2021南京市鼓楼区九年级中考一模数学试卷及答案

【鼓楼区数学】2021一模考试
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算|240.25|-⨯⨯的结果是（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．4 2．计算()2
3ab
的结果是（ ）
A ．5
ab B ．6ab C ．25a b D ．26
a b
3．根据国家电影局发布的数据显示，2021年2月11日（除夕）至17日（正月初六），全国电影票房达7822000000元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示7822000000是（ ） A ．878.2210⨯ B ．97.82210⨯ C ．107.82210⨯ D ．10
0.782210⨯
4．已知2
,2A x a B x =+=，若对于所有的实数x ，A 的值始终比B 的值大，则a 的值可能（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
5．数轴上A 、B 、C 三点分别对应实数a 、b 、c ，点A 、C 关于点B 对称，若4a b ==，则下列各数中，与c 最接近的数是（ ）
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．5.5
6．如图，把直径为60cm 的圆形车轮（O ）在水平地面上沿直线l 无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P ，则下列说法错误的是（ ）
A ．当点P 离地面最高时，圆心O 运动的路径的长为30cm π
B ．当点P 再次回到最低点时，圆心O 运动的路径的长为60cm π
C ．当点P 第一次到达距离地面15cm 的高度时，圆心O 运动的路径的长为7.5cm π
D ．当点P 第二次到达距离地面30cm 的高度时，圆心O 运动的路径的长为45cm π
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
） 7．4的平方根是___________，27的立方根是__________． 8．若分式
1
1
x x -+的值为0，则x 的值是__________． 9．方程2
3x x =的解是__________． 10．已知反比例函数k
y x
=
的图像经过点(1,4)-，则k =___________．
11．计算
2
36
-的结果是___________． 12．某校国旗护卫队有5名学生，身高（单位：cm ）分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为________2
cm ．
13．如图，五边形ABCDE 是正五边形，过点B 作AB 的垂线交CD 于点F ，则1C ∠-∠=________．
14．如图，点O 是ABC 的外心，,OD AB OE AC ⊥⊥，垂足分别为D 、E ，点M 、N 分别是OD 、OE 的中点，连接MN ，若2MN =，则BC =_______︒．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点(1,3)，且与x 轴的夹角为30︒，则直线l 与坐标轴所围成的三角形的周长是_________．
16．已知二次函数2
()1y x m =--（m 为常数），如果当自变量x 分别取3-，1-，1时，所对应的y 值只有一个小于0，那么m 的取值范围是________．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式1123
x x
+-<．
18．（7分）计算：2222
2a b a ab b a b a b a b a
--+--÷+-．
19．（7分）某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？ 20．（7分）下表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据． 组别 气温分组
频数 1 1216x ≤< 1 2 1620x ≤< 5 3 2024x ≤< 6 4 2428x ≤< 8
．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第_________组内； （2）求该地该月中午12时的平均气温． 21．（7分）一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．
（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；
（2）若这个袋子中共有n （1n >且n 为正整数）个球，则摸出红球的概率是__________（用含n 的代数式表示）．
22．（8分）已知关于x 的方程2
(1)10mx m x +--=（m 为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根1x 、2x ，求1212x x x x ++的值．
23．（8分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 与点O 关于CD 对称．
（1）连接CE 、DE ，求证：四边形CEDO 是菱形； （2）若2,60AB AOB =∠=︒．求点E 、O 之间的距离．
24．（8分）如图，为测量直立在建筑物AB 上的广告牌AC 的高度，小莉在地面上D 的处测得A 的仰角为31︒，然后她沿正对建筑物方向前进了10m 到达E 处，此时测试A 、C 的仰角分别为45︒、52︒，求广告牌AC 的高度．（参考数据：sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.60︒≈，sin520.79︒≈，
cos520.62︒≈，tan52 1.28︒≈．
）
25．（8分）某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发h x 后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆12km,km y y 的地方，图中的折线OABC 表示1y 与x 之间的函数关系，折线OBC 表示2y 与x 之间的函数关系．
（1）宾馆与火车站相距________km ，第二批旅客的步行速度是_______km/h ； （2）解释图中点B 的实际意义；
