武汉市2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析

武汉市2019-2020学年高二数学下学期期中试题
（含解析）
满分：150分时间：120分钟
一、选择题（每小题5分，共12小题60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.曲线3
21y x x =-+，在1x =处的切线与直线1y ax =+平行，则a 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 1-
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
求出导数，得切线的斜率，由直线平行得a ． 【详解】
232y x '=-，∴切线的斜率1
1
k y x ='
==，切线与直线1y ax =+平行，
1a .
故选：B ．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的充要条件，解题关键是利用导数几何意义求出切线斜率．
2. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 （ ） A. 2
3
397C C
B. 2332
397397C C +C C C. 514
100397C -C C
D.
5510097C -C
【答案】B 【解析】
试题分析：恰好有2件次品时，取法为23397C C ⋅，恰好有3件次品时，取法为32
397C C ⋅，所以总数为23397C C ⋅32
397C C +⋅．
考点：排列组合．
3.已知函数()sin 2'(),3f x x xf π=+则'()3
f π
=（ ）
A. 12
-
B. 0
C.
12
D.
3 【答案】A 【解析】
()()sin 2','cos 2'33f x x xf f x x f
ππ⎛⎫
⎛⎫=+∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,令
3
x π
=
，则
1
1'cos 2'2','3332332f f
f f πππππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+∴=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选A.
4.如果函数
的图象如下图，那么导函数'
()y f x =的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
5.4名男生和4名女生排成一排，女生不排在两端，则不同的排法种数为（ ）
A. 24
44A A ⋅
B. 44
44A A ⋅
C. 26
46A A ⋅
D. 8
8A
【答案】C 【解析】 【分析】
分步完成这件事，第一步选2个男生排在两端，第二步剩下的6人在中间任意排列，由分步计数原理可得．
【详解】先从4名男生中选2名排在两端，有2
4A 种排法，再将其余6人无限制地排在中间6
个不同的位置，有66A 种排法，由分步乘法计数原理知共有6426
A A ⋅种不同的排法.
故选：C ．
【点睛】本题考查排列的应用，解题时采取特殊元素特殊位置优先考虑的原则． 6.在曲线2y
x 上切线的倾斜角为
4
π
的点是（ ） A. （0,0） B. （2,4）
C. 11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
依题意π12tan 1,42y x x '====，此时2
1124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，故选D . 7.设52
50125(2)x a a x a x
a x -=++，那么
024
135
a a a a a a ++++的值为（ ）
A. 244
241
-
B. 122
121-
C. 6160
-
D. -1
【答案】B 【解析】 【分析】
由赋值法求二项式展开式系数可得0241243
1222
a a a ++=
=+，1531243
1212
a a a -++=
=-，代入运算即可得解.
【详解】解：由52
50125(2)x a a x a x a x -=++，
令1x =得：5
012534(21)a a a a a a -++=+++，① 令1x =-得：5
053412[2(1)]a a a a a a =--+---+，② 联立①②得：
0241243
1222a a a ++=
=+， 1531243
1212
a a a -++==-，
即
024
135a a a a a a ++=++122121
-， 故选：B.
【点睛】本题考查了二项式展开式系数的求法，重点考查了赋值法，属基础题. 8.某人射击7枪，击中5枪，问击中和未击中的不同顺序情况有（ ）种. A. 21 B. 20 C. 19 D. 16
【答案】A 【解析】 【分析】
转化为7个位置，选2个放未击中，另5个放击中，由此可得结论．
【详解】射击7枪，击中5枪，则击中和未击中的不同顺序情况共有52
7721C C ==种.
故选：A ．
【点睛】本题考查组合的应用，解题时注意元素之间有无区别，以确定是排列还是组合． 9.若函数()x
f x e ax =-在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 （ ）
A.
0613
v v = B. [)1+∞， C. [
)1e ，++∞ D.
