第三章 傅里叶变换2011年4月1日稿

第三章 傅里叶变换
江禹生
3.1 周期信号的频谱分析
一、正交函数与正交函数集
1、函数正交
如果两个函数()t f 1、()t f 2在区间（1t ，2t ）满足()()02
121=∫dt t f t f t t ，则称()
t f 1和()t f 2在（1t ，2t ）内正交。

2、正交函数集
假设有n 个函数()t g 1，()t g 2，L ，()t g n 构成一个函数集，这些函数在区间（1t ，2t ）内满足如下正交特性：
()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫∫i t t i t t j i
K dt t g j
i dt t g t g 21
212
0，i K 为一常数。

则函数集称为正交函数集。

也称()t g 1，()t g 2，L ，()t g n 构成一个n 维的正交信号空间。

当1=i K 时，称为归一化正交函数集。

任一函数()t f 在区间（1t ，2t ）内，可以用组成信号空间的n 个正交函数的线性组合来近似地表示为：
()()()()()()∑==+++++≈n
r r r n n r r t g c t g c t g c t g c t g c t f 1
2211L L
完备正交函数集：
如果在正交函数()t g 1，()t g 2，L ，()t g n 之外，不存在函数()t x
（()∞<<∫dt t x t t 2
1
20），满足等式()()02
1
=∫dt t g t x t t i （i 为任意正整数），则称此
函数集为完备正交函数集。

一般说，完备正交函数集中将包含有无限多个相互正交的函数。

这样()()()()L L ++++=t g c t g c t g c t f r r 2211
3、复变函数的正交特性
设()t f 1和()t f 2是实变量t 的复变函数，两个函数()t f 1和()t f 2在区间（1t ，2t ）内相互正交的条件是：
()()()()02
1
2
1
2121==∫∫
∗∗t t t t dt t f t f dt t f t f
复变函数正交函数集：
如果在区间（1t ，2t ）内，复变函数集()t g 1，()t g 2，L ，()t g n 满足如下关系式：
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∫∫∗
∗i t t i i t t j i
K dt t g t g j
i dt t g t g 2
1
210
则称此复变函数集为正交函数集。

对于一个完备的正交复变函数集，任意（实或复）函数()t f 在区间（1t ，2t ）可以表示为：
()()()()L L ++++=t g c t g c t g c t f r r 2211
4、两个常用的完备正交函数集 （1）三角函数集 三角函数集
{}L L L L ,sin ,,2sin ,sin ,,cos ,,2cos ,cos ,1111111t n t t t n t t ωωωωωω在区间
()100,T t t +组成完备的正交函数集。

1
12T πω=
这是因为它在区间()100,T t t +内满足：
()()⎪⎩⎪⎨⎧==≠=≠=∫+002
cos cos 1
111100n m T n m T n m dt t n t m T t t ωω ()()⎪⎩⎪⎨⎧≠=≠=∫+02
0sin sin 1
111
00
n m T
n m dt t n t m T t t ωω
()()0cos sin 1
00
11=∫
+T t t dt t n t m ωω，对于所有的m 和n
（2）虚指数函数集
虚指数函数集{
}t
jn e 1
ω()L ,2,1,0±±=n 在区间()10
,T t
t +组成完备的正交函数
集。

这是因为它在区间()100,T t t +内满足()
∫
+∗
⎩⎨
⎧=≠=1
00
111
0T t t t jn t
jm n
m T n m dt e e
ωω
二、三角函数形式的傅里叶级数
1、三角函数形式的傅里叶级数的第一种形式（基本形式） 设周期信号为()f t ，周期为1T ，角频率为1
11
T =ω，当满足“狄利克雷条件”时，它可以展开成三角函数形式的傅里叶级数：
()()0111
()cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞
==++⎡⎤⎣⎦∑
根据三角函数集的正交特性得：
()()()()()01
01
001001111112cos 1,2,3,2sin 1,2,3,t T t t T n t t T n t a f t dt T a f t n t dt n T b f t n t dt n T ωω+++⎧=⎪⎪
⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩
∫∫∫L L 0a ，n a ，n b 称为傅里叶系数，它们是n 或1ωn 的函数。

注意：
（1）0a 是()f t 在区间（0t ，10T t +）内的平均值，亦即直流分量。

n a 为余弦分量的幅度，n b 为正弦分量的幅度。

（2）当n 为1时，()t a 11cos ω和()t b 11sin ω合成一角频率为1
11
T =ω的正弦分量，称为基波分量，1ω称为基波频率。

当n 大于1时，()t n a n n ωcos 和()t n b n n ωsin 合成一角频率为n n ω的正弦分量，称为n 次谐波分量，1ωn 称为n 次谐波频率。

（3）任何周期信号只要满足“狄利克雷条件”，就可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示。

2、三角函数形式傅里叶级数的另外两种形式
（1）()011
()cos n n n f t c c n t ωϕ∞
==++∑
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=−==+==L
L ,3,2,1arctan ,3,2,12200n a b n b a c a c n n
n
n n n ϕ （2）()011
()sin n n n f t d d n t ωθ∞
==++∑
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
===+==L
L ,3,2,1arctan ,3,2,12200n b a n b a d a d n n
n
n n n θ 三、虚指数形式的傅里叶级数
任何周期信号()f t 可以分解为
1()jn t
n
n f t F e
ω∞
=−∞
=
∑
傅里叶系数：
()01101
1t T jn t
n t F f t e dt T ω+−=
∫ 0,1,2,n =±±L n F 是第n 次谐波分量的复数振幅。

虚指数形式的傅里叶级数可由虚指数函数集{}
t
jn e 1ω的正交特性，周期信号
()t f 直接展开而成，或者由三角函数形式的傅里叶级数间接导出。

n F 与其它系数有如下关系：
0000F c d a ===
()1
2n j n n n n F F e a jb ϕ==
− ()1
2n j n n n n F F e a jb ϕ−−−==+
n n n F F c −+=
n n n F F a −+=
()n n n b j F F −=−
22224n n n n n n c d a b F F −==+=
注意：
（1）三角函数形式的傅里叶级数和虚指数形式的傅里叶级数虽然形式不同，但实际上它们是属于同一性质的级数，即都是将一个周期信号表示为直流分量和谐波分量之和。

