高一衔接： 十字相乘法

第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1 十字相乘法
十字相乘法是一种操作性很强又很实用的因式分解方法，通常表现为两种形式：
第一种叫分拆系数形式，由()()()n bx m ax mn x bm an abx ++=+++2
中二次项系数、常数项与一次项
系数间的关系得出，如图1；第二种叫分拆项形式，即把二次三项式中的二次项拆成二个一次式的乘积，再把常数项写成二个常数的乘积，然后交叉相乘的和是一次项，如图2．
a m ax m
b n bx n
bm an + x bm an bmx anx )(+=+
图1 图2 【例1】把下列各式因式分解：
（1）x 2
－3x ＋2； (3) 2
76x x -+
(4) 2
1336x x ++
解：解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2
分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘
积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2
－3x ＋2中的一次项，所以，有
x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．
(3) 2
76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (4) 2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++
说明：1此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同． 2今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．
练习 2(1)109x x -+＝)1)(9(--x x （2）)3)(2(652++=++x x x x
（3）)9)(2(18112--=+-x x x x _。

（4）)3)(2(652
--=+-x x x x
【例2】因式分解：(1) 2
524x x +-
(2) 2
215x x -- （2）x 2
＋4x －12；
解：(1)2
524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+
2
215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+
（3）由图1．1－3，得 x 2
＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．
说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
－1 －2
x x
图1．1－1
－1 －2
1 1
图1．1－2
练习
（1）=-+652x x （2）2310b b +-= (3) 2832--x x （4）=--652
x x
【例3】把下列各式因式分解： (1) 2
2
6x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++（3）22
()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．
分析：(1) 把2
2
6x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把2
6y -分
解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．
(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2
812a a -+． 解：(1) 2
2
2
2
66(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-
(2) 2
2
2
2
2
()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-
(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-
（3）由图1．1－4，得2
2
()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --
（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
练习 （1）()=++-a x a x 12。

（2）22710a b ab -+= （3） 3245a b ab a b --=
【例4】把下列各式因式分解：
(1) 2
1252x x --
(2) 22
568x xy y +-
解：(1) 2
1252(32)(41)x x x x --=-+
324
1-⨯
(2) 22
568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-
1 254y y -⨯
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
练习 2(1)273x x ++; 2(2)26x x --； 22(3)2722x xy y --
(1)(21)(3)x x =++原式；(2)(23)(2)x x =+-原式；(3)(211)(2)x y x y =-+原式22(4)32x xy y +-.
－ay －by
x x
图1．1－4 －1 1
x y
图1．1－5
【例5】请连续二次运用十字相乘法分解下列各式：
22(1)31092x xy y x y --++-；2(2)2xy y x y ++--； 222(3)67372x xy y xz yz z ---+-．
解：(1)∵)2)(5(103.2
2
y x y x y xy x +-=--，而y x y x y x 9)5()2(2+=--+， ∴原式=)12)(25(-++-y x y x ；
(2)∵)(.2y x y y xy +=+，而y x y y x -=-+⋅2)(1，∴原式=)1)(2(+-+y y x ；
(3)∵)3)(32(37622y x y x y xy x +-=--，而
yz xz y x z y x z 7)32(2)3(+-=--+，∴原式=)23)(32(z y x z y x -++-．
练习
(1)65622++-+y x y xy (2)233222+-+--y x y xy x (3)222673452x xy y xz yz z --+--．
.1将下列各式分解因式：
2(1)61x x +-； 2(2)31920x x -+-； (3)223415y xy x --．
.2将下列各式分解因式：
(1)65622++-+y x y xy ； (2)233222+-+--y x y xy x ；
(3)222673452x xy y xz yz z --+--．
(1)x 2
＋6x ＋8＝ ; 2(2)328x x +- 2(3)651x x --； ;(4)2
56x x -+-= ;(5)2
68y y -+=；
(6)256x x --= ;(7)2712a a -+-=（8）=++2762x x ； (9)x 2
－2x －1＝(10)2
42025x x -+=
（11）=+-91242m m （12）=-+2
675x x 。

（13）=-+22612y xy x 。

14、()()3211262
+---p q q p
15、22365ab b a a +- 16、6422
--y y 17、822
4--b b (18) 2
()2x y x y +++-
(19)2
2
32x xy y +-=; (20) 20－9y －20y 2； 1、=++232
x x
2、=+-672
x x
3、=--2142
x x
4、=-+1522
x x
5、=++8624x x
6、=++-+3)(4)(2
b a b a 7、=+-2
2
23y xy x 8、=--2
34283x x x 9、=++342x x 10、=++1072
a a 11、=+-1272
y y 12、=+-862
q q 13、=-+202x x 14、=-+1872
m m 15、=--3652p p
16、=--822
t t
17、=--202
4x x
18、=-+8722ax x a 19、=+-2
2149b ab a
20、=++2
21811y xy x
21、=--2
2
2
2
65x y x y x 22、=+--a a a 1242323、=++101132x x 24、=+-3722
x x 25、=--5762x x 26、=-+2
2
865y xy x 27、=++71522x x 28、=+-4832
a a 29、=-+6752x x 30、=-+102352
2ab b a 31、=+-2
2
2
2
10173y x abxy b a 32、=--2
2
2
2
4
954y y x y x 33、=-+15442
n n
34、=-+3562
l l
35、=+-2
2
22110y xy x
36、=+-2
215228n mn m 37、=--+++6)25)(35(2
2
x x x x
38、=++-+-24)4)(3)(2)(1(x x x x （39）2
2
3415y xy x -- (40)2
12176a a -+-
2(1)61x x +-； 2(2)31920x x -+-； （3）；(4) a 2－7a+6； (5)2x 2+3x+1；
(6)2y 2+y －6；(7)6x 2－13x+6；(8)3a 2－7a －6；(9)6x 2－11x+3 (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15；(13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9；(17)15x 2+x －2； 18)6y 2+19y+10； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20； (21)8x 2+6x －35；(22)18x 2－21x+5；
答案：1、)2)(1(++x x 2、)6)(1(--x x 3、)7)(3(-+x x 4、)5)(3(+-x x 5、)2)(4(2
2
++x x 6、)3)(1(-+-+b a b a 7、)2)((y x y x --
8、)7)(4(2-+x x x 9、)3)(1(++x x 10、)5)(2(++a a 11、)4)(3(--y y 12、)4)(2(--q q 13、)5)(4(+-x x 14、)9)(2(+-m m 15、)9)(4(-+p p 16、)4)(2(-+t t 17、)5)(4(2
2
-+x x 18、)8)(1(+-ax ax 19、)7)(2(b a b a -- 20、)9)(2(y x y x ++21、)6)(1(2-+y y x 22、)6)(2(+--a a a 23、)53)(2(++x x 24、)12)(3(--x x 25、)53)(12(-+x x 26、)45)(2(y x y x -+27、)7)(12(++x x 28、)23)(2(--a a 29、)35)(2(-+x x 30、)5)(25(+-ab ab 31、)5)(23(xy ab xy ab -- 32、)32)(32)(1(2
2
-++x x x y 33、)52)(32(n m n m +-34、)73)(52(-+l l
35、)2)(10(y x y x --36、)54)(32(n m n m --37、)35)(4)(1(2
-+++x x x x 38、)8)(2)(3(2
-++-x x x x。