圆心P的坐标为____．
【答案】(8075,1)
【分析】旋转后的三角形内切圆的圆心分别为P1，P2，P3，过圆心作垂直于x轴，分别交x轴于点为E1，
E2，E3，根据已知A(0,3)，B(4,0)，可求得AB长度和三角形内切圆的半径，依次求出OE1，OE2，OE3，OE4，OE5，OE6的长，找到规律，求得OE2018的长，即可求得直角三角形纸片旋转2018次后，它的内切圆圆心P的坐标．
【详解】如图所示，旋转后的三角形内切圆的圆心分别为P1，P2，P3，过圆心作垂直于x轴，分别交x轴于点为E1，E2，E3
设三角形内切圆的半径为r
∵△AOB是直角三角形，A(0,3)，B(4,0)
∴22
345
AB+=
∵⊙P是△AOB的内切圆
∴1111
+
2222 OA OB AB r OB r OA r ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯
即1111
345+43 2222
r r r ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯
∴r=1
∴BE=BF=OB-OE=4-1=3
∵△BO1A1是△AOB绕其B点按顺时针方向旋转得到
∴BE1=BF=3
∴OE1=4+3
∵A1E2=3-1=2
∴OE2=4+5+2
∴OE3=4+5+3+1
同理可推得OE4=4+5+3+4+3，OE5=4+5+3+4+5+2，OE6=4+5+3+4+5+3+1
2018÷3=672⋯⋯2
OE2018=672×(4+5+3)+(4+5+2)=8075
三角形在翻折后内切圆的纵坐标不变
∴P2018(8075,1)
故答案为：(8075,1)
【点睛】
本题是坐标的规律题，考查了图形翻折的性质，翻转后图形对应的边和角不变，本题应用了三角形内切圆的性质，及三角形内切圆半径的求法，用勾股定理解直角三角形等知识．
18．像23
x+＝x这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+2＝x2，解得x1＝2，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x1＝2时，9＝2满足题意；当x2＝﹣1时，1＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝2．运用以上经验，则方程x+5
x+＝1的解为_____．【答案】x＝﹣1
【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
【详解】解：将x移到等号右边得到：5
x+＝1﹣x，
两边平方，得
x+5＝1﹣2x+x2，
解得x1＝4，x2＝﹣1，
检验：x＝4时，4+54
+＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解，
当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点睛】
本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．
（1）男生当选班长的概率是；
（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．
【答案】（1）1
2
（2）
1
6
【详解】解：（1）1
2
；
（2）树状图为；
所以，两位女生同时当选正、副班长的概率是
21
126
=．（列表方法求解略）·
（1）男生当选班长的概率=21 42 =
（2）与课本上摸球一样，画出树状图即可
20．如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
（1）求证：∠AOC=135°
（2）若NC=3，BC=25，求DM的长
【答案】（1）见解析；（2）DM=1．
【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；
(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据222
BC BD CD
=+，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，
∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB
∴OM=OE
即：E为⊙O的切点；
∴OE=ON，
又∵OE⊥AC，ON⊥CD
∴OC 平分∠ACD ∵CD ⊥AB ∴∠ADC=90° ∴∠DAC+∠ACD=90° ∴∠OAC+∠OCA=45°
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA ）=180°-45°=135°， 即：∠AOC=135°
（2）由（1）得，AM=AE ，DM=DN ，CN=CE=3，设DM=DN=x ， ∵AB=AC
∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x ∵CD=3+x
在Rt∆BCD 中，由勾股定理得：222BC BD CD =+ 即：()()2
2
2
2533x x =-++ 解得：x=1或x=-1（舍去） 即DM=1． 【点睛】
本题考查切线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程． 21．如图，BC 是
O 的弦，OD BC 于E ，交O 于D ，若8,2BC ED ==，求O 的半径.
【答案】5.
【分析】连接OB ，由垂径定理得BE=CE=4，在Rt OEB 中，根据勾股定理列方程求解. 【详解】解：连接OB
,8OD BC BC ⊥=
1
42
BE CE BC ∴=
=＝ 设
O 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-
在Rt OEB 中，由勾股定理得
222OE BE OB =＋，即()2
22
42R R +=-
解得5R ＝
O ∴的半径为5
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理，利用勾股定理列方程求解是解答此题的关键.
