区域似大地水准面确定的最小二乘支持向量机方法

Abstract :Support vector machine ( SVM ) is a novel machine learning met hod , which is powerf ul for t he p ro blem characterized by small sample , no nlinearit y , high dimensio n and local minima , and has high gen2 eralizatio n. In t his paper , it s co ntinuatio n algo rit hm2least squares support vector machine ( L SSVM ) is st udied , t hen L SSVM algorit hm is applied to determining large area co mplex quasi2geoid. Thro ugh taking an example and co mparing wit h neural net work model and co nicoid polyno mial fit ting model , t he availabili2 t y of L SSVM met ho d of area quasi2geoid determinatio n is validated. Key words :quasi2geoid ;least squares suppo rt vector machine ; neural net work ;co nicoid polyno mial
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测 绘 工 程 第 17 卷
网络可实现以任意精度逼近任一连续映射函数 。虽 然神经网络具有很强的学习能力 , 但其应用还部分 地依赖使用者的经验 , 随机初值和局部极值也被认 为是一种不足 ,还存在训练不足和训练过度的风险 。 支持向量机 SVM ( Support Vector Machine) 是 Vap nik 等人根据统计学理论提出的一种新的通用 学习方法 ,它是建立在统计学习理论和结构风险最 小原理基础上的 ,能较好地解决小样本 、 非线性 、 高 维数和局部极小点等实际问题 , 并成功的应用于分 类、 回归和时间序列预测等方面 。最小二乘支持向 量机 L SSVM ( Least Squares Suppo rt Vector Ma2 chine) 是标准支持向量机的一种扩展 , 它是支持向 量机在二次损失函数下的一种形式 [ 4 ] 。最小二乘支 持向量机只求解线性方程 ,其求解速度快 ,在函数估 计和逼近中得到了广泛应用 。 本文尝试将最小二乘支持向量机方法应用于确 定区域似大地水准面中 ,并以实例验证了其有效性 。
) = min J L S ( w ,ξ
式中 : y = [ y1 , …, y n ] T , 1 = [ 1 , …, 1 ] ,α= [α 1 , …, T α φ ( ) φ ( ) x1 , …, x n ] 。根据 Mercer 条件 , n ], Z = [ 可以令 Ω = Z Z T , 则 Ω 矩阵中每一元素可以表示为 Ωi , j = φ( x i ) Tφ( x j ) = K ( x i , x j ) . ( 8) ( ) 式中 : K x i , x j 称为核函数 , 核函数的值等于两个 向量 x i 和 x j 在其特征空间 φ( x i ) 和 φ( x j ) 中的内 φ( x j ) 。常用的核函数有 积 , 即 K ( x i , x j ) =φ( x i ) ・ 多项式核函数和 RB F 核函数 。其形式分别为多项 ( xi , x j 〉 式核函数 K ( x i , x j ) = 〈 + c) p , p ∈N , c > 0 ; 2 ‖x i - x j ‖ )。 RB F 核函数 K ( x i , x j ) = exp ( 2 δ 最后 , 通过求解式 ( 7) 得到用于函数估计的最小 二乘支持向量机为
区域似大地水准面确定的最小二乘支持向量机方法
范 千1 ,2 ,张 宁3
( 1. 武汉大学 灾害监测与防治研究中心 ,湖北 武汉 430079 ;2. 武汉大学 测绘学院 ,湖北 武汉 430079 ; 3. 闽江学院 物理学
与电子信息工程系 ,福建 福州 350108) 摘 要 : 支持向量机 (SVM) 是近年来发展起来的机器学习的新方法 ,它较好地解决小样本 、 非线性 、 高维数 、 局部极 小点等实际问题 。文中研究支持向量机的拓展算法 — — — 最小二乘支持向量机 (L SSVM) ,并将其应用于确定大面积 复杂似大地水准面 。通过工程实例并与神经网络模型和二次曲面多项式拟合模型相比较 , 验证确定区域似大地水 准面的 L SSVM 方法的有效性 。 关键词 : 似大地水准面 ; 最小二乘支持向量机 ; 神经网络 ; 二次曲面多项式 中图分类号 : P228. 4 文献标识码 :A 文章编号 :100627949 (2008) 0520001203
收稿日期 :2008201203 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (40474003) 作者简介 : 范 千 (1981～) ,男 ,博士研究生 .