（2）在虚指数级数中，虽然因引用n −而出现了1ωn −，但这并不表示存在着什么负频率，而只是将第n 次谐波的正弦分量分写成了两个虚指数项后出现的一种数学形式。

四、傅里叶级数的主要性质
若 ()FS n f t F ←⎯→ 则 ()FS n f t F ∗∗−←⎯→
()FS
n f t F −−←⎯→ ()()()1111
cos 2
FS n n f t t F F ω−+←⎯→
+ ()()()1111
s 2FS
n n f t in t F F j
ω−+←⎯→
− ()()()1k
k FS n f t jn F ω←⎯→ ()100jn t FS n f t t F e ω−−←⎯→
五、函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、偶函数
若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足()()t f t f −=，此时()t f 是偶函数。

t
E
2
1
T −2
1T 0
()t f L
L
偶函数的傅里叶级数展开式的系数为：
()()∫=
20
1
1
1cos 4T n dt t n t f T a ω
0n b =
2
n
n a F =
，0=n ϕ 偶函数的n F 为实数。

在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

2、奇函数
若信号波形相对于纵坐标是反对称的，即满足()()t f t f −−=，此时()t f 是奇函数。

t
2
E 2
1T 0
()
t f 2
1
T −
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为：
00n a a ==
()()∫=20
111
sin 4T
n dt t n t f T b ω
n n jb F 21
−
=，2
πϕ−=n
奇函数的n F 为虚数。

在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。

3、奇谐函数（半波对称函数）
若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足
()⎟⎠⎞
⎜⎝
⎛±−=21T t f t f
这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。

奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为：
00a =
0n n a b == （n 为偶数）
()()∫=
20
1
1
1cos 4
T n dt t n t f T a ω （n 为奇数）
()()∫=20
111
sin 4T
n dt t n t f T b ω （n 为奇数）
在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不会包含偶次谐波项。

六、周期信号的平均功率
1、周期信号平均功率的定义
为了方便，研究周期信号在1电阻上消耗的平均功率。

称为归一化平均功率。

如果周期信号是实函数，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率定义为
()()∫
=
=1
2
1
2
1
T dt t f
T t f P
2、帕塞瓦尔定理
()()()
∑∫
∞=++==
=12220
2
1
2
211
1
n n n T b a a dt t f T t f P ∑∑∞
−∞=∞==+=n n n n F c c 2122
021
上式表明：周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和。

也就是说，时域和频域的能量是守恒的。

证明：对于三角函数形式的傅里叶级数
()()0111
()cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞
==++⎡⎤⎣⎦∑
平均功率为
()∫
=
1
21
1T dt t f T P ()()[]dt t n b t n a a T T n n n 2
11101
1
sin cos 1
∫
∑⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++=
∞
=ωω
()
∑∞=++=1222021n n n b a a ∑∑∞
=∞=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+=+=12
2
012202121n n n n c c c c
对于指数形式的傅里叶级数
1()jn t
n
n f t F e
ω∞
=−∞
=
∑
平均功率为
()∫
=
1
2
1
1T dt t f
T P ()()∫
∗=
1
1
1T dt t f t f T
∫∑∑∗
∞−∞=∞
−∞
=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=1
110
1
1T m t jm m n t
jn n
dt e F e
F T ωω∑∞
−∞==n n F 2
七、有限项傅里叶级数的方均误差
任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼进原函数。

但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。

显然，选取有限项级数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼进原函数，也就是说，其方均差愈小。

周期函数()t f 的傅里叶级数为
()()0111
()cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞
==++⎡⎤⎣⎦∑
若取傅里叶级数的前12+N 项来逼进周期函数()t f ，则有限项傅里叶级数为
()()()[]∑=++=N
n n n N t n b t n a a t S 1
110sin cos ωω
误差函数为
()()()t S t f t N N −=ε
方均误差为
()()∫
+==1
00
2
1
2
1
T t t N
N
N dt t T t E εε 将()t f ，()t S N 所表示的级数代入上式得，
()()()2
2
2220112N N N
n n n E t f t a a b ε=⎡⎤
==−++⎢⎥⎣⎦
∑
八、典型周期信号的傅里叶级数
1、周期矩形脉冲信号
矩形信号的三角形式傅里叶级数为
()1111
1
2()cos n E E n f t Sa n t T T T ττπτ
ω∞
=⎛⎞
=+⎜⎟⎝⎠
∑ 或 ()11111()cos 2
n E n E f t Sa n t T τωωτ
τωπ∞=⎛⎞
=+⎜
⎟⎝⎠
∑ 矩形信号的指数形式傅里叶级数为
111
()2
jn t
n n E f t Sa e T ωωττ∞
=−∞
⎛⎞=
⎜
⎟⎝
⎠
∑ 周期矩形信号频谱特点：
（1）周期矩形脉冲信号的频谱具有一般周期信号频谱的共同特点。

它们的频谱是离散的。

它仅含有1n ωω=的各分量，其相邻两谱线的间隔是1ω（1
2T π
=），周期1T 愈大，谱线间隔愈小，频谱愈稠密；反之，则愈稀疏。

（2）直流分量、基波及各谐波分量的大小正比于脉幅E 和脉宽τ，反比于
周期1T 。

各谱线的幅度按1
n Sa T πτ
⎛⎞⎜
⎟
⎝⎠
包络线的规律而变化。

当2m πωτ=（1,2,m =L ）时，谱线的包络线经过零点，其相应的谱线，亦即相应的频率分量也等于零。

（3）周期矩形信号包含无穷多条谱线，也就是说它可以分解成无穷多个频率分量。

但其主要能量集中在第一个零点以内。

在允许一定失真的条件下，可以
要求一个通信系统只把2π
ωτ
≤频率范围内的各个频谱分量传送过去，而舍弃
2π
ωτ
>
的分量。

这样，常常把20~
π
ωτ
=这段频率范围称为矩形信号的频带宽
度，记作B ，于是
2B ωπ
τ
=
或1
f B τ
=
显然，频带宽度B 只与脉宽τ有关，而且成反比关系。

（4）若信号脉冲宽度τ相同，周期1T 不同，谱线包络线的零点所在位置不变。

当周期增长时，相邻谱线的间隔减小，频谱变密。

如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），相邻谱线的间隔将趋于零，周期信号的离散谱线就过渡到非周期信号的连续频谱。