()1e -+∞，
【答案】A 【解析】 【分析】
先求导数，再由“在[0,1]内单调递减”，转化为导数小于或等于零，在[0,1]上恒成立求解．
【详解】∵()x
f x e ax =-在[0,1]上单调递减，
∴f ′（x ）＝e x ﹣a≤0，在[0,1]上恒成立， ∴a ≥e x 在[0,1]上恒成立， ∵y ＝e x
在[0,1]上为增函数， ∴y 的最大值为e ， ∴a ≥e ， 故选A ．
【点睛】本题主要考查用函数的导数来研究函数的单调性，当为增函数时，导数恒大于或等于零，当为减函数时，导数恒小于或等于零．
10.如图，一环形花坛分成,,,A B C D 四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A .
12
B. 24
C. 18
D. 6
【答案】C 【解析】
四块地种两种不同的花共有22
326C A = 种不同的种植方法，四块地种三种不同的花共有33212A = 种不同的种植方法，所以共有61218+= 种不同的种植方法，故选C.
11.关于函数()31443f x x x =
-+．下列说法中：①它极大值为283，极小值为4
3
-；②当[]34x ∈，时，它的最大值为283，最小值为4
3
-；③它的单调减区间为[]22-，；④它在点
()04，
处的切线方程为44y x =-+，其中正确的有（）个 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】 ∵函数()3
1443
f x x x =
-+ ∴()()()2
'422f x x x x =-=-+
由()()()'220f x x x =-+>，解得x >2或x <−2，此时函数单调递增， 由()
()()'220x f
x x =-+<，解得−2<x <2,此时函数单调递减，∴③正确；
当x =−2时,函数f (x )取得极大值f (−2)=28
3
，当x =2时,函数f (x )取得极小值f (2)=4 3
-，∴①
结论正确；[]34x ∈，时，()f x 单调递增，它的最大值为()3428
444433f =-⨯+=，最小
值为()334
343433f =-⨯+=-，∴②正确；()'04f =-，
∴它在点()04，处的切线方程为44y x =-+，∴④正确，
故选D
12.已知函数()3
2f x x ax =-+的极大值为4，若函数()()g x f x mx =+在()3,1a --上的
极小值不大于1m -，则实数m 的取值范围是（ ） A. 159,4⎡
⎫--
⎪⎢⎣⎭
B. 159,4⎛⎤
--
⎥⎝⎦
C. 15,4⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
D.
(),9-∞-
【答案】B 【解析】
∵2
'()3f x x a =-，
当0a ≤时，'()0f x ≥，()f x 无极值；
当0a >时，易得()f x 在x =4f ⎛ ⎝=，即3a =，于是()3()32g x x m x =+-+，2'()3(3)g x x m =+-.
当30m -≥时，'()0g x ≥，()g x 在(3,2)-上不存在极小值.
.当30m -<时，易知()g x
在x =
依题意有32,1,
g m ⎧-<
<⎪⎪
⎨⎪≤-⎪⎩，解得1594m -<≤-.
故选B.
点睛：本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，令导函数为0，结合函数单调性可得极值，明确极大值和极小值的定义求解. 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13.已知33
210n n A A =，那么n =__________．
【答案】8 【解析】
【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：
33210n n A A = ，
()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-
解得8n =. 即答案为8.
点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.
14.6个人排成一排，甲、乙两人中间恰有一人的排法有__________种. 【答案】192 【解析】 【分析】
由于甲、乙两人中间恰有一人，因此完成可以先从4人中选1人站在甲乙中间，甲乙两人之间也相互排列，接着把甲乙和中间1人捆绑作为一个元素，与其他3人进行全排列．
【详解】由题意排法数有124
424192A A A ⋅⋅=.