到 。目前 ,似大地水准面的确定方法普遍采用曲线 曲面多项式拟合法 。但对于区域性大面积复杂的似 大地水准面 ,多项式拟合法通常难以实现整体拟合 。 文献 [ 2 ] 认为 , 测区面积较大或地形起伏较大的测 区 ,似大地水准面形状复杂 ,要获得与小测区同等的 精度较困难 ,这时应分区拟合 。然而似大地水准面 是一个连续光滑的数学曲面 , 分区和平滑连接比较 麻烦 ,还可能在各区的连接处出现分区痕迹 ,使曲面 的连续光滑受到影响 。 文献 [ 3 ] 提出用神经网络方法确定似大地水准 面 ,认为该方法比使用多项式曲面拟合的似大地水 准面精度要高 。理论上已证明 , 假定映射型神经网 络中隐层单元数量可以根据需要自由设定 , 则神经
其中 α i 是 Lagrange 乘子 。按照 Kuhn2 Tucher 条 件 , 由于式 ( 5) 条件限制是等号的缘故 ,α i 可正可负 。 ( ) ξ α 对式 5 求其鞍点 , 分别对 w 、 b 、i 、 i 求导 , 具 体如下 : 9L = 0 →w = 9w
n n i =1
α y φ( x ) , ∑
i i i
9L α = 0 → ∑ i = 0 , 9b i =1
( 6) 9L α ξ = 0 → i =γ i , ξ 9 i 9L T = 0 → y i ( w φ( x i ) + b) - 1 +ξ i = 0 , αi 9
i = 1 , 2 , …, n. 将式 ( 6) 写成线性系统并消去 w 和γ, 上式变为
我国采用正常高系统 , 其基准面是似大地水准 面 ,它不是重力等位面 ,而是由地面点沿垂线向下量 取正常高所得各点连接起来而形成的几何连续曲 面 [ 1 ] 。随着测绘技术的发展 , GPS 大地高的获取不 仅容易 ,而且还可以达到厘米级精度 ,然而高精度的 GPS 大地高只有配合高精度的似大地水准面模型 才有意义 。 确定区域似大地水准面实质是求取该区域内地 面点的高程异常值 。理论上可用地球重力场模型或 斯托克斯 ( Sto kes) 公式进行计算 。但地球重力场模 型现在还不能反映似大地水准面的精细变化 , 很难 以较高的精度求定高程异常值 ; 而斯托克斯公式需 要分布均匀 、 精度良好的重力数据 ,许多测区难以达
n
) = JLS L ( w , b ,ξ,α
i =1
α{ y ( w φ( x ) ∑
i i
T
i
+ ( 5)
b) - 1 +ξ i} .
Байду номын сангаас
现以福建省莆田市似大地水面为例 。莆田市位 于福建省南部 , 东经 119° 、 北纬 25° , 东南临台湾海 峡 ,西北部有高达千余米的山区 ,中部区域有复杂的 地形起伏特征 ,面积约 4 200 km2 。2005 年 10 月～ 2005 年 12 月 ,在该地区布设了 195 个 GPS 水准联 测点 ,按国家 C 级 、 D 级 GPS 网技术要求进行了 GPS 观测 , 并按国家二等 、 三等水准测量技术标准 进行了水准测量 。在这些观测数据的基础上 , 采用 最小二乘支持向量机 、 神经网络和二次曲面多项式 拟合 3 种方法对似大地水准面进行建模 ,并对 11 个 检测点的高程异常值进行了检测 。 2. 2 模型的建立 在拟合似大地水准面中 ,实测 GPS 水准点大地
n
f ( x) =
i =1
αK( x , x ) ∑
i i
+ b.
( 9)
2 基于最小二乘支持向量机的区域似大地
水准面模型
2. 1 试验研究
1 T 1 w w +γ 2 2
n
i =1
ξ. ∑
2
i
( 3)
约束条件为 T ( 4) y i [ w φ( x i ) + b] = 1 - ξ i , i = 1 , 2 , …, n. 为了求解这个优化问题 , 构造相应的 Lagrange 函数
Least squares support vector machine method of area quasi2geoid determination
FAN Qian1 ,2 ,ZHAN G Ning3
(1. Research Center fo r Hazard Mo nitoring and Prevention ,Wuhan University ,Wuhan 430079 ,China ;2. School of Geodesy and Geomatics , Wuhan U niversity ,Wuhan 430079 ,China ;3. Depart m ent of Physics and Elect ro nic Info rmation Engineering , Min2 jing U niversity , Fuzhou 350108 , China)