（5）若信号周期1T 相同，脉冲宽度τ不同。

由于周期相同，因而相邻谱线的间隔相同。

脉冲宽度愈窄，谱线包络线第一个零点的频率愈高，即信号带宽愈宽，频带内所含的分量愈多。

可见，信号的频带宽度与脉冲宽度成反比。

2、周期锯齿脉冲信号 ()()
()1
11
1
1sin n n E
f t n t n
ωπ
∞
+==
−∑ 周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以
n
1
的规律收敛。

3、周期三角脉冲信号 ()()2122141sin cos 22
n E E n f t n t n πωπ∞=⎛⎞
=+⎜
⎟⎝⎠
∑ 周期三角脉冲的频谱只包含直流、基波及奇次谐波频率分量，谐波的幅度以
21
n
的规律收敛。

4、周期半波余弦信号
()(
)
()∑∞
=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−−
=
1
12
cos 2cos 112n t n n n E
E
t f ωππ
π
周期半波余弦信号的频谱只含有直流、基波及偶次谐波频率分量，谐波的幅
度以21
n
的规律收敛。

5、周期全波余弦信号
()()t E t f 0cos ω=，周期20
1T T =，角频率012ωω= ()()()
()∑∞
=+−−+
=
1
02
1
2cos 141
142n n t n n
E
E
t f ωπ
π
周期全波余弦信号的频谱只包含直流分量及0ω的偶次谐波分量，谐波的幅度
以
2
1
n 的规律收敛。

九、周期信号的频谱及其特点 1、周期信号可分解为直流、基波（1ω）和各次谐波（1ωn ：基波角频率的整数倍）的线性组合。

2、信号的频谱
为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率f （或角频率ω）为横坐标，以各次谐波的振幅n c 或虚指数函数的幅度n F 为纵坐标，按频率高低依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。

图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。

即ω~n c （或ω~n F ）的关系，称为信号的幅度谱。

以各次谐波的相位n ϕ为纵坐标，以频率（或角频率）为横坐标，按频率高低依次排列起来的线图，称为信号的相位频谱，简称相位谱。

即ωϕ~n 的关系，称为信号的相位谱。

3、周期信号频谱特点
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。

（1）离散性
周期信号频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量。

这样的频谱称为离散频谱或不连续频谱。

（2）谐波性
频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率1ω的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。

（3）收敛性
各条谱线的高度，也即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅亦就无限趋小。

但是，冲激函数序列()()∑∞
−∞
=−=
n T nT t t 1
δδ的频谱不满足收敛性。

3.2 傅里叶变换
一、傅里叶变换的定义
傅里叶正变换 ()()()j t
F f t f t e dt ωω∞
−−∞
==⎡⎤⎣⎦∫F
傅里叶逆变换 ()()()1
1
2j t f t F F e d ωωωωπ
∞
−−∞
==⎡⎤⎣⎦∫
F
可简记为：()()FT
f t F ω←⎯→
二、傅里叶变换的物理意义
1、()ωF 的物理意义——频谱密度函数
()()
()111
10
11lim 2lim
T n F n F F T ωωωπωω∞
→→==
()ωF 具有单位频带的振幅的量纲，所以()ωF 称为原函数()t f 的频谱密度函
数，或简称频谱函数。

频谱密度函数()ωF 一般是一个复函数，它可以写为
()()()ωϕωωj e F F =()()ωωjX R +=
其中()ωF 是()ωF 的模，它代表信号中各频率分量的相对大小。

()ωF 与ω的关系称为非周期信号的幅度频谱。

()ωϕ是()ωF 的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系。

()ωϕ与ω的关系称为非周期信号的相位频谱。

非周期信号()t f 的幅度频谱和相位频谱都是频率ω的连续函数。

()F ω=，()()
()
arctan X R ωϕωω= 2、傅里叶逆变换的物理意义
把()t f 写成三角函数形式
()()∫∞∞−=
ωωπωd e F t f t j 21()()[]
∫∞∞−+=ωωπωϕωd e F t j 21 ()()[]∫∞∞−+=ωωϕωωπd t F cos 21()()[]∫∞
∞−++ωωϕωωπ
d t F j sin 2 若()t f 是实函数，()ωF 是频率ω的偶函数，()ωϕ是频率ω的奇函数。

则()()()[]∫
∞
∞
−+=
ωωϕωωπd t F t f cos 21
()()[]∫∞
+=
cos 1
ωωϕωωπ
d t F
()()[]∫
∞
+=0
cos ωϕωπ
ω
ωt d F
上式表明，非周期信号可视为由不同频率的余弦“分量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”。

由上式还可见，
()()df F d F ωπ
ω
ω2=相
当于各“分量”的振幅，它是无穷小量，所以信号的频频不能再用幅度表示，而改用密度函数来表示。

类似于物质的密度是单位体积的质量，函数()ωF 可看作是单位频率的振幅，称函数()ωF 为频谱密度函数。

其实，傅里叶逆变换可改写为
()()∫∞∞−=ωωπωd e F t f t j 21()∫∞∞−=t
j e d F ωπ
ωω2 上式表明，任何非周期信号可视为无穷多个幅度为无限小的虚指数信号之和，虚指数信号的频率变化范围从∞−到∞。

从这个意义上讲，虚指数信号t j e ω是信号和系统频域分析的基本信号。

结论：非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。

所不同的是，由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量，同时，由于在各频率点的分量幅度趋于无限小，非周期信号的频谱不能再用幅度表示，而改用频谱密度函数来表示。

三、傅里叶变换存在的条件
前面推导傅里叶变换时并未遵循数学上的严格步骤。

数学证明指出，函数
()t f 的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内()t f 绝对可积，即
()∞<∫
∞
∞
−dt t f
但它并非必要条件，在引入奇异函数概念后，使许多不满足绝对可积条件的信号也能进行傅里叶变换。