（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少，才能保证不晚于10点到达？
26．（9分）如图①，ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，DO、EO、FO 的延长线分别交O于点G、H、I，过点G、H、I分别作AB、BC、AC的平行线，从ABC上截得六边形JKMNPQ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边．
（1）求证：六边形JKMNPQ的对角相等；
≌、（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现DOM GOQ ≌，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．
DON GOJ
27．（12分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD 和一个△CDE 组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P 、Q 只能在边框AB 上滑动，顶点M 、N 可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN 上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况．试确定金属杆MN 的位置，使通风口（矩形PQNM ）面积最大．
设窗子的边框AB 、AD 分别为m a ，m b ，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB 的距离）为m c ． 【初步探究】
（1）若2,1,2a b c ===（即点E 到AB 的距离为2），MN 与AB 之间的距离为m x ，通风口的面积为2
m y ． ①分别求出当01x ≤≤和12x ≤≤时y 与x 之间的函数表达式；
②金属杆MN 移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆MN 移动到高于CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c 需要满足的条件是_______________，通风口的最大面积是_______________2
m （用含a 、b 、c 的代数式表示）．
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大时金属杆MN 所在的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若将窗子的上部分边框改为以AB 的中点O 为圆心的圆弧（CD ）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN 移动到什么位置时，通风口面积最大（直接写出答案，不必说明理由）．
【鼓楼区数学】2021一模考试参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
第6题解析：圆心运动的路径即为圆滚动的距离．
当点P 离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O 运动的路径的长为30cm π，故A 正确． 当点P 再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O 运动的路径的长为60cm π，故B 正确．
当点P 第一次到达距离地面15cm 的高度时，圆滚动1
6
圈，圆心O 运动的路径的长为10cm π，故C 错误．
当点P 第二次到达距离地面30cm 的高度时，圆滚动
3
4
圈，圆心O 运动的路径的长为45cm π，故D 正确． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
）
第16题解析：二次函数2
()1y x m =--对称轴为x m =． ①0m >时，1x =时取最小值，
∴22
2(1)10(1)10(3)10m m m ⎧--<⎪--->⎨⎪--->⎩
解得02m <<； ②20m -<<时，1x =-时取最小值，
∴22
2(1)10(1)10(3)10m m m ⎧---<⎪-->⎨⎪--->⎩
解得20m -<<； ③2m <-时，3x =-时取最小值，
∴22
2(3)10(1)10(1)10m m m ⎧---<⎪--->⎨⎪-->⎩
解得42m -<<-．综上所述42m -<<且2,0m m ≠-≠． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题7分）解：3x < 18．（本题7分）解：原式b
a b
=-
+ 19．（本题7分）解：设该车间安排x 名工人制作甲零件，安排(7)x -名工人制作乙零件．
9001200(7)x x =- 解得4x =
答：可安排4名工人制作甲零件，3名工人制作乙零件． 20．（本题7分）（1）4
（2）分别计算出各组数据的组中值， 第一组组中值
1216142+=，第二组组中值1620182+=，第三组组中值2024
222+= 第四组组中值
2428262+=，第五组组中值2832
302
+= ∴156810
141822263024.83030303030
x =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=（℃） 因此，该地该月中午12时的平均气温为24.8℃ 21．（本题7分）
解：（1）记袋中的3个白球分别为白1、白2、白3．从袋中随机摸出2个球，共有6种等可能的情况，分别是（红，白1）、（红，白2）、（红，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），满足摸出红球的结果有3种，因此摸出红球的概率为
1
2
． （2）
2n
22．（本题8分）
解：（1）当0m =时，原方程化为10x --=， ∴1x =-
∴该方程有实数根．
当0m ≠，由题可得,1,1a m b m c ==-=- ∴2
2
2
Δ4(1)4(1)(1)0b ac m m m =-=--⨯-=+≥ ∴方程总有两个实数根
因此，不论m 为何值，该方程总有实数根． （2）∵121211
,m x x x x m m -+=-
=- ∴121211