22．从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率． 【答案】表见解析，
1
3
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【详解】解：列表如下： ﹣3 ﹣1
2
4
﹣3 ﹣﹣﹣ （﹣1，﹣3） （2，﹣3） （4，﹣3） ﹣1 （﹣3，﹣1） ﹣﹣﹣ （2，﹣1） （4，﹣1） 2 （﹣3，2） （﹣1，2） ﹣﹣﹣ （4，2） 4
（﹣3，4）
（﹣1，4）
（2，4）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中点（x ，y ）落在第二象限内的情况有4种， ∴该点在第二象限的概率为412＝13
． 【点睛】
本题主要考查了列表法或树状图法求概率，熟练的用列表法或树状图法列出所有的情况数是解题的关键. 23．如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是⊙O 外一点且满足∠DCA ＝∠B ，连接AD ．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；
（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．【答案】（1）见解析；（2）AC的长为45；（3）AC＝BC+2EC，理由见解析
【分析】(1)连接OC,由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°,由OC=OB得出∠OCB=∠B,由因为∠DCA=∠B,从而可得∠DCA=∠OCB,即可得出∠DCO=90°;
(2) 由题意证明△ACD∽△ABC,根据对应边成比例列出等式求出AC即可;
(3) 在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，通过条件证明△AEF≌△BEC,根据性质推出△EFC为等腰直角三角形,即可证明AC、EC、BC的数量关系．
【详解】(1)证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠DCA＝∠B，
∴∠DCA＝∠OCB，
∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，
∴CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵AD⊥CD
∴∠ADC＝∠ACB＝90°
又∵∠DCA＝∠B
∴△ACD∽△ABC
∴AC AD
AB AC
=，即
8
10
AC
AC
=，
∴AC＝5
即AC的长为4
5；
(3)解：AC＝BC+2EC；理由如下：
在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠DAB＝45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，
在△AEF和△BEC中，
AE BE
EAF EBC AF BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEF≌△BEC(SAS)，
∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴△EFC为等腰直角三角形．
∴CF2EC，
∴AC＝AF+CF＝2EC．
【点睛】
本题考查圆与三角形的结合,关键在于牢记基础性质,利用三角形的相似对应边以及三角形的全等进行计算．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：四边形BDFG为菱形；
（2）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）由BD=FG，BD//FG可得四边形BDFG是平行四边形，根据CE⊥BD可得∠CFA＝∠CED＝90°，
根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=DF=1
2
AC，即可证得结论；
（2）设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，利用勾股定理列方程可求出x的值，进而可得答案．【详解】（1）∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，BD//AG，
∴∠CFA＝∠CED＝90°，
∵点D是AC中点，
∴DF＝1
2 AC，
∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，
∴BD＝1
2 AC，
∴BD＝DF，
∴平行四边形BGFD是菱形．
（2）设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，x＝﹣41
3
（舍去），
∵四边形BDFG是菱形，
∴四边形BDFG的周长＝4GF＝1．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题关键．
25．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？
【答案】（1）甲、乙样本的平均数分别为：40kg，40kg；产量总和为7840千克（2）乙．
【分析】（1）根据折线图先求出甲山和乙山的杨梅的总数就可以求出样本的平均数；利用样本平均数代替总体平均数即可估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）根据甲乙两山的样本数据求出方差，比较大小就可以求出结论．
【详解】解：（1）甲山上4棵树的产量分别为：50千克、36千克、40千克、34千克，
所以甲山产量的样本平均数为：
50364034
==40
4
x
+++
千克；
乙山上4棵树的产量分别为：36千克、40千克、48千克、36千克，
所以乙山产量的样本平均数为
36404836
==40
4
x
+++
千克．
答：甲、乙两片山上杨梅产量数样本的平均数分别为：40kg，40kg；甲、乙两山的产量总和为：100×98%×2×40=7840千克．
（2）由题意，得
S甲2=
2222
(4050)(4036)(4040)(4034)
=38
4
-+-+-+-
（千克2）；
S乙2=
2222
(4036)(4040)(4048)(4036)
=24
4
-+-+-+-
（千克2）
∵38＞24
∴S2甲＞S2乙
∴乙山上的杨梅产量较稳定．
【点睛】
本题考查了折线统计图、方差、平均数和极差，从图中找到所需的统计量是解题的关键．26．如图，在⊿OAB中，∠OAB=90°.OA=AB=6.将⊿OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到⊿OA1B1
（1）线段A1B1的长是∠AOA1的度数是
（2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形;
（3）求四边形OAA1B1的面积.
【答案】（1）6，90；（2）见解析；（3）1 【分析】（1）根据旋转的性质即可直接求解；
（2）根据旋转的性质以及平行线的判定定理证明B 1A 1∥OA 且A 1B 1=OA 即可证明四边形OAA 1B 1是平行四边形；
（3）利用平行四边形的面积公式求解．
【详解】解：（1）由旋转的性质可知：A 1B 1=AB=6，∠AOA 1=90°． 故答案是：6，90°；
（2）∵A 1B 1=AB=6，OA 1=OA=6，∠OA 1B 1=∠OAB=90°，∠AOA 1=90°， ∴∠OA 1B 1=∠AOA 1，A 1B 1=OA ， ∴B 1A 1∥OA ，
∴四边形OAA 1B 1是平行四边形； （3）S=OA•A 1O=6×6=1． 即四边形OAA 1B 1的面积是1．
故答案为（1）6，90；（2）见解析；（3）1． 【点睛】
本题考查旋转的性质以及平行四边形的判定和面积公式，证明B 1A 1∥OA 是关键．
27．如图，ABCD 是边长为1的正方形，在它的左側补一个矩形ABFE ，使得新矩形CEFD 与矩形ABEF 相似，求BE 的长．
【答案】
15
2
- 【分析】设BE=x ，BC=1，CE=x+1，然后根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设BE=x ，则BC=1，CE=x+1， ∵矩形CEFD 与矩形ABEF 相似，
∴=CE EF AB BE 或=CE EF
BE AB ，代入数据， ∴11=1+x x 或11
=1
+x x ， 解得：1152x -+=
，215
2x --=
(舍去)，或x 不存在， ∴BE 的长为
15
2
-+，
故答案为
12
-． 【点睛】 本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图是半径为2的⊙O 的内接正六边形ABCDEF ，则圆心O 到边AB 的距离是（ ）
A ．2
B ．1
C ．3
D ．3 【答案】C 【分析】过O 作OH ⊥AB 于H ，根据正六边形ABCDEF 的性质得到∠AOB ＝
3606︒＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH ＝30°，AH ＝12
AB ＝1，于是得到结论． 【详解】解：过O 作OH ⊥AB 于H ， 在正六边形ABCDEF 中，∠AOB ＝
3606︒＝60°， ∵OA ＝OB ，
∴∠AOH ＝30°，AH ＝12
AB ＝1， ∴OH ＝3AH ＝3，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ）
A ．72x y =
B ．27x y =
C ．27x y =
D ．27
x y = 【答案】A
【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】∵2x-7y=0，∴2x=7y ．
A ．72
x y =，则2x=7y ，故此选项正确； B ．27x y
=，则xy=14，故此选项错误； C ．27
x y =，则2y=7x ，故此选项错误； D ．
27x y =，则7x=2y ，故此选项错误． 故选A ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
3．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( )
A ．1：2：3
B ．1
C ：1
D ．无法确定 【答案】C
【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：设圆的半径为R ，
如图(一)，
连接OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，
则∠OBC=30°，BD=OB •cos30°=
，
故BC=2BD =；
如图(二)，
连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于E ，
则△OBE 是等腰直角三角形，
2BE 2=OB 2，即BE =
，
故BC =；
如图(三)，
连接OA 、OB ，过O 作OG ⊥AB ，
则△OAB 是等边三角形，
故AG=OA •cos60°12
=R ，AB=2AG=R ，
R ：R =：1．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆是解题的关键.
4．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，1，8，1，9，1．这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A ．8，1
B ．1，9
C ．8，9
D ．9，1
【答案】D
【解析】试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，
最中间的数是9，则中位数是9；
1出现了3次，出现的次数最多，则众数是1；
故选D ．
考点：众数；中位数．
5．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），对称轴是x ＝1，现有结论：①abc ＞0 ②9a ﹣3b+c ＝0 ③b ＝﹣2a④（2﹣1）b+c ＜0，其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 开口向上，对称轴是x ＝1，与y 轴的交点在负半轴，
∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，
∴abc ＞0，因此①正确；
∵对称轴是x ＝1，即：2b a
＝1，也就是：b ＝﹣2a ，因此③正确； 由抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），对称轴是x ＝1，可得与x 轴另一个交点坐标为（3，0）， ∴9a+3b+c ＝0，而b≠0，
因此②9a ﹣3b+c ＝0是不正确的； ∵（2﹣1）b+c ＝2b ﹣b+c ，b ＝﹣2a ， ∴（2﹣1）b+c ＝2a+2b+c ，
把x ＝2代入y ＝ax 2+bx+c 得，y ＝2a+2b+c ，
由函数的图象可得此时y ＜0，即：（2﹣1）b+c ＜0，因此④是正确的，
故正确的结论有3个，
故选：C ．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键，将问题进行适当的转化，是解决此类问题的常用方法．
6．如图，将Rt ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上.若AC 3B 60∠==︒，，则CD 的长为（ ）
A ．0.5
B ．1.5
C 2
D ．1
【答案】D 【解析】利用∠B 的正弦值和正切值可求出BC 、AB 的长，根据旋转的性质可得AD=AB ，可证明△ADB 为等边三角形，即可求出BD 的长，根据CD=BC-BD 即可得答案.
【详解】∵3B=60°，
∴sinB=AC BC 33=，tan60°=AC AB 33=， ∴BC=2，AB=1，
∵Rt ABC 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到Rt ADE ，
∴AB=AD ，
∵∠B=60°，
∴△ADB 是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1.
