福建省泉州第十六中学2021届高三上学期期中考试数学试题

7
CD = 4 ，可得 BC = 2 2
在△BCD 中， BD = BC = 2 2 ， CD = 4 ，所以 BC ⊥ BD . 所以 BC ⊥ 平面 BDE . 又因为 BC 平面 BCE ，所以平面 BDE ⊥ 平面 BEC . （3）（方法二）由（2）知 ED ⊥ 平面 ABCD ，且 AD ⊥ CD . 以 D 为原点， DA ， DC ， DE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系.
泉州第十六中学 2020 年秋季期中考试卷高三数学
考试时间：120 分钟
满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.已知集合 M = {x −1 x 2, x Z}， N = {−1, 0,1, 2}，则 M N = （ ）
15.已知等差数列
an
满足 a6 a4
=
7 11
，且
Sn
是此数列的前
n
项和，则
S11 S7
= __________.
16.关于 x 的方程 kx − ln x − 1 = 0 在 (0, e 上有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围__________.
x
四、解答题：本题共 6 个小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
外体育达标”. （1）请根据直方图中的数据填写下面的 2×2 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
4
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
女
110
合计
（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取 8 人，再从这 8 名学生中随机抽 取 3 人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分
13.函数 y = f ( x) 在 x = 1处切线方程为 x − y +1 = 0 ，则 f (1) + f (1) = __________.
14.随机变量 的分布列为
0
1
x
1
3
P
P
5
10
且 E = 1.1，则 p=__________；x=__________.
（3）当 a
=
2，b
=
0 时， F ( x)
=
f
( x) − x + ln x
，记
y
=
F (x)
在区间
1 4
,1
上的最大值为
m，且
m n, n +1) ， n Z ，求 n 的值.
5
泉州第十六中学 2020 年秋季期中考试卷答案
题号 答案
1
2
3
4
5
678
9
10
11
12
D A C B C B D A AB BC ABC ACD
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若斜率为－1 的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，试求△ABC 面积的最大值和此时直线 l 的方程.
22.已知函数 f ( x) = ( x − a) ex + b(a,b R) .
（1）讨论函数 f ( x) 的单调性；
（2）对给定的 a，函数 f ( x) 有零点，求 b 的取值范围；
3
17.在① sin B sin C = 1 ② tan B + tan C = 2 3 两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答.
4
3
在 △ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， tan B tan C = 1 ， a = 2 3 . 3
（1）求角 A，B，C 的大小；
13.3 14. 1 ；2 2
17.【详解】 （1）若选择①：
15.1
16.
e+ e2
1
,1
因为 tan B tan C = 1 ， sin B sin C = 1 ，所以 cos B cos C = 3
3
4
4
所以 cos(B + C) = cos B cos C − sin B sin C = 1 2，
CD = 4 ，M 为 CE 的中点.
（1）求证： BM // 平面 ADEF ； （2）求证：平面 BDE ⊥ 平面 BEC ； （3）求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值.
20.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名学生的课外体育锻炼平均每天
运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成[0,10) ，[10, 20) ，[20,30) ，[30, 40) ，[40,50) ， [50, 60]六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生评价为“课
所以△ABC 的周长为 4 + 2 3 .
所以△ABC 的面积 S△ABC=ຫໍສະໝຸດ 1 bc sin 2A
=
3.
18.解：（1）由 Sn
=
1 2
n2
+
11 n 2
，可得 a1
=
S1
=
1 2
+
11 2
=
6，
n 2 时，
an
=
Sn
−
Sn−1
=
1 2
n2
+ 11 n 2
−
1 2
(n −1)2
− 11 (n 2
−1)
解得 tan B = tan C = 3 ，且 B， C (0, ) 3
所以 B = C = 6
所以 A = − (B + C) = 2 3.
（2）由正弦定理知： a = b = c sin A sin B sin C
因为 A = 2 ， B = C = ， a = 2 3
3
6
6
所以 b = c = 2
现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底
1
面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的 2 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的 2 ，则该圆
3
3
柱的体积与它的外接球的体积之比（ ）
32
2
2
A.
B.
C.
8
4
3
2
D.
3
二、多项选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
A. a b c
B. a c b
C. c a b
D. b c a
5.已知（
x
+
3 3x
n
的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为
64，则
n
等于（
）
A.4
B.5
C.6
D.7
6.设函数 f ( x) 为函数 f ( x) = xsinx 的导函数，则函数 f ( x) 的图像大致为（ ）
参考公式： k 2 =
n(ad − bc)2
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
( ) P K 2 k0
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
2.072
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.已知一圆的圆心 C 在直线 x + 2 y −1 = 0 上，且该圆经过 (3, 0) 和 (1, −2) 两点.
=
n
+
5
对 n = 1也成立，则 an = n + 5 ， n N * ，
由数列bn 等差数列，公差设为 d，满足 b3 = 11，前 9 项和为 153，
可得 b1 + 2d = 11， 9b1 + 36d = 153，即 b1 + 4d = 17 ，解得 b1 = 5 ， d = 3 ，
则 bn = 5 + 3(n −1) = 3n + 2 ﹐ n N * ；
易得 B (2, 2,0) ， C (0, 4,0) ， E (0,0, 2) .
