6 静定结构的位移计算-xhy1

B
1 B
l/2
1/2 C
给定位移
解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功 方程 W Wi 得：
1 1 1 1 l l2 1 M d M dx Mdx l R RA R 2 4 8R A A
C C C

27
三、广义位移的计算
ΔAH
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若 FRK与 CK 同向，则乘积 FRK CK 为正，反之为负。
3）外力虚功 W =1 CV 这一项前取正号。若求得的 CV 0，则 CV 与 FP1 同向；若求得的 CV 0， 则 CV 与 FP1反向。 21
4）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。
1
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一、静定结构的位移
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静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。 1. 截面位移
FP
FP
B
Bu
B
C
c
cu
BV
cv
A C
桁架受荷载作用 3
A
刚架受荷载作用
A
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K
所求位移 1 CV ( M FQ 0 FN )ds FRK CK 3. 小结
1） 、Q 、N 、 RK ——单位载荷 FP1 1 在结构中产 M F F F 生的内力和支座反力， ds、 0 ds、 ds、C1、C2及 Δ CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总 和得：
q(s)w(s)ds F
i
Pi
i FR K CK
K
( M FQ 0 FN )ds
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小结：
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1) 只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变 形是符合约束条件的微小连续变形。 2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。 3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
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二、位移计算的一般公式
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变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理 和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位移原理：虚设位移求未知力。 用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求 位移这一几何问题转化为静力平衡问题。 在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷 载 FP1 =1，则虚功方程为 ：
FP
B
C
c
cu
cv
B
C
M
FP 1
M
FN
A
FR 2
FN
A
FR1
FQ ds FQ
给定位移、变形
虚设平衡力系
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2. 位移计算一般公式 外力虚功 W 1 CV FRK CK
K
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内虚功
Wi ( M FQ 0 FN )ds
2 1 l ( ) 0 9
2l/3
2l/9
2 l 9
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例4-2-2 已知杆AB在B左、右截面有竖向相对 错动 (见图a) ，求 。 B A C l/3 2l/3 解： a) 1）将制造误差明确为刚体位移，将截面B变为 滑动联结，见图 b)。
楼盖跨中挠度
吊车梁跨中挠度
7
2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件
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求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求 得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。 如右图示超静 定单跨梁，若只满 足平衡条件，内力 可以由无穷多组解 答，例如FyB可以取 任意值。
9kN.m
12kN
B
位移 1 和 。 2
10
FP1 FP2 1 1 2 2
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1
1 实功： FP11 2



2
1 FP 2 2 2
虚功： FP11
虚功强调作功的力与位移无关。
11
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
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2）正负号规则：
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若 M 及 d ds 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为 正，反之为负； 乘积 FQ γ 0 ds 及 FN εds 的正负号分别由力与应变的 正负号确定。FQ 使隔离体产生顺时针转动为正，反 γ 之为负， 0以顺时针方向为正，反之为负；FN 以拉力 为正，压力为负， 以拉应变为正，压应变为负；
1 1 1 ( 1 2 ) 0 l l 1 1 (1 2 ) 0 l


l

( 1 2 )
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例4-2-3 已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度 。
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A R l/2
Δ
l/4
C 1/2 A l/2 l/2 虚设平衡力系
1 FRK CK ( M FQ 0 FN )ds
K
所以
1 ( M FQ 0 FN )ds FRK CK
K
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下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加 以具体说明。
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1. 欲求 CV，则在C截面加上竖向单位载荷 FP1 1， 则该静定刚架就产生了一组平衡力系。
( M FQ 0 FN )ds
整根杆件的内虚功为：
Wi dWi ( M FQ 0 FN )ds
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根据虚功方程W=Wi，所以有：
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q(s)w(s)ds F
i
Pi
i FR K CK
K
( M FQ 0 FN )ds
AH
A
BH
B
FP
A
BV B AV
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q
AB AH BH
A、B截面相对水平位移
AB AV BV
A、B截面相对竖向位移
b)
c)
5
FP
d)
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A


为A左、右截面相对转角
C
cv
cu
C'
t1 c t 2
B
A
C
C' c
cv
B

t2 t1 温度变化
支座B下沉
2. 广义位移 通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向 位移以及相对转角叫做广义位移。
FP
a)
A
B
AV BV AV BV
AV BV
A、B截面相对竖 向位移 A、B截面竖向位 移之和 4
B
1
C 1 图示单位荷载分别求 位移 CH、CV 、C 。
A
5）求位移步骤如下：
①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷； ②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力； ③利用位移计算一般公式求位移。
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例4-2-1 已知杆AB和BC在B处有折角 (见图a)， 求B截面下垂距离 。 A C B a) 1）将制造误差明确为刚体位移，即在B截面加 铰，见图b)。 A 解：
求图a）结构A、B截面相对水平位移 AB AH BH。
A
B
ΔBH
1 A
B 1
M , FQ , FN
b)
κ,γ0 , ε q
a) 给定位移
1 A
B
A
1 B
=
M 1 , FQ1 , FN 1
+
M 2 , FQ 2 , FN 2
c) 虚设单位荷载1
d) 虚设单位荷载2
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虚设单位载荷如上页图c) ，d)所示。
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一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
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条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及Wi 的具体表达式。
l/3

2l/3

l/3
B
C
2l/3
23
b) 给定位移
A

l/3
B
C
A l/3
1 B
C 2l/3
华 2/3 1/3 北 c) 虚设平衡力系 水 b) 给定位移 利 2）虚设平衡力系如图c)所示。运用虚功方程W=0得： 水 电 2 2 1 ( l l ) 0 学 9 9 院
由上图b)可得：
M M1 M 2
所以得：
FQ FQ1 FQ 2
FN FN 1 FN 2
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AB M ds FQ 0ds FN ds
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所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在 该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性 质与所求位移相应的单位荷载即可。 下面给出几种情况的广义单位荷载： q