3.3 典型信号的傅里叶变换
一、典型信号的傅里叶变换
1、单位矩形脉冲信号
()()⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==22τττt u t u t G t f
()()∫∞
∞−−=dt e
t f F t
j ωω∫−−=22
τ
τωdt e t j
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=−22
1ωτ
ωτωj j e
e j ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛=2sin 2ωτωj 22sin ωτωττ⎟
⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2ωττSa 即
()2
G t Sa τωττ⎛⎞←⎯
→⎜⎟⎝⎠
幅度频谱为 ()⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛=2ωττωSa F
相位频谱为 ()()()()⎪⎩
⎪⎨
⎧+<
++<
<=τ
π
ωτ
π
πτ
πωτ
π
ωϕ1412212240
n n n n ，L ,2,1,0=n
2、单边指数信号 ()()⎩⎨
⎧<≥==−−0
0t t e t u e t f at
at
，其中0>a
()()∫∞
∞
−−=dt e t f F t j ωω
∫∞−−=0
dt e e t j at ω()∫∞
+−=0
dt e t j a ω
ω
j a +=1
即
()1
at e u t a j ω
−←⎯→
+ 幅度频谱为 ()2
2
1ω
ω+=
a F
相位频谱为 ()⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=a ωωϕarctan
3、双边指数信号
()t
a e
t f −=，其中0>a
()()∫∞
∞
−−=dt e t f F t j ωω
∫∞
∞
−−−=dt e
e
t
j t
a ω∫∫∞
−−∞
−−+=0
dt e e dt e
e t j at t
j at ωω
2
2211ωωω+=−++=
a a
j a j a 即
22
2a t
a
e
a ω−←⎯→
+
幅度频谱为 ()2
22ωω+=
a a
F
相位频谱为 ()0=ωϕ
4、单位冲激信号
()()∫∞
∞−−=dt e t f F t j ωω()1==∫∞
∞
−−dt e t t j ωδ 即
()1t δ←⎯→
二、典型信号的傅里叶变换对
1、()1t δ←⎯→
2、()'t j δω←⎯→
()()()n
n t j δω←⎯→
3、()12πδω←⎯→
4、()()1u t j πδωω
←⎯→+ 5、()2
sgn t j ω
←⎯→
6、()2G t Sa τωτ
τ⎛⎞←⎯→⎜
⎟⎝⎠ 7、()()ωωπ
ωω0
20
0G t Sa ↔
()()2Sa t G πω←⎯→
8、()1
at e u t a j ω
−←⎯→+ （a 为正实数） 9、22
2a t a
e a ω
−←⎯→
+ （a 为正实数） 10、()002j t e ωπδωω←⎯→− （0ω为实数） 11、()()()000cos t ωπδωωδωω←⎯→++−⎡⎤⎣⎦ 12、()()()000sin t j ωπδωωδωω←⎯→+−−⎡⎤⎣⎦ 13、()()()()000220
cos 2j t u t π
ω
ωδωωδωωωω
←⎯→++−+⎡⎤⎣⎦− 14、()()()()0000220
s 2in t u t j ω
πωδωωδωωωω
←⎯
→+−−+⎡⎤⎣⎦− 15、()()()1
1
1
1
jn T T n n n t t nT n e ωδδωδωω∞
∞
∞
−=−∞
=−∞
=−∞
=
−←⎯
→−=∑∑∑
（11
2T πω=
） 16、()22
12224
f t t u t u t Sa τττωτ
τΔ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−
+−−←⎯→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜
⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦ 17、()'2t j πδω←⎯→
2
2
t ω
←⎯→−
()1
j Sgn t
πω←⎯→− ()()'2
1
tu t j πδωω←⎯→−
()()2n
n
n
n
d t j d πδωω←⎯
→ 3.4 傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换对的定义建立了信号()t f 与频谱密度函数()ωF 之间的对应关系。

换而言之，信号()t f 可以用频谱密度函数()ωF 表示，或者反之。

也就是说，任一信号可以有两种描述方法：时域的描述和频域的描述。

傅里叶变换具有唯一
性。

下面将要讨论的傅氏变换基本性质揭示了信号时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。

目的在于了解特性的内在联系，用性质求()ωF ，以及了解在通信系统领域中的应用。

一、对称性 若 ()()f t F ω←⎯→ 则 ()()2F t f πω←⎯→− 其中，若()t f 是t 的偶函数，则
()()ωπf t F 2⎯→← 证明：Q ()()∫
∞
∞
−=
ωωπ
ωd e F t f t j 21
显然 ()()∫∞
∞
−−=−ωωπωd e F t f t j 21 将上式中变量t 与ω互换，可以得到
()()∫∞
∞−−=−dt e t F f t j ωωπ2
∴()()ωπ−⎯→←f t F 2
若()t f 是t 的偶函数，则
()()ωπf t F 2⎯→← 例如，Q ()1⎯→←t δ
∴()ωπδ21⎯→←
例3.4.1 试求抽样函数()t
t
t Sa sin =
的频谱函数。

解：Q ()⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛⎯→←
2ωτττSa t G 取
12
=τ
，即 2=τ
∴ ()()ωSa t G 22
⎯→←
根据傅里叶变换的线性得
()()ωSa t G ⎯→←22
1
故 根据傅里叶变换的对称性
()()()⎩⎨
⎧><==−×⎯→←1
01
21
222ωωπωπωπG G t Sa 一般地，
()⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛⎯→←2ωτττSa t G
取 02ωτ=，0ω为常数
则 ()()ωωωω00220Sa t G ⎯→←
()()ωωωω020
021Sa t G ⎯→←
Q ()ωω0
2G 是偶函数
∴ 根据傅里叶变换的对称性得
()()()ωωπ
ωωπωωω0
020
20
0212G G t Sa =
×
⎯→← 即 ()()ωωπ
ωω0
20
0G t Sa ⎯→←
10=ω 就是本例的前半部分。

例3.4.2 试求函数t 和t
1
的频谱函数。

解：（1）函数t
Q ()ωδj t ⎯→←'
∴根据傅里叶变换的对称性得
()ωπδ−⎯→←'2jt
又Q ()ωδ'是ω的奇函数，即()()ωδωδ''−=−
()()ωπδωπδ''22−=−⎯→←jt
再根据线性性质，在时域乘以j −，得
∴()ωπδ'
2j t ⎯→←
（2）函数t 1
()ω
j t 2
sgn ⎯→←
()ω1
sgn 2
⎯→←
t j 根据傅里叶变换的对称性得
()()ωπωπsgn sgn 221j j t −=−×⎯→← 即 ()ωπsgn 1j t
−⎯→←
二、线性
若 ()()i i f t F ω←⎯→（1,2,,i n =L ） 则
()()1
1
n n
i i
i i
i i a f t a F ω==←⎯
→∑∑ 其中i a 为常数，为n 正整数。