平面 ADEF 的一个法向量为 m = (0,1, 0) . 设 n = ( x, y, z ) 为平面 BEC 的一个法向量，因为
当 x1 ，x2 0, 2 且 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) − f ( x2 ) ( x1 − x2 ) 0 成立，下列四个结论中正确的是（ ） A. f (2) = 0
B.函数 f ( x) 在区间6, −4 上为增函数
C.直线 x = −4 是函数 f ( x) 的一条对称轴 D.方程 f ( x) = 0 在区间6, 6上有 4 个不同的实根
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.下列说法是正确的是（ ）
A.命题“ x 0 ，都有 sin x 1”的否定是“ x0 0 ，都有 sin x0 1”
B. △ABC 中，角 A、B、C 成等差数列的充分条件是 B = 3
C.设 0 a b 1， 0 c 1，则 ca cb
D.若 a， b R ，则 b + a 2 b a = 2 a b ab
10.将函数 y = 2 cos x +1图象上的各点的横坐标缩短到原来的 1 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位，得
2
12
到 f ( x) 的图象，下列说法正确的是（ ）
A.点
6
,
0
是函数
f
( x) 图象的对称中心
（2） cn
=
(2an
3 − 11)(2bn
− 1)
=
(2n
3 − 1)(6n
+
3)
=
(2n
1 − 1)(2n
+ 1)
=
1 2
1 (2n −1)
−
1 (2n +1)
则前
n
项和为 Tn
=
1 2
1−
1 3
+
1 3
−
1 5
+
+
1 2n −1
−
1 2n +1
=
1 2
1
−
1 2n +1
=
n 2n +1
A.−1, 2
B.−1, 0
C.1, 2
D.{0,1}
2.若 0 a 1 ，则 a (1− 2a) 的最大值是（ ）
2
1
1
1
A.
B.
C.
8
4
2
3.函数 f ( x) = x3 + x − 4 的零点所在的区间为（ ）
A. (−1, 0)
B. (0,1)
C. (1, 2)
D.1
D. (2,3)
4.已知 e 为自然对数的底数，又 a = 1g0.5 ， b = e0.5 ， c = 0.5e ，则（ ）
因为 B + C (0, ) ，所以 B + C = ， A = 2
3
3
又因为
cos
(
B
−
C
)
=
cos
B
cos
C
+
sin
B
sin
C
=
1
，
B
−
C
−
3
,
3
所以 B − C = 0 ， B = C = . 6
若选择②：
设 tan B ， tan C 为方程， x2 − 2 3 x + 1 = 0 的两根 33
19.（1）证明：取 DE 中点 N，连结 MN ， AN . 在 △EDC 中，M，N 分别为 EC ， ED 的中点，所以 MN //CD ，
且 MN = 1 CD .由已知 AB//CD ， 2
AB = 1 CD ，所以 MN //AB ，且 MN = AB . 2
四边形 ABMN 为平行四边形，所以 BM //AN . 又因为 AN 平面 ADEF ，且 BM 平面 ADEF ， 所以 BM // 平面 ADEF . （2）证明：在正方形 ADEF 中， ED ⊥ AD .又因为 平面 ADEF ⊥ 平面 ABCD ，且平面 ADEF 平面 ABCD = AD ， 所以 ED ⊥ 平面 ABCD .所以 ED ⊥ BC . 在直角梯形 ABCD 中， AB = AD = 2 ，
2
A. HD BF = 0
B. OAOD = − 2 2
C. OB + OH = − 2OE
D. | AH − FH |= 2 − 2
12.已知函数 f ( x) 的定义域为 R，且对任意 x R ，都有 f ( x) = f (−x) 及 f ( x + 4) = f ( x) + f (2) 成立，
（2）求△ABC 的周长和面积.
18.已知数列an 前
n
项和为
Sn
=
1 2
n2
+
11 2
n
，数列 bn
等差数列，且满足 b3
= 11，前
9
项和为
153.
（1）求数列an 、bn 的通项公式：
（2）设 cn
=
(2an
3 − 11)(2bn
− 1)
，设数列cn 的前
n
项和为 Tn
.
19.如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直， AD ⊥ CD ， AB//CD ， AB = AD = 2 ，
A.
B.
C.
D.
7.已知 f ( x) = ln (1+ x) +1n (1− x) ，若 f (2a −1) f (a) ，则实数 a 的取值范围为（ ）
A.
−,
1 3
(1, +)
B. (−, 0)
0,
1 3
C. (0,1)
D.
0,
1 3
8.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.他一生最为满意的一个数学发
B.函数
f
(
x
)
在
0,
5 12
上单调递减
C.函数
f
( x) 的图象与函数
g(x)
=
2
sin
2x
+
2 3
+ 1 的图象相同
D.若 x1 ， x2 是函数的零点，则 x1 − x2 是 π 的整数倍 11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH ， 其中 OA = 1，则以下结论正确的是（ ）.