故答案为：192．
【点睛】本题考查排列的应用，解题关键确定事件完成的方法，是分步完成还是分类完成． 15.若函数3
21
1()23
2f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上存在单调增区间，则实数a 的取值范围
是_______. 【答案】1
(,)9
-+∞ 【解析】
【详解】试题分析：2
2
11()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝
⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为
22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
考点：利用导数判断函数的单调性．
16.若关于x 的不等式0x e ax -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是______． 【答案】(],e -∞ 【解析】 【
分析】
分离参数可得不等式x e a x
≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，设()x
e f x x =，求出函数()f x 在
()0,+∞上的最小值后可得结果．
【详解】∵关于x 的不等式0x e ax -≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，
∴x
e a x
≤对任意()0,x ∈+∞恒成立．
设()(0)x e f x x x =>，则2
(1)()x
x e f x x
-'=， ∴当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '
<单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '
>单调递增． ∴min ()(1)f x f e ==，
∴实数a 的取值范围是(,]e -∞． 故答案为(,]e -∞．
【点睛】解答不等式在某区间上的恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，即通过参数的分离，把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式，然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求．解题中常用到以下结论：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>或
()a f x <恒成立min ()a f x ⇔>，当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替．
三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分，解答每题时写出必要的文字说明或演算步骤.） 17.某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队， （1）一共有多少种选法？
（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？ （3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？
【答案】（1）49126C =（2）3735C =（3）120
【解析】
【
详解】（1）从549+=名医生中选出4名医生参加赈灾医疗队共有：
种选法；
（2）因为内科医生甲必须参加，而外科医生乙因故不能参加，所以只须从剩下的7名医生中
选出3名医生即可，即3
735C =种选法；
（3）间接法，从9名医生中选出4名有4
9126C =种方法，而选到的医生全部是内科医生的有455C =种，选到的医生全部是外科医生的有4
4
1C =种，所以内科医生和外科医生都要有人参加共有
种选法.
18.已知函数()()()
2
122f x x x =--． （1）求()f x 的单调区间和极值；
（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值．
【答案】（1）极小值为298327f ⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
，极大值为()11f =；（2）2b =-或5327b =-
【分析】
(1)直接利用导数求函数f(x)的单调区间和极值.(2) 设切点为()()
00,x f x ，再根据
()2
0006244f x x x '=-++=求得00103
x x ==或，再求b 的值.
【详解】(1)因为()f x ' 2624x x =-++ 令()f x '=0，得26240x x -++=，解得x =2
-
或x =1．
所以()f x 的单调递增区间为2,13⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，单调递减区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞
极小值为298327f ⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
，极大值为()11f =． （2）因
()f x ' 2624x x =-++，
直线4y x b =+是()f x 的切线，设切点为()()
00,x f x ，
则()2
0006244f x x x '=-++=，解得00103
x x ==
或， 当00x =时，()02f x =-，代入直线方程得2b =-，
当013x =
时，()01727f x =-，代入直线方程得5327
b =-． 所以2b =-或53
27
b =- .
【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与曲线的切线方程有关的问题，如果不知道切点，一般设切点坐标，再解答.
19.
在二项式n 的展开式中，
（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项． （2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和． 【答案】（1）5
2
-;（2）1256 .
【解析】
试题分析：（1）由所有二项式系数之和为64，264n = 6n ∴=，根据中间项的二项式系数
最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令1x =
计算n
的大小，即可得答案.
试题解析：（1）由已知得01
64n
n n n C C C ++
+=，264n = 6n ∴=，
展开式中二项式系数最大的项是63
3
1130334611520282T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
（2）展开式的通项为23112r
n r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，()0,1,
,r n =
由已知：0
2
012111,,222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列，12112124n n
C C ⨯=+∴n=8,
在n
中令x=1，得各项系数和为1256 20.已知函数()3
221()1(,)3
f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=. （1）求a ，b 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[]
2,4-上的最大值. 【答案】（1）11a =，
8
3
b =. （2）单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2；最大值为8. 【解析】 【分析】
（1）求出导函数，由(1)1f '=-，(1)2f =可求得,a b ；
（2）由（1）得()f x '，求出()0f x '=的根，然后列表表示出()f x '
的正负，()f x 的单调性，
得极值．从而可得单调区间，也能得出函数在[2,4]-上的最大值．
【详解】（1）()22
21f x x ax a '=-+-，
()()1,1f 在30x y +-=上，()12f ∴=，
()1,2∴在()y f x =上，21
213
a a
b =-+-+∴.