故选D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
7．如图，反比例函数
6
y
x
=-在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x
轴交于点C，则△AOC的面积为（）
A．8 B．10 C．12 D．24
【答案】C
【解析】试题分析：x=-1时，y=6，x=-3时，y=2，所以点A（-1，6），点B（-3，2），应用待定系数法求得直线AB的解析式为y=2x+8，直线AB与x轴的交点C（-4，0），所以OC=4，点A 到x轴的距离为6，
所以△AOC的面积为1
46
2
⨯⨯=1．
故选C．
考点：待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形．
8．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm
【答案】B
【解析】试题解析：设此圆锥的底面半径为r，
2πr=12030
180
π⨯
，
r=10cm
故选B．
考点：弧长的计算．
9．边长等于6的正六边形的半径等于（）
A．6 B．33C．3 D．32
【答案】A
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，即可求解．
【详解】解：正六边形的中心角为310°÷1＝10°，那么外接圆的半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，
∴边长为1的正六边形外接圆的半径是1，
即正六边形的半径长为1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是理解正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成的是一个等边三角形．
10．若反比例函数()0k y k x =
≠的图象过点（-2，1），则这个函数的图象一定过点（ ） A ．（2，-1）
B ．（2，1）
C ．（-2，-1）
D ．（1，2） 【答案】A
【解析】先把（- 2，1）代入y=k x 求出k 得到反比例函数解析式为y=2x
-，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标的积进行判断．
【详解】把（-2，1）代入y=
k x
得k=-2×1=-2， 所以反比例函数解析式为y=2x -， 因为2×（-1）=-2， 2×1=2，-2×(-1)=2，1×2=2，
所以点（2，-1）在反比例函数y=2x -
的图象上． 故选A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=
k x
（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 11．将抛物线y ＝
212
x 向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．21(2)2y x =+ B ．y ＝2122
x + C ．y ＝21(2)2x - D ．y ＝2122x - 【答案】A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：将抛物线y ＝
212x 向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：21(2)2y x =+．故答案为A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.
12．如图，在菱形ABOC 中，∠A=60°，它的一个顶点C 在反比例函数k y x
=的图像上，若菱形的边长为4，
则k 值为( )
A ．43
B ．23
C ．43-
D ．23-【答案】C 【分析】由题意根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C 的坐标，从而可以求得k 的值.
【详解】解：∵在菱形ABOC 中，∠A=60°，菱形边长为4，
∴OC=4，∠COB=60°，C 的横轴坐标为-42=-2÷（），C 224-2=23
∴点C 的坐标为（-2，23，
∵顶点C 在反比例函数k y x =
的图象上， ∴32k -，得k=3-
故选：C.
【点睛】
本题考查反比例函数图像以及菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C 的坐标，利用反比例函数的性质解答．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．计算：2sin 245°﹣tan45°＝______．
【答案】0
【解析】原式=2
2121=2122⎛⨯-⨯- ⎝⎭
=0， 故答案为0.
14．点()3,4P -关于原点的对称点的坐标为________.
【答案】()3,4-
【分析】根据点关于原点对称，横纵坐标都变号，即可得出答案.
【详解】根据对称变换规律，将P 点的横纵坐标都变号后可得点()3,4-，故答案为()3,4-.
【点睛】
本题考查坐标系中点的对称变换，熟记变换口诀“关于谁对称，谁不变，另一个变号；关于原点对称，两个都变号”.
15．抛物线2y (x 1)3=-++与y 轴交点坐标为______.
【答案】()0,2
【分析】令x=0，求出y 的值即可．
【详解】解：∵当x=0，则y=-1+3=2，
∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知y 轴上点的特点，即y 轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键． 16．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，已知关于x 的一元二次方程﹣x 2+bx+c ＝0的一个解为x 1＝1，则该方程的另一个解为x 2＝_____．
【答案】﹣1
【分析】函数的对称轴为：x=-1，由抛物线与x 轴交点是关于对称轴的对称即可得到答案．
【详解】解：函数的对称轴为：x=-1，其中一个交点坐标为（1，0），
则另外一个交点坐标为（-1，0），
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，根据函数的对称性即可求解．
17．已知2x =-是一元二次方程240x mx ++=的一个解，则m 的值是__________．
【答案】4
【分析】把x=-2代入x 2+mx+4=0可得关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值.
【详解】∵2x =-是一元二次方程240x mx ++=的一个解，
∴4-2m+4=0，
解得：m=4，
故答案为：4
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．点()1,1P 向左平移两个单位后恰好位于双曲线k y x =
上，则k =__________． 【答案】1-
【分析】首先求出点P 平移后的坐标，然后代入双曲线即可得解.。