宁夏银川二中2009届高三第一次模拟理科数学2009.4

宁夏银川二中2009届高三第一次模拟数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设复数z==a+bi (a、b r),那么点p(a,b)在(a) 第一象限(b) 第二象限(c) 第三象限(d) 第四象限（2）边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为(a) (b) (c) (d)无法计算（3）平面的斜线ab交于点b,过定点a的动直线与ab垂直,且交于点c,则动点c的轨迹是(a)一条直线(b)一个圆(c)一个椭圆(d) 双曲线的一支（4）设等差数列的前n项的和是s，且，则(a)s4＜s5(b)s4＝s5(c)s6＜s5(d)s6＝s5（5）已知数据的平均数=5,方差=4,则数据的平均数和标准差分别是(a) 22,36 (b)22,6 (c) 20,6 (d) 15,36（6）函数y =si n(1－x)的图象是(ａ)(ｂ)(ｃ)(ｄ)（7）4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定,每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分; 选乙题答对得90分,答错得-90分,若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是(a) 48 (b) 36 (c) 24 (d) 18（8）已知函数满足, 且当时, ,设则(a)(b) (c) (d)（9）若a>0,ab>0,ac<0，则关于x的不等式：>b的解集是(a){x|a－<x<a} (b){x|x<a－或x>a}(c){x|a<x<a－} (d){x|x<a或x>a－}（10）一个正三棱锥的侧面积为底面积的2倍,底面边长为6，则它的体积等于(a)(b)(c)(d)（11）定义在r上的偶函数f(x)满足f(2－x)= f(x),且在[－3, －2]上是减函数;是钝角三角形的两个锐角,则下列结论正确的是(a)f(sin)>f(cos) (b)f(cos)<f(cos)(c) f(cos)>f(cos) (d) (sin)<f(cos)(12) 设、为椭圆的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于p、q两点,当四边形q的面积最大时,的值等于(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.(13)(14)若曲线y=－x3+3与直线y=－6x+b相切，则b=(15)已知{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，则a1c n1+a2c n2+…+a n c n n＝(16)阅读右侧程序: 把a的输出值按输出由先到后顺序排成一列得一个数列{},数列{}的通项公式为三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（本大题共70分）.（17）（本小题满分12分）已知向量=（sinb，1﹣cosb），且与向量=（2，0）所成的角为，其中a、b、c是abc的内角.(ⅰ)求角b的大小；(ⅱ)求sina+sinc的取值范围..（18）（本小题满分12分）直三棱柱abc—a1b1c1中，∠bac=900，ab=ac=2，aa1=4，d为bc的中点，e为cc1上的点，且ce=1.（ⅰ）求证：be⊥平面adb1；（ⅱ）求二面角b—ab1—d的余弦值.（19）（本小题满分12分）设f1、f2分别是椭圆c:(m＞0）的左右焦点.(ⅰ) 当p∈c，且=0，|pf1|﹒|pf2|=4时，求椭圆c的左、右焦点f1、f2；(ⅱ) f1、f2是（1）中的椭圆的左、右焦点，已知⊙f2的半径是1，过动点q作⊙f2的切线qm，|=|qm|（m为切点），如图所示，求动点q的轨迹方程.使得|qf（20）（本小题满分12分）某人居住在城镇的a处，准备开车到单位b处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如右图.（ⅰ）请你为其选择一条由a到b的最短路线且使得途中发生堵车事件的概率最小；（ⅱ）若记路线a c f b中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望eξ.（21）（本小题满分12分）已知函数=﹣（k∈n＊）.（ⅰ）讨论函数的单调性；（ⅱ）k为偶数时，正项数列{}满足=1，，求{}的通项公式；（ⅲ）当k是奇数，x＞0，n∈n＊时，求证：请考生在下面22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，已知⊙o1和⊙o2相交于点a、b，过点a作⊙o1的切线交⊙o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交⊙o1、⊙o2于点d、e，de与ac相交于点p.（ⅰ）求证：ad//ec；（ⅱ）若ad是⊙o2的切线，且pa=6，pc=2，bd=9，求ad的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知点p(x,y)是圆上的动点.(ⅰ)求2x+y的取值范围; (ⅱ)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.（24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知，且，求证：银川二中试卷答案数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.caad bdbd ccdc二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.(13)(14)3±4(15)(16).=2–1.三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（本大题共70分）.（17）（本小题满分12分）已知向量=（sinb，1﹣cosb），且与向量=（2，0）所成的角为，其中a、b、c是abc的内角.(ⅰ)求角b的大小；(ⅱ)求sina+sinc的取值范围.解：(ⅰ) 由，∴2 sinb=得(2cosb+1)(1﹣cosb) =0，∵b∈(0，)，∴cosb=∴b=(ⅱ) 由b=，得a+c=，∴sina+sinc=sina+sin(﹣a)= sina+cosa sina=sin(a+)∵0＜a＜，∴＜a+＜，∴＜sin(a+)≤1即sina+sinc∈，（当且仅当a=c=时，sina+sinc=1）（18）（本小题满分12分）直三棱柱abc—a1b1c1中，∠bac=900，ab=ac=2，aa1=4，d为bc的中点，e为cc1上的点，且ce=1.(ⅰ)求证：be⊥平面adb1；(ⅱ)求二面角b—ab1—d的余弦值.(ⅰ)证明：（方法一）建立空间直角坐标系a—xyz，（如图）则a(0，0，0)，b (2，0，0)，e(0，2，1)c(0，2，0)，b1(2，0，4) ∴d(1，1，0)，= (﹣2，2，1)，= (1，1，0)，= (2，0，4)由·=0，·=0，∴be⊥ad，be⊥ab 1 ∴be⊥面adb1(ⅱ)∵ca⊥面abb 1∴是面abb1的一个法向量且=(0，2，0)∵be⊥平面adb 1 ∴是面ab1d的一个法向量且= (﹣2，2，1)=方法二：（几何法）略（19）（本小题满分12分）设f1、f2分别是椭圆c:(m＞0）的左右焦点.(ⅰ)当p∈c，且=0，|pf1|﹒|pf2|=4时，求椭圆c的左右焦点f1、f2 ;(ⅱ)f1、f2是（1）中的椭圆的左、右焦点，已知⊙f2的半径是1，过动点q作⊙f2的切线qm，|=|qm|（m为切点），如图所示，求动点q的轨迹方程.使得|qf解：(ⅰ)∵c2=a2-b2∴c2=4m2，又=0 ∴pf1⊥pf2∴|pf1|2+|pf2|2=(2c)2=16m2∵|pf1|+|pf2|=2a=2m∴(|pf1|+|pf2|)2=16m2+8=24m2∴m2=1∴c2=4m2=4 , c=2，∴f1(-2，0)，f2 (2，0)|=|qm|，即|qf1|2=2|qm|2(ⅱ)由已知得|qf∴有|qf1|2=2(|qf2|2－1)设q(x，y)，则(x+2)2+y2=2[(x﹣2)2+y2－1](x﹣6)2+y2=32（或x2+y2-12x+4=0）综上所述，所求轨迹方程为(x﹣6)2+y2=32（或x2+y2-12x+4=0）（20）（本小题满分12分）某人居住在城镇的a处，准备开车到单位b处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如右图.(ⅰ)请你为其选择一条由a到b的最短路线且使得途中发生堵车事件的概率最小；(ⅱ)若记路线a c f b中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望eξ.解：（ⅰ）记路段mn发生堵车事件为mn∵各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，∴路线a c d b中遇到堵车的概率p 1=1﹣p(··)=1- p()·p()·p()=1﹣[1-p(ac)] [1-p(cd)] [1-p(db)]=1-××=同理路线a c f b中遇到堵车的概率p2p 2=1﹣p(··)=(小于)路线a e f b中遇到堵车的概率p3p 3=1﹣p(··)=(大于)所以选择路线a c f b, 可使得途中发生堵车事件的概率最小.(ⅱ)路线a c f b中遇到堵车次数可取值为0,1,2,3.p(ξ=0)= p(··)=p(ξ=1)= p(ac··)+ p(·cf·)+p(··fb)=××+××+××=p(ξ=2)= p(ac·cf·)+ p(ac··fb)+p(·cf·fb)=××+××+××=p(ξ=3)= p(ac·cf·fb)=××=∴eξ.=0×+1×+2×+3×=（21）（本小题满分12分）已知函数=﹣（k∈n＊）.(ⅰ)讨论函数的单调性；(ⅱ)k为偶数时，正项数列{}满足=1，，求{}的通项公式；（ⅲ）当k是奇数，x＞0，n∈n＊时，求证：. 解：(ⅰ)由已知得x＞0，当k是奇数时，则＞0，∴在(0，+∞)上是增函数.当k是偶数时，则=2x﹣=∴当x∈（0，1）时，＜0；当x∈（1，+∞）时，＞0故当k是偶数时，在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数(ⅱ)由已知得2a n-＝，的2=∴是以2为首项，公比为2的等比数列，∴a n=（ⅲ）由已知得=2x+（x＞0）∴左边-·(2+)=2n(++…++)令s=++…++由倒序相加及组合数的性质得2s=++…+≥2(…+=2(2n-2)∴s≥2n-2 ∴成立.请考生在下面22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲a．如图，已知⊙o1和⊙o2相交于点a、b，过点a作⊙o1的切线交⊙o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交⊙o1、⊙o2于点d、e，de与ac相交于点p.(ⅰ)求证：ad//ec；(ⅱ)若ad是⊙o2的切线，且pa=6，pc=2，bd=9，求ad的长.(ⅰ)证明：连接ab，∵ac是⊙o1的切线∴∠bac=∠d，又∵∠bac=∠e，∴∠d=∠e，∴ad//ec(ⅱ)设pb=x，pe=y，∵pa=6，pc=2，∴xy=12 ……①∵ad//ec，∴即，∴9+x=3y……②由①②解得或（舍）∴de=9+x+y=16∵ad是⊙o2的切线，∴ad2=db·de=9×16，∴ad=12（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知点p(x,y)是圆上的动点.(ⅰ)求2x+y的取值范围;(ⅱ)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.解(1)设圆的参数方程为,则2x+y=sin+1,其中(tan=2).∴2x+y.(2)要使x+y+a≥0恒成立,只须a≥-x-y而-x-y=,∴∴a≥. （24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲证明:：（法一：综合法）∵，∴（法二：综合法）∵，∴设，∴∴原不等式成立。