三、奇偶虚实性 若 ()()f t F ω←⎯→
且设 ()()()()()j F F e R jX ϕωωωωω==+
()
F ω=，()()
()
arctan
X R ωϕωω= 则 （1）()f t 是实函数
()()R R ωω=−，()()X X ωω=−− ()()F F ωω∗−=
()F ω是偶函数，()ϕω是奇函数。

若()f t 是实偶函数，则()F ω必为ω的实偶函数。

若()f t 是实奇函数，则()F ω必为ω的虚奇函数。

（2）()f t 是虚函数
()()R R ωω=−−，()()X X ωω=−
()F ω是偶函数，()ϕω是奇函数。

若 ()()f t F ω←⎯→ 则 ()()f t F ω−←⎯→−
()()f t F ω∗∗←⎯→− ()()f t F ω∗∗−←⎯→
证明：设()t f 是时间t 的实函数，
()()()∫∞
∞
−−=⎯→←dt e t f F t f t j ωω
()()()()∫∫∞
∞
−∞∞
−−=dt t t f j dt t t f ωωsin cos
()()ωωjX R +=()()ωϕωj e F =
式中频谱密度函数的实部和虚部分别为
()()()∫∞
∞
−=dt t t f R ωωcos
()()()∫∞
∞
−−=dt t t f X ωωsin
频谱密度函数的模和幅角分别为
()()()ωωω22X R F +=
()()
()
ωωωϕR X arctan
= 由于 ()()t t ωωcos cos =− 故 若()t f 是时间t 的实函数，则
()ωR 是角频率ω的偶函数，()ωX 是角频率ω的奇函数；
()ωF 是角频率ω的偶函数，()ωϕ是角频率ω的奇函数。

如果()t f 是时间t 的实偶函数，则()()t t f ωsin 是t 的奇函数，因此，
()0=ωX
()()()()∫∞
∞
−==dt t t f R F ωωωcos ()()∫∞
=0
cos 2dt t t f ω为ω的实偶函数。

即
实偶函数 ⎯→← 实偶函数
又 如果()t f 是时间t 的实奇函数，则()()t t f ωcos 是t 的奇函数，因此，
()0=ωR
()()()()∫∞
∞
−−==dt t t f j jX F ωωωsin ()()∫∞
−=0
sin 2dt t t f j ω为ω的虚奇函
数。

即
实奇函数 ⎯→← 虚奇函数 四、尺度变换特性 若 ()()f t F ω←⎯→ 则 ()1f at F a a ω⎛⎞
←⎯→
⎜⎟⎝⎠
（a 为非零的实常数） 证明：()[]()∫∞
∞
−−=dt e at f at f F t j ω
令 at x = 当 0>a
()[]()⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛==∫∞∞−−a F a dx e x f a at f F a x
j ωω11
当 0<a
()[]()()⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∞∞−−∞−∞+−a F a dx e x f a dx e x f a at f F a x
j a
x j ωωω111
综合上述两种情况
()1f at F a a ω⎛⎞
←⎯→
⎜⎟⎝⎠
函数()at f 表示()t f 沿时间轴压缩（或时间尺度扩展）a 倍，而⎟⎠⎞
⎜⎝⎛a F ω则表
示()ωF 沿频率轴扩展（或频率尺度压缩）a 倍，该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

对于1−=a ，有 ()()ω−⎯→←−F t f
例3.4.3 试求符号函数()t sgn 的频谱函数。

解：()⎩⎨⎧<−>=0
101
sgn t t t
()()()t u t u t −−=sgn
Q ()()ω
ωπδj t u 1
+⎯→←
∴ ()()()ω
ωπδωωπδj j t u 11−=−−⎯→←
− 故
()()()()()ωωωπδωωπδj j j t u t u t 2
11sgn =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−+⎯→←−−= 五、时移特性 若 ()()f t F ω←⎯→ 则 ()()00t j e F t t f ωω±⎯→←± 此性质表明：
（1）信号()t f 在时域中沿时间轴右移（延时）0t 等效于在频谱中频谱乘以因子0t j e ω−，也就是说信号右移后，其幅度谱不变，而相位谱产生0t ω−的附加变化。

（2）信号()t f 在时域中沿时间轴左移（提前）0t 等效于在频谱中频谱乘以因子0t j e ω，也就是说信号左移后，其幅度谱不变，而相位谱产生0t ω的附加变化。

如果信号既有时移又有尺度变换则有： 若 ()()f t F ω←⎯→
a 和0t 为实常数，但0a ≠，则
()0
01t
j a f at t F e
a a ωω−⎛⎞−←⎯→⎜⎟⎝⎠
六、频移特性 若 ()()f t F ω←⎯→
则 ()()00ωωωm F e t f t j ⎯→←±
()()()()0001
cos 2
f t t F F ωωωωω←⎯→++−⎡⎤⎣⎦ ()()()()000sin 2
j
f t t F F ωωωωω←⎯→+−−⎡⎤⎣⎦ 此性质表明：
（1）若信号()t f 乘以t j e 0ω，等效于()t f 的频谱()ωF 沿频率轴右移0ω，或者说在频域中将频谱沿频率轴右移0ω等效于在时域中信号乘以因子t j e 0ω。

（2）若信号()t f 乘以t j e 0ω−，等效于()t f 的频谱()ωF 沿频率轴左移0ω，或者说在频域中将频谱沿频率轴左移0ω等效于在时域中信号乘以因子t j e 0ω−。

（3）若信号()t f 乘以()t 0cos ω或()t 0sin ω，等效于()t f 的频谱()ωF 一分为二，沿频率轴向左或向右各平移0ω。

七、时域微分和积分特性 时域微分
若 ()()f t F ω←⎯→ 则
()
()df t j F dt
ωω←⎯→ ()()()n n
n
d f t j F dt ωω←⎯→ 时域积分
若 ()()f t F ω←⎯→ 则
()()
()()0t
F f d F j ωττπδωω
−∞
←⎯
→+∫
其中 ()()()∫∞∞
−===ττωωd f F F 00 若()00=F 则
()()ω
ωττj F d f t
⎯→←
∫
∞
−
证明：（1）时域微分
Q ()()∫
∞
∞
−=
ωωπ
ωd e F t f t j 21
∴
()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∫∞∞−ω
ωπωd e F dt d t f dt d t j 21()∫
∞
∞
−=ωωωπωd e F j t j 21
即
()
()df t j F dt
ωω←⎯→ 同理 ()()()n n
n
d f t j F dt ωω←⎯→ （2）时域积分
()()dt e d f d f F t j t t ωττττ−∞
∞−∞−∞−∫∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ()()dt e d t u f t j ωτττ−∞∞−∞
∞−∫∫⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=
()()τττωd e dt t u f t j −∞
∞
−∞
∞−∫
∫⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−= Q ()()ω
ωπδj t u 1
+
⎯→← ()()ωτ
ωωπδτj e j t u −⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎯→←−1 即
()()ωτωωωπδτj t
j e j dt e t u −∞
∞
−−⎦⎤⎢⎣
⎡+=−∫1 ∴()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∫∞
−t
d f F ττ()()()
∫∫∞
∞
−−−∞
∞
−+=τω
ττωπδτωτ
ωd e j f d e f j t
j 1 ()()()ω
ωωδπj F F +
=0 其中 ()()()00=∞
∞
−==∫ωωττF d f F
八、频域微分和积分特性 频域微分
若 ()()f t F ω←⎯→
则 ()()()dF jt f t d ωω
−←⎯→
()
()()
n n
n
d F jt f t d ωω
−←⎯→
频域积分
若 ()()f t F ω←⎯→
()()()()0f t f t F d jt
ωπδ−∞−+←⎯→ΩΩ∫
九、时域卷积定理 若 ()()11f t F ω←⎯→
()()22f t F ω←⎯→
则 ()()()()ωω2121F F t f t f ⎯→←∗
时域卷积定理表明：在时域中两个信号的卷积积分对应于在频域中两个信号频谱的乘积。

证明：
()()()()dt e d t f f t f t f t j ωτττ−∞∞−∞
∞−∫∫⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−⎯→←
∗2121 ()()τττωd dt e t f f t j ∫∫∞∞−∞
∞−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=21
()()τωτωτd e F f j −∞
∞
−∫
=21
()()ττωωτd e f F j −∞∞
−∫=12 ()()ωω21F F =
即 ()()()()ωω2121F F t f t f ⎯→←∗ 十、频域卷积定理 若 ()()11f t F ω←⎯→
()()22f t F ω←⎯→
则 ()()()()12121
2f t f t F F ωωπ
←⎯→∗ 频域卷积定理表明：在时域中两个信号的乘积，对应于在频域中两个信号频
谱函数的卷积的π
21
倍。

十一、时域冲激抽样
若 ()()f t F ω←⎯→
则 ()()()()()()1
s T s s
n n s f t f t t f t t nT F n T δδωω∞
∞
=−∞
=−∞
==−←⎯→
−∑∑
（2s s
T π
ω=
） 十二、频域冲激抽样 若 ()()f t F ω←⎯→ 则
()()1
2s n n s
s n f t F n πωδωωωω∞
∞
=−∞
=−∞⎛⎞
−←⎯
→−⎜⎟⎝
⎠∑
∑ 例3.4.4 如下图之余弦脉冲，试用下列方法求其频谱函数。

()t f t
1
1−1
（1）利用傅里叶变换定义； （2）利用微分、积分特性；
（3）将它看作是门函数()t G 2与周期余弦函数⎟⎠⎞
⎜⎝⎛t 2cos π的乘积。

解：（1）利用傅里叶变换定义
()()ωF t f ⎯→←
()()∫∞∞−−=dt e t f F t j ωω∫−−⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛=11
2cos dt e t t j ωπ
∫
−−−+=1
1
2
2
2
dt e e e
t j t j t j ωπ
π
∫∫−⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛+−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=1121122121dt e dt e t j t j ωπ
ωπ2
2
2cos ωπωπ−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛= （2）利用微分特性
对原余弦脉冲求一阶导数和二阶导数分别得：
()
t f 't
1
1
−2
π
2
π
−
()
t f ''t
1
1−4
2
π−
0⎟⎠
⎞⎜⎝⎛2π⎟⎠
⎞⎜⎝⎛2π
由图可见
()()()1212
2cos 42
'
'−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−
=t t t t f δπδπ
ππ ()[]
ωωπ
πππj j e e t F t f F −++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−
=2
22cos 42
'
' ()ωπωπcos 4
2
+−
=F
根据傅里叶变换时域微分特性得
()[]
()ωωF t f F 2''−= 故 ()()ωπωπωωcos 4
2
2
+−
=−F F
亦即 ()2
2
2cos ωπω
πω−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=
F
利用积分特性
()[]
()ωπωπcos 4
2
'
'+−
=F t f F
()
[]()0'0
'
==∫∞
∞−=dt t f t f F ω
()
[
]
()∫
∫−∞
∞
−=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−+
=
=1
1
2
''0
'
'2cos 42
2
dt t dt t f t f F πππ
π
ω 02cos 21
02
=⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−=∫dt t πππ 根据傅里叶变换积分特性得
()()[]()()()
2
2
'
'cos 4
ωω
πωπωj F dydx y f
F t f F F t x
+−
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==∫∫∞−∞−
∴ ()()ωπωπωωcos 4
2
2
+−
=−F F 故 ()2
2
2cos ωπω
πω−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=
F
（3） ()()t G t t f 22cos ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛=π
Q ()()ωSa t G 22
⎯→←
∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎯→←
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛222cos πωδπωδππt 根据傅里叶变换频域卷积定理
()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+∗⎯→←⎟⎠⎞
⎜⎝⎛222212cos 2πωδπωδπωππSa t G t
22sin 22sin πωπωπωπω−⎟
⎠⎞⎜⎝⎛
−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=()()2
cos 2cos πωωπωω−
++= 2
2
2cos ωπω
π−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=
例3.4.5 求单位斜变信号()()r t tu t =的频谱密度函数()F ω。

解：方法一：利用频域卷积定理求频谱密度函数。

Q ()'
2t j πδω←⎯→
()()1
u t j πδωω
←⎯→+
根据频域卷积定理得
∴ ()()R r t ω=⎡⎤⎣⎦F ()tu t =⎡
⎤⎣⎦F []()1
2t u t π
=∗⎡⎤⎣⎦F F ()()'1122j j πδωπδωπω⎡⎤
=
×∗+⎢⎥⎣⎦
()()()''1
j πδωδωδωω
=∗+∗
()'2
1
j πδωω
=−
即 ()()'2
1
tu t j πδωω←⎯→−
+
方法二：利用频域微分性求频谱密度函数。

Q ()()1
u t j πδωω
←⎯→+
∴ 根据傅里叶变换的频域微分性质
()()1d jtu t d j πδωωω⎡⎤−←⎯→
+⎢⎥⎣⎦()'
2
1j πδωω
=− 再根据傅里叶变换的线性性质，得
()()'21
tu t j πδωω
←⎯→−+
例3.4.6 求三角形脉冲()2
12
02
t t f t t τ
τ
τ
Δ⎧−<⎪⎪=⎨
⎪>
⎪⎩
的频谱密度函数()F ω。

2
τ−
)
(t f Δt
2
τ1
解：方法一：利于时域卷积定理求频谱密度函数。

两个完全相同的门函数卷积可得到三角形脉冲。

()()()f t f t f t Δ=∗ 其中(
)()2
f t t τ=
4
τ
−
)
(t f t
4
τ
τ21
4
τ
−
)
(t f t
4
τ
τ
2
10
()()()()2
2
f t f t t t ττ∗=
()()222G t G t τττ=∗24444u t u t u t u t τττττ⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−−∗+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦ 22444444u t u t u t u t u t u t τττττττ⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=
+∗+−+∗−+−∗−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ ()()()()()()()2222u t u t t u t u t t u t u t t ττδδδτ⎡⎤⎛⎞⎛⎞=
∗∗+−∗∗+∗∗−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣
⎦
()()()2222tu t t tu t tu t t ττδδτ⎡⎤
⎛⎞⎛⎞=
∗+−+∗−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦ ()222222t u t tu t t u t τττττ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=
++−+−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝
⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ 02
2102
21020
t t t t t t τ
τ
ττ
τ⎧<−
⎪⎪
⎪+−<<⎪=⎨⎪−<<⎪⎪⎪>⎩2
12
02
t
t t τ
τ
τ
⎧−<⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
()f t Δ=
2
τ
−
)
(t f Δt
2
τ
1
Q ()2G t Sa τ
ωττ⎛⎞←⎯→⎜⎟⎝⎠
()2
24G t Sa ττωτ⎛⎞
←⎯
→⎜
⎟⎝⎠
∴
()()2
4
f t t τωτ
⎛⎞=
←⎯
⎜⎟⎝⎠
由时域卷积定理可得三角形脉冲()f t Δ的频谱函数为
()()()()()()F f t f t f t F F ωωωΔΔ==∗=⎡⎤⎡
⎤⎣
⎦⎣⎦F F
4ωτ⎛⎞=
⎜⎟⎝⎠224
Sa τωτ
⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠
方法二：利用傅里叶变换的时域积分特性求频谱密度函数。

将()f t Δ求一阶导数()d
f t dt
Δ，如下图所示。

2
τ
−
)
('t f Δt
2
τ
τ
2
τ
2
−
将()f t Δ求二阶导数()2
2d f t dt
Δ如下图所示。

2
τ
−
)
(''t f Δt
2
τ
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛τ20⎟⎠
⎞⎜⎝⎛τ2⎟⎠
⎞⎜⎝⎛τ4
设()()2
2d f t f t dt
Δ=
显然
()()''t x
f t f y dydx ΔΔ−∞−∞
=∫∫
()t x
f y dydx −∞−∞
=∫
∫
由图可见()()2222f t t t t ττδδδτ⎡⎤⎛⎞⎛⎞=
++−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦
Q ()1t δ←⎯→
根据时移特性
∴ ()()2
222j j F f t e
e ττ
ωωωτ−⎛⎞==+−⎡⎤⎜⎟⎣⎦⎝⎠
F 22cos 22τωτ⎡⎤
⎛⎞=
−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦28sin 4
ωττ⎛⎞
=−⎜⎟⎝⎠
显然
()()''0f t dt f t dt ∞
∞
Δ−∞−∞
==∫∫
()'0f t dt ∞
Δ−∞
=∫
根据傅里叶变换时域积分定理 ()()()
()2
1
f t F F j ωωωΔΔ←⎯→=
()
22
1
8sin 4j ωττω⎡⎤⎛⎞=
−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦22sin 424ωττωτ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⎜⎟⎝⎠
224Sa τωτ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
例3.4.7 如下图所示信号()t f ，
)
(t f t
123
2
1
01
−
已知其傅里叶变换式()()()()ωϕωωj e F F t f =⎯→←，利用傅里叶变换的性质（不作积分运算），求：
（1）()ωϕ； （2）()0F ； （3）()∫∞
∞−ωωd F ；
（4）()[]{}ωF F Re 1−之图形。

解：设()t f 0如下图，且()()ω00F t f ⎯→←
)
(0t f t
2
2
2
−0
则()()10−=t f t f
因为()t f 0为实偶函数，所以()ω0F 为ω的实偶函数 （1）()()()()ωϕωωj e F F t f =⎯→←()[]()ωωj e F t f F −=−=001
所以 ()ωωϕ−= （2）Q ()()∫∞∞−−=dt e
t f F t
j ωω
∴ ()()∫∞∞
−=dt t f F 0=面积=4242
1=××
（3）Q ()()∫
∞
∞
−=
ωωπ
ωd e F t f t j 21
∴ ()()∫
∞
∞
−=ωωπd F f 02
即()()ππωω202==∫∞∞
−f d F
（4）()()ωωωj e F F −=0()()ωωωωsin cos 00jF F −=
且，()ω0F 为ω的实偶函数
∴ ()[]{}ωF F Re 1
−
()[]ωωcos 01F F −= ()()
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+=−−ωωωj j e e F F 2101
()[]()[]
ωωωωj j e F F e F F −−−+=
010121
21 根据傅里叶变换时移特性得
()[]{}()()121
12
1Re 001−++=−t f t f F F ω
t
1
1
3−0
1
−3
关于傅里叶变换微分、积分性质的讨论
1、微分性质
时域微分
若 ()()f t F ω←⎯→ 则 ()
()df t j F dt
ωω←⎯→
()()()n n
n
d f t j F dt
ωω←⎯→ 微分性质说明如何用已知函数的傅里叶变换求该已知函数微分后函数的傅里叶变换。

在函数可微的情况下，利用微分性质没有什么附加条件。

2、积分性质
时域积分
若 ()()f t F ω←⎯→ 则
()()
()()0t
F f d F j ωττπδωω
−∞
←⎯
→+∫
其中()()0F f t dt ∞
−∞
=∫
积分性质说明如何用已知函数的傅里叶变换求该已知函数积分后函数的傅里叶变换。

3、时域积分性质应用的说明
应当注意，在实际求解信号的傅里叶变换的时候，往往先将原函数微分，求出微分后函数的傅里叶变换，然后再利用积分性质导出原函数的傅里叶变换。

在运算过程中要特别注意原函数微分后再积分不一定回到原函数，存在积分常数问题，即
()()()()t
d dt
df t f t f t f dt
−∞∫⎯⎯
→⎯⎯⎯→−−∞ 定理
若 ()()f t F ω←⎯→
并且，记 ()()'g t f t =，有()()g t G ω←⎯→，其中()g ∞和()g −∞是有限值， 则 ()()
()()()F G g g j ωωπδωω
=
+∞+−∞⎡⎤⎣⎦ 证明：分两种情况讨论 （1）0ω≠时 由傅里叶变换的微分性
()()()()'F f t g t j G ωωω⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎣⎦
F F 故 ()()1
G F j ωωω
=
，定理结论成立。

（2）0ω=时，上述推导不成立。

Q ()g ∞和()g −∞为有限值
()()()'t
g d g t g ττ−∞
=−−∞∫
对上式取傅里叶变换
()()()()()'2t t
f d
g d G g ττττωπδω−∞
−∞
=←⎯→−−∞∫
∫
又根据傅里叶变换的积分特性得
()()
()()0t
F f d F j ωττπδωω
−∞
←⎯
→+∫
由傅里叶变换的唯一性
∴ ()()()()()()02F G F g j ωωπδωπδωω
=++−∞
()()()()()'0F f t dt g t dt g g ∞∞
−∞
−∞
===∞−−∞∫
∫
故 ()()
()()()F G g g j ωωπδωω
=
+∞+−∞⎡⎤⎣⎦ 例3.4.8 利用傅里叶变换的微分、积分特性求下图所示信号的傅里叶变换。

)
(1t g t
1−2
2
1
)(2t g t
1−2
1
解：错误解法
（1）Q ()()'1212j g t t e ωδ=+←⎯→
()()'11g t j G ωω←⎯→
∴
()12j j G e ωωω=
即 ()12j e G j ωωω
=
（2）Q ()()'
2212j g t t e ωδ=+←⎯
→ ()()'
22g t j G ωω←⎯
→ ∴
()22j j G e ωωω=
即 ()22j e G j ωωω
=
正确解法
（1）()()()'121g t t f t δ=+=
Q ()()'
1
2j g t f t e
ω
=←⎯→
∴()()()()()()()111122j F e G g t g g j j ω
ωωπδωπδωωω==+∞+−∞=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F
（2）()()()'221g t f t t δ==+
Q ()()'
22j g t f t e
ω
=←⎯→
∴()()()()()()2
2
2
2
F G g t g g j ωωπδωω
==+∞+−∞⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦F []()2211j j e e j j ωω
πδωωω
=+−=
结论：凡是先将原函数微分，由微分性质求它的傅里叶变换，然后再利用积分性质导出原函数的傅里叶变换时，先验证()()g g ∞+−∞是否等于0，若等于0，可以用以上步骤求傅里叶变换。

若不等于0，一定要用此定理。

例3.4.9 利用典型信号的傅里叶变换和傅里叶性质，证明
2sin 0
π=∫
∞
dt t
t
证明：因为 ()2
G t Sa τωττ⎛⎞←⎯
→⎜⎟⎝⎠
取2=τ
所以 ()()ωSa t G 22⎯→←
()()ωSa t G ⎯→←22
1
根据傅里叶变换的对称性得
()()()ωπωπ222
1
2G G t Sa =−×⎯→←
()ωπ2sin G t
t
⎯→← 即 ()⎩⎨⎧><==∫
∞
∞−−1
,
01
,sin 2ωωπωπωG dt e t
t t
j 取 0=ω，则得
π=∫∞∞−dt t t
sin 亦即 2
sin 0π
=∫∞dt t t
例3.4.10 试计算下列积分
（1） ∫∞∞−+ωωαd 2
21
（2）
()
∫∞
∞−+ωω
α
d 2
22
1
解：（1）
因为 ()2
22ωαα
α+⎯→
←=−t
e
t f
()()∫∞∞−=
ωωπωd e F t f t
j 21 ()()∫∞
∞−=ωωπd F f 210 ()()∫∞
∞−=ωωπd F f 02
所以
πωωαα
2222=+∫∞
∞−d
故
α
π
ωωα=+∫∞
∞−d 2
21
（2）因为 ()2
22ωαα
α+⎯→
←=−t
e
t f
根据帕塞瓦尔定理 ()[]()∫
∫
∞
∞
−∞
∞
−=ωωπ
d F dt t f 2
2
21，得
∫∫
∞
∞−∞
∞
−−⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+=
ωωααπ
αd dt e
t
2
222221 亦即
()
32
2
22
421
α
παπωωα
α=
=
+∫
∫∞
∞
−−∞
∞
−dt e
d t
帕塞瓦尔定理 ()[]()∫
∫∞
∞
−∞
∞
−=ωωπ
d F dt t f 2
2
21
证明：
()[]()()∫∫∫∞
∞−∞
∞−∞
∞−⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=dt d e F t f dt t f t
j ωωπω21
2
()()∫∫∞
∞−∞∞−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=ωωπωd dt e t f F t j 21
()()∫∞
∞−−=ωωωπd F F 21
()()()()∫∞
∞−−−=ωωωπωϕωϕd e F e F j j 21 ()()()()∫∞
∞−−=ωωωπωϕωϕd e F e F j j 21 ()∫
∞
∞
−=
ωωπ
d F 2
21
3.5 周期信号的傅里叶变换
一、正弦、余弦信号的傅里叶变换
()121ωωπδω−⎯→←t j e ()121ωωπδω+⎯→←−t j e
()()()[]111cos ωωδωωδπω−++⎯→←t ()()()[]111sin ωωδωωδπω−−+⎯→←j t 二、一般周期信号的傅里叶变换
设周期信号()t f 的周期为1T ，11
122f T ππ
ω==
，。