1m x x x x m m
-++=---=- 23．（本题8分） （1）证明：连接OE
∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =且11
,22
OC AC OD BD =
=，∴OC OD = 又∵点E 与点O 关于CD 对称，∴CD 垂直平分OE ，∴,DO DE CO CE == ∴DO DE CO CE ===，∴四边形CEDO 是菱形．
（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴2AB CD ==， ∵OD OC =，∴ODC 为等腰三角形
∵60AOB COD ∠=∠=︒，∴ODC 为等边三角形，∴60,2ODC OD DC ∠=︒==
∵CD 垂直平分OE ，∴2sin 60OE OD =︒=E 、O 之间的距离为24．（本题8分）
解：在Rt ABD 中，tan tan31AB D BD
∠=︒=
∴5
0.63
AB BD AB =
=
在Rt ABE 中，tan tan 45AB AEB BE ∠=︒=
∴BE AB =
∵10m BD BE -= ∴510m 3
AB AB -= ∴15m AB =
在Rt CBE 中，tan tan52BC CEB BE
∠=︒=
∴19.2m BC =
∴ 4.2m AC BC BA =-=
因此，广告牌的高度是4.2m ．
25．（本题8分）
解：（1）20，5；
（2）汽车从宾馆出发0.8h 后到达距离旅店4km 处与第二批旅客相遇．
（3）第二批旅客不能在上午10点前到达火车站． ∵3645km /h 0.8
= 1680km /h 0.2
= ∴804535km /h -=
∴至少提速35km/h
26．（本题9分）
证明：（1）∵//JQ AB ，
∵//NP AC ，
∴180A ANP ∠+∠=︒．
∴AJQ ANP ∠=∠
同理,BMK BQJ CKM CPN ∠=∠∠=∠．
即六边形JKMNPQ 的对角相等．
（2）∵O 与AB 切于点D ，
∴OD AB ⊥
∴90ADO ∠=︒．
∵//AB JQ ，
∴90ADO OGO ∠=∠=︒ O 与BC 切于点E ，
∴OE BC ⊥．
∴90QEO ∠=︒．
∴90OEO OGO ∠=∠=︒．
又,OQ OQ OE OG ==，
∴Rt EQO Rt GQO ≌． ∴12
EOQ GOQ EOG ∠=∠=∠． 同理12DOM HOM DOH ∠=∠=
∠． ∵DOH EOG ∠=∠，
∵,OD OG ODM OGQ =∠=∠．
∴DOM GOO ≌．
同理DON GOJ ≌．
∴,DM GO DN GJ ==．
∴DM DN GQ GJ +=+．
即MN JQ =．
同理,JK NP KM PQ ==．
即六边形JKMNPQ 的对边相等．
27．（本题12分）
解：（1）①如图1，过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，EF 分别与CD 、MN 相交于点G 、H ．
当01x ≤≤时，2y x =．
当12x ≤≤时，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴2,90AB CD A ADC ==∠=∠=︒．
∵EF AB ⊥，
∴90AFG ∠=︒．
∴四边形ADGF 是矩形．
∴1,90AD GF DGF ==∠=︒．
∵四边形PQNM 是矩形，
∴//MN PQ ．
∴90EFA EHM ∠=∠=︒
由题意可知，2,EF HF x == ，
∴1,2EG EH x ==-，
∵////MN PQ CD ，
∴EMN EDC ∽．
又EH 、EG 分别是EMN 、EDC 的对应高， ∴EH MN EG CD =，即212
x MN -=，化简，得42MN x =-． ∴2(42)24y x x x x =-=-+．
②当01x ≤≤时，2y x =．因此，当1x =时，y 最大，最大值是2．
当12x ≤≤时，22
242(1)2y x x x =-+=--+，因此，当1x =时，y 最大，最大值是2．
综上所述，当1x =时，y 最大，最大值是2．
因此，金属杆MN 移动到CD 所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是22m ． （2）①2c b >；2
4()
ac c b -． 【解析】已知在ABC 中有内接矩形，其中M 、N 在AB 、AC 边上，P 、Q 在BC 边上，易证当MN 为中位线时，矩形PQMM 的面积最大，且最大面积为ABC 面积的一半，即14
⋅⋅底高．在图②中，延长ED 、EG 交直线AB 于F 、G ，则MN 为EFG 的中位线时，矩形PQNM 的面积最大，所以要想金属杆MN 移动到高于CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需EFG 与FG 边平行的中位线在CD 上方即可，即2c b >．此时的最大面积为EFG 的面积的一半．
作ES FG ⊥于S 交CD 于J ，因为//CD FG ，所以EDC EFG ∽，所以DC EJ FG ES =，即a c b FG c
-=，∴ac FG c b
=-．所以矩形PQNM 面积的最大值EFG =面积的一半2
144()ac FG ES c b ⋅⋅=-=．
②如图，线段MN 即为所求．
（3）当02a b <≤（等同于b c <≤
）时，金属杆MN 移动到CD 所在位置时，通风口面积最大；
当2a b >（等同于c >）时，金属杆MN 移动到与AB 相距
m 2时，通风口面积最大． 【解析】易知当M 在AD 上时，y 随x 增大而增大
当M 在CD 上时，如图，OP ==222y MP OP =⋅==
=，则当2212x c <即2b x c ≤<时，y 随x 增大而增大，
当x ≥时，y 随x 增大而减小．
b ≤，即b
c <≤时：当0x b <≤时，y 随x 增大而增大；当x b >时，x >，所以y 随x 增大而减小，所以在0x c <<中，当x b =时，y 最大．
当2c b >，即c >时：当0x b <≤时，y 随x 增大而增大；当2
b x
c <<时，y 随x 增大而增大；
当2x c ≤<时，y 随x 增大而减小，所以在0x c <<中，当2
x =时，y 最大．
因为90A ∠=︒，所以222AD AO DO +=，所以2222a b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以b c <≤等同于02a b <≤，
c >等同于2a b >．。