又()11f '=-，2210a a ∴-+=，解得1a =，8
3
b =. （2）()3218
33
f x x x =-+，()22f x x x '∴=-，由()0f x '=得0x =和2x =，列表如
下：
所以()f x 的单调递增区间是(),0-∞和()2,+∞，单调递减区间是()0,2.
()803f =，()4
23
f =，()24f -=-，()48f =，∴在区间[]2,4-上的最大值为8.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间，求函数的最值．根据几何意义，根据导数与单调性的关系直接求解即可，属于中档题．
21.已知a R ∈，函数2
()()x
f x x ax e =-+（R x ∈，e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()f x 在(1,1)-上单调递增，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）(（Ⅱ）3
2
a ≥ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求得a=2的函数f(x)的导数，利用导数的正负求出原函数的单调区间；
（Ⅱ）原函数()f x 在()1,1-上单调递增，即导函数在(-1,1)大于等于0恒成立，在解不等式求得a 的范围.
【详解】（Ⅰ）当2a =时，()()
22x
f x x e '=-+.
令()0f x '>
，解得x <<
所以，函数()f x
的单调递增区间为(.
（Ⅱ）方法1：若函数()f x 在()1,1-上单调递增，则()0f x '≥在()1,1-上恒成立.
即()()()
220x f x x a x a e =-+-+≥'，令()()2
2g x x a x a =-+-+.
则()()2
20g x x a x a =-+-+≥在()1,1-上恒成立.
只需()()()()11201120
g a a g a a ⎧-=-+-+≥⎪⎨=-+-+≥⎪⎩，得：32a ≥
方法2：()()()
22x f x x a x a e '=-+-+，令()0f x '>，即()()
2
20x a x a -+-+>，
x <<
. 所以，()f x
的增区间为⎝⎭
又因为()f x 在()1,1-上单调递增，所以()1,1-⊆
22,22a a ⎛---+
⎪⎝⎭
即11≤-⎨⎪≥⎪⎩
，解得32a ≥.
【点睛】本题目考查了导函数的应用，函数单调性的求法以及二次函数恒成立问题，属于中档题.
22.已知函数3
2
2
()3(1)1f x kx k x k =+--+在0,4x x ==处取得极值. （1）求常数k 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间与极值；
（3）设()()g x f x c =+，且[1,2]x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，求c 的取值范围. 【答案】（1）；（2）当x ＜0或x ＞4，f （x ）为增函数，0≤x≤4，f （x ）为减函数；极大值为，极小值为
（3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）因为函数两个极值点已知，令()()2
3610f x kx k x =+-='，把0
和4代入求出k 即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，()()2
44f x x x x x '=-=-大于零和小于零分别
求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x 值代到f （x ）中，通过表格，判断极大、极小值即可．
（3）要使命题成立，只需()min 1f x c ≥+，由（2）得：()1f -和()2f 其中较小的即为g （x ）的最小值，列出不等关系即可求得c 的取值范围． 试题解析：
（1）()()2
361f x kx k x '=+-，由于在0,4x x ==处取得极值，
∴()00,f '= ()40,f '=
可求得1
3
k =
（2）由（1）可知()32
18239
f x x x =-+，()()244f x x x x x '=-=-，
()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：
x
(),0-∞
()0,4
4
()4,+∞
()f x '
+
－
0 +
()f x
极大值8
9
极小值
889
-
∴()f x 在(,0)-∞，(4,)+∞为增函数，()f x 在(0,4)上为减函数； ∴极大值为()80,9f =
极小值为()88
49
f =- (3) 要使命题[]
1,2x ∀∈-，()g x 21c ≥+恒成立，只需使()21f x c c +≥+,即()1f x c ≥+即可.只需()min 1f x c ≥+ 由（2）得()f x 在[]1,0-单增，在[]
02，
单减. ()()1340
1299f f -=-
=-， ∴()min
4019
f x c =-≥+，
499
c ≤-
. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